《数学模型》试卷
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一：填空题1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=+。
(允许决策模型)1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是)1(2+=i i i i n n p Q 。
3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为=)(T C 221rT c T c +，当=T rc c 212时，)(T C 最小。
5、一阶自治微分方程()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。
6、市场经济中的蛛网模型中，只有当f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。
7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。
9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程rt e x t x 0)(= 建立的。
我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微分方程)1(mx xrx dt dx -= 建立的。
10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。
11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t+=2中的参数a 和b 可用 数值积分 方法求得。
12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2 。
“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能 97 % 。
13、“传染病模型”中所未涉及的模型是SIS 模型.15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。
16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数=)(t x 2/m x 时，人口增长率最大；当人口数=)(t x m x 时，人口增长率为0。
17、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是n vrkn vwk tππ222+=。
“录像机计数器的用途”模型中，计数器的读数 的增长速度越来越慢 。
18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是=QdTk∆。
19、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。
“经济增长模型”中，要保持总产值)(t Q 增长，即要求。
0>dtdQ20、“传染病模型”中SIR 模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。
21. 存贮模型的优化目标是 平均每天费用最小。
22.“经济增长模型”中，要保持平均每个劳动力的产值)(t z 增长，即要求 劳动力的增长率小于初始投资增长率。
23.“层次分析模型”中成比对矩阵)(ij a A =如果满足如下 ikjk ij a a a =⋅式，则称为一致阵。
二：概念题1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
三：问答题1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。
(10’)答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。
（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’) 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 4分（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >03、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’)解：令0,1,ij i j x i ⎧=⎨⎩指派第人完成第项工作不指折派第项工作目标函数：111231421222431323334414244min 1518212419231826171619192117Z x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++++约束条件：1121314112223242132333431424344411..11x x x x x x x x st x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。
(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 … ；（2）能力：想象力、洞察力 … 。
5、试用简练的语言全面的描述“商人怎样安全过河”该类问题。
(10’) 答：求决策),,2,1(n k D d k=∈，使状态S s k ∈按照转移律k k k k d s s )1(1-+=+，则初始状态)3,3(1=s 经有限步n 到达状态)0,0(1=+n s 。
6、分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。
(10’) 答：（1）当右轮盘转到第i 圈时其半径为wi r+，周长为)(2wi r +π，m 圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即：vt wi r mi =+∑=1)(2π；（2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：wvt r wkn r =-+])[(22π；（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt 内录像带转过的长度为速度v 乘以dt ，它等于右轮盘绕上的录像带长度（由于kn m =），即： kdn knw r vdt )(2+=π；以上三种方法都可得到：n vrkn vwk t ππ222+=。
7、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线性常系数差分方程平稳点稳定性的判别条件和非线性差分方程平稳点的稳定性判别条件。
(10’)答：（1）差分方程的平衡点*x 若满足：当∞→k时，*x x k →，则称平衡点*x 是稳定的。
（2）若三阶线性常系数差分方程b x a x a x k k k =++++2112的特征方程b a a =++212λλ的根)3,2,1(=i i λ均有1<i λ，则该差分方程的平衡点*x 是稳定的，否则是不稳定的。
（3）非线性差分方程)(1k k x f x =+的平衡点*x 若满足1*)('<x f ，则平衡点*x 是稳定的；否则若1*)('>x f ，则平衡点*x 是不稳定的。
8：某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级316人，三年级有465人。
现要选20名校级优秀学生，请用下列办法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。
另外如果校级优秀学生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。
解：20个席位：（1）、38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000465=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。
（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=5421921Q 2398.05，=⨯=7631622Q 2377.52=⨯=10946523Q 2402.5，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。
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8分21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000465=⨯因此比例加惯例分配结果为4、7、10个。
（2）三方先分得4、6、10个，=⨯='111046523Q 195.68，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10个。
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16分显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。
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20分9：大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个就业岗位可供选择。
层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/16413B 。
请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。
解：用“和法”近似计算得： 矩阵A 对应的权向量为：T )12.0,23.0,65.0(，最大特征根为3.003697，0018.0=CI ，0031.0=CR矩阵1B 对应的权向量为：T)60.0,32.0,08.0(，最大特征根为3.001982，001.0=CI ，0017.0=CR 矩阵2B 对应的权向量为：T)09.0,24.0,67.0(，最大特征根为3.00703，0035.0=CI ，006.0=CR矩阵3B 对应的权向量为：T )11.0,19.0,70.0(，最大特征根为3.00922，0046.0=CI，008.0=CR。
12分组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0(因此最佳的岗位为岗位3。
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16分10：某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。
保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。
各种状态间相互转移的情况和概率如图。
试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？ 选择发展就业收入 发展 声誉岗位1 岗位2 岗位3解：由题意，转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3.06.007.003.001.7.005.015.000100001，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。
