当前位置：文档之家 › 特殊高阶微分方程课件

特殊高阶微分方程课件

  • 格式：doc
  • 大小：545.29 KB
  • 文档页数：12

下载文档原格式

  / 12

合集下载

第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】

第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2

常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则

微分方程—高阶微分方程(高等数学课件)

微分方程—高阶微分方程(高等数学课件)
本文档深入探讨了高等数学中微分方程的重要内容和解法。首先，介绍了可降阶的高阶微分方程，通过积分和变量替换等方法，将复杂的高阶方程转化为更易解决的一阶方程。其次，详细阐述了高阶线性微分方程解的结构，包括齐次和非齐次方程的通解形式，为理解和解决这类方程提供了坚实的理论基础。进一步，重点讲解了二阶常系数齐次线性微分方程的解法，通过特征方程和特征根的概念，给出了不同情况下的通解公式。同时，也讨论了二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，特解形式。最后，通过习题讲解部分，具体展示了如何应用这些理论和方法来解决实际问题，增强了理解和应用能力。

高等数学课件--93高阶微分方程

高等数学课件--93高阶微分方程

习题
y'''' + 4y'' - y' + y = e^x
(d^2/dx^2)y + (d/dx)y - y = x
习题
y'''' - y = sin(x)
(d^3/dx^3)y + y = cos(x)
解答
对于判断题 y'''' + 3y'' + 2y = 0 是四阶微分方程。
(d^2/dx^2)y + y = 0 是二阶微分方程。
定义
周期性和振荡性是指微分方程的解在时间上的变化规律。
判断方法
通过求解微分方程，观察解在时间上的变化规律，判断是否具有 周期性和振荡性。
应用
周期性和振荡性在物理、工程等领域有广泛应用，如振动、波动 等。
04
高阶微分方程的扩展
高阶线性微分方程
解法
通过变量代换和常数变异法，将高阶 线性微分方程转化为可求解的一阶线 性微分方程组。
解答
01
(d^3/dx^3)y + 2(d/dx)y = 0 是三阶微分方程。
02
(d^4/dx^4)y = 0 是四阶微分方程。
对于求通解的高阶微分方程
03
解答
01
对于 y'''' - 4y'' + 4y = 0，其通解为
02
y=c1*cos(2x)+c2*sin(2x)+c3*x+c4*x^2
VS
y=1/8*(cos(sqrt(2)*x)sqrt(2)*sin(sqrt(2)*x))

9.3高阶微分方程

9.3高阶微分方程
yc C1e x C2 (e x xe x )
4 C1 将初始条件代入得: 2 C1 C2
C1 4 C2 2
x x x 所求特解为: yc 4 e 2 xe (4 2 x) e .
11
例题与讲解 例5: 求方程 y 2 y 2 y 0 的通解. 解: 特征方程: 2 2 2 0 特征值: 通解为:
称 y1 ( x ), y2 ( x ),, yn ( x )线性相关;
否则称 y1 ( x ), y2 ( x ),, yn ( x )线性无关.
3
当n =2 时, 设函数 y1(x), y2(x) 非零,
y1 ( x ) 若 A 常数, 则 y1 ( x), y2 ( x ) 线性相关; y2 ( x ) y ( x) 若 1 A 常数, 则 y1 ( x), y2 ( x ) 线性无关. y2 ( x )
4
9 3 2 解: 特征方程: 3 ( ) 0 4 2 3 , 重特征值: 2
2
通解为:
3 x 2 yc C1e
C2
3 x 2 e
(C1 , C2为任常数).
10
例题与讲解 例4:求方程 y 2 y y 0 满足初始条件 y | x0 4, y | x0 2 的特解. 解: 特征方程: 2 2 1 ( 1)2 0 重特征值: 1 通解为: yc C1e x C2 xe x (C1 , C2为任常数).
称(2)为线性齐次微分方程, 若 f ( x ) 0, 称(1)为线性非齐次微分方程, 也称(2)为(1) 对应的齐次微分方程.
定理: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x)是(2) 的n 个线性无关的解,

特殊高阶微分方程

特殊高阶微分方程

第12 次课 2 学时第12讲特殊高阶微分方程复习旧知：二阶线性微分方程的引入【例1】设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体。

当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反。

这个位置就是物体的平衡位置。

如图，取轴铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。

如果使物体具有一个初始速度，那未物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动。

在振动过程中，物体的位置随时间变化，即是的函数试确定物体的振动规律。

力学知识告诉我们：弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力和物体离开平衡位置的位移成正比，即其中为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力方向和物体位移方向相反。

另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力作用，使得振动逐渐趋向于停止。

由实验知道，阻力总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得移项，并记，则上式化为这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。

如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力的作用，则有即其中，这就是强迫振动的微分方程。

观察上述微分方程的特点，它可表示成一个更一般的形式❶方程❶叫做二阶线性微分方程。

当方程的右端时，方程叫做齐次的;否则，方程叫做非齐次的。

二、二阶齐次线性微分方程的通解结构【定理一】如果函数与是二阶齐次线性方程❷的两个解，则❸也是方程的解，其中，是任意常数。

证明：将表达式❸代入❷式，有y x Q y x P y )()(+'+''])[(])[(][221122112211y c y c x Q y c y c x P y c y c ++'+'+''+''= ])()([])()([22221111y x Q y x P y c y x Q y x P y c +'+''++'+''= 0021⋅+⋅=c c0=故❸式是方程❷的解。

《高阶微分方程》PPT课件

《高阶微分方程》PPT课件
y yc y .
16

2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.

《高阶微分方程》课件


非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通 过示例进行解释。
应用实例
1
高阶微分方程在物理学中的应用
探索高阶微分方程在物理学领域的重要应用，如运动学和波动理论。
2
高阶微分方程在工程学中的应用
揭示高阶微分方程在工程学中的实际应用案用领域
二阶微分方程的解法
1
常系数二阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数二阶齐次微分方程，并提供实际案例。
2
非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通过示例进行说明。
n阶微分方程的解法
常系数n阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数n阶齐次微分方程，并提 供实例证明。
概述高阶微分方程对数学和科学领域的重要性，以及它们在解决实际问题中的广泛应用。
引导学生继续深入学习高等数学相关课程
鼓励学生进一步学习高等数学中与微分方程相关的更高级和复杂的主题和技巧。
《高阶微分方程》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将探讨高阶微分方程的基础知识，包括二阶微分方 程的定义、常系数二阶齐次微分方程和非齐次线性微分方程等。
导言
二阶微分方程的定义
介绍二阶微分方程的基本概 念和特点。
常系数二阶齐次微分方 程
介绍常系数二阶齐次微分方 程的解法和示例。
非齐次线性微分方程
探讨非齐次线性微分方程的 求解方法和相关应用。

高数微分方程PPT


应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。

高阶线性微分方程

分析物体表面向外界辐射热量的过程，通过高阶线性微分方程可以求解出物体的辐射强度、辐射功率等。
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分 布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值 解法
对于难以找到解析解的非线性微 分方程，数值方法成为求解的主 要手段，如有限元法、有限差分 法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定 义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方 程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛 应用于物理、工程、经济等领域。高阶 线性微分方程作为微分方程的一种特殊 类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解， 则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解， 则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应齐次方程的通解加上一个特解。

高等数学第七章第六节高阶线性微分方程课件.ppt


建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
x
弹性恢复力
(虎克定律)
x
阻力
据牛顿第二定律得
令 2 n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
d d
2
t
x
2
2n
dx dt
k
2
x
0
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
F H sin pt 作用，令 h H，则得强迫振动方程:
②
是非齐次方程的通解 .
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y3
y1 y1
ex x e2x x
常数
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1(ex x) C2 (e2x x)
代入初始条件 y(0) 1, y(0) 3, 得C1 1, C2 2, 故所求特解为 y 2e2x ex.
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第12 次课 2 学时
第12讲特殊高阶微分方程
复习旧知：二阶线性微分方程的引入
【例1】设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体。

当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反。

这个位置就是物体的平衡位置。

如图，取轴铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。

如果使物体具有一个初始速度，那未物体便离开平衡位置，并在平
衡位置附近作上下振动。

在振动过程中，物体的位置随时间变化，即是的函数
试确定物体的振动规律。

力学知识告诉我们：弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力和物体离开平衡位置的位移成正比，即
其中为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力方向和物体位移方向相反。

另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油等)的阻力作用，使得振动逐渐趋向于停止。

由实验知道，阻力总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有
根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得
移项，并记，
则上式化为
这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。

如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力
的作用，则有
即
其中，这就是强迫振动的微分方程。

观察上述微分方程的特点，它可表示成一个更一般的形式
❶
方程❶叫做二阶线性微分方程。

当方程的右端时，方程叫做齐次的;否则，方程叫做非齐次的。

二、二阶齐次线性微分方程的通解结构
【定理一】如果函数与是二阶齐次线性方程
❷
的两个解，则
❸
也是方程的解，其中
，
是任意常数。

证明：将表达式❸代入❷式，有
y x Q y x P y )()(+'+''
])[(])[(][22112211221
1y c y c x Q y c y c x P y c y c ++'+'+''+''= ])()([])()([2222111
1y x Q y x P y c y x Q y x P y c +'+''++'+''= 0021⋅+⋅=c c
0=
故❸式是方程❷的解。

这一性质表明，齐次线性方程的解符合叠加原理。

值得注意的是，叠加起来的解❸从形式上看含有两个任意常数， 但
它不一定是方程❷的通解。

例如，设
是❷的一个解，则
也是❷的解，这时❸式成为
可以把它写成
( 其中
)
这显然不是❷的通解。

这样便提出了一个问题，在什么情况下，❸式才是方程❷的通解呢? 要解决这一问题，我们还需引入一个新的概念，即所谓函数的线性相关与线性无关。

设为定义在区间内的个函数，如果存在个不全为零的常数
，使得当
在该区间内有恒等式
成立，那未称这个函数在区间内线性相关；否则称线性无关。

例如，函数在整个数轴上是线性相关的。

因为取，就有恒等式
又例如，函数在整个数轴上是线性无关的。

因为对于不全为零的数，一元二次方程
至多只有两个实根。

因此，它不会恒等于零。

下面，我们寻找两个函数线性相关的条件
给定两个函数，若它们线性相关，则
存在两个不全为零的常数( 不妨认为 )，使得
( 常数 )
反过来，如果 ( 常数 )
则
即是线性相关的。

因此，我们得到结论：
函数与线性相关的充要条件是恒等于常数。

由于函数的线性相关与线性无关是互逆的概念，因此，函数与线性无关的充要条件是不恒等于常数。

现在，我们给出二阶线性齐次微分方程的通解结构定理。

【定理二】如果与是方程
的两个线性无关的特解，则
(其中为任意常数) 就是方程的通解。

【例1】验证：函数与是二阶线性齐次方程
的两个解，求该方程的通解。

解：
故与均为方程的解。

又
故是方程的通解。

三、二阶线性非齐次微分方程的通解结构
【定理三】设是二阶线性齐次方程
的通解，而是二阶线性非齐次线性方程
的一个特解，那未
是二阶线性非齐次微分方程的通解。

证明：将代入非齐次方程，有
故是方程的解，由于齐次的通解含有两个独立的任意常数，故它是非齐次方程的通解。

求非齐次方程的特解时，下述定理会经常用到。

【定理四】设与分别是二阶线性非齐次微分方程
与
的特解，则是二阶线性非齐次微分方程
的特解。

这一定理的证明较简单，只需将代入方程
便可验证。

这一结论告诉我们
欲求方程 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 特解 *y
可分别求
)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y
x Q y x P y =+'+''
的特解*
1y 和*
2y ，然后进行叠加*
2
*1*y y y += 最后指出，在本节，我们仅讨论了二阶线性齐次(非齐次)微分方程的通解之结构，并未给出求解二阶线性微分方程的方法。

§12.8 常系数齐次线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式
方程
❶
其中
是常数，称之为二阶常系数齐次线性方程；
如果
不全为常数， 则称它为二阶变系数齐次线性微分方程。

二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解
由第八节的讨论可知，要找微分方程❶的通解，可先求出它的两个解与
，如果，即
与
线性无关，那未
就是
方程的通解。

对于指数函数
，若它是方程❶的解，则有
由于，从而有
❷
由此可见，只要满足代数方程❷，函数就是微分方程❶的解。

我们把此代数方程叫做微分方程❶的特征方程。

特征方程的两个根，可用公式
求出，它们有三种不同的情形：
(1)、当时，是两个不相等的实根：
(2)、当时，是两个相等的实根：
(3)、当时，是一对共轭复根：
其中
相应地，微分方程❶的通解也就有三种不同的情形，现分别讨论如下：(1)、特征方程有两个不相等的实根：
由上面的讨论知道，与均是微分方程的两个解，并且不是常数，因此微分方程❶的通解为
(2)、特征方程有两个相等的实根：
这时，我们只得到微分方程❶的一个解 ，为了得到方程的通解，我们还需另求一个解
，并且要求。

设 ，即 ，下面来求。

相加，得
约去
，整理得
由于
是特征方程的二重根，因此
0,0212
11=++=+q pr r p r
于是，
因只要得到一个不为常数的解，可取
，由此得到微分方程的另一个解
从而得到微分方程❶的通解为
(3)、特征方程有一对共轭复根：
是微分方程❶的两个解，根据齐次方程解的叠加原理，有
也是微分方程❶的解，且
所以，微分方程❶的通解为
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
❶
的通解的步骤如下
第一步写出微分方程❶的特征方程
❷第二步求出特征方程❷的两个根。

第三步据特征方程的两个根的不同情形，依下表写出微分方程的通解。

【例1】求微分方程的通解。

解：所给微分方程的特征方程为
其根为
因此所求通解为
【例2】求微分方程的通解。

解：所给方程的特征方程为
其根为
因此所求通解为。