投资组合投资组合的选择过程可以分为两个阶段。
第一个阶段以观察和经验开始以预计拥有证券的未来绩效结束。
第二个阶段以未来绩效相关的信念开始以投资组合的选择结束。
本文主要研究第二个阶段。
首先，我们相信投资者会最大化其预期折现或期望的收益。
这个准则我们既不作为一个假设去解释也不作为最大化指导投资者的行为。
我们接下来考虑投资者应该思考预期的收益是合意的，收益的方差是不确定的。
这个准则不论作为投资行为最大化或假设都有很多优点。
我们通过预期收益-收益方差来解释投资组合的选择与预期之间的几何关系。
投资组合选择的一种类型是投资者应该最大化未来收益的折现（资本化）价值。
因为未来是不确定的，我们必须预期未来的折现收益，可以提出这种类型的变化，根据hicks我们可以让预期的收益包含对未来风险的补贴。
或者我们可以让资本化的利率虽不同证券组合的不同利率变化。
投资者应该最大化折现价值的假设或准则必须被拒绝。
如果我们忽略了市场的缺陷上述的准则不会表明存在多样化的投资组合优于所有的非多元化的投资组合。
多元化是可以观察也可以感觉到的。
一个不包含多元化优越性的准则或假设必须被拒绝。
上述的准则没有解释多样化是如何形成的，是否不同的折现率被用于不同的投资组合，假设表明投资者将他所有的资金投资于折现价值最大的证券，如果两个或更多的证券有相同的价值那么所有这些组合都是一样好的。
我们可以看这个解析:假设有N种证券令r it为在时间t投资一美元证券i的预期收益，d it为证券组合i th在t时折现到当前的折现率。
X i为投资到证券i的相对数量。
我们排出了卖空，所以对于所有的证券i,X i>=0那么证券组合的预期回报为:为证券组合i th的折现回报。
所以相互独立，对于所有的证券i X i》=0R为X i非负权重条件下R i的加权平均。
总结：投资者应当多元化并最大化他们的预期回报。
投资者应当在最大化其投资收益的所与证券投资组合中进行多样化，统计学中的大数定律可以保证实际的投资组合收益将会和预期十分接近。
这是expected returns – variance of returns rule（期望回报-回报波动）原则的特殊运用，它假定存在一个风险投资组合可以最大化收益最小化波动，并且它推荐这个组合给投资者。
假如你的银行账户有一百万美金，你将如何处理它们呢？答案想必因人而异，然而有一点我们可以确信：几乎没人会把它们放在同一个地方。
即使人们不是有意想要投资赚钱，也一定记得那句众人皆知的俗语：不要把鸡蛋放在同一个篮子中。
这句话背后的含义是，如果所有鸡蛋都放在同一个篮子，那么当篮子掉下来的时候，所有鸡蛋都会摔碎；而当我们把鸡蛋放在不同篮子里的时候，即使有一两个篮子掉下来，也可以保全有些鸡蛋不会被摔碎。
这原本是生活常识，但由此衍生出的“多样化”理念，已经成了当今所有投资者的信条。
不妨让我们追问一句：投资者为何需要多样化？“降低风险！”人们若懂得鸡蛋和篮子的故事，相信都会如此回答。
但如果有人继续追问：这些风险从何而来？他可能已经迈出了通向诺贝尔奖的第一步。
是的，马克维茨（Harry M. Markowitz, 1927-）投资组合理论（portfolio theory）的开端，就是由对这个问题的深入思考发展而来。
他的投资组合理论，后来成为了现代投资组合理论（modern portfolio theory）和金融经济学（financial economics）的基石。
回到我们的问题：风险从何而来？事实上，答案很简单：从未来。
比如我们的鸡蛋：如果人们百分之百确定篮子不会掉落，不会被偷，也不会以任何形式被毁掉，人们完全可以把所有鸡蛋放在同一个篮子里，因为人们相信鸡蛋是安全的。
然而这情形就像梵高（Vincent van Gogh）那插在花瓶里的向日葵一样：花不会掉，因为它已经被定格在画上了。
而在现实生活中，时间永远在流动，未来是不确定的。
今天买一只股票，没有人可以肯定明天是涨是跌。
因此，我们所说的“风险”，背后隐藏着投资的“不确定性”。
说到这里，读者或许会有些迷惑：“不确定”与投资组合有何关系？这就要让我们回到60多年前的某个午后。
1950年，马克维茨还是芝加哥大学（University of Chicago）经济学博士的候选人。
完全没有投资经验的他，当时正在读一本名为《价值投资理论》（The Theory of Investment Value）的书。
这本书是提出用“贴现现金流”(Discoun ted Cash Flow, DCF)来评估投资价值的开山之作。
其中提到，“一只股票的价值等于未来股息折现的价值”，用数学语言，可以写成：（这个公式适用于股票。
对于债券，需要在最后加上本金的折现。
）值得一提的是，《投资价值理论》的作者威廉姆斯（John Burr Williams, 1900 – 1989）是提出股价由内在价值（intrinsic value）决定的首批经济学家之一。
而他被认为是基本面分析的开山鼻祖。
投资大师巴菲特（Warren Buffett）十分重视内在价值投资，他曾引用威廉姆斯（1938）关于价值的定义：如今任何股票，债券或生意的价值，都是由该资产剩余时间中所经历的，通过适当利率折现的现金流入和流出而决定。
简而言之，威廉姆斯将一只股票的投资价值（内在价值）看做未来股息的现价。
这便是上面的数学公式所表达的含义，也是马克维茨在1950年那个午后所读到的内容。
就在此时，激动人心的一刻来临了。
马克维茨很快意识到这理论的缺陷——未来的现金流是不确定的，它们是有关联的随机变量（Varian, 1993）。
威廉姆斯相信通过足够的多样化投资，所有的风险都可以被分散（达到零风险），如此一来，等于说未来的不确定性被消除了——这显然与常理不符。
马克维茨发现威廉姆斯得到这个结论是利用统计学上的“大数法则”，需要假设不同资产之间的风险没有关联。
于是他意识到，问题或许出在不同投资风险的关联性上。
为了更加科学地衡量风险，马克维茨使用了数理统计中的方差（）作为衡量风险（分散度）的标准。
以投资者的角度出发，马克维茨认为投资者希望最大化投资组合的期望回报（expected portfolio return, ），同时最小化投资组合的变动（portfolio variance of return, ）。
换言之，投资者希望得到最多回报，同时最小化损失的可能性。
用方差来计算投资组合风险（risk of the portfolio,）可以说是马克维茨论文中最重要的部份。
由此得出的结果显示，对于投资者而言，重要的不是证券单独的风险，而是它对于整个投资组合风险的影响——或者说是它和投资组合中所有其他证券的关联性（Rubinstein, 2002）。
下面的公式表达了投资组合的方差（）与组成它的证券的方差（，j= 1, 2, …, m）的关系：其中(j= 1, 2, …, m) 指投资组合比例（证券j 上的投资占总投资的比例，因此), 是证券j 和k 的相关系数。
相关系数可以看做衡量两个随机变量上下波动的紧密程度。
在马克维茨1952年的《投资组合理论》中，原始方程给出的是：其中代表协方差（covariance），等于，该公式虽用不同符号，但表达含义和上述公式（Rubinstein，2002）相同。
在金融经济学领域的论文中，马克维茨的这篇《投资组合理论》似乎是第一次提到了上面的公式（Rubinstein, 2002）。
而这篇论文也是第一次用数学将投资多样化的优势表现出来：通过多样化，可以在保持投资组合的期望回报不变的情况下降低风险；同时，由于协方差的存在，多样化只能降低风险到一定程度而无法消除风险。
马克维茨后来在1959年出版的书，《投资组合选择：投资的有效多样化》中提到多样化投资的有效性。
他假设了一个投资组合，其中的证券完全一样，并且证券之间的协方差也一样。
如此得到的结论是：在多样化足够情况下，投资组合方差接近相关系数与证券方差的乘积。
举例来说，当相关系数为0.25时，= 0.5。
这意味着当在无限相同的证券之间投资时，投资组合的标准偏差是单个证券的一半，换言之，在期望回报相同的情况下，风险减少了一半。
不过同时，它也说明虽然多样化可以减少风险，但降低风险的能力是有限的（无法消除风险）。
因此对于投资者来说，要减少风险，仅仅把目光放在投资很多证券是不够的，更重要的是避免投资在互相关联性很大的产品上。
在现实中，投资者应该分散投资在不同产业，因为不同产业具有不同经济特点，之间关联性要比同一产业的不同公司小很多。
如今，“在投资组合增加不相关资产”这一理念已被广泛应用。
比如最近一家投资公司的白皮书（Merk Investment, 2013）强调了货币资产在投资组合的重要性。
而当谈及货币资产的吸引力时，寻找不相关资产的想法几乎随处可见：投资者为避免负面风险，正积极寻找与他们投资组合不相关的资产……货币资产一直以来与诸如股票，固定收入证券等传统资产的相关性很低。
它独特的市场结构为盈利提供了潜在机会。
因此，增加货币资产可能会提高现有投资组合的回报-风险指标。
然而这对投资者并不够——他们想知道具体应该如何分配资产。
这事实上是马克维茨论文最终的目标。
然而马克维茨发现，数学并不能选择出唯一最好的投资组合，而只能选出一组有效投资组合（efficient portfolios）。
有效投资组合对于每个给定的期望回报，可以达到最低的风险。
换言之，为了得到更高回报，投资者必须承担更多风险。
具体的资产分配则根据投资者个人对于风险的态度而决定。
越厌恶风险（risk-averse）的人，愿意承担的风险越小，所能得到的期望回报也就越小。
为了用图像表达不同投资组合的期望回报与风险的关系，马克维茨创造了有效集合（efficient sets），后来成为了著名的有效前沿（efficient frontier）。
这幅取自马克维茨论文的原图描述了在有三个证券的情况下，期望回报与回报波动的取舍关系。
有效组合是一个类似“倒对勾”的折线。
这种根据“期望回报–回报波动”原则（expected returns – variance of returns rule）的分析方法后来发展为“均值–方差分析”（mean – variance analysis）。
而有效前沿（efficient frontier）后发展为下图：有效前沿的横轴代表波动性（通常用标准偏差衡量），纵轴代表期望回报，以此表现了不同投资组合间回报与风险的取舍。
在现实生活中，前述的白皮书（Merk Investments, 2013）同样提到了有效前沿。
该研究以过去20年证券的年回报率（用标普500指数代表）和货币的年回报率（用德银货币回报指数，DBCR Index代表）构建了不同比例的投资组合。
