数值分析课程实验设计——数值积分实习题

数值分析课程实验设计——数值线性代数
实习题
1. 实验目的
本实验的主要目的是进一步加深对数值线性代数的理解，熟悉
常见矩阵分解方法，并在此基础上解决实际问题。

2. 实验内容
本次实验将任务分为两个部分，分别是矩阵分解与求解线性方
程组。

2.1 矩阵分解
首先，我们需要熟悉三种常见的矩阵分解：QR分解、LU分解
和奇异值分解。

我们需要通过Python语言实现这三种分解方法，
并利用这些方法解决实际问题。

2.2 求解线性方程组
其次，我们需要学会用矩阵分解的方法来求解线性方程组。

我
们将通过两个例子来进行说明，并利用Python语言实现这些方法。

3. 实验要求
本次实验要求熟悉矩阵分解的基本方法，在此基础上解决实际问题；能够运用多种方法来求解线性方程组，并分析比较它们的优缺点。

4. 实验总结
本次实验通过矩阵分解和求解线性方程组两个部分的学习，巩固了我们对于数值线性代数的知识，并在实际问题的解决中得到了应用。

感谢老师的指导，我们会在今后的学习中持续探索数值分析方面的知识。

2019-2020 第1学期数值分析上机实习题总目标：会算，要有优化意识。

（以下程序要求以附件1例题代码格式给出）1. 对给定的线性方程组Ax b =进行迭代求解。

（1）给出Jacobi 迭代的通用程序。

（2）给出Gauss-Seidel 迭代的通用程序。

调用条件：系数矩阵A ，右端项b ，初值0x ，精度要求ε。

输出结果：方程组的近似解。

给定线性方程组211122241125x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，和122711122215x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取初值0x 为0， 分别利用Jacobi 迭代和G-S 迭代进行求解，观察并解释其中的数学现象。

2. 利用紧凑格式（即直接分解法或逐框运算法）对给定的矩阵A 进行Doolittle 分解，并用其求线性方程组的解。

调用条件：矩阵A 。

输出结果：单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 。

给定矩阵1112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用以下算法：1）将A 作Doolittle 分解11A LU =，2）令211A U L =，并对2A 作Doolittle 分解222A L U =，3）重复2）的过程令11n n n A U L --=，并对n A 作Doolittle 分解n n n A L U =，2,3,4,n =， 观察n L ，n U ，n A 的变化趋势，思考其中的数学现象。

3. 给定函数21(),12511f x x x -≤+≤=，取164,8,n =，用等距节点21,i i n x =-+ 0,1,,1i n =+对原函数进行多项式插值和五次多项式拟合，试画出插值和拟合曲线，并给出数学解释。

4. 给出迭代法求非线性方程()0f x =的根的程序。

调用条件：迭代函数()x ϕ，初值0x输出结果：根的近似值k x 和迭代次数k给定方程32()10f x x x =--=，用迭代格式1k x +=0 1.5x =附近的根，要使计算结果具有四位有效数字，利用估计式*1||1||k k k L x x x x L -≤---，或估计式*10||1||kk L x x x x L-≤--来判断需要的迭代次数，分别需要迭代多少次？两者是否有冲突？5. 利用数值求积算法计算()ba f x dx ⎰。

数值分析计算实习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数值分析》计算实习题姓名：学号：班级：第二章1、程序代码Clear;clc;x1=[ ];y1=[ ];n=length(y1);c=y1(:);for j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i-1)*df(i);endP4=vpa(sum(d),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数q=;q1=q(1,:)*[^3;^2;;1];q1=vpa(collect(q1),5)q2=q(1,:)*[^3;^2;;1];q2=vpa(collect(q2),5)q3=q(1,:)*[^3;^2;;1];q3=vpa(collect(q3),5)q4=q(1,:)*[^3;^2;;1];q4=vpa(collect(q4),5)%求解并化简多项式2、运行结果P4 =*x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - *(x - + q1 =- *x^3 + *x^2 - *x +q2 =- *x^3 + *x^2 - *x + q3 =- *x^3 + *x^2 - *x + q4 =- *x^3 + *x^2 - *x +3、问题结果4次牛顿差值多项式4()P x = *x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - - *(x - *(x - *(x - *(x - +三次样条差值多项式()Q x0.10.20.30.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.911.1323232321.33930.803570.40714 1.04,[0.2,0.4]1.3393 1.60710.88929 1.1643,[0.4,0.6]1.3393 2.4107 1.6929 1.4171,[0.6,0.8]1.3393 3.21432.8179 1.8629,[0.8,1.0]x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧-+-+∈⎪-+-+∈⎪⎨-+-+∈⎪⎪-+-+∈⎩第三章1、程序代码Clear;clc; x=[0 1]; y=[1 ];p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合 p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合 y1=polyval(p1,x);y2=polyval(p2,x);%多项式求值plot(x,y,'c--',x,y1,'r:',x,y2,'y-.')p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。

内容包括：实验题目1：算法的数值稳定性实验实验题目2：LU分解实验实验题目3：三次样条插值外推样条实验实验题目4：第二类Fredholm 积分方程实验实验题目5：M级显式R_K法实验题目：算法的数值稳定性实验实验内容：计算积分()10()d 1515nx I n x a x==+⎰ (n=1,2,…,20) 易得到下面递推公式()()11I n aI n n=--+并有估计式()()()()11111I n a n a n <<+++计算方法：算法一:采用下面递推公式计算:()()11I n aI n n =--+()1,2,,20n = 取初值()1160ln ln 15a I a +==算法二: 采用下面递推公式计算:()()111I n I n a n ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦()20,19,,1n =结果分析：（分析哪个好哪个不好，原因是什么） 我觉得算法二比较好, 原因一:根据式()()()()11111I n a n a n <<+++得知,I(n)不可能小于零,而算法一的计算结果有部分结果小于零。

原因二:对算法一记初始误差ε0=/I 0-I(0)/>0;则εn =/I n -I(n)/=a/I n-1-I(n-1)/=a n*ε0由此可知,当n=20时, ε20把ε0放大了a 20倍，其结果造成严重的。

而对于算法二^^11n n a εε-=,…, ^^01n n aεε=,尽管有初始误差^20ε,但随着计算的进程,这个误差的影响不断减小。

附：源程序：（把源程序附上） 算法一程序: >> format long>> a=15;I=log(16/15); for n=1:20 nI=-a*I+1/n end算法二程序: >> format long>> a=15;I=31/10080; >> for n=20:-1:1 n II=1/a*(-I+1/n); End。

数值分析实验二 数值积分组号 班级 学号 姓名 分数一：实验目的1、掌握用复化Simpson 公式，复化梯形求积公式计算积分的方法。

2、掌握用龙贝格Romberg 积分公式计算积分的方法。

3、掌握用高斯-勒让德Gauss-Legendre 公式计算积分法。

4、通过实例了解三种方法的联系与区别,并会利用适当的方法计算某函数在某个区间的积分值。

二：实验内容及基本知识介绍（1）复化Simpson 求积公式的原理：将区间[a,b]分为n 等分，在每个子区间[1,k k x x +]上采用辛普森公式：()()462b a a b s f a f f b -⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若记122k k x h x +=+，则得： ()()()()()111110246k kn bx ax k n k k k n k I f x dx f x dxh f x f x f x R f +-=-++===⎡⎤⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑⎰⎰∑。

则可以记得：()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑-=-=+-=++1010211012124646n k n k k k n k k k k n b f x f x f a f h x f x f x f h S，称为复化辛普森求积公式。

其余项为：()()()()4141,,1802n n n kkkk k h h R f I S f x x ηη-+=⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭∑，此外，由于nS中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定。

（2）复化梯形求积公式的原理：将区间[a,b]分为n 等分，分点,,2,1,0,,n k nab h kh a x k =-=+=在每个子区间[]()1,,1,0,1-=+n k x x k k 上采用梯形公式()()[]b f a f a b T +-=2计算，则得：()()()()[]()f R x f x f h dx x f dx x f I n n k k k n k x x bak k++===∑∑⎰⎰-=+-=+11121，记：()()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=∑∑-=-=+`11101222n k k n k k k n b f x f a f h x f x f h T ，称为复化梯形公式。

数值分析计算实习题答案数值分析计算实习题答案数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行近似求解的学科。

在数值分析的学习过程中，实习题是一种重要的学习方式，通过实践来巩固理论知识，并培养解决实际问题的能力。

本文将为大家提供一些数值分析计算实习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数值分析的相关知识。

一、插值与拟合1. 已知一组数据点，要求通过这些数据点构造一个一次插值多项式，并求出在某一特定点的函数值。

答案：首先，我们可以根据给定的数据点构造一个一次插值多项式。

假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个一次多项式p(x) = a0 + a1x，其中a0和a1为待定系数。

根据插值条件，我们有p(x0) = y0，p(x1) = y1。

将这两个条件代入多项式中，可以得到一个方程组，通过求解这个方程组，我们就可以确定a0和a1的值。

最后，将求得的多项式代入到某一特定点，就可以得到该点的函数值。

2. 已知一组数据点，要求通过这些数据点进行最小二乘拟合，并求出拟合曲线的表达式。

答案：最小二乘拟合是一种通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线的方法。

假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个拟合曲线的表达式y =a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为待定系数。

根据最小二乘拟合原理，我们需要最小化误差平方和E = Σ(yi - f(xi))^2，其中yi为实际数据点的y值，f(xi)为拟合曲线在xi处的函数值。

通过求解这个最小化问题，我们就可以确定拟合曲线的表达式。

二、数值积分1. 已知一个函数的表达式，要求通过数值积分的方法计算函数在某一区间上的定积分值。

答案：数值积分是一种通过将定积分转化为数值求和来近似计算的方法。

假设给定的函数表达式为f(x)，我们可以将定积分∫[a, b]f(x)dx近似为Σwi * f(xi)，其中wi为权重系数，xi为待定节点。

数值分析论文数值积分 一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法，计算I = dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈II =dx x x ⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I fI = dx xe x⎰+1024 I =()dx x x ⎰++1211ln 二、要求编制数值积分算法的程序；分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； ﹡给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长﹡。

三、目的和意义深刻认识数值积分法的意义； 明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题引言一、数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法。

如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。

依据人们熟悉的微积分基本原理，对于积分I=⎰a b f(x)dx,只要找到被积函数f(x)和原函数F(x),便有下列牛顿-莱布尼茨公式：I=⎰a b f(x)dx=F(b)-F(a).但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如x xsin，2xe-等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。

另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。

二、数值积分代数精度数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确成立，就提出了所谓代数精度的概念。

如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对m+1次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

三、复合求积公式为了提高精度，通常可以把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间用低阶求积公式，即复化求积法，比如复化梯形公式与复化辛普森公式。

数值分析实验报告四数值积分与数值微分实验（2学时）一 实验目的1．掌握复化的梯形公式、辛扑生公式等牛顿-柯特斯公式计算积分。

2. 会用高斯公式计算积分。

3. 掌握数值微分的计算方法。

二 实验内容1．分别用复化的梯形公式和辛扑生公式计算积分。

⎰90dx x M=4 2．给定下列表格值利用四点式（n=3）求)50()50('''f f 和的值。

三 实验步骤（算法）与结果1复化的梯形公式：()()()()01121222bM M a h h h f x dx f f f f f f b a h M -=+++++-=⎰基于上述公式，进行编程，程序代码如下：#include"stdio.h"#include"math.h"#define M 4int main(){float a=9,b=0;int i;float h;float x[M+1];float f=0;h=(a-b)/M;for(i=0;i<M+1;i++){x[i]=b+h*i;}for(i=0;i<M;i++){f=f+h/2*((sqrt(x[i]))+(sqrt(x[i+1])));}printf("\n%f\n",f);return 0;}运行结果如下：复化的辛扑生公式：()()()()01351246243323bM M a M h h f x dx f f f f f f h f f f f b ah M--=+++++++++++-=⎰基于上述公式，进行编程计算，程序代码如下： #include"stdio.h"#include"math.h"#define M 4int main(){float a=9,b=0;int i;float h;float x[M+1];float f=0;h=(a-b)/M;for(i=0;i<M+1;i++){x[i]=b+h*i;}for(i=0;i<M/2;i++){f=f+(h/3)*((sqrt(x[2*i]))+4*(sqrt(x[2*i+1]))+(sqrt(x[2*i+2]))); }printf("\n%f\n",f);return 0;}运算结果如下：2一阶和二阶数值微分公式四点式：()()()()'00123''00123211118926112302466f x y y y y h f x y y y y h ≈-+-+≈-+-基于上述公式，进行编程计算，程序代码如下： #include"stdio.h"int main(){float x[4]={50,55,60,65};float y[4]={1.6990,1.7404,1.7782,1.8129};float f1,f2;float h=x[1]-x[0];f1=(1/(6*h))*(-11*y[0]+18*y[1]-9*y[2]+2*y[3]); f2=(1/(6*h*h))*(12*y[0]-30*y[1]+24*y[2]-6*y[3]);printf("f1=%f",f1);printf("\nf2=%f",f2);return 0;}运算结果如下：四实验收获与教师评语。

插值法1.下列数据点的插值x 0 1 4 9 16 25 36 49 64y 0 1 2 3 4 5 6 7 8可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图.(1)用这9个点作8次多项式插值Ls(x).(2)用三次样条(第一边界条件)程序求S(x).从得到结果看在[0,64]上，哪个插值更精确；在区间[0,1]上，两种插值哪个更精确？解：(1)拉格朗日插值多项式，求解程序如下syms x l;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];n=length(x1);Ls=sym(0);for i=1:nl=sym(y1(i));for k=1:i-1l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k));endfor k=i+1:nl=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k));endLs=Ls+l;endLs=simplify(Ls) %为所求插值多项式Ls(x).输出结果为Ls =-24221063/63504000*x^2+95549/72072*x-1/3048192000*x^8-2168879/43545600 0*x^4+19/283046400*x^7+657859/10886400*x^3+33983/152409600*x^5-13003/2395 008000*x^6(2)三次样条插值，程序如下x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; x2=[0:1:64];y3=spline(x1,y1,x2);p=polyfit(x2,y3,3); %得到三次样条拟合函数 S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x^2+p(4)*x^3 %得到S(x) 输出结果为：S =23491/304472833/8*x+76713/*x^2+6867/42624*x^3(3)在区间[0,64]上，分别对这两种插值和标准函数作图，plot(x2,sqrt(x2),'b',x2,y2,'r',x2,y3,'y')蓝色曲线为y=函数曲线,红色曲线为拉格朗日插值函数曲线，黄色曲线为三次样条插值曲线010203040506070-2020406080100可以看到蓝色曲线与黄色曲线几乎重合，因此在区间[0,64]上三次样条插值更精确。

数值分析上机实习题第2章插值法1. 已知函数在下列各点的值为试⽤四次⽜顿插值多项式）（x p 4及三次样条韩式)(S x (⾃然边界条件)对数据进⾏插值。

⽤图给出(){}10,11,1,0,08.02.0,,x i =+=i x y i i ，）（x p 4及)(x S Python 代码import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.font_manager import FontPropertiesfont_set = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc",size=12) #求⽜顿n 次均差 def qiujuncha(x,f,n): for i in range(1,n): for j in range(4,i-1,-1):f[j]= (f[j] - f[j-1])/(x[j]-x[j-i]) #根据⽜顿多项式求值 def niudun(x,f,x1): sum = f[0]; tmp = 1;for i in range(1,5): tmp *= (x1-x[i-1]) sum = sum + f[i]*tmp return sum#⽜顿插值画图 def drawPic(x,f):x1 = np.linspace(0.2, 1, 100) plt.plot(x1, niudun(x,f,x1))plt.title(u"⽜顿四次插值",fontproperties=font_set) plt.xlabel(u"x 轴",fontproperties=font_set) plt.ylabel(u"y 轴", fontproperties=font_set) plt.show() def qiu_h(x,h): n = len(x) -1 for i in range(n): print(i)h[i] = x[i+1]-x[i]#⾃然边界条件下的三次样条插值求Mdef qiu_m(h,f,o,u,d):n = len(h)o[0] = 0u[n] = 0d[n] = d[0] = 0a = []for i in range(1,n):u[i] = h[i-1]/(h[i-1]+h[i])for i in range(1,n):o[i] = h[i]/(h[i-1]+h[i])for i in range(1,n-1):d[i] = 6*(f[i+1]-f[i])/(h[i-1]+h[i])t = [0 for i in range(5)]t[0] =2t[1] = o[0]a.append(t)for i in range(1,n):t = [0 for i in range(5)]t[i - 1] = u [i + 1]t[i] = 2t[i + 1] = o [i + 1]a.append(t)t = [0 for i in range(5)]t[n - 1] = u[n]t[n] = 2a.append(t)tmp = np.linalg.solve(np.array(a),np.array(d))m = []for i in range(5):m.append(tmp[i])return m#根据三次条插值函数求值def yangtiao(x1,m,x,y,h,j):returnm[j]*(x[j+1]-x1)**3/(6*h[j])+m[j+1]*(x1-x[j])**3/(6*h[j])+(y[j]-m[j]*h[j]**2/6)*(x[j+1]-x1)/h[j] +(y[j+1]-m[j+1]*h[j]**2/6)*(x1-x[j])/h[j] def main():x = [0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0]y = [0.98, 0.92, 0.81, 0.64, 0.38]f = y[:]f1 = y[:]h = [0.2,0.2,0.2,0.2]u = [0 for n in range(5)]d = [0 for n in range(5)]o = [0 for n in range(5)] qiujuncha(x,f,4) qiujuncha(x,f1,2)m = qiu_m(h,f1,o,u,d) x1 = np.linspace(0.2, 0.4, 10)p1= plt.plot(x1, yangtiao(x1,m,x,y,h,0),color='red') x1 = np.linspace(0.4, 0.6, 10)plt.plot(x1, yangtiao(x1, m, x, y, h, 1),color='red') x1 = np.linspace(0.6, 0.8, 10)plt.plot(x1, yangtiao(x1, m, x, y, h, 2),color='red') x1 = np.linspace(0.8, 1.0, 10)plt.plot(x1, yangtiao(x1, m, x, y, h, 3),color='red') x1 = np.linspace(0.2, 1.0, 40)p2 = plt.plot(x1,niudun(x,f,x1),color='green') plt.xlabel(u"x 轴", fontproperties=font_set) plt.ylabel(u"y 轴",fontproperties=font_set) plt.title("三次样条插值和⽜顿插值")plt.legend(labels=[u'三次样条插值',u'⽜顿插值'],prop=font_set,loc="best") plt.show() main()实验结果运⾏结果可得插值函数图（如图1-1），4次⽜顿插值函数）（x p 4和三次样条插值函数)(x S 如下：)6.0(*)4.0(*)2.0(625.0)4.0(*)2.0(*3.098.0)(4-------=x x x x x x x P 98.0)8.0(*)6.0(*)4.0(*)2.0(*20833.0+-----x x x x]4.0,2.0[),2.0(467.4)4.0(9.4)2.0(167.1)(S 3∈-+-+-=x x x x x]6.0,4.0[),4.0(113.4)6.0(6467.4)4.0(575.1)6.0(167.1)(S 33∈-+-+----=x x x x x x ]8.0,6.0[),6.0(2.3)8.0(113.4)6.0(575.1)(S 3∈-+-+--=x x x x x]0.1,8.0[),8.0(9.1)0.1(2.3)(S ∈-+-=x x x x图1-1三次样条插值和⽜顿插值图2.在区间[-1,1]上分别取n = 10,20⽤两组等距节点对龙格函数做多项式插值三次样条插值，对每个n值画出插值函数及图形。