2020年5月福建省三明市高三质检考试理科数学试卷及答案

准考证号________________姓名___________________（在此卷上答题无效）2020年三明市高三毕业班质量检查测试理科数学本试卷共6页，满分150分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|120A x x x =--<，{}2|log 1B x x =≥，则A B =I （ ） A.(]4,2- B.(]3,2-C.[)2,3D.[)2,42.已知复数z i =，其中i 为虚数单位，则z =（ ）C.3D.73.设3log 2a =，0.4log 2b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.b a c <<B.c a b <<C. c b a <<D.b c a <<4.已知随机变量()~2,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ）A.0.1359B.0.6587C.0.7282D.0.8641附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.5.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3122S S S =+，且23a =，则5a =（ ） A.3B.12C.24D.486.()()62x y x y +-的展开式中，34x y 的系数为（ ） A.55B.25C.-25D.-557.执行如图所示的程序框图，若输入10x =时，输出的6y =，则正数m =（ ）A.2B.3C.4D.58.已知抛物线2:4y x Γ=，过Γ的焦点且斜率为1的直线交Γ于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（ ）B.D.9.早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有ABC △的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC 的长为3，点A 在弦BC 上的射影为点D ，则()BC BA AD -⋅=u u u r u u u r u u u r（ ）A.365B.14425C.14425-D.365-10.已知函数()sin f x x x ωω=，若存在1202x x π<<<，使得()()124f x f x -=-，则正数ω的取值范围是（ ） A.()2,+∞B.7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.()3,+∞D.13,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭11.已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为23，球1O 为该三棱锥的内切球.球2O与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（ ） A.14B.19C.116D.12512.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,2x ∈时，()()411f x x =--.对于任意不小于2的正整数n ，当122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦时，都满足()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.给出以下命题： ①()f x 的值域为[]4,4-；②当6722,22x ⎡⎤∈--⎣⎦时，()10,8f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；③当210a <<时，方程()log 0a f x x -=有且只有三个实根. 以上三个命题中，所有真命题的序号是（ ） A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设曲线1x y ex -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行，则实数a 的值为______________.14.已知变量x ，y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为___________________-.15.在数列{}n a 中，11a =，22a =，且2122n n n a a a ++-+=，则20a =______________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14y E x -=的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在圆()()22:321C x y -+-=上运动，直线OP 与E 的右支交于M .记直线MA ，MB ，MP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k ⋅⋅的取值范围是__________________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（12分）在ABC △中，D 为BC 中点，且90BAD ∠=︒，45CAD ∠=︒. （1）求ABAC； （2）若1AD =，求ABC △的面积.18.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，上顶点为A ，右顶点为B .点2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 内，且直线AP 30y -=垂直. （1）求C 的方程；（2）设过点P 的直线交C 于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆过点B . 19.（12分）图1，在ABC △中，26AC BC ==，90C ∠=︒，E 为AC 中点.以BE 为折痕将BEC △折起，使点C 到达点D 的位置，且A BE D --为直二面角，F 是线段AB 上靠近A 的三等分点，连结AD ，DF ，EF ，如图2.（1）证明：BD EF ⊥；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 20.（12分）某疾病有甲、乙两种类型，对甲型患者的有效治疗只能通过注射药物Y ，而乙型患者可以服药物A 进行有效治疗，对该疾病患者可以通过药物A 的临床检验确定甲型或乙型.检验的方法是：如果患者利用药物A 完成第一个疗程有效，就可以确定是乙型；否则进行第二个疗程，如果完成第二个疗程有效，也可以确定是乙型，否则确定是甲型.为了掌握这种疾病患者中甲型、乙型所占比例，随机抽取100名患者作为样本通过药物A 进行临床检验，检验结果是：样本中完成第二个疗程有效的患者是完成第一个疗程有效的患者的60%，且最终确定为甲型患者的有36人.（1）根据检验结果，将频率视作概率，在利用药物A 完成第一个疗程无效的患者中仼选3人，求其中甲型患者恰为2人的概率；（2）该疾病的患者通过治疗，使血浆中某物质t 的浓度降低到7/mmol L 或更低时，就认为已经达到治愈指标.为了确定药物Y 对甲型患者的疗效，需了解疗程次数x （单位：次）对患者血浆中t 的浓度（单位：/mmol L ）的影响.在甲型患者中抽取一个有代表性的样本，利用药物Y 进行5个疗程，每个疗程完成后对每个个体抽取相同容量的血浆进行分析，并对疗程数i x 和每个疗程后样本血浆中t 的平均浓度()1,2,5i y i =L 的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.上表中1i i w x =，5115i i w w ==∑.①根据散点图直接判断（不必说明理由），y a bx =+与dy c x=+哪一个适宜作为甲型患者血浆中t 的平均浓度y 关于疗程次数x 的回归方程类型？并根据表中数据建立y 关于x 的回归方程.②患者在享受基本医疗保险及政府专项补助后，自己需承担的费用z （单位：元）与x ，y 的关系为30050z y x =+.在达到治愈指标的前提下，甲型患者完成多少个疗程自己承担的费用最低？对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i u u v v u v nuvu u u mu β====---==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-. 21.（12分）已知函数()ln f x x ax =-，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()3sin 5xg x x x x =-+，当0a ≥时，判断是否存在0x 使得()()00f x g x ≥，并证明你的结论. （二）选考题：本题满分10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x m y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0m >），曲线2C 的极坐标方程为()2sin 0n n ρθ=>，点P 是1C 与2C 的一个交点，其极坐标为4π⎫⎪⎭.设射线00:0,02l πθθρθ⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭与曲线1C 相交于O ，A 两点，与曲线2C 相交于O ，B 两点.（1）求m ，n 的值；（2）求2OA OB +的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲（10分）设函数()2f x x x =-M 为不等式()0f x <的解集. （1）求集合M ；（2）当,m n M ∈时，证明3mn n +>+.2020年三明市高三毕业班质量检查测试理科数学参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1.D 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.D 11.D 12.A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运箅.每小题5分，满分20分.13. 214. 1315. 36216.3⎡+⎣三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1）在ABD △中，90BAD ∠=︒，所以 sin AB BD ADB =⋅∠.…………………………1分 在ACD △中，根据正弦定理，sin sin AC CDADC CAD=∠∠， 即sin sin CD ADCAC CAD⋅∠=∠.……………………………………3分因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以sin sin ADB ADC ∠=∠.……………………4分 因为D 是BC 中点，即BD CD =， 所以sin sin BD ADBAC CAD⋅∠=∠.……………………………………5分所以sin sin 45AB CAD AC =∠=︒=.………………………………6分 （2）设AB m =，则AC =.……………………………………7分在ABD △中，根据勾股定理，22221BD AB AD m =+=+.………………8分 在ACD △中，根据余弦定理得22222cos 221CD AC AD AC AD CAD m m =+-⋅⋅∠=-+.………………9分所以221221m m m +=-+，解得0m =（舍去），或2m =.……………………10分 即2AB =，AC = 则1sin 2ABC S AB AD BAC =⨯⋅⋅∠△.…………………………………………11分1222=⨯⨯︒=.………………………………………………12分 18.（1）因为A 为椭圆2222:1x y C a b+=的上顶点，所以()0,A b ，则直线AP 的斜率3223b k b ==--.…………………………1分 因为AP30y -=垂直，所以3123b -⋅=-，解得b =分 设C 的焦距为2c ，因为C的离心率为2，所以2c a =，.…………………………3分则22222a b a c =-=，所以2a ==.………………………………4分所以C 的方程为22142x y +=.……………………………………5分 （2）由（1）知，()2,0B .……………………………………6分当直线MN 的斜率为0时，线段MN 即为C 的长轴，M 或N 与B 重合， 则以MN 为直径的圆过点B .…………………………7分 当直线MN 的斜率不为0时，设其方程为23x my =+. 联立2223142x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得2223142my y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=，.……………………8分 整理得()224322039m m y y ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y . 则()122432m y y m +=-+，()1223292y y m =-+.…………………………9分 那么()()1212442233x x my my ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212122416323992m m y y y y m =-++=+， 所以()()1212220BM BN x x y y ⋅=--+=u u u u r u u u r.……………………11分所以BM BN ⊥，即以MN 为直径的圆过点B .……………………12分 19.（1）设BE 中点为M ，连结DM .因为E 是AC 中点，所以3AE DE ==，又因为3BD =，所以DM BE ⊥.………………1分 因为A BE D --为直二面角，即平面BED ⊥平面ABE ， 又因为平面BED I 平面ABE BE =，且DM ⊂平面BDE ，所以DM ⊥平面ABE .因为EF ⊂平面ABE ，所以EF DM ⊥.…………………………2分 在ABC △中，6AC =，3BC =，90C ∠=︒，所以AB =，且cos BAE ∠=.………………………………3分 因为F 是AB 上靠近A的三等分点，所以AF =，BF =在AEF △中，根据余弦定理，2222cos 2EF AF AE AF AE BAE =+-⋅⋅∠=，即EF =.……………………………………4分在Rt BDE △中，BE ==，所以222EF BE BF +=，所以EF BE ⊥.………………………………5分 又因为BE DM M =I ，所以EF ⊥平面BDE .因为BD ⊂平面BDE ，所以BD EF ⊥.………………………………6分（2）如图，过E 作//EG MD ，则EG ⊥平面ABE .以E 为坐标原点，以EB u u u r ，EF u u u r ，EG u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -.……………………………………………………7分则()0,0,0E，()B，()F，2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛ ⎝⎭.故22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，22ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()EF =u u u r，()BF =-u u u r，那么1222EA EF FA EF BF ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur .…………………………9分 设平面ADE 的一个法向量为()000,,n x y z =r.则00n ED n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即000000x z x y +=⎨⎪+=⎪⎩， 取01x =，得01y =，01z =-，此时()1,1,1n =-r.…………………………11分设直线BD 与平面ADE 所成的角为α，则sin cos ,3BD n BD n BD n α⋅====⋅u u u r ru u u r r u u u r r ， 即直线BD 与平面ADE所成的角的正弦值为3.…………………………12分 20.（1）设样本中完成第一个疗程有效的患者人数为n ，则3100365n n +=-，解得40n =，则完成第一个疗程无效的患者人数为60人.………………………………………………1分 将频率视作概率，则利用药物A 完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为35.………………2分 在利用药物A 完成第一个疗程无效的患者中任选3人，设其中是甲型患者的人数为ξ，则3~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.……………………………………………………3分所以()22333542155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以所求的概率为54125……………………………………………4分 （2）①根据散点图可以判断，dy c x=+适宜作为甲型患者血浆中t 的平均含量y 关于疗程次数x 的回归方程类型.……………………………………………………5分 令1w x=，先建立y 关于w 的线性回归方程. 由5152221530.150.4611ˆ121.45850.465i ii ii w y wydww ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11120.46 5.48cy dw =-=-⨯=.………………………………7分 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ 5.4812yw =+，因此y 关于x 的回归方程为12ˆ 5.48yx =+.…………………………8分 ②当达到治愈指标时，由125.487x+≤，且x Z ∈，得8x ≥.…………………………9分 注射药物Y 治疗x 个疗程时，患者自己需承担费用为：1272300 5.4850501644z x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………10分令()72f x x x =+，易知()f x 在(单调递减，在()+∞单调递增.因为89<，且()()8917f f ==，所以甲型患者完成8个或9个疗程时，能够达到治愈指标且自己承担的费用最低.…………12分21.（1）()f x 的定义域为()0,+∞，由()ln f x x ax =-，得()11ax f x a x x-'=-=.…………………………2分 ①若0a ≤，则当0x >时，()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；.……………………3分②若0a >，令()0f x '=，解得1x a=. 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a >时，()0f x '<. 此时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭..……………………5分 （2）当0a ≥时，不存在0x ，使得()()00f x g x ≥，证明如下：.…………………………6分 由（1）知，当1a =时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()max 11f x f ==-，故ln 1x x -≤-，即ln 1x x ≤-.因为sin 1x ≤，所以当0x >时， sin x x x ≤，故()33455x g x x x x x ≥-+=-.………………7分 ①当0a =时，()ln 1f x x x =≤-.令()()()334911055h x x x x x x x =---=-+>，则()2935h x x '=-.令()0h x '=，得x =当05x <<时，()0h x '<；当5x >()0h x '>. 所以()min 0h x h ==>⎝⎭，故3415x x x -<-， 所以当0a =时，对()0,x ∀∈+∞，都有()ln x g x <.………………………………9分 ②当0a >时，对于()0,x ∈+∞，0ax >，故()()ln f x x g x <<.………………11分 综合①，②，当0a ≥时，对于任意的()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.所以，当0a ≥时，不存在0x ，使得()()00f x g x ≥.…………………………12分22.（1）将曲线1C 的参数方程化成普通方程：()221x m y -+=，P 的直角坐标为1,1. 因为P 在1C 上，所以()2111m -+=，解得1m =.…………………………3分 因为P 在2C=，解得1n =.………………………………5分（2）曲线1C 化为极坐标方程：2cos ρθ=.…………………………6分设A 的极坐标为()11,ρθ，B 的极坐标为()22,ρθ，则112cos ρθ=，222sin ρθ=. 因为A ，B 分别是0θθ=与1C ，2C 的交点，所以120θθθ==.所以10202cos 2sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，.……………………………………8分故()12000224cos 2sin OA OB ρρθθθϕ+=+=+=+，.………………9分 其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=.因为()0sin 1θϕ+≤，当02πθϕ=-时等号成立. 所以2OA OB +的最大值为分23.（1）当x <((20x x -++<，解得x <.………………………………1分当x <((20x x +++<，解得x <x ∈∅；.………………………………2分当2x ≥-时，原不等式化为((20x x -<，解得x >分所以{M x x x =<>.………………………………5分（2）欲证3mn n +>+成立，只需证())223mn n +>+成立.………………6分因为())223mn n +-+ 2222339m n m n =--+.………………………………7分()()2233m n =--.……………………………………8分又由,m n M ∈，得23m >，23n >…………………………………9分所以())2230mn n +-+>，即())223mn n +>+成立，所以3mn n +>+成立.…………………………………………10分。

2020届福建省三明市高三下学期5月高考模拟考试 数学（理）试卷 ★祝考试顺利★ (解析版) 一、选择题（共12小题）. 1.设全集为{}2|1log 3A x x =≤≤,{}2|340B x x x =--<,则A B 等于（ ）A. ()1,2-B. (]1,8-C. []4,8D. [)2,4【答案】D【解析】 解对数不等式得集合A ,解一元二次不等式得集合B ,再由交集定义计算． 【详解】∵{}28|A x x =≤≤,{}|14B x x =-<<,∴{}|24x x A B =≤<.故选：D.2.设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是（）A. 若120z z -=,则12z z =B. 若12z z =,则12z z =C. 若12=z z ,则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12=z z ,则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ）,若120z z -=,则12120,z z z z -==,所以为真；对（B ）若12z z =,则1z 和2z 互为共轭复数,所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+,若12=z z ,22221122a b a b +=+222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+,所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==,则12=z z 为真,而22121,1z z ==-,所以2212z z =为假．故选D ．3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图,则下面结论中错误．．的一个是（ ）A. 甲的极差是29B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是21【答案】B【解析】 通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A 对；找出甲中间的两个数,求出这两个数的平均数即数据的中位数,判断出D 错；根据图的数据分布,判断出甲的平均值比乙的平均值大,判断出C 对．【详解】由茎叶图知甲的最大值为37,最小值为8,所以甲的极差为29,故A 对甲中间的两个数为22,24,所以甲的中位数为2224232+=故B 不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20,所以甲的平均数大,故C 对乙的数据中出现次数最多的是21,所以D 对故选B ．4.定义在R 上的函数1()()23x m f x -=-为偶函數,21(log )2a f =,131(())2b f =,()c f m =,则 A. c a b <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】C【解析】 由偶函数得到0m =,明确函数的单调性,综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.【详解】∵1()()23x m f x -=-为偶函数, ∴0m =,即1()()23x f x =-,且其在[)0,+∞上单调递减, 又1310()21<<,。

2020年福建省三明市高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）3（B）2（C）1（D）参考答案：A略2. 投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．点评：本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题．3. 函数（)的图象如图所示,则的值为 A． B． C． D．参考答案：D略4. 要得到函数的图像，只需将函数的图像( )A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度参考答案：C5. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A．32πB．4πC．48πD．12π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】作出几何体的直观图，根据棱锥的结构特征计算外接球的半径，得出球的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，取BD中点O'，PB中点O，连结OO'，则OO'∥PA，∴OO'⊥平面ABCD，∴O为四棱锥P﹣ABCD的外接球球心，∵OO'==1，O'B==，∴OB==．∴棱锥外接球的面积S=4πOB2=12π．故选D．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥与球的关系，属于中档题．6. 方程有三个不相等的实根，则k的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：A 略7. 对于下列命题：①在△ABC中，若,则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若，，,则△ABC有两组解；③设，，,则；④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象.其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.参考答案：C8. 二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为(A) (B) (C)或 (D)或参考答案：A9. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有l，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x,y中有偶数且x≠y”，则概率=A. B. C. D.参考答案：B10. 已知二面角的平面角为，，，，为垂足，且，，设、到二面角的棱的距离分别为、，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）A ．B ．C ．D ．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （4分） （2x ﹣）6展开式中常数项为 （用数字作答）．参考答案：60【考点】：二项式定理．【分析】：用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x 的指数为0得展开式的常数项．解：（2x ﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60【点评】： 二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．12. 设满足条件，则目标函数的最小值为 ．参考答案：可行域如图，直线过点A 时z 取最小值13. 有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3，已知球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为＿＿＿＿参考答案：14. 若函数，且在实数上有三个不同的零点，则实数__________．参考答案：15. 已知抛物线y 2=16x 的焦点恰好是双曲线﹣=1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．参考答案：y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出抛物线y2=16x的焦点坐标，可得双曲线﹣=1的右焦点坐标，进而可得12+b2=16，解可得b的值，由a、b的值结合双曲线渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程：y2=16x，其焦点坐标为（4，0），则双曲线﹣=1的右焦点坐标为（4，0），则c=4，有12+b2=16，解可得b=2，则双曲线的方程为﹣=1，则该双曲线的渐近线方程y=±x；故答案为：y=±x．16. 已知点是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.参考答案：略17. 已知函数只有两个不等实根，则实数的范围是___________参考答案：[3,4 )略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 - 2020年高考数学（5月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设全集为{}2|1log 3A x x =≤≤，{}2|340B x x x =--<，则A B 等于（ ）A. ()1,2-B. (]1,8-C. []4,8D. [)2,4 【答案】D【解析】【分析】 解对数不等式得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义计算．【详解】∵{}28|A x x =≤≤，{}|14B x x =-<<，∴{}|24x x AB =≤<.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数性质，掌握对数函数性质是解题关键．2.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A. 若120z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =C. 若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12=z z ，则2212z z = 【答案】D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．。

2020届福建省三明市高三毕业班质量检查测试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|120A x x x =--<，{}2|log 1B x x =≥，则AB =（ ）A ．(]4,2-B ．(]3,2-C ．[)2,3D ．[)2,4【答案】D【解析】根据二次不等式与对数不等式分别求解集合,A B ，再求交集即可. 【详解】{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}{}2|log 1|2B x x x x =≥=≥，故A B =[)2,4.故选：D 【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的计算以及集合的运算，属于基础题. 2．已知复数z i =+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） ABC ．3D ．7【答案】B【解析】将复数化简为z a bi =+的形式，代入公式z =.【详解】∵4iz i i i i i =++∴z =故选：B 【点睛】本题主要考查复数的四则运算和基本概念，属于基础题.3．设3log 2a =，0.4log 2b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ． c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】可以得出,,a b c 分别与0,1的大小关系，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：因为3330211,3log log log =<<=，0.40.4log 2log 10<=，0.40221>=，b ac ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 4．已知随机变量()~2,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ） 附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641【答案】D【解析】由题意根据正态曲线的性质求出概率，即可求解． 【详解】解：因为()~2,1X N 由题意()11(01)10.95440.68260.86412P P X =-<=--=阴影， 故选：D 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3122S S S =+，且23a =，则5a =（ ） A ．3B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】根据等比数列的性质得出1,a q ，即可得出5a . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q31222,3S S S a =+=2312111212233a a a a q a a q a a q ⎧=+⎧=+⎪∴⇒⎨⎨==⎪⎩⎩解得113q a =-⎧⎨=-⎩（舍）或1232q a =⎧⎪⎨=⎪⎩415432242a a q ∴==⨯=故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式基本量的计算，属于中档题. 6．()()62x y x y +-的展开式中，34x y 的系数为（ ） A ．55 B ．25C ．25-D ．55-【答案】C【解析】根据二项式定理求解即可. 【详解】6()x y -的通项为66166()(1)r rr r r r r r T C xy C x y --+=-=-令62r -=，得4r =，此时34x y 的系数为446(1)15C -= 令6r 3-=，得3r =，此时34x y 的系数为3362(1)40C -=-34x y ∴的系数为154025-=-故选：C 【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，若输入10x =时，输出的6y =，则正数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得10x =， 执行循环体，8x =，满足条件0x ， 执行循环体，6x =，满足条件0x ， 执行循环体，4x =，满足条件0x ， 执行循环体，2x =，满足条件0x ， 执行循环体，0x =，满足条件0x ，执行循环体，2x =-，不满足条件0x ，退出循环，2y m m =+， 执行输出语句，输出y 的值为6．所以26m m +=，解得3m =-或2m =，因为0m >，所以2m = 故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．8．已知抛物线2:4y x Γ=，过Γ的焦点且斜率为1的直线交Γ于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C 3D ．3【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据题意联立直线与抛物线的方程，再得出关于y 的二次方程，利用三角形面积公式与韦达定理求解即可. 【详解】易得直线的方程为1y x =-，焦点()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y .联立24y x =可得2440y y --=，故12124,4y y y y +==-，所以()21212121142222AOBAOFBOFSSSOF y y y y y y =+=⋅⋅-=+-=.故选：B 【点睛】本题主要考查了求解抛物线中的三角形面积问题，需要根据题意联立直线与抛物线，并利用韦达定理以及面积公式求解.属于中档题.9．早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有ABC 的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC 的长为3，点A 在弦BC 上的射影为点D ，则()BC BA AD -⋅=（ ） A ．365B ．14425C ．14425-D ．365-【答案】B【解析】作出图形，计算出cos BAD ∠的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得()BC BA AD -⋅的值.【详解】 如下图所示：由题意可知3AC =，4AB =，5BC =，则3cos 5AC C BC ==， AD BC ⊥，90BAD B C B ∴∠+∠=∠+∠=，所以，BAD C ∠=∠.()()223144cos cos 4525BC BA AD AB AD AB AD BAD AB BAD ⎛⎫-⋅=⋅=⋅⋅∠=⋅∠=⨯=⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面数量积定义的的应用，考查计算能力，属于基础题.10．已知函数()sin f x x x ωω=，若存在1202x x π<<<，使得()()124f x f x -=-，则正数ω的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()3,+∞D ．13,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】()sin f x x x ωω=2sin 3x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，化简整理()()124f x f x -=-，令1122,33t x t x ππωω=+=+，12sin sin 2t t -=-，根据正弦函数性质易求. 【详解】解：()1sin 2sin cos 2sin 223f x x x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()124f x f x -=-，122sin 2sin 433x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12sin sin 233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1202x x π<<<，0ω<，1233323x x ππππωπωω<+<+<+令1122,33t x t x ππωω=+=+，12sin sin 2t t -=-，12323t t ππωπ<<<+，所以1sin t 能取到最小值1-，2sin t 能取到最大值1，5232πωππ+>，所以13,3ω⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】考查三角函数的恒等变换以及三角函数的性质，同时考查学生的运算求解能力；基础题.11．已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为23，球1O 为该三棱锥的内切球.球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（ ）A ．14B ．19C ．116D ．125【答案】D【解析】先利用侧面与底面所成二面角的余弦值为23可得三个侧面的等腰三角形底边上的高，再根据等体积法可求得球1O 的半径，进而根据立体几何中的相似，可得21,O O 所切的三棱锥的相似比，进而得到21,O O 的半径比以及表面积的比. 【详解】如图，正三棱锥P ABC -，设P 在底面ABC 上的投影为M ，取BC 中点H ，易得MH BC ⊥，PH BC ⊥，PHM ∠即为侧面与底面所成二面角.又123MH MC BC ===，故23MHPH ==PM ==. 设球1O 的半径为R ，则()1133PAB PAC PBC ABCABCS S S SRS PM +++=⋅，即22134442R ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =根据题意可知，2O 为与正三棱锥P ABC-相似的正三棱锥的内切球，且该三棱锥的高22h PM R =-=-=.故两正三棱锥的相似比为15h PM =，故其内切球的21,O O 的半径比也为15，故球2O 与球1O 的表面积之比为211525⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了三棱锥的内切球的问题，需要根据等体积法求得内切球的半径，同时也考查了立体几何中的相似比问题，需要画图分析内切球与所切的三棱锥的关系，同时也考查了计算能力，属于难题.12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,2x ∈时，()()411f x x =--.对于任意不小于2的正整数n ，当122,22nn x +⎡⎤∈--⎣⎦时，都满足()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.给出以下命题：①()f x 的值域为[]4,4-；②当6722,22x ⎡⎤∈--⎣⎦时，()10,8f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；③当210a <<时，方程()log 0a f x x -=有且只有三个实根. 以上三个命题中，所有真命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】A【解析】先根据条件求出当122,22nn x +⎡⎤∈--⎣⎦时()f x 解析式，即可判断②；再根据奇函数性质可判断①，最后结合图象可判断③. 【详解】因为当122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦时，都满足()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当[]2322,22,10,22xx ⎡⎤∈---∈⎣⎦时，()112111=2122222x x x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当[]3422,22,12,62xx ⎡⎤∈---∈⎣⎦时，()111122242x x f x f ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而类推可得当122,22nn x +⎡⎤∈--⎣⎦时，()3123312111111121322222222n n n n n n n x x f x -------⎛⎫⎛⎫=------=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11231131()[0,22,221]222n n n n n x xf x +---⎡⎤∈--∴-≤⎣⎦-+≤∴∈当6722,22x ⎡⎤∈--⎣⎦时，()3541111322,820x f x ⎛⎫=--+ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎪，即②正确；当[0,)x ∈+∞时，311[0,4][0,2][0,1][0,][0,][0,4]()[0,4]22n f x -=∴∈因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()[4,4]f x ∈-，即①正确；当210a <<时，由图可知 (),log a y f x y x ==不止三个交点，所以③错误；故选：A 【点睛】本题考查函数解析式、函数值域、函数图象，考查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题13．设曲线1x y e x -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行，则实数a 的值为_______. 【答案】2【解析】根据题意，求出函数的导数，进而可得1|2x y ='=，由导数的几何意义可得2a =，从而得解； 【详解】解：因为1x y e x -=+ 所以11x y e-'=+所以111|12x y e-='=+=又因为曲线1x y e x -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行，所以2a = 故答案为：2 【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．14．已知,x y 满足25,2,6,x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为_______．【答案】13【解析】先根据约束条件画出可行域，再依据目标函数的几何意义，找出最优解，从而求出目标函数的最大值. 【详解】画出可行域，如图中阴影部分所示，目标函数z x y =+可化为y x z =-+，其斜率为-1，截距为z ，平移直线y x =-知当直线y x z =-+经过点C 时，其截距最大，z 取得最大值， 由25{6?y x x =-=，得(6,7)C ，故max 6713z =+=.【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最值的问题，一般的步骤如下： （1）根据线性约束条件画出可行域； （2）设0z =，画出直线0l ；（3）观察、分析、平移直线0l ，从而找到最优解； （4）求出目标函数的最大值或最小值.15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，且2122n n n a a a ++-+=，则20a =_______. 【答案】362【解析】构造1n n n b a a +=-，求出1b ，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，利用等差数列的通项公式可得n b ，利用累加法即可求得n a . 【详解】构造1n n n b a a +=-，则1211b a a =-=，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=， 故数列{}n b 是以1为首项2为公差的等差数列， 故()*112(1)21n n n b a a n n n N +=-=+-=-∈，所以21324311,3,5,23n n a a a a a a a a n --=-=-=-=-，以上1n -个式子相加可得()()()2122112n n n a a n ---==-，解得222n a n n =-+，故220202202362a =-⨯+=.故答案为：362 【点睛】本题考查等差数列的证明、累加法求数列通项公式的问题，属于中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:14y E x -=的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在圆()()22:321C x y -+-=上运动，直线OP 与E 的右支交于M .记直线MA ，MB ，MP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k ⋅⋅的取值范围是_________.【答案】33⎡-+⎣【解析】设()00,M x y ，则0101MA y k k x ==+，0201MB y k k x ==-，再由M 在双曲线上可得214k k =，则1234OP k k k k ⋅⋅=，则当OP 与圆相切时OP k 有最值，设OP 直线方程为y kx =，利用点到线的距离公式求出k 的值，即可求出取值范围； 【详解】解：如图所示设()00,M x y ，则0101MA y k k x ==+，0201MB y k k x ==- 所以2000212000111y y y k k x x x =⋅=+--①； 又()00,M x y 在双曲线上，所以220014y x -=，所以220014y x -=②； 所以214k k = 又MP OP k k = 所以1234OP k k k k ⋅⋅=又点P 在圆()()22321x y -+-=上，当OP 与圆相切时OP k 有最值， 设OP 直线方程为y kx =，圆心()3,2到直线OP距离为1d ==，化简得281230k k -+=，解得k ==k ≤≤所以1233k k k ⎡⋅⋅∈⎣故答案为：33⎡-+⎣【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，D 为BC 中点，且90BAD ∠=︒，45CAD ∠=︒. （1）求ABAC； （2）若1AD =，求ABC 的面积. 【答案】（1）AB 2AC 2=（2）2 【解析】（1）由正弦定理可知sin sin CD ADCAC CAD⋅∠=∠，BD CD =，sin sin ADB ADC ∠=∠，化简即可得sin sin sin BD ADB ABAC CAD CAD⋅∠==∠∠ ,计算即可得出结果；（2）设AB m =，则2AC m =,根据勾股定理可求得BD ,因为BD CD =,在ACD中，利用余弦定理计算求得m ，根据面积公式计算即可得出结果. 【详解】（1）在ABD △中，90BAD ∠=︒，所以 sin AB BD ADB =⋅∠. 在ACD 中，根据正弦定理，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即sin sin CD ADCAC CAD⋅∠=∠.因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以sin sin ADB ADC ∠=∠. 因为D 是BC 中点，即BD CD =，所以sin sin BD ADBAC CAD⋅∠=∠.所以2sin sin 452AB CAD AC =∠=︒=. （2）设AB m =，则2AC m =.在ABD △中，根据勾股定理，22221BD AB AD m =+=+.在ACD 中，根据余弦定理得22222cos 221CD AC AD AC AD CAD m m =+-⋅⋅∠=-+.所以221221m m m +=-+，解得0m =（舍去），或2m =. 即2AB =，22AC =. 则1sin 2ABC S AB AD BAC =⨯⋅⋅∠△. 1222sin13522=⨯⨯︒=.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，上顶点为A ，右顶点为B .点2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 内，且直线AP 230x y -=垂直. （1）求C 的方程；（2）设过点P 的直线交C 于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆过点B .【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】(1)根据椭圆的基本量关系、直线垂直的斜率关系求解即可.(2)先分析当直线MN 的斜率为0时是否满足，再分析当直线MN 的斜率不为0时，设其方程为23x my =+，联立椭圆得出韦达定理，再计算可得0BM BN ⋅=即可证明. 【详解】（1）因为A 为椭圆2222:1x y C a b+=的上顶点，所以()0,A b ，则直线AP 的斜率3223b k b ==--. 因为AP30y -=垂直，所以312b -=-，解得b = 设C 的焦距为2c ，因为C，所以c =，.则22222a b a c =-=，所以2a ==.所以C 的方程为22142x y +=.（2）由（1）知，()2,0B .当直线MN 的斜率为0时，线段MN 即为C 的长轴，M 或N 与B 重合， 则以MN 为直径的圆过点B .当直线MN 的斜率不为0时，设其方程为23x my =+. 联立2223142x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得2223142my y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=， 整理得()224322039m m y y ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y . 则()122432m y y m +=-+，()1223292y y m =-+. 那么()()1212442233x x my my ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212122416323992m m y y y y m =-++=+， 所以()()1212220BM BN x x y y ⋅=--+=. 所以BM BN ⊥，即以MN 为直径的圆过点B . 【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量求解，同时也考查了联立直线与椭圆得出韦达定理，进而利用垂直的关系证明圆过定点的问题，属于难题.19．图1，在ABC 中，26AC BC ==，90C ∠=︒，E 为AC 中点.以BE 为折痕将BEC △折起，使点C 到达点D 的位置，且A BE D --为直二面角，F 是线段AB 上靠近A 的三等分点，连结AD ，DF ，EF ，如图2.（1）证明：BD EF ⊥；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）取BE 中点为M ，连结DM ，可得到DM ⊥平面ABE ，所以DM EF ⊥.计算2EF =，32BE =，根据勾股定理得到EF BE ⊥，故可证EF ⊥平面BDE ，从而得到BD EF ⊥.（2）过E 作//EG MD ，以E 为坐标原点，以EB ，EF ，EG 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，计算平面ADE 的法向量和直线BD 的方向向量，代入公式计算即可. 【详解】（1）设BE 中点为M ，连结DM .因为E 是AC 中点，所以3==AE DE ，又因为3BD =，所以DM BE ⊥. 因为A BE D --为直二面角，即平面BED ⊥平面ABE ， 又因为平面BED平面ABE BE =，且DM ⊂平面BDE ，所以DM ⊥平面ABE .因为EF ⊂平面ABE ，所以EF DM ⊥.在ABC 中，6AC =，3BC =，90C ∠=︒，所以35AB =，且25cos 5BAE ∠=. 因为F 是AB 上靠近A 的三等分点，所以5AF =，25BF =.在AEF 中，根据余弦定理，2222cos 2EF AF AE AF AE BAE =+-⋅⋅∠=， 即2EF =，.在Rt BDE 中，2232BE BD DE =+=，所以222EF BE BF +=，所以EF BE ⊥. 又因为BEDM M =，所以EF ⊥平面BDE .因为BD ⊂平面BDE ，所以BD EF ⊥.（2）如图，过E 作//EG MD ，则EG ⊥平面ABE .以E 为坐标原点，以EB ，EF ，EG 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -则()0,0,0E ，()32,0,0B ，()2,0F ，32,0,02M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3232,0,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故3232BD ⎛= ⎝⎭，3232ED ⎛= ⎝⎭，()0,2,0EF =，()32,2,0BF =-，那么132322EA EF FA EF BF ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ADE 的一个法向量为()000,,n x y z =.则00n ED n EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即000032320223232022x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取01x =，得01y =，01z =-，此时1,1,1n .设直线BD 与平面ADE 所成的角为α，则326sin cos ,33BD n BD n BD nα⋅====⋅， 即直线BD 与平面ADE 所成的角的正弦值为6. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断和线面角的计算，属于中档题.20．某疾病有甲、乙两种类型，对甲型患者的有效治疗只能通过注射药物Y ，而乙型患者可以服药物A 进行有效治疗，对该疾病患者可以通过药物A 的临床检验确定甲型或乙型.检验的方法是：如果患者利用药物A 完成第一个疗程有效，就可以确定是乙型；否则进行第二个疗程，如果完成第二个疗程有效，也可以确定是乙型，否则确定是甲型.为了掌握这种疾病患者中甲型、乙型所占比例，随机抽取100名患者作为样本通过药物A 进行临床检验，检验结果是：样本中完成第二个疗程有效的患者是完成第一个疗程有效的患者的60%，且最终确定为甲型患者的有36人.（1）根据检验结果，将频率视作概率，在利用药物A 完成第一个疗程无效的患者中仼选3人，求其中甲型患者恰为2人的概率；（2）该疾病的患者通过治疗，使血浆中某物质t 的浓度降低到7mmol/L 或更低时，就认为已经达到治愈指标.为了确定药物Y 对甲型患者的疗效，需了解疗程次数x （单位：次）对患者血浆中t 的浓度（单位：mmol/L ）的影响.在甲型患者中抽取一个有代表性的样本，利用药物Y 进行5个疗程，每个疗程完成后对每个个体抽取相同容量的血浆进行分析，并对疗程数i x 和每个疗程后样本血浆中t 的平均浓度()1,2,5i y i =的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw51i ii x y =∑51i ii w y =∑521ii x=∑521ii w=∑3 11.0 0.46 262.5 30.1 55 1.458上表中1i i w x =，5115i i w w ==∑.①根据散点图直接判断（不必说明理由），y a bx =+与dy c x=+哪一个适宜作为甲型患者血浆中t 的平均浓度y 关于疗程次数x 的回归方程类型？并根据表中数据建立y 关于x 的回归方程.②患者在享受基本医疗保险及政府专项补助后，自己需承担的费用z （单位：元）与x ，y 的关系为30050z y x =+.在达到治愈指标的前提下，甲型患者完成多少个疗程自己承担的费用最低？对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii i i i nni ii i u u v v u v nuvu u umu β====---==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）54125（2）①d y c x =+适宜；12ˆ 5.48yx=+②8个或9个 【解析】（1）首先求出完成第一个疗程有效的患者人数，用频率视作概率，可知完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为35，再根据二项分布的概率公式计算可得； （2）①根据散点图可以判断，dy c x=+适宜作为甲型患者血浆中t 的平均含量y 关于疗程次数x 的回归方程类型.，令1w x=，先建立y 关于w 的线性回归方程，根据所给数据求出回归方程，最后换元即可得到y 关于x 的回归方程；②依题意可得125.487x +≤，且x ∈Z ，解得8x ≥，则72501644z x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最后根据对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）设样本中完成第一个疗程有效的患者人数为n ，则3100365n n +=-，解得40n =，则完成第一个疗程无效的患者人数为60人.将频率视作概率，则利用药物A 完成第一个疗程无效的患者是甲型患者的概率为35. 在利用药物A 完成第一个疗程无效的患者中任选3人，设其中是甲型患者的人数为ξ， 则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，.所以()22333542155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以所求的概率为54125（2）①根据散点图可以判断，dy c x=+适宜作为甲型患者血浆中t 的平均含量y 关于疗程次数x 的回归方程类型. 令1w x=，先建立y 关于w 的线性回归方程. 由5152221530.150.4611ˆ121.45850.465i ii ii w y wydww ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ11120.46 5.48cy dw =-=-⨯=. 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ 5.4812yw =+， 因此y 关于x 的回归方程为12ˆ 5.48yx=+. ②当达到治愈指标时，由125.487x+≤，且x ∈Z ，解得8x ≥ 注射药物Y 治疗x 个疗程时，患者自己需承担费用为：1272300 5.4850501644z x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()72f x x x=+，易知()f x在(单调递减，在()+∞单调递增.因为89<<，且()()8917f f ==，所以甲型患者完成8个或9个疗程时，能够达到治愈指标且自己承担的费用最低； 【点睛】本题考查非线性回归分析，利用最小二乘法求回归方程，二项分布的性质的应用，属于中档题.21．已知函数()ln f x x ax =-，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()3sin 5xg x x x x =-+，当0a ≥时，判断是否存在0x 使得()()00f x g x ≥，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）不存在；见解析【解析】（1）先对函数求导，得到()1ax f x x='-，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，分别求解对应的不等式，即可得出结果； （2）先由（1）得，()max 1f x =-，推出ln 1x x ≤-，由0x >时， sin x x x ≤，得到()33455x g x x x x x ≥-+=-，分别讨论0a =，0a >两种情况，通过导数的方法研究函数的最值等，即可得出结果.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，由()ln f x x ax =-，得()11ax f x a x x-'=-=. ①若0a ≤，则当0x >时，()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；②若0a >，令()0f x '=，解得1x a =. 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<. 此时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a ≥时，不存在0x ，使得()()00f x g x ≥，证明如下：由（1）知，当1a =时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()max 11f x f ==-，故ln 1x x -≤-，即ln 1x x ≤-.因为sin 1x ≤，所以当0x >时， sin x x x ≤，故()33455x g x x x x x ≥-+=-. ①当0a =时，()ln 1f x x x =≤-再由令()()()334911055h x x x x x x x =---=-+>，则()2935h x x '=-.令()0h x '=，得5x =.当0x <<时，()0h x '<；当x >()0h x '>.所以()min 0h x h ==>⎝⎭，故3415x x x -<-，所以当0a =时，对()0,x ∀∈+∞，都有()ln x g x <.②当0a >时，对于()0,x ∈+∞，0ax >，故()()ln f x x g x <<.综合①，②，当0a ≥时，对于任意的()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.所以，当0a ≥时，不存在0x ，使得()()00f x g x ≥.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的单调性，以及导数的方法研究不等式能成立的问题，属于常考题型，难度较大.22．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x m y αα=+=⎧⎨⎩（α为参数，0m >），曲线2C 的极坐标方程为()=2sin 0n n ρθ>，点P 是1C 与2C 的一个交点，其极坐标为4π⎫⎪⎭，.设射线00:0,02l πθθρθ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭＜＜与曲线1C 相交于O ，A 两点，与曲线2C 相交于O ，B 两点.（1）求m ，n 的值；（2）求2||||OA OB +的最大值.【答案】（1）1m =；1n =（2）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点的坐标求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将曲线1C 的参数方程化成普通方程：22()1x m y -+=， P 的直角坐标为(1,1).因为P 在1C 上，所以2(1)11m -+=，解得1m =.因为P 在2C =，解得1n =.（2）曲线1C 化为极坐标方程：2cos ρθ=.设A 的极坐标为()11,ρθ，B 的极坐标为()22,ρθ，则112cos ρθ=，222sin ρθ=.因为A ，B 分别是0θθ=与1C ，2C 的交点，所以120θθθ==.所以10202cos ,2sin .ρθρθ=⎧⎨=⎩故()120002||||24cos 2sin OA OB ρρθθθϕ+=+=+=+，其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=.因为()0sin 1θϕ+，当02πθϕ=-时等号成立.所以2||||OA OB +的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23．设函数()|2|f x x x =-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.【答案】（1）{|x x <x >（2）证明见解析；【解析】（1）对x 分三类讨论去掉绝对值，解得结果再相并可得结果；（2）两边平方再作差比较可证不等式成立.【详解】（1）当x <((20x x -++++<，解得x <当3x <-((20x x ++++<， 解得x < 当3x -时，原不等式化为((20x x +-++<， 解得x >所以{|M xx =<x >.（2）欲证|3||mn m n +>+成立，只需证22(3)||)mn m n +>+成立.因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.()()2233m n =--.又由m ，n M ∈，得23m >，23n >.所以22(3)||)0mn m n +-+>，即22(3)|)mn m n +>+成立.所以|3|||mn m n +>+成立.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了比较法证明不等式，平方后再作差是解题关键，属于中档题.。

2020年福建省三明市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2.复数z1=2−i，z2=3+i，则|z1z2|=()A. 5B. 6C. 7D. 5√23.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10轮每轮罚球30个．命中个数的茎叶图如图．若10轮中甲、乙的平均水平相同，则乙的茎叶图中x的值是()A. 3B. 2C. 1D. 04.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则()A. B.C. D.5.已知函数f(x)=cosx+1，则其导函数的部分图像大致为()x2A.B.C.D.6. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 11=4，则S 13=( )A. 13B. 26C. 39D. 527. 如图所示的程序框图，若输入n =3，则输出结果是( )A. 2B. 4C. 8D. 18. 设x 0为函数f(x)=sinπx 的零点，且满足|x 0|+f (x 0+12)<33，则这样的零点有( )A. 61个B. 63个C. 65个D. 67个9. 袋中有大小相同的4个红球和6个白球，随机从袋中取1个球，取后不放回，那么恰好在第5次取完红球的概率为( )A. 1120B. 221C. 2105D. 82110. 在△ABC 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. y =2xB. y =−2xC. x =2yD. x =−2y11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左顶点C ，A 为椭圆在第一象限的点，直线OA 交椭圆于另一点B ，椭圆的左焦点为F 1，若直线AF 1交BC 于M ，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. √33 D. √2212. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M −BCD 的外接球的表面积为( )A. πB. 32πC. √64πD. √68π 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =3lnx −1x 在点(1,−1)处的切线的斜率为______． 14. (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为________．15. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．16. 对于函数y =f(x)，若存在定义域D 内某个区间[a,b]，使得y =f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]，则称函数y =f(x)在定义域D 上封闭，如果函数f(x)=kx1+x 2(k ≠0)在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足bsinB =asinA +(c −a)sinC ．(Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若3sinC =2sinA ，且△ABC 的面积为6√3，求b ．18.从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；(2)若用分层抽样的方法从分数在[30,50)和[130,150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130,150]的有几人？(3)在(2)中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在[30,50)和[130,150]各1人的概率．19.如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若SA//平面BDE，求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求AD与平面SCD所成角的正弦值．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√22，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=√2，直线l2：y=k(x−m)(m∈R,m>34)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(54,0)，若RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k无关的常数，求实数m的值．21.设函数f(x)=(x−2)e x+12ax2−ax．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a=1，当x≥0时，f(x)≥kx−2，求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数乘法运算及复数的模，属于基础题．由题意得z1z2=7−i，代入公式可得|z1z2|=5√2．解：z1z2=(2−i)(3+i)=7−i，所以|z1z2|=√72+12=5√2．故选D．3.答案：A解析：解：根据茎叶图所给的数据，做出两个组的平均命中球数，=17，甲的平均命中球数：(10+11+12+13+14+20+21+22+23+24)10(10+11+13+14+18+19+20+21+21+20+x)=17，解得x=3．乙的平均命中球数：110故选A．根据所给的茎叶图，看出甲和乙的两组数据，由已知两组数据的平均数相同，得到方程求出x．本题考查茎叶图和平均数，茎叶图体现出来的优点是可以保留原始数据，本题是一个基础题．4.答案：C解析：本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．难度不大．根据函数单调性和奇偶性的关系进行转化判断即可．解：∵20.5>1，0<ln2<1，∴20.5>ln2>0，∵f(x)在[0,+∞)上单调递减，∴f(20.5)<f(ln2)<f(0)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(20.5)<f(−ln2)<f(0)，故选：C．5.答案：B解析：本题主要考查函数图象的应用，属于基础题．先求出导函数，然后导函数的奇偶性等判断即可．解：由f(x)=cosx+1x2，得f′(x)=−sinx−2x3，所以函数f′(x)为奇函数，其图像关于坐标原点成中心对称，所以A错误；又当x>0，且x→0时，f′(x)<0，所以C错误；当x=3π2时，f′(3π2)=1−1627π3<1，比较选项B，D可知D错误．故选B．6.答案：B解析：本题考查等差数列的求和公式及性质，属基础题．由等差数列的性质可得a1+a13=4，再利用等差数列的求和公式即可求解．解：因为a3+a11=4，所以a1+a13=4，所以S13=(a1+a13)×132=4×132=26．故选B．7.答案：C解析：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： 是否继续循环S k 循环前/1 1 第一圈 是 2 2 第二圈 是 4 3 第三圈 是 8 4 第四圈 否 此时输出的S 值为8 故选C ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S =5×4的值，计算后易给出答案．本题考查的知识点是循环结构，其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键．8.答案：C解析：本题主要考查函数与方程的应用，根据三角函数的性质，求出函数的零点，利用分类讨论思想是解决本题的关键，根据函数零点的定义，先求出x 0的值，进行求出f(x 0+12)的值，然后解不等式即可． 解：∵x 0为函数f(x)=sinπx 的零点， ∴sinπx 0=0，即πx 0=kπ，k ∈Z ，则x 0=k ，则f(x 0+12)=sin(x 0+12)π =sin(πx 0+π2)=cosπx 0， 若k 是偶数，则f(x 0+12)=1， 若k 是奇数，则f(x 0+12)=−1，当k 是偶数时，则由|x 0|+f(x 0+12)<33得|x 0|<−f(x 0+12)+33， 即|k|<−1+33=32，则k =−30，−28，…28，30，共31个，当k 是奇数时，则由|x 0|+f(x 0+12)<33得|x 0|<−f(x 0+12)+33，即|k|<1+33=34，则k =−33，−31，…31，33，共34个， 故共有31+34=65个， 故选C ．9.答案：C解析：本题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题．分别求出不放回的取5次不同的取法种数和恰好在第5次取完红球的取法种数，相除即可得解．解：从10个球中不放回地取5次，不同的取法有A 105种， 恰好在第5次取完红球的取法有C 43C 61A 44种，故所求的概率为P =C 43C 61A 44A 105=2105．故选C ．10.答案：D解析：本题主要考查了平面向量的基本定理及应用，以及向量的加减运算，属于基础题． 根据题意作出图形，通过向量的运算将EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得得出x 、y 的关系． 解：如图：∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴点D 为边BC 的中点， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =23，y =−13，∴x =−2y ，故选D ． 11.答案：B解析：解：如图，设椭圆的右焦点为F 2，连结BF 2，∵A 为椭圆在第一象限的点，直线OA 交椭圆于另一点B ，∴由椭圆的对称性知A 与B 关于原点对称，∴AF 1//BF 2，即MF 1//BF 2，∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|CM|=12|MB|，∴|CF 1|=12|F 1F 2|，∴a −c =c ，即a =2c ，∴e =12． 故选：B ．设椭圆的右焦点为F 2，连结BF 2，由椭圆的对称性知A 与B 关于原点对称，由此能推导出AF 1//BF 2，从而利用已知条件能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用． 12.答案：B解析：本题考查三棱锥M −BCD 外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出三棱锥M −BCD 外接球的半径是关键．求出AG ，MG ，利用勾股定理建立方程，求出R ，即可求出三棱锥M −BCD 外接球的表面积． 解：连接BG ，四面体ABCD 中，由G 为△BCD 的重心，可得AG ⊥平面BCD ，M 是线段AG 的中点，BG =√33，AG =√AB 2−BG 2=√63， ∵M 为线段AG 的中点，∴MG =√66． 设三棱锥M −BCD 外接球的半径为R ，则R 2=(√33)2+(R −√66)2， ∴R =√64， ∴三棱锥M −BCD 外接球的表面积为4πR 2=3π2．故选：B ． 13.答案：4解析：解：曲线y =3lnx −1x 的导数为：y′=3x +1x 2，可得曲线y =3lnx −1x 在点(1,−1)处的切线的斜率为k =3+1=4，故答案为：4．求得函数的导数，由导数的几何意义，代入x =1，可得切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题． 14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r 2r x 10−3r ， 令10−3r =4，得r =2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为C 5222=40． 故答案为40．15.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72．故答案为：−72． 16.答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)解析：本题考查根据函数解析式求函数的定义域，单调性，和利用单调性求函数的值域，体现了转化和方程的思想方法，属于中档题．分类讨论，根据函数的奇偶性和单调性，即可求出k 的取值范围．解：①x =0时，f(x)=0，②由于f(x)为R 上的奇函数，不妨先讨论x >0时的性质，当x>0时，f(x)=kx1+x2=kx+1x≤k2，当k>0，易知此时f(x)的值域为(0,k2)，而f(x)为奇函数，故f(x)的值域为(−k2,k2)；观察f(x)单调性，得到f(x)为R上增函数，故此时f(x)有如下性质，即在R上单调增，且值域为(−k2,k2 )，而由封闭函数的定义可知，f(a)=a且f(b)=b，则a，b为关于x的方程kx=x(1+x2)的两个不等实根，而x≠0，故k=1+x2∈(1,+∞)，当k<0时，则−k>0，则由上讨论知，−k=1+x2∈(1,+∞)，故此时k∈(−∞,−1)，综上可知，k∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．17.答案：解：(Ⅰ)由bsinB=asinA+(c−a)sinC和正弦定理可得b2=a2+(c−a)c，∴a2+c2−b2=ac，结合余弦定理可得，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B=π3，∴S△ABC=12ac×√32=√34ac=6√3，∴ac=24．由3sinC=2sinA和正弦定理可得3c=2a．解得a=6，c=4．由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB=36+16−24=28．∴b=2√7．解析：本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简得b2=a2+(c−a)c，结合余弦定理可得角B的大小；(Ⅱ)利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积S，将已知代入得到a，c的值，再利用余弦定理列出关系式，解答得到b的值．18.答案：解：(1)由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为：0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92.…(4分)(2)样本中分数在[30,50)和[130,150]的人数分别为6人和3人，=2(人)…(8分)所以抽取的6人中分数在[130,150]的人有3×69(3)由(2)知：抽取的6人中分数在[30,50)的有4人，记为A1，A2，A3，A4分数在[130,150]的人有2人，记B1，B2，从中随机抽取2人总的情形有：(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,A4)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A2,A3)、(A2,A4)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A3,A4)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A4,B1)、(A4,B2)、(B1,B2)15种；而分数在[30,50)和[130,150]各1人的情形有(A1,B1)、(A1,B2)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A4,B1)、(A4,B2)8种…(12分)故分数在[30,50)和[130,150]各1人的概率P=815解析：(1)由频率分布直方图，能求出该校高三学生本次数学考试的平均分．(2)样本中分数在[30,50)和[130,150]的人数分别为6人和3人，由此能求出抽取的6人中分数在[130,150]的人数．(3)抽取的6人中分数在[30,50)的有4人，记为A1，A2，A3，A4，分数在[130,150]的人有2人，记B1，B2，由此利用列举法能求出分数在[30,50)和[130,150]各1人的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：解：建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，得到如下点的坐标：A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，S(0,0，2√2).(Ⅰ) 连接AC 交BD 于O ，连接OE ，∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 中点，∵SA//平面BDE ，平面SAC ∩平面BDE =OE ，∴SA//EO ，且E 为SC 的中点，∴E(1,1，√2).∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，√2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,√2)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)⋅(−1，1，√2)=0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)⋅(1，−1，√2)=0， ∴AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，BE 与DE 相交于点E ，∴AC ⊥平面BDE.(Ⅱ) 设平面SCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，∵SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，且SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，∴{2y −2√2z =0−2x =0，∴{y =√2z x =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 又AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设AD 与平面SCD 所成角为θ， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos(π−θ)=m⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63， ∴AD 与平面SCD 所成角的正弦值为√63.解析：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，连接AC 交BD 于O ，连接OE ，证明：AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，即可证明AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)求出平面SCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求AD 与平面SCD 所成角的正弦值． 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将线段垂直问题及线面夹角问题，转化为向量问题是解答的关键．20.答案：解：(1)联立x =c 和椭圆方程，解得y =±b 2a ，故2b 2a =√2， 又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立三式，解得a =√2，b =1，c =1，故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2，消y 得(1+2k 2)x 2−4mk 2x +2k 2m 2−2=0，△=16m2k4−4(1+2k 2)(2k 2m 2−2)=8(2k 2−m 2k 2+1)>0，∴x 1+x 2=4mk 21+2k 2，x 1x 2=2m 2k 2−21+2k 2，RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−54)(x 2−54)+y 1y 2=x 1x 2−54(x 1+x 2)+2516+k 2(x 1−m)(x 2−m) =(1+k 2)x 1x 2−(54+mk 2)(x 1+x 2)+2516+k 2m 2=(3m 2−5m+2)k 21+2k 2−716，又RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k 无关的常数，∴3m 2−5m +2=0， ∴m 1=1，m 2=23.∵m >34，∴m =1．当m =1时，△>0，直线l 1与椭圆C 交于两点，满足题意．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查向量数量积的坐标表示，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和化简整理的运算能力，属于中档题．(1)令x =c ，求得A ，B 的纵坐标，可得弦长|AB|，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理，可得k 的系数为0，解方程，即可得到所求m 的值．21.答案：解：(1)∵x ∈R ，f′(x)=(x −1)(e x +a)，当a ≥0时，x ∈(−∞,1)，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(−∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当a <0时，令f′(x)=0，得x =1，x =ln(−a)，①当a <−e 时，x ∈(−∞,1)，f′(x)>0；当x ∈(1,lnn(−a))时，f′(x)<0；当x ∈(ln(−a),+∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(−∞,1)，(ln(−a),+∞)单调递增，在(1,ln(−a))单调递减；②当a =−e 时，f′(x)≥0，所以f(x)在R 单调递增；③当−e <a <0时，x ∈(−∞,ln(−a))，f′(x)>0；当x ∈(ln(−a),1)时，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(−∞,ln(−a))，(1,+∞)单调递增，在(ln(−a),1)单调递减；(2)令g(x)=f(x)−kx +2=(x −2)e x +12x 2−x −kx +2，有g′(x)=(x −1)e x +x −1−k ，令ℎ(x)=(x −1)e x +x −1−k ，有ℎ′(x)=xe x +1，当x ≥0时，ℎ′(x)=xe x +1>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=−2−k ，即g′(x)≥−2−k ，①当−2−k ≥0即k ≤−2时，g′(x)≥0，g(x)在(0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=0，不等式f(x)≥kx −2恒成立②当−2−k <0即k >−2时，g′(x)=0有一个解，设为x 0根，所以有x ∈(0,x 0)，g′(x)<0，g(x)调递减；当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0；g(x)单调递增，所以有g(x 0)<g(0)=0，故当x ≥0时，f(x)≥kx −2不恒成立；综上所述，k 的取值范围是(−∞,−2]．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)令g(x)=f(x)−kx +2，求出函数的导数，通过讨论k 的范围结合函数的单调性确定k 的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0．法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0，∴方程(∗)有两个不等的实数解．∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内，∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12． 解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)因为a 2+b 2⩾2ab,b 2+c 2⩾2bc,c 2+a 2⩾2ac ，又abc =1，故有a 2+b 2+c 2⩾ab +bc +ca =ab+bc+ca abc =1a +1b +1c ． 所以1a +1b +1c ⩽a 2+b 2+c 2．(2)由基本不等式得到：a +b ⩾2√ab ⇒(a +b)3⩾8(ab)32，b +c ⩾2√bc ⇒(b +c)3⩾8(bc)32，c +a ⩾2√ac ⇒(c +a)3⩾8(ac)32．因为为正数且abc =1得到(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3⩾8[(ab)32+(bc)32+(ac)32]⩾8×3√(ab)32(bc)32(ca)323=24解析：本题主要考查均值不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用均值不等式，结合abc =1，即可证明结论．。

福建省三明市高中毕业班质量检查理科数学试卷（5月）理 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时刻120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清晰．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破旧，考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“21,1x x ∀>>”的否定是A. 21,1x x ∀>≤B. 21,1x x ∀<≤ C. 2001,1x x ∃>≤ D. 2001,1x x ∃<≤2．已知复数(3i 1)i z =-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 是A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，48a =，则5S 等于 A ．16 B. 31 C. 32 D.63 4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是 A ．该框图只含有顺序结构、条件结构 B ．该框图只含有顺序结构、循环结构 C ．该框图只含有条件结构、循环结构D ．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构5．函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π46．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A ．B ．CD7．已知函数e e ()ln 2x xf x --=，则()f x 是A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．在ABC ∆中，“AB AC BA BC ⋅=⋅”是“||||AC BC =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9．过双曲线12222=-by a x (0a >，0)b >的左焦点F 作圆O : 222a y x =+的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若120=∠ACB ,则双曲线的渐近线方程为A ． x y 3±=B ． x y 33±=C ． x y 2±=D ． x y 22±= 10．关于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳固点”.假如函数2()()f x x a a =+∈R 的“稳固点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范畴是 A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ． 31(,]44-D ．31[,]44-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置． 11．已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-= ．12．若抛物线24y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标为 ．13．在二项式(x －21x )6的展开式中, 常数项是＿＿＿． 14．由直线12x =，2x =，曲线1y x=及x 轴所围成的图形的面积是＿＿＿．15．已知函数1122()sin()sin()sin()k k f x a x a x a x ωϕωϕωϕ=++++++，（i a ∈R ，1,2,3,)i k =.若22(0)()02f f πω+≠,且函数()f x 的图像关于点(,0)2π对称，并在x π=处取得最小值，则正实数ω的值构成的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分) 如图，在几何体ABCDE 中，⊥BE 平面ABC ，BE CD //，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠ABC ，且1,2===CD AB BE ，点F 是AE 的中点． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABC ；（Ⅱ）求AB 与平面BDF 所成角的正弦值． 17．(本小题满分13分)今年我国部分省市显现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其阻碍生意冷清．A 市虽未发觉H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率； （Ⅱ）从该市市民中随机抽取X 位，若连续．．抽取．．到两位．．．情愿购买本地家禽的市民，或 抽取的人数达到4位，则停止抽取，求X 的分布列及数学期望．18．(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，且椭圆Γ的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）如图，设直线:2m y x =与椭圆Γ交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），且 直线m 与定直线2x =交于点D ，过D 作直线//DC AF 交x 轴于点C ，试 判定直线AC 与椭圆Γ的公共点个数．19．(本小题满分13分)某企业有两个生产车间，分别位于边长是1km 的等边三角形ABC 的顶点A B 、处（如图），现要在边AC 上的D 点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返A 车间5次，往返B 车间20次，设叉车每天往返的总路程为s km .（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）(Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：BACD①设AD 长为x ，将s 表示成x 的函数关系式； ②设ADB θ∠=，将s 表示成θ的函数关系式.(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 s 的最小值，并指出点D 的位置． 20．(本小题满分14分)已知函数3()32()f x x ax a =-+∈R ． (Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ）当0a =时，在曲线()y f x =上是否存在两点112212(,),(,) ()A x y B x y x x ≠，使得曲线在, A B 两点处的切线均与直线2x =交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范畴；若不存在，请说明理由；(Ⅲ）若()f x 在区间(2,2)-存在最大值0()f x ，试构造一个函数()h x ，使得()h x 同时满足以下三个条件：①定义域{2|->=x x D ，且}42,x k k ≠-∈N ；②当(2,2)x ∈-时，()()h x f x =；③在D 中使()h x 取得最大值0()f x 时的x 值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数()h x 即可）21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．假如多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵2002M ⎫= ⎝，绕原点逆时针旋转4π的变换所对应的矩阵为N ．（Ⅰ）求矩阵N ；（Ⅱ）若曲线C ：1=xy 在矩阵MN 对应变换作用下得到曲线C '，求曲线'C 的方程． （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=，直线l 的参数方程为cos ,(1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，πα<≤0）． （Ⅰ）化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 通过点)0,1(，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数2214()(11,0)1f x x x x x =+-<<≠-且． （Ⅰ）求)(x f 的最小值；（Ⅱ）若)(1x f t ≤+恒成立，求实数t 的取值范畴.2020年三明市一般高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C ． 9．A 10.D 二．填空题：11．0.2； 12．3； 13．15； 14．2ln 2； 15．*{|21,}n n ωω=-∈N ． 三、解答题：16．解法一：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结FG CG ,，则BE FG //，且BE FG 21=，……………2分 又CD BE //，∴CD FG //且CD FG =， 因此四边形FGCD 是平行四边形，则CG DF //， ………………5分 又因为⊂CG 平面ABC ，⊄DF 平面ABC ， 因此//DF 平面ABC ． …………………6分（Ⅱ）依题得，以点B 为原点，BE BC BA ,,所在的直线分别为z y x ,,轴，建立如图的空间直角坐标系，则)0,0,0(B ，)0,0,2(A ，)0,2,0(C ，)1,2,0(D ，)2,0,0(E ，)1,0,1(F ， 因此)1,2,0(=BD ，)0,2,1(-=DF ． 设平面BDF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则20,20,BD y z DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 即⎩⎨⎧-==y z y x 22，取1=y ，得，(2,1,2)=-n ． ………………10分 又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，(2,0,0)BA =， 则42sin cos ,39BA BA BAθ⋅+=<>===⋅n n n ，故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为32．…………………………………13分解法二：（Ⅰ）取BE 的中点M ，连结MF MD ,，则AB MF BC MD //,//，又因为⊂BC 平面ABC ，⊄MD 平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，⊄MF 平面ABC ，因此//MD 平面ABC ，//MF 平面ABC ， 又M MF MD = ，因此平面//MDF 平面ABC ，⊂DF 平面ABC ，∴//DF 平面ABC ．……………6分（Ⅱ）同解法一． …………………………………13分17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为15， 从而任意抽取一位市民可不能购买本地家禽的概率为45． 设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件A ，则346461()1()15125125P A =-=-=， 故至少有一位市民会购买本地家禽的概率61125．…………………………6分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为：2，3，4．111(2)5525P X ==⨯=，4114(3)555125P X ==⨯⨯=，14116(4)125125125P X ==--=，()23425125125E X =⨯+⨯+⨯125=． …………………………13分 18．解：（Ⅰ）设(,0)F c ，易知1c =，又2c a =，得a =2221ba c =-=． 故椭圆Γ的标准方程为2212x y +=．……………4分 （Ⅱ）联立222,22,y x x y =⎧⎨+=⎩得229x =，A 的坐标为33．故2(1,33FA =-．依题意可得点D 的坐标为(2,4)．设C 的坐标为(,0)m ， 故CD =(2,4)m -．因为//FA CD，因此1)4(2)0m ⨯--=，解得m = 因此直线AC的斜率为014ACk -==-， …………………………8分 从而得直线AC的方程为：1(4y x =--，代入2222x y +=，得221(18)28x x +-+=，即2920x -+=，知72720∆=-=，故直线AC 与椭圆Γ有且仅有一个公共点． …………………………13分 19．解：(Ⅰ）①在ABC ∆中，1AB =，AD x =，3BAD π∠=，由余弦定理，2221121102BD x x x x =+-⋅⋅=-+>，因此101)s x x =+≤≤．………………3分 ②在ABC ∆中，1AB =，3BAD π∠=，ADB θ∠=，23ABD πθ∠=-. 由正弦定理，12sin sin()sin33AD BDππθθ==-，得2sin()13sin 2AD πθθ-==，2sin BD θ=，则110()402sin 22sin s θθθ=++⨯cos )2 = 5 ()sin 33θππθθ++≤≤． …………6分(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式，25 ()33s ππθ+≤≤，22sin (cos 4)cos 3sin s θθθθ--+'==，BACD由0s '=得，1cos 4θ=-，记11cos 4θ=-，12 ()33ππθ≤≤ 则当1(,)3πθθ∈时，1cos 4θ>-，0s '<；当12(,)3πθθ∈时，1cos 4θ<-，0s '>；因此当1cos 4θ=-，时，总路程s最小值为现在sin θ=，13()1542101524AD -=+=，答：当5km 10AD =时，总路程s 最小,最小值为km ． ……………………13分 20．解：（Ⅰ）依题可得 2()33f x x a '=-，当0a ≤时，()0fx '≥恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()3(0f x x x'=-+>，解得x <x >()f x 单调递增区间为(,-∞和)+∞．……………………………4分 （Ⅱ）设切线与直线2x =的公共点为(2,)P t ，当0a =时，2()3f x x '=，则211()3f x x '=，因此以点A 为切点的切线方程为3211123()y x x x x --=-． 因为点(2,)P t 在切线上，因此3211123(2)t x x x --=-，即32112620x x t -+-=． 同理可得方程32222620x x t -+-=. ……………………………6分设32()262g x x x t =-+-，则原问题等价于函数()g x 至少有两个不同的零点. 因为2()6126(2)g x x x x x '=-=-，当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减． 因此，()g x 在0x =处取极大值(0)2g t =-，在2x =处取极小值(2)10g t =-．若要满足()g x 至少有两个不同的零点，则需满足20,100,t t -≥⎧⎨-≤⎩解得210t ≤≤．故存在，且交点纵坐标的取值范畴为[2,10]． …………………………………10分 (Ⅲ）由(Ⅰ）知，20-<<，即04a <<． ………………………………11分 本题答案不唯独，以下几个答案供参考：①3()(4)3(4)2,(42,42)()h x x k a x k x k k k =---+∈-+∈N ，其中04a <<；②()22,()(2)242,(),f x x h x h x x x k k -<<⎧=⎨->≠-∈⎩且*N 其中04a <<；③()22,()(4,(),024,();f x x h x f x k k x x k k -<<⎧⎪==∈⎨⎪>≠∈⎩且**N N 其中04a <<． ………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换解：（Ⅰ）由已知得，矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222222224cos 4sin 4sin4cos ππππN ． ………………3分 （Ⅱ）矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111MN ，它所对应的变换为,,x x y y x y '=-⎧⎨'=+⎩解得,2.2x y x y x y ''+⎧=⎪⎪⎨''-⎪=⎪⎩把它代人方程1=xy 整理，得4)()(22='-'x y ，即通过矩阵MN 变换后的曲线C '方程为422=-x y . ……………………7分 （注：先运算1()MN -，再求曲线C '方程，可相应酌情给分） （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程解法一：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2=得，θρθρcos 4sin 22=，即曲线C 的直角坐标方程为x y 42=． ………………………………3分 （Ⅱ）由直线l 通过点)0,1(，得直线l 的直角坐标方程是01=-+y x ，联立⎩⎨⎧==-+xy y x 4012，消去y ，得0162=+-x x ，又点)0,1(是抛物线的焦点， 由抛物线定义，得弦长8262=+=++=B A x x AB ． ……………………7分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分（Ⅱ）由直线l 通过点)0,1(，得1tan -=α，直线l的参数方程为,1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩将直线l 的参数方程代入x y 42=，得02262=++t t ，因此()88264)(22=-=-+=-=B A B A B A t t t t t t AB ． ……………………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为11<<-x ，且0x ≠，因此210x ->，由柯西不等式22141)(x x x f -+=)141()]1([2222x x x x -+⋅-+=9]1211[222=-⋅-+⋅≥x x x x ， 当且仅当221211x x xx--=，即33±=x 时取等号， ∴)(x f 的最小值为9． ……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为9，由题意可得91≤+t ，∴810≤≤-t ，则实数t 的取值范畴为[10,8]-． ……………………………7分。

福建省三明市2020届高三上学期期末质量检测考试数学（理）试卷一、选择题1.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22.设i 是虚数单位，则复数2i 1i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，则21log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．43B ．83C ．4D ．85.函数π3sin 216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程是（ ）A ．π12x =B ．π6x =C ．π3x =D ．π2x =6.已知向量,a b 满足1a =，2b =，35a b +=，则,a b 的夹角为（ ） A ．4πB ．π3C ．2π3D ．3π47.若在如图所示的程序框图中输入3n =，则输出的i 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68.下列函数中，同时满足条件“①奇函数；②值域为R ；③图象经过第四象限”的是（ ） A ．1y x x =+B ．x x y e e -=+C ．1y x x=-D ．x x y e e -=-9.已知数列{}n a 满足12n n a a ++=，且205a =，则19a a +的值为（ ） A ．6-B ．3-C ．3D ．1010.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于,A B ，点M 在线段AB 上，点C 在OM 的延长线上，且2MC OM =.则ABC △面积的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且其图象关于点()2,0-对称，则关于x 的不等式()()23120f x f x -+-≥的解集为（ ）A ．[)4,-+∞B ．[]4,2-C ．[]2,4-D ．(],2-∞12.已知三棱锥A BCD -外接球的表面积为8π，AB AC BD CD ===，2BC AD =，直线AD 与平面BCD 所成角为π3，则AB 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13.曲线32y x x =-在点()1,1-处的切线方程是__________.14.已知实数,x y 满足约束条件20400x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为___________.15.已知直线l 过原点且倾斜角为θ，其中ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(),P x y 在l 上，且满足条件()2233100x y xy xy +=≠，则cos θ的值等于______________.16.已知F 是双曲线C 的一个焦点，P 是C 上的点，线段PF 交以C 的实轴为直径的圆于,A B 两点，且,A B 是线段PF 的三等分点，则C 的离心率为___________. 三、解答题17.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，24682a a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图1，在四边形ABCD 中，//AB CD ，122AB BC AD CD ====，P 为CD 中点，将ADP△沿AP 折到ASP △的位置，连结SB ，SC ，如图2.（1）求证：SB AP ⊥；（2）若SB ，求平面SAP 与平面SBC 所成锐二面角的大小.19.某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形，设顶点为,,A B C ，已知2AB AC =，且4BC =（单位：m ）.（1）若1cos 4C =，求ABC △的周长； （2）根据某客户需求，ABC △的面积至少为26m .请问该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户需求？说明理由.20.已知M 是圆22:4O x y +=上的动点，设M 在x 轴上的射影为H ，动点N 满足12HN HM =，N 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）圆O 及曲线E 与y 轴的四个交点，自上而下记为,,,A B C D ，直线AM ，DM 与x 轴分别交于,P Q （,P Q 为相异两点），直线BP 与E 的另一个交点为T ，求证：,,C Q T 三点共线. 21.已知函数()2ln 22f x x x x k =--+，k ∈R .（1）证明：()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； （2）若存在[],a b ⎫⊆+∞⎪⎭，使得()f x 与()g x kx =在[],a b 的值域相同，求实数k 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为2cos 3ρρθ=+. （1）求C 的直角坐标方程; （2）求l 被C 截得的线段长. 23.已知正数,,x y z 满足2224y x z ++=. （1）证明：x y +≤ （2）若112x y+=，求z 的最大值.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：A 解析：3.答案：B 解析：4.答案：C 解析：5.答案：C 解析：6.答案：D 解析：7.答案：B 解析：8.答案：C解析： 9.答案：A 解析： 10.答案：A 解析： 11.答案：B 解析： 12.答案：B 解析：13.答案：20x y --= 解析： 14.答案：10 解析：15. 解析：16. 解析：17.答案：（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >24682a a a += 3511182a q a q a q ∴+=，又12a = 2482q q ∴+=解得：24q = 2q ∴= 112n n n a a q -∴==，n *∈N （2）由（1）知：22n n b n =+()()()()12322242622n n T n ∴=++++++⋅⋅⋅++()()12322222462n n =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()222212n n n +=-+1222n n n +=++-.∴数列{}n b 的前n 项和为122+2n n T n n +=+-，n *∈N解析：18.答案：（1）在四边形ABCD 中连接BP ，在四棱锥S ABCP -中连接BP .如图，在四边形ABCD 中，因为//,AB CP AB CP =，故四边形ABCP 为平行四边形， 又AB BC =，所以四边形ABCP 为菱形，同理四边形ABPD 为菱形， 故AP BC =，所以AB AP DP ==，故APD ∆为等边三角形， 所以APB ∆也为等边三角形.在四棱锥S ABCP -中，取AP 的中点M ，连接,SM BM . 因为M 为AP 的中点，所以SM AP ⊥，同理BM AP ⊥，因为SM BM M ⋂=，所以AP ⊥平面SMB ，因SB ⊂平面SMB ，故SB AP ⊥. （2）设平面SAP ⋂平面SBC l =，由（1）可知//BC AP ，而BC ⊄平面SAP ，AP ⊂平面SAP ，所以//BC 平面SAP . 又BC ⊂平面SBC ，所以//BC l ，故//AP l .由（1）得SB l ⊥，SM l ⊥，故BSM ∠为二面角M l B --的平面角. 因为ASP ∆为等边三角形且2AS =，故SM ，同理BM =因为SB =，所以cosMSB ∠， 因为[]0,MSB π∠∈，故6MSB π∠=.所以平面SAP 与平面SBC 所成锐二面角的值为6π.解析：19.答案：（1）因为1cos 4C =，所以222124AB AC BC AC BC =+-⨯⨯，所以232160AC AC +-=，故2AC =，所以4AB =，三角形的周长为10. （2）设AC x =，则2AB x =，由余弦定理得222516516cos 224x x A x x x--==⨯⨯，因为()0,A π∈，所以sin A =故122ABCSx x ∆=⨯⨯=323=≤，当且仅当x =时，等号成立. 因为3263>，故该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求.解析：20.答案：（1）设(),N x y ，则(),2M x y ，所以2244x y +=，故N 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，它是焦点在x 轴上的椭圆. （2）设()(),20,1M m n m n ≠≠±，则22:2n AP y x m -=+，故,01m P n ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理,01m Q n ⎛⎫⎪+⎝⎭. 设(),0P p （1mp n=-），则1:1BP y x p =-+，由221144y x px y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可得224810x x p p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故284T p x p =+，所以2244T p y p -=+. 又,11m CQ n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，而22282,44p p CT p p ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，要证,,C Q T 三点共线，即证：22228144m p pn p p ⨯=+++， 也就是即证：41m n p =+，即证：()411n m n m-=+，即证：()2241m n =-①.因为(),2M m n 在圆O 上，故2244m n +=即()2241m n =-，所以①成立. 故,,C Q T 三点共线.解析：21.答案：（1）因为()2ln 22f x x x x k =--+，故0x >且()21ln f x x x '=--， 令()21ln h x x x =--，故()1212x h x x x-'=-=. 当12x >时，()0h x '>，故()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()min 1ln 202h x h ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故12x ∀>，()0f x '>，故()f x 为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的增函数.（212>，故()f x 在⎫+∞⎪⎭为增函数， 故()f x 在[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦.当0k >时，()g x 的值域为[],ka kb ，故()()ka f a kb f b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()f x kx =在⎫+∞⎪⎭有两个不同的解,a b .令()()2ln 22g x f x kx x x x kx k =-=---+，故()g x 在⎫+∞⎪⎭有两个不同的零点.又()()21ln g x x x k h x k '=---=-， 当102k <-时，()102g x h k k '>---≥，故()g x 为⎫+∞⎪⎭上的单调增函数，故()g x 在⎫+∞⎪⎭最多有一个解，舍去.当12k >-时，0g h k '=-<. 取2n k=+>()()3ln 2g n k k '=+-+，令()()3ln 2u k k k =+-+，则()111022k u k k k +'=-=>++， 故()u k 在()0,+∞为增函数， 故()3ln 20u k >->，故()0g x '=在⎫+∞⎪⎭有且只有一个实数解0x x =02x k <<+. 当0x x ⎫∈⎪⎭，()0g x '<，故()g x 在0x ⎫⎪⎭为减函数；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在()0,x +∞为增函数；故()()200000min ln 22g x g x x x x kx k ==--++.又0021ln 0x x k ---=，所以()2000min 342ln g x x x x =--++因为()g x 在⎫+∞⎪⎭有两个不同的零点，故()min 0g x <即2000342ln 0x x x --++<.令()2342ln w x x x x =--++，其中x>，故()()()2120x x w xx-+'=-<，故()w x 在⎫+∞⎪⎭上为减函数， 故不等式()()001w x w <=的解为01x >， 所以0021ln 1k x x =-->.令()2222x t x kx k =--+及()ln 2x s x x =-， 因为()t x 为开口向上的二次函数，故存在10M x >，使得当任意1x M >时，总有()0t x >， 而()202x s x x-'=>，故()s x 在()2,+∞上为增函数，当对任意的{}01max ,,2x x M >时，总有()()0,0t x s x >> ， 因为()()()g x t x xs x =+，故当{}01max ,,2x x M >，()0g x >， 根据零点存在定理，()g x 在()0,x +∞上有且只有一个零点.因为()g x 在⎫+∞⎪⎭有两个不同的零点，故0g >，所以1220k e +--+>即k <10=>1>，所以1k <<当0k ≤时，()g x 在[],a b 上始终满足()0g x ≤，由（1）可知()f x 在⎫+∞⎪⎭为增函数，故()1220f x f k e >=+-+>， 不符合题设要求，舍去.综上，1k <<. 解析：22.答案：（1）2x ρ=cos x ρθ=∴由2cos 3ρρθ=+得：3x +化简得C 的直角坐标方程为：2234690x y x +--= （2）由直线l 的参数方程得其普通方程为：y =由2234690x y x y ⎧+--=⎪⎨=⎪⎩消去y 得：25230x x --= 设l 与C 的交点为()11,M x y ，()22,N x y 则1225x x +=，1235x x =-则l 被C 截得的线段1625MN =解析： 23.答案：（1）2224y z x ++= 22244x y z ∴+=-≤222x y xy +≥()()22222228x y x y xy x y ∴+=++≤+≤（当且仅当x y =时取等号）x y ∴+≤（2）112x y +=，即2114x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()222221114x y x y x y ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭21224xy ⎛≥⨯⋅= ⎝（当且仅当x y =时取等号） 2224z x y -=+ 242z ∴-≥，即22z ≤ z ∴此时1122x y x +== 1x y ∴==当1x y ==时，z。