高数、概率论复习重点

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

二、矩估计法
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。

概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。

-频率和概率的关系，概率的基本性质。

-古典概型和几何概型的概念。

-条件概率和乘法定理。

-全概率公式和贝叶斯公式。

-随机变量和概率分布函数的概念。

-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。

2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。

-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。

-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。

3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。

-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。

4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。

-样本统计量和抽样分布的概念。

-点估计和区间估计的概念。

-假设检验的基本思想和步骤。

-正态总体的参数的假设检验和区间估计。

5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。

-矩估计的原理和方法。

-最小二乘估计的原理和方法。

-一般参数的假设检验和区间估计。

6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。

-回归分析的一般原理。

-简单线性回归的估计和检验。

7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。

-秩相关系数的计算和检验。

8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。

-正态总体参数的拟合优度检验。

-贝叶斯估计的基本思想和方法。

9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。

-时间序列预测的方法和模型。

-质量控制的基本概念和控制图的应用。

以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。

考研数学概率论复习重要知识点一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小，用于量化不确定性。

而随机事件是指在一次试验中，不能事先确定出现的结果。

概率的数学定义：对于任意事件A，P(A)表示事件A发生的可能性大小，0 ≤P(A)≤ 1。

同时，P(Ω) = 1，其中Ω是样本空间。

二、加法公式概率公式若A1和A2是两个互不相容的事件，则有：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$容斥原理当两个事件不互不相容时，可以用容斥原理求出其概率：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \\cap A_2)$其中，$P(A_1 \\cap A_2)$ 表示事件A1和A2同时发生的概率。

三、条件概率条件概率是指已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

条件概率的公式：$P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$其中，$P(A \\cap B)$ 表示事件A和B同时发生的概率。

四、乘法公式用乘法公式计算两个事件的概率，即：$P(A \\cap B) = P(A|B)P(B)$五、独立事件若事件A和事件B满足以下条件，则称它们是独立的：$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果在样本空间Ω中，有一个有限或无限个互不相交的事件序列B1,B2,…,B n，且对Ω的任意一个子集A有：$A = (A \\cap B_1) \\cup (A \\cap B_2) \\cup \\cdots \\cup (A \\cap B_n)$则称事件序列B1,B2,…,B n是一组划分，其全概率公式为：$P(A) = P(A \\cap B_1) + P(A \\cap B_2) + \\cdots + P(A \\cap B_n)$贝叶斯公式如果事件B1,B2,…,B n是一组划分，并对每个$i=1,2,\\cdots,n$，有P(B i)>0，则贝叶斯公式为：$P(B_i|A) = \\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$其中，P(B i|A)表示在事件A发生的条件下，事件B i发生的概率。

2023年高考数学基础概率论基础知识点清单概率论是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中的必考知识点之一。

掌握概率论的基础知识对于顺利应对高考数学考试至关重要。

下面是2023年高考数学基础概率论基础知识点的清单，供各位考生复习参考：1. 随机实验与样本空间随机实验是指在相同条件下可以重复进行，但结果不确定的实验。

样本空间是指随机实验所有可能结果的集合。

2. 随机事件与事件的概率随机事件是指随机实验的某个结果或一组结果的集合。

事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

概率的范围在0到1之间。

3. 频率与概率的关系频率指的是在重复进行相同随机实验时，某一事件出现的次数与总实验次数的比值。

当实验次数趋于无穷大时，频率趋于概率。

4. 古典概型古典概型是指在随机实验中，样本空间的元素个数有限且等可能出现的情况。

例如，投掷一个均匀骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，每个元素的概率为1/6。

5. 事件的运算事件的运算包括事件的和、事件的积、事件的差、事件的对立等。

对立事件指的是与某一事件互不相容的事件，其概率之和为1。

6. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A)为事件A的概率，P(A∩B)为事件A与事件B同时发生的概率。

7. 独立事件独立事件指的是两个事件之间互不影响，一个事件的发生不会对另一个事件的概率产生影响。

对于独立事件，P(A∩B) = P(A) × P(B)。

8. 贝叶斯定理贝叶斯定理是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

贝叶斯定理的计算公式为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(A)为事件A的概率，P(B|A)为事件A的条件概率。

9. 排列组合与概率排列组合是概率论中经常用到的方法之一。

排列是指从n个元素中取出m个元素并按照一定顺序排列的方式。

考研数学概率论重要考点总结概率论是考研数学中的重要考点之一。

下面是概率论中的一些重要考点总结。

一、概率基本概念1. 随机试验与样本空间2. 事件与事件的关系3. 概率的定义、性质和运算法则4. 条件概率及其性质二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念及其分类2. 离散型随机变量与连续型随机变量3. 随机变量的分布函数和密度函数4. 两个随机变量的独立性5. 随机变量的函数及其分布三、数学期望与方差1. 数学期望的概念及其性质2. 数学期望的计算3. 方差的概念及其性质4. 方差的计算5. 协方差和相关系数四、大数定律与中心极限定理1. 大数定律的概念及其性质2. 切比雪夫不等式3. 中心极限定理的概念及其性质4. 泊松定理5. 极限定理的应用五、随机变量的常见分布1. 二项分布、泊松分布2. 均匀分布、指数分布3. 正态分布4. 伽马分布、贝塔分布5. t分布、F分布、卡方分布六、矩母函数与特征函数1. 矩母函数的概念及性质2. 矩母函数的计算3. 特征函数的概念及性质4. 特征函数的计算5. 中心极限定理的特征函数证明七、样本与抽样分布1. 随机样本的概念及其性质2. 样本统计量的概念及其性质3. 样本均值和样本方差4. 正态总体抽样分布5. t分布，x^2分布，F分布的定义及其应用八、参数估计与假设检验1. 点估计的概念及性质2. 极大似然估计3. 置信区间的概念及计算4. 参数假设检验的概念及流程5. 正态总体均值的假设检验九、回归与方差分析1. 回归分析的概念及方法2. 多元回归模型、回归模型的检验3. 方差分析的概念及方法4. 单因素方差分析、双因素方差分析以上是概率论中的一些重要考点总结。

在备考过程中，需要对这些知识点有一定的掌握，并进行大量的练习和习题训练，只有充分理解和掌握这些知识，并能运用到实际问题中，才能在考试中取得好成绩。

概率论高数知识点总结大全1.概率的基本定义概率是指其中一事件在所有可能事件中出现的可能性大小。

事件的概率通常用P(A)表示，其中A为其中一事件。

概率的取值范围是0到1之间，概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件必定发生。

2.随机变量随机变量是指在随机现象中所能观测到的数值。

它有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值是一个区间。

3.概率分布概率分布是指随机变量取值的可能性及其对应的概率。

对于离散型随机变量，概率分布通常用概率质量函数（probability mass function）表示；对于连续型随机变量，概率分布通常用概率密度函数（probability density function）表示。

4.期望值期望值是随机变量的平均值，它表示了其中一事件发生的长期平均情况。

对于离散型随机变量，期望值的计算公式为E(X) = Σx P(X=x)；对于连续型随机变量，期望值的计算公式为E(X) = ∫x f(x) dx，其中f(x)是概率密度函数。

5.方差和标准差方差是随机变量分布与其期望值之间的差异程度，它的计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]。

标准差是方差的平方根，它度量了随机变量的变异程度。

6.协方差和相关系数协方差用于度量两个随机变量之间的线性相关程度，它的计算公式为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

相关系数是协方差的标准化形式，它的计算公式为ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差。

7.常见概率分布常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

8.大数定律和中心极限定理大数定律表明，随着样本规模的增大，样本平均值趋近于总体平均值；中心极限定理表明，当样本规模足够大时，样本平均值的分布接近于正态分布。

的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
∞
∞
∩ Ai = ∪ Ai
德摩根率： i=1
i=1
A∪B = A∩B， A∩B = A∪ B
（7）概率 的公理化 定义
设 Ω 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 Ω 表示。
一个事件就是由 Ω 中的部分点（基本事件ω ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 Ω 的子集。 Ω 为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( A) = L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L(Ω)
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i = 1 ， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i = 1， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

高数大一概率知识点总结大一高等数学概率知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。

作为大一学生，掌握一些基本的概率知识对于解决实际问题和在后续学习中打下坚实的数学基础非常重要。

本文将为大家总结一些大一概率论的基本知识点。

一、基本概念1. 随机实验：具有明确的实验过程，但结果具有不确定性的实验。

2. 样本空间：随机实验中所有可能结果的集合，用S表示。

3. 事件：样本空间中的子集，表示随机实验的某种结果。

4. 频率与概率：频率是指某个事件发生的次数与实验重复次数的比值；概率是指某个事件在无限次重复实验中发生的可能性。

二、概率的运算1. 事件的补事件：对于事件A，补事件是指在样本空间中所有不属于事件A的结果构成的事件，记为A'。

2. 事件的并、交与差：事件A和事件B的并集表示同时包含A 和B的事件，记为A∪B；事件A和事件B的交集表示同时发生A和B的事件，记为A∩B；事件A和事件B的差集表示发生A但不发生B的事件，记为A-B。

3. 条件概率：事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率，记为P(B|A)。

计算方法为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

4. 乘法定理：对于两个事件A和B，乘法定理表示P(A∩B) =P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)。

三、重要的概率分布1. 二项分布：二项分布是指在n次独立重复实验中，事件A发生k次的概率分布。

二项分布的概率公式为P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。

2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间单位内，事件发生的平均次数为λ，且事件之间相互独立的概率分布。

泊松分布的概率公式为P(X=k) = (e^-λ × λ^k) / k!，其中e表示自然对数的底数。

考研数学概率论重点整理概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。

考研数学中的概率论是一个重要的考点，在准备考试时需要重点整理和复习。

本文将从概率的基本概念、常见的概率分布以及概率计算方法等方面进行重点整理，帮助考生更好地复习概率论知识。

一、概率的基本概念1.随机试验和样本空间随机试验是指在相同的条件下可以重复进行的实验，其结果不确定。

样本空间是随机试验的所有可能结果构成的集合。

2.随机事件和事件的概率随机事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的某种结果。

事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。

3.频率与概率的关系频率是指随机事件在大量重复试验中出现的次数与总试验次数的比值。

当试验次数趋于无穷时，频率趋近于概率。

二、常见的概率分布1.离散型随机变量离散型随机变量是只取有限或可列无限个数值的随机变量，其概率分布可以用概率函数或概率分布列表示。

常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。

2.连续型随机变量连续型随机变量是取值范围为一段连续区间的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数表示。

常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。

三、概率计算方法1.加法定理与乘法定理加法定理适用于求两个事件的并、或概率。

乘法定理适用于求两个事件的交概率。

2.条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

贝叶斯定理是由条件概率推导出来的计算公式，用于计算两个事件之间的概率关系。

3.独立性和互斥性独立事件是指两个事件之间相互不影响的事件，其概率计算有简化的特点。

互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。

四、重点题型解析1.题型一：概率计算题概率计算题是考试中的常见题型，主要涉及到加法定理、乘法定理、条件概率等知识点的应用。

解答此类题目时，需要准确理解题目要求，运用相应的概率计算方法进行计算。

2.题型二：随机变量的分布函数与密度函数求解此类题目主要考察对于离散型随机变量和连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的求解能力。

大学数学概率论各章节重要考点大学数学概率论各章节重要考点导语：概率与数理统计这门课程从试卷本身的难度的话，在三门课程中应该算最低的，但是从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的。

下面就由小编为大家带来大学大学数学概率论各章节重要考点，大家一起去看看怎么做吧！一、概率与数理统计学科的特点(1)研究对象是随机现象高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。

对于不确定的，大家感觉比较头疼。

(2)题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些比如概率的解答题主要考查二维离散型随机变量、二维连续型随机变量、随机变量函数的分布和参数的矩估计、最大似然估计。

考生只要掌握了相应的解题方法，计算准确，就可以拿到满分.(3)高数和概率相结合求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。

在复习概率与数理统计的过程中，把握住每章节的考试重点，概率一定能取得好成绩。

二、通过各章节来具体分析考试重点第一章随机事件与概率本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。

其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。

1.本章的重点内容：四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔五个运算：并，交，差﹔四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔·条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。

2.常见典型题型：随机事件的关系运算﹔求随机事件的概率﹔综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。

第二章随机变量及其分布本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。

(1)
+∞ ∫− ∞ ϕ ( x )dx
=1
1 ( 2) Φ(0) = 2
( 3) Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x )
( x > 0)
x−μ )
(4) X ~ N ( μ , σ 2 ) P( X ≤ x) = Φ (
σ b−μ a−μ P ( a < X < b) = Φ ( ) − Φ( ) σ σ
P ( A1 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 )L P ( An | A1 L An−1 )
（2）全概率公式
P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A | Bi ) ；
i =1
n
（3）贝叶斯公式 P ( B j | A) =
P ( AB j ) P ( A)
=
P(B j )P( A | B j )
∞
∑
∞
Pij = Pi • ；
Pij = P• j 关于 Y 的边缘分布为 P{Y = y j } = ∑ i =1
2)连续型
+∞ 关于 X 的边缘密度函数： f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
+∞ 关于 Y 的边缘密度函数： fY ( y ) = ∫− ∞ f ( x , y )dx
7．二维随机变量函数的分布 1）二维连续型随机变量函数和 X+Y 的分布
fZ ( z) = ∫
+∞ −∞ +∞
f ( x, z − x)dx f ( z − y, y )dy
密度函数为
=∫
−∞
当 X,Y 相互独立时，卷积公式 f X ∗ f Y 2) 泊松分布和二项分布的可加性 3） M = max( X , Y ) 及 N = min( X , Y ) 的分布（X,Y 相互独立）

概率论高数知识点归纳总结概率论高数知识点归纳总结概率论是高等数学领域中的一门重要学科，其研究对象是随机试验和随机现象的数学模型和规律。

在学习概率论的过程中，有许多重要的知识点需要掌握和理解。

本文将对概率论高数知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地掌握相关概念和方法。

1. 随机试验与样本空间随机试验是指在相同的条件下，可以进行多次但结果不确定的实验。

每次试验的所有可能结果组成了样本空间，通常用Ω表示。

样本空间中的元素称为样本点。

2. 事件与概率事件是样本空间的子集，表示试验的某些结果。

概率是对事件发生的可能性的度量，用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围在0到1之间。

3. 古典概型与条件概率古典概型是指样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。

在古典概型下，事件A发生的概率可以通过计数的方法求解。

条件概率是指在某一事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。

4. 随机变量与概率分布随机变量是指实验结果的数字化表示，可以分为离散型和连续型。

离散型随机变量的取值只能是整数或者有限个实数，连续型随机变量的取值可以是任意实数。

概率分布是随机变量取各个值的概率。

5. 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均数，用E(X)表示，其中X为随机变量。

方差是随机变量偏离其均值的度量，用Var(X)表示。

6. 常见概率分布在概率论中，有许多常见的概率分布，包括离散型分布和连续型分布。

离散型分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布；连续型分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

7. 独立性与相关性两个事件为独立事件，表示事件A的发生与事件B的发生无关。

相关性是指两个随机变量之间的线性相互关系，可以通过协方差和相关系数来刻画。

8. 大数定律与中心极限定理大数定律指出，随着随机试验次数的增加，样本均值趋于总体均值。

中心极限定理则是指在独立随机变量的和的情况下，随着样本量的增加，样本的分布趋近于正态分布。

D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)

第三章第一节：随机事件及其运算重点：1.事件间的关系。

2.事件运算的性质。

难点：1.区分“至少”，“至多”、“恰有”、“都不”、“不都”在事件表达中的含义。

2.区分“互斥”与“对立”。

3.理解德摩根律和吸收率，化简事件的表达式，用互不相容的事件和、用具有包含关系的两个事件的差表达事件。

第三章第二节：概率的定义重点:1.古典概型及概率。

2.概率的公理化定义。

3.概率的性质。

难点：1.概率不是频率的极限。

2.变与不变的相对性3.利用加法原理、乘法原理、排列、组合等计算古典概型，特别区分有序与无序、放回与不放回的区别。

4.计算概率的方法(1)概率性质(2)古典概型（穷举、排列、组合）第三章第三节：条件概率与全概率公式重点：1. 条件概率的理解，样本空间的变化。

2. 事件A 与B 独立⇔)()()(B P A P AB P =⇔)()()(B P A P B A P = ⇔)()()(B P A P B A P =⇔)()()(B P A P B A P =。

当0)(>B P 时，事件A 与B 独立⇔)()|(A P B A P =。

3. 伯努利概型的判定。

4. 全概率公式与贝叶斯公式。

难点：1. 条件概率中样本空间的变化。

2. 独立与互斥的区别与联系。

3. 全概率公式与贝叶斯公式的应用，注意完备事件组的选择。

第三章第四节：随机变量及其分布重点：1. 离散型随机变量分布及性质。

2. 连续性随机变量的密度函数及概率性质。

3. 标准正态分布的性质。

4. 正态分布与标准正态分布的转化。

难点：1. 实际问题中离散型随机变量分布的求解。

2. 密度函数的几何意义。

3. 标准正态分布的分布函数的理解及性质。

4. 正态分布到标准正态分布的转化。

第三章第五节：随机变量的数字特征重点：1. 离散型（连续性）随机变量数学期望的定义及性质。

2. 离散型（连续性）随机变量方差的定义及性质。

3. 服从常见分布的随机变量的数学期望与方差。

概率论高数知识点总结归纳概率论高数知识点总结归纳概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的发生概率以及相关统计问题。

在高等数学中，概率论占据着重要的位置，涉及到许多重要的知识点。

本文将对概率论高数中的主要知识点进行总结归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

一、概率的基本概念1. 随机试验：具有不确定的结果的试验称为随机试验，例如掷硬币、抛骰子等。

2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记作Ω。

3. 事件：样本空间的子集称为事件，通常用大写字母A、B、C等表示。

4. 概率：概率是一个函数，它将事件映射到实数，表示事件发生的可能性，通常用P(A)表示事件A的概率。

二、事件的关系与运算1. 包含关系：事件A包含事件B，表示为B⊆A。

2. 互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B=∅。

3. 和事件：事件A和事件B都发生的集合，表示为A∪B。

4. 差事件：事件A发生而事件B不发生的集合，表示为A-B。

三、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，P(A)≥0。

2. 可加性：对于互斥事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3. 完备性：对于样本空间Ω，P(Ω)=1。

4. 减法公式：对于事件A和事件B，P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。

四、条件概率与独立性1. 条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，表示为P(A|B)，计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。

2. 独立事件：事件A和事件B相互独立，表示为P(A∩B)=P(A)·P(B)。

五、全概率公式与贝叶斯公式1. 全概率公式：设B₁、B₂、…、Bn为一组互不相容事件，且它们的并集构成了样本空间Ω，事件A与B₁、B₂、…、Bn有关，求事件A的概率，计算公式为：P(A)=P(A|B₁)·P(B₁)+P(A|B₂)·P(B₂)+…+P(A|Bn)·P(Bn)。

2024考研数学概率论重要考点总结2024考研数学考试中的概率论部分是一个非常重要的考点，对于考生来说，掌握好概率论的相关知识点是非常关键的。

下面是2024考研数学概率论重要考点的总结，希望能够帮助到考生。

一、概率基本概念：1. 随机试验、样本空间、随机事件；2. 古典概型、几何概型、随机变量概型；3. 定义域、值域、事件域；4. 频率与概率的关系。

二、概率公理与概率的性质：1. 概率公理；2. 概率的性质（非负性、规范性、可列可加性）；3. 条件概率、乘法公式；4. 全概率公式、贝叶斯公式。

三、随机变量的概念：1. 随机变量的定义；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 离散型随机变量的概率分布律、累积分布函数；4. 连续型随机变量的概率密度函数、累积分布函数；5. 随机变量的数学期望、方差、标准差。

四、常见概率分布：1. 二项分布；2. 泊松分布；3. 均匀分布；4. 正态分布。

五、多维随机变量与联合分布：1. 二维随机变量的联合分布律、联合分布函数；2. 边缘分布；3. 条件分布。

六、独立性与随机变量的函数的分布：1. 独立性的概念；2. 独立随机变量的数学期望、方差；3. 独立连续型随机变量的函数的分布；4. 独立离散型随机变量的函数的分布。

七、大数定律与中心极限定理：1. 大数定律的概念与几种形式；2. 切比雪夫不等式；3. 中心极限定理的概念；4. 利用中心极限定理进行概率近似计算。

八、随机过程：1. 随机过程的概念；2. 马尔可夫性；3. 随机过程的平稳性。

九、统计量与抽样分布：1. 统计量的概念；2. 抽样分布与大样本正态分布近似；3. 正态总体均值与方差的推断。

以上就是2024考研数学概率论部分的重要考点总结，希望对考生有所帮助。

考生要多进行习题的练习和考点的整理与总结，提高自己的概率论水平，为考试做好准备。

祝考生取得好成绩！。