【备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)3 导数2 理
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1【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数)(ln )(R a x a
x x f ∈+=
.
（1）求)(x f 的极值；
（2）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2
e 上有公共点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）)(x f 的定义域为),0(+∞,2)
(ln 1)('x a x x f +-=
，
……2分
令0)('=x f 得a e x -=1， 当),0(1a
e x -∈时，,0)('>x
f )(x f 是增函数；
当),(1+∞∈-a
e
x 时，,0)('<x f )(x f 是减函数，
∴)(x f 在a e x -=1处取得极大值，11)()(--==a a
e e
f x f 极大值，
无极小值.
………………5分
（2）①当21e e a <-时，即1->a 时， 由（1）知)(x f 在),0(1a
e
-上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，
11max )()(--==∴a a e e f x f ,
又当a e x -=时，0)(=x f ，
当],0(a
e
x -∈时，0)(<x f ；当],(2e e x a -∈时，0)(>x f ；
)(x f 与图象1)(=x g 的图象在],0(2e 上有公共点，
11≥∴-a e ，解得1≥a ，又1->a ，所以1≥a . ………9分
②当2
1e e a ≥-时，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2
e 上是增函数， ∴)(x
f 在],0(2
e 上的最大值为222)(e
a
e f +=， 所以原问题等价于
122
≥+e
a ，解得22
-≥e a . 又1-≤a ,∴无解. 综上，实数a 的取值范围是),1[+∞. ……13分
2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分14分）已知函数)(x f 的
导数b a b f ax x x f ,,)0(,33)('2
=-=为实数，21<<a .
（Ⅰ）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a 、b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点）（1,2P 且与曲线)(x f 相切的直线l 的方程； （Ⅲ）设函数x
e
x x f x F 2]16)('[)(⋅++=，试判断函数)(x F 的极值点个数。
【答案】解：（Ⅰ）由已知得，b ax x x f +-=2
32
3)(，……………………1分 由,0)('=x f 得a x x ==21,0.
21],1,1[<<-∈a x Q ，当)0,1[-∈x 时，)(,0)('x f x f >递增；
当]1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减.
)(x f ∴在区间［-1，1］上的最大值为1,)0(=∴=b b f .………………3分
又)1()1(,2
3
1231)1(,2321231)1(f f a a f a a f <-∴-=++-=--=+-=. 由题意得2)1(-=-f ，即223-=-a ，得1,3
4
,34===b a a 故为所求。
(5)
分
（Ⅱ）解：由（1）得x x x f x x x f 43)(',12)(2
23-=++=，点P （2，1）在曲线)(x f 上。
（1）当切点为P （2，1）时，切线l 的斜率4)
('2===x x f k ，
l ∴的方程为074),2(41=---=-y x x y 即.………………6分
（2）当切点P 不是切点时，设切点为),2)(,(000≠x y x Q 切线l 的余率
02
043)('0x x x f k x x -===，
l ∴的方程为))(43(00200x x x x y y --=-。
又点P （2，1）在l 上，)2)(43(100200x x x y --=-∴，
)2)(43()2(),2)(43()12(1002002000202030x x x x x x x x x x --=-∴--=+--∴， 0,0)2(2,4300002020=∴=--=∴x x x x x x 即.∴切线l 的方程为1=y .
故所求切线l 的方程为074=--y x 或1=y .……………………………………8分
（Ⅲ）解：x x e x a x e x ax x x F 2222]1)2(33[)1633()(⋅+--=⋅++-=.
x x e x a x e a x x F 222]1)2(33[2)]2(36[)('⋅+--+⋅--=∴. x e a x a x 22]38)3(66[⋅-+--=. ……………………10分
二次函数a x a x y 38)3(662
-+--=的判别式为
0],1)2(3[12)11123(12)38(24)3(36222≤∆--=+-=---=∆令a a a a a 得：
33
2332,31)2(2+≤≤-≤-a a .令0>∆，得332-<a ，或332+>a 。
21,02<<>a e x ，
23
3
2<≤-
∴a 当时，0)('≥x F ，函数)(x F 为单调递增，极值点个数0； ………………12分
当3
3
21-
<<a 时，此时方程0)('=x F 有两个不相等的实数根，根据极值点的定义， 可知函数)(x F 有两个极值点. ……………………………………14分
3.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】本题满分12分)已知1=x 是函数
()()2x f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R )
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤ 【答案】（Ⅰ）解：
， --------------------2分 由已知得
，解得
． 当
时，
，在
处取得极小值．
所以
. ----------------4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
，
.
当时，，在区间单调递减； 当
时，
，
在区间
单调递增.
所以在区间上，
的最小值为.------ 8分
又，
，
所以在区间上，的最大值为. ----------10分
对于
，有
．
所以
. -------------------12分
4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分14分)已知函数
()()2ln(1)a
f x x a R x
=-+
∈ （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）如果当1,x >且2x ≠时，
()ln 12x a
x x
->-恒成立，求实数a 的范围. 【答案】（1）定义域为 -----------2
分 设 ① 当
时，对称轴
，
，所以
在上是
增函数 -----------------------------4分 ② 当
时，
，所以
在
上
是增函数 ----------------------------------------6分 ③ 当时，令
得
令解得；令解得
所以
的单调递增区间
和
；
的单调递减区间
------------------------------------8分
（2）
可化为
（※）
设
，由（1）知：
①当时，在上是增函数
若时，；所以
若时，。
所以
所以，当时，※式成立--------------------------------------12分
②当时，在是减函数，所以※式不成立
综上，实数的取值范围是．----------------------------14分
解法二：可化为
设
令
,
所以
在
由洛必达法则
所以
5.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数
32
=++为奇函数，且在1
f x x bx cx
()
x=-时取得极大值.
（I）求b，c；
f x的单调区间；
（II）求函数()
（III ）解不等式()2f x ≤. 【答案】
6.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数()x
f x e =.
（I ）求证：()f x ex ≥；
（II ）记曲线()()()()
,0y f x P t f t t =<在点其中处的切线为l ，若l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.
【答案】
7.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分） 已知函数()()21
ln
0.f x ax x a x
=-+> （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>-
【答案】。
