高一数学不等式经典例题

高一数学用数学归纳法证明不等式举例试题1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1【答案】C【解析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．2.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】先求左边的和，再进行验证，从而可解．解：左边的和为，当n=8时，和为，故选B．点评：本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．3.用数学归纳法证明2n≥n2（n∈N，n≥1），则第一步应验证．【答案】n=1时，2≥1成立．【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1时，命题成立；将n=1代入不等式，可得答案．解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12=1，因为2＞1成立，所以2n≥n2成立．故答案为：n=1时，2≥1成立．点评：本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是【答案】1+2+3+4【解析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故答案为：1+2+3+4点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．5.设，则f（k+1）﹣f（k）= ．【答案】．【解析】把函数中的n换成k+1，k，再作差后即得所求．解：当n=k+1时，，当n=k时，，则f（k+1）﹣f（k）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查函数的值、数学归纳法，体现了换元的数学思想，注意式子的结构特征，特别是首项和末项．6.（2011•河池模拟）已知正项数列{an }满足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2﹣an+1an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项积为Tn ，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有Tn＞．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（I）先对（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0进行化简得到，再由累乘法可得到数列的通项公式是an．（II）根据（I）求出Tn，利用数学归纳法证明即可，证明过程中注意数学归纳法的步骤和导数的灵活应用．解：（I）∵（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0∴（另解﹣an不合题意舍去），∴，即，（II）由（I）得：Tn=n!，当x＞0时，Tn＞等价于x n＜n!e x①以下用数学归纳法证明：①当n=1时，要证x＜e x，令g（x）=e x﹣x，则g′（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜e x成立；②假设当n=k时，①式成立，即x k＜k!e x，那么当n=k+1时，要证x k+1＜（k+1）!e x也成立，令h（x）=（k+1）!e x﹣x k+1，则h′（x）=（k+1）!e x﹣（（k+1）x k=（k+1）（k!e x﹣x k），由归纳假设得：h′（x）＞0，∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!e x也成立，由①②即数学归纳法原理得原命题成立．点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法﹣﹣公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握，属中档题．7.（2008•武汉模拟）在数列|an |中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+t n﹣1）=an（t n+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：an+1＞an，（n∈N+）．【答案】见解析【解析】（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|an|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．解：（1）由原递推式得到，，=猜想得到…（3分）下面用数学归纳法证明10当n=1时 a1=t﹣1 满足条件20假设当n=k时，则，∴，∴即当n=k+1时，原命题也成立．由10、20知…（7分）（2）==而nt n﹣（t n﹣1+t n﹣2+…+t+1）=（t n﹣t n﹣1）+（t n﹣t n﹣2）+…+（t n﹣t）+（t n﹣1）=t n﹣1（t﹣1）+t n﹣2（t2﹣1）+t n﹣3（t3﹣1）+…+t（t n﹣1﹣1）+（t n﹣1）=故t＞0，且t≠1时有an+1﹣an＞0，即an+1＞an…（13分）点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．8.（2005•辽宁）已知函数f（x）=（x≠﹣1）．设数列{an }满足a1=1，an+1=f（an），数列{bn}满足bn =|an﹣|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．（Ⅰ）用数学归纳法证明bn≤；（Ⅱ）证明Sn＜．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式bn≤当n=1时成立，再假设不等式bn ≤当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式bn≤也成立，最后得到不等式bn≤对于所有的正整数n成立；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可以利用放缩法证明Sn＜，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．下面用数学归纳法证明不等式bn≤．（1）当n=1时，b1=﹣1，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．那么bk+1=|ak+1﹣|=≤．所以，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．所以Sn =b1+b2+…+bn≤（﹣1）++…+=（﹣1）•＜（﹣1）•=．故对任意n∈N*，Sn＜．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．9.证明不等式（n∈N*）【答案】见解析【解析】证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）＞f（k）然后推出结论．证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+＜2，则∴当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+＜2．证法二：设f（n）=，那么对任意k∈N*都有：∴f（k+1）＞f（k）因此，对任意n∈N*都有f（n）＞f（n﹣1）＞…＞f（1）=1＞0，∴．点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．10.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．当n=1时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=2时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=3时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；当n=4时，有n n+1（n+1）n（填＞、=或＜）；猜想一个一般性的结论，并加以证明．【答案】＜，＜，＞，＞【解析】本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=＞=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．。

高一基本不等式典型例题咱们可以从简单的说起，比如说“算术几何不等式”，这就像是把两个世界放在一起。

想象一下，你和你的朋友比赛，谁能吃掉更多的冰淇淋。

你有个平整的碗，他却用一个歪歪扭扭的杯子，这可就显现出你们之间的差距了吧。

算术不等式就像在告诉我们，平均水平不一定是最好的。

追求均匀反而会让我们失去更多的乐趣。

大家都知道“冰淇淋越多越好”，但如果你的朋友吃到了一堆融化的冰淇淋，那可真是让人心疼了。

再来看看“柯西施瓦兹不等式”，哎，这个名字听起来就很高大上。

它的意思简单得不能再简单了。

想象你和你的另一半一起去逛街，你们买了两样东西。

结果，你买了很多小东西，他却只买了一个大包包。

你可能会觉得你们的选择有点不太对等。

这个不等式就像是在说，两个变量的乘积，其实不一定比各自的和要小。

听起来复杂，其实就是告诉我们，合作的力量比单打独斗要强大得多。

接着说说“赫尔德不等式”，这真的是个妙不可言的东西。

咱们假设有个小团队，大家各自分工，最后合力把事情做好。

就像一群小蚂蚁，虽然每只蚂蚁的力量微不足道，但它们合在一起，简直能搬起比自己大好几倍的东西。

赫尔德不等式就是在提醒我们，团结的力量是无限的，简直就是“众人拾柴火焰高”的真实写照。

不等式的世界里，总是充满了惊喜。

想象一下，如果有一天你发现你的成绩居然能通过不等式来提升，那感觉简直爽翻了。

只要你能掌握这些不等式，仿佛打开了一个新的大门，所有的数学问题都在向你招手，等待着你去探索。

说不定，这些公式和定理还能帮你在考试中逆袭，成为大家口中的“数学天才”。

理解不等式并不容易。

学习的过程就像走在沙滩上，脚下的沙子不断滑动，让你时而有点失去平衡。

不过没关系，咱们都知道，走路嘛，总是要有跌跌撞撞的。

重要的是，别放弃，要勇敢地走下去。

毕竟，“不经历风雨，怎能见彩虹”嘛！每一次的尝试都是一次成长，每一个错误都是一次进步。

想说的是，不等式就像是一把钥匙，打开了通往数学王国的大门。

只要你用心去理解，去感受，那些原本复杂的公式，都会变得简单明了。

基本不等式应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

高一数学具体的不等式试题1.不等式x2＜x＋2的解集为【答案】（）【解析】根据题意，由于不等式x2＜x＋2等价于x2-x-2<0,(x+1)(x-2)<0的解集结合二次函数图像以及二次方程的根，可知不等式的解集为（），故答案为（）。

【考点】一元二次不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。

2.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】取，可以验证①②③都是正确的，所以正确的有3个.【考点】本小题主要考查不等式的性质的应用.点评：遇到考查不等式性质的题目时，要注意特殊值法的应用，这种方法一般情况下简单有效.3.设函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若对恒成立,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1) 当时, ，分段讨论可得不等式的解集为(2) 根据绝对值的几何意义可知，，由题意得, 解得【考点】本小题主要考查含绝对值的不等式的求解和应用.点评：解决含绝对值的不等式问题，最主要的是分类讨论去掉绝对值号，讨论时要做到不重不漏；而绝对值的几何意义也是经常考查的内容，要灵活应用.4.函数在上满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D.【考点】不等式点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。

5.解关于不等式：【答案】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，【解析】当时，；当时，当时，；当时，；当时，【考点】解不等式点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小6.不等式的解集为A．B．［－1，1］C．D．［0，1］【答案】 A【解析】即或，解得，，故选A。

高一数学基本不等式练习题高一数学基本不等式练习题数学是一门既有趣又具挑战性的学科。

在高中阶段，学生们开始接触更加深入和复杂的数学概念和技巧。

其中，不等式是数学中的一个重要主题，它涉及到数值之间的大小关系。

在高一阶段，学生们将开始学习和掌握基本的不等式知识和技巧。

为了帮助学生更好地理解和应用基本不等式，下面将给出一些高一数学基本不等式的练习题。

1. 练习题一：解不等式解下列不等式，并将解集表示在数轴上：a) 2x - 5 < 7b) 3 - 4x > 1c) 2x + 3 > 5x - 22. 练习题二：证明不等式证明下列不等式成立：a) 对任意正实数a、b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abcb) 对任意正实数a、b和c，有a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca3. 练习题三：应用不等式利用基本不等式求解下列问题：a) 一个矩形的长是宽的三倍，如果矩形的周长不超过30个单位长度，求矩形的最大面积。

b) 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的长度不超过6，求三角形的最大面积。

4. 练习题四：综合应用解下列复合不等式，并将解集表示在数轴上：a) 2x + 3 > 5 或者 4x - 1 < 3b) 3x - 2 ≥ 5 并且 2x + 1 < 75. 练习题五：不等式的性质判断下列不等式的真假，并给出证明：a) 对任意实数x，都有x^2 ≥ 0b) 对任意正实数a和b，有a^2 + b^2 ≥ 2ab通过以上的练习题，学生们可以巩固和运用基本不等式的知识和技巧。

解不等式的练习可以帮助学生熟悉不等式的解法和解集的表示方式。

证明不等式的练习可以培养学生的逻辑推理和数学思维能力。

应用不等式的练习可以帮助学生将数学知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。

综合应用的练习可以让学生综合运用不等式的知识和技巧，培养学生的综合分析和解决问题的能力。

【其中复习】高一数学不等式解法经典例题解下列分式不等式：（1）；（2）分析：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形①②（1）解：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为。

（2）解法一：原不等式等价于∴原不等式解集为。

解法二：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为典型例题三例3 解不等式分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法、解法一：原不等式即∴或故原不等式的解集为、解法二：原不等式等价于即∴、典型例题四例4 解不等式、分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：或所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集、也可用数轴标根法求解、解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：或或或或或、∴原不等式解集是、解法二：原不等式化为、画数轴，找因式根，分区间，定符号、符号∴原不等式解集是、说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解、解法二中，“定符号”是关键、当每个因式的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间、在解题时要正确运用、典型例题五例5 解不等式、分析：不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解、解：移项整理，将原不等式化为、由恒成立，知原不等式等价于、解之，得原不等式的解集为、说明：此题易出现去分母得的错误解法、避免误解的方法是移项使一边为０再解、另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理、典型例题六例6 设，解关于的不等式、分析：进行分类讨论求解、解：当时，因一定成立，故原不等式的解集为、当时，原不等式化为；当时，解得；当时，解得、∴当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为、说明：解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解、因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论、在解出的两根为，后，认为，这也是易出现的错误之处、这时也应分情况来讨论：当时，；当时，、典型例题七例7 解关于的不等式、分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解、解：原不等式或由，得：由判别式，故不等式的解是、当时，，，不等式组(1)的解是，不等式组(2)的解是、当时，不等式组(1)无解，(2)的解是、综上可知，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是、说明：本题分类讨论标准“，”是依据“已知及(1)中‘，’，(2)中‘，’”确定的、解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点、一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定、本题易误把原不等式等价于不等式、纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法、典型例题八例8 解不等式、分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可、解答：去掉绝对值号得，∴原不等式等价于不等式组∴原不等式的解集为、说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解、典型例题九例9 解关于的不等式、分析：不等式中含有字母，故需分类讨论、但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比较两根的大小，从而引出讨论、解：原不等式可化为、(1)当（即或）时，不等式的解集为：；(2)当（即）时，不等式的解集为：；(3)当（即或1）时，不等式的解集为：、说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论、比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根、但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，，三种情况、典型例题例10 已知不等式的解集是、求不等式的解集、分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数的正负，然后求出方程的两根即可解之、解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根，∴，、又的解集是，说明、而，，∴、∴，即，即、又，∴，∴的解集为、(解法2)由题意可判断出，是方程的两根，∴、又的解集是，说明、而，、对方程两边同除以得、令，该方程即为，它的两根为，，∴，、∴，，∴方程的两根为，、∵，∴、∴不等式的解集是、说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数，，的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根、典型例题二例12 若不等式的解为，求、的值、分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于、式子、解：∵，，∴原不等式化为、依题意，∴、说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解、典型例题三例13 不等式的解集为，求与的值、分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，、解法一：设的两根为，，由韦达定理得：由题意：∴，，此时满足，、解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故需满足：∴，、说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力、对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好、典型例题四例14 解关于的不等式、分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想、解：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，∴(2)当时，原不等式变为：①①当时，①式变为，∴不等式的解为或、②当时，①式变为、②∵，∴当时，，此时②的解为、当时，，此时②的解为、说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏、另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解、典型例题五例15 解不等式、分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或、解：原不等式等价于下面两个不等式组：①②由①得，∴由②得∴，所以原不等式的解集为，即为、说明：本题也可以转化为型的不等式求解，注意：，这里，设全集，，则所求不等式的解集为的补集，由或、即，∴原不等式的解集是、。

高一数学基本不等式最值经典例题1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊高一数学中一个非常重要而有趣的话题——基本不等式。

听起来有点儿高大上，但其实它就像是你生活中的小窍门，能帮你解决很多问题，真是“点石成金”！不等式的妙处在于它能让我们找到某些数值的“最值”，而且在日常生活中到处可见。

比如说，你想知道哪种水果的价格最低，或者如何分配零花钱，基本不等式就能帮你搞定这些“小事儿”。

1.1 什么是基本不等式？简单来说，基本不等式就是指对于非负数 (a) 和 (b)，总有 ( frac{a + b{2 geqsqrt{ab )。

这就意味着两个数的平均值总是大于等于它们的几何平均。

听起来是不是有点儿晦涩？其实，咱们可以把它想象成两个小伙伴一起去买糖果。

一个人买了2颗，另一个人买了8颗，他们俩的平均每人是5颗，但如果把糖果的“分数”换成“质量”，那么可能有一颗特别好吃的糖果，大家都想尝尝。

所以，不等式就是在告诉我们，平均的力量可不是开玩笑的！1.2 为啥要关注最值？那咱们说说最值吧。

最值其实就是在某个范围内，某个数能取得的最大或者最小的值。

就像咱们在学校里争夺“学霸”的称号，大家都希望自己能成为那颗最闪亮的星星。

数学中的最值问题就像是寻找那个“金子”的过程。

通过基本不等式，我们能很容易地找到这些“金子”，让我们在考场上也能如鱼得水，轻松拿下高分！2. 经典例题解析接下来，咱们通过一些经典例题来深入探讨一下吧！比如，设 (a) 和 (b) 是非负实数，求 (S = a + b) 的最小值，条件是 (ab = 4)。

这个问题怎么解呢？我们可以先用基本不等式，得出 ( frac{a + b{2 geq sqrt{ab = sqrt{4 = 2)，所以 (a + b geq 4)。

于是我们发现，最小值是4。

这就像在说：“不管你怎么折腾，咱们的糖果总是得有4颗，不能少！”2.1 再来一题再举个例子，设 (x, y, z) 是非负数，求 (P = x^2 + y^2 + z^2) 的最小值，条件是 (x + y + z = 6)。

高一数学不等式试题1.已知，若存在，使得任意恒成立，且两边等号能取到，则的最小值为 .【答案】【解析】，对于任意恒成立，即为函数的最小值，为函数的最大值；若两边等号能取到，则至少为的一个周期，所以最小值为.【考点】三角恒等变换、不等式恒成立问题.2. 2010年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7．1级强震。

国家抗震救灾指挥部迅速成立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于千米。

设这批救灾物资全部运送到灾区（不考虑车辆的长度）所需要的时间为小时。

求这批救灾物资全部运送到灾区所需要的最短时间，并指出此时车辆行驶的速度。

【答案】（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）【解析】由题可得关系式为从而当且仅当，即（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）3.若不等式的解集是R，则m的范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是大于0，所以与x轴无交点，且开口向上，所以有方程组{，所以解得范围为。

【考点】不等式计算4.不等式的解集是，则不等式的解集是___．【答案】【解析】由已知得：的两个根是或，那么根据根与系数的关系，解得，代入所解不等式，，解得【考点】1．二次不等式的解法；2．根与系数的关系．5.设满足约束条件，则的最大值为（）A．-8B．3C．5D．7【答案】D【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7【考点】线性规划6.若实数满足，则的最小值为（）A．B．2C．D．4【答案】A【解析】，，解得，即的最小值为．【考点】基本不等式7.已知在R上恒满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当a=0时，-1＜0恒成立，当a≠0时，由题意知二次函数必须开口向下，且判别式小于0，，选C．【考点】恒成立与二次函数的图像性质．8.已知直线与轴、轴的正半轴分别交于A（，0），B（0，）两点，且满足，O为坐标原点，则面积的最小值为．【答案】4【解析】，【考点】均值不等式的应用．9.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原不等式等价于，变形为，且，所以根据穿线法，得到解集：【考点】1．分式不等式的解法；2．高次不等式的解法．10.已知实数满足约束条件则的最大值是．【答案】9【解析】画出如图所示的平面区域通过平移即可得到在点的最大值为9．【考点】线性规划11.二次不等式的解集是全体实数的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，原不等式换位对任意的都成立，要使二次不等式的解集是全体实数，只需，综上，故选B。

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

高一数学不等式的证明练习题【例1】a，b，c是三角形的三边，0m>.求证：a b ca mb mc m+>+++；【例2】已知a b c>>，求证111a b b c a c+>---.【例3】已知a b c>>，求证：114a b b c a c+---≥．典例分析【例4】 已知0a >，0b >，且1a b +=．求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥．【例5】 若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．【例6】 设,,a b c +∈R ，求证：11()()4a b c a b c++++≥．【例7】 已知,,a b c +∈R ，求证：222a b c a b c b c a++++≥．【例8】 已知,,x y z +∈R ，且1x y z ++=【例9】 若半径为1的圆内接ABC ∆的面积是14，三边长分别为，，a b c ，求证：⑴1abc =111a b c++．【例10】 已知a b c 、、是互不相等的正数，求证：222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>．【例11】 已知,,a b c 是一个三角形的三边之长，求证：(1)(1)(1)8a b c a b c a b cb c a c a b a b c++++++---+-+-+-≥．【例12】 若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．【例13】 ⑴已知,,a b c ∈R ，求证：222a b c ab bc ca ++++≥⑵若0a >，0b >，且1a b +=，求证：114a b+≥．【例14】 设x ，y ，z .【例15】 已知a ，b ，c )a b c ++.【例16】 已知锐角ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，且a 边上的高为h ，求证：b c +【例17】 设a 、b 、c 是正实数，且满足1abc =，证明：1111111a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤．【例18】 证明下列不等式：⑴若,,x y z ∈R ，,,a b c +∈R （+R 为正实数），则2222()b c c a a b x y z xy yz zx a b c+++++++≥．⑵若x ，y ，z +∈R （+R 为正实数），且x y z xyz ++=，则21112y z z x x yx y z x y z ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭≥．【例19】 设0a b +>，求证：2211122211log ()log (1)log (1)22≥a b a b ++++．【例20】 已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，证明：2223333a b c a b c ++++≥【例21】 设0(12)i x i n >=L ，，，且121n x x x +++=L ，n ∈N ，n ≥2． 求证12121313112323111()()()()()4n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+++++++++++L L ≤．【例22】 证明柯西不等式：()21122n n a b a b a b +++L ()()2222221212n n a a a b b b ++++++L L ≤(),1,2i i a b R i n ∈=L等号当且仅当120n a a a ====L 或i i b ka =时成立（k 为常数，1,2i n =L ）【例23】 设()()20f x ax bx c a =++≠，若(0)1f ≤，(1)f ≤1，(1)1f -≤，试证明：对于任意11x -≤≤，有()54f x ≤．。

典型例题一例1 假如10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-〔0>a 且1≠a 〕．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比拟法证明．解法1 〔1〕当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a +---=0)1(log 2>--=x a ．〔2〕当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--)1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a ．综合〔1〕〔2〕知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比拟法．因为 )1(log )1(log x x a a +--a x a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a， 所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.abba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>abb a ， ∴.abba b a b a >.说明：此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥〔当且仅当a b =时取等号〕 分析 这个题假如使用比拟法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。

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典型例题一
例1解不等式：（1）015223x x x
；（2）0)2()5)(4(32x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(x f （或0)(x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
0)
3)(52(x x x 把方程0)3)(52(x x x 的三个根3,25,0321x x x 顺次标上数轴．然后从右上
开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为
3
025x x x 或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x
x x x x
x x
x 或∴原不等式解集为2
455x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”
，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题二
例2 解下列分式不等式：
（1）22
123
x x ；（2）1
2731422
x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()
(或x g x f 时，要注意它的等价变形。

高一数学绝对值不等式经典例题1030典型例题一例1 解不等式分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令，∴ ，令，∴ ，如图所示．（1）当时原不等式化为∴ 与条件矛盾，无解．（2）当时，原不等式化为．∴ ，故．（3）当时，原不等式化为．∴ ，故．综上，原不等式的解为．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．典型例题二例2 求使不等式有解的的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为三个区间当时，原不等式变为有解的条件为，即；当时，得，即；当时，得，即，有解的条件为∴ ．以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为．解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是P到A、B的距离之和小于．因为，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即，故当时，有解．典型例题三例3 已知，求证．分析：根据条件凑．证明：．说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4 求证分析：使用分析法证明∵ ，∴只需证明，两边同除，即只需证明，即当时，；当时，，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：（1）如果，则，原不等式显然成立．（2）如果，则，利用不等式的传递性知，，∴原不等式也成立．典型例题五例5 求证．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设．定义域为｛，且｝，分别在区间，区间上是增函数．又，∴ 即∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：∵ ，，∴ ．错误在不能保证，．绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围．分析：分别求出集合、，然后再分类讨论．解：解不等式，，∴ ．解不等式，．当时（即时），得．当时（即时），得．当时，要满足，必须故；当时，要满足，必须∴ ．所以的取值范围是．说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．典型例题七例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：．分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决．证明：∵ ∴ ．说明：是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误．正余弦函数的值域，即，，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8 已知，，求证：分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换．证明：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．∴ ，∴ ，即．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9 不等式组的解集是（）． A． B． C． D．分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，∴ ，又，∴ ，解原不等式组实为解不等式（）．解法一：不等式两边平方得：．∴ ，即，∴ ，又．∴ ∴ ．选C．解法二：∵ ，∴可分成两种情况讨论： (1)当时，不等式组化为（）．解得． (2)当时，不等式组可化为（），解得．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选C．说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10 设二次函数 ( ，且 )，已知，，，，当时，证明．分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵ ，∴ ．又∵ ，∴ ．∴ ．又，，∴ ．而的图像为开口向上的抛物线，且，，∴ 的最大值应在，或处取得．∵ ，，，∴ ．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，，的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最大值．。

高一数学必考题型例题及解析高一数学是高中的基础课程，由于其计算量重、概念重、层次高等特点，在高一学期就会接触到很多常考的必考题型，这些必考题型也是高考试卷中常考的题型，因此考生们在学习高一数学课程时，需要通过例题熟悉各必考题型，以求在考试中能够更加熟练地掌握这些必考题型。

下面就以几道例题来说明上述必考题型以及对应的解法。

一、方程与不等式1、若2x+5y=15，求x的取值范围。

解：由题意得2x+5y=15，设x=t，得t+5y=15，即5y=15-t，因此y=3-t/5，即x和y的取值由下列不等式给出：x=t，t∈R；y=3-t/5，t∈R因此x的取值范围为x=t，t∈R。

2、如果x+3>2x-3，求x的取值范围。

解：由题意得x+3>2x-3，解得x>0，因此x的取值范围为x>0。

二、函数1、已知函数f(x)的定义域是[-3,3]，试求x值使f(x)=2的解集。

解：由函数f(x)的定义域[-3,3]，已知f(x)=2，由此有f(x)-2=0，即f(x)=2，因此x的解集是f(x)=2的根的集合，即x=-3或x=3。

2、已知函数f(x)对任意实数x满足：f(x+2)=f(x)+2，求f(x)的表达式。

解：设f(x)的表达式为f(x)=asx+b，由f(x+2)=f(x)+2，可得as(x+2)+b=asx+b+2，即2as+2=2，解得as=-1，将其代入f(x)=asx+b，得f(x)=-x+b，此时f(0)=b，由此可求得b=f(0)，因此函数f(x)的表达式为f(x)=-x+f(0)。

三、统计1、已知一组数据：37,52,68,50,41，求这组数据的平均值。

解：将这组数据按大小排列为37,41,50,52,68，求这组数据的平均值：平均值=（37+41+50+52+68）/5=482、某市有3000名居民，某晚上该市有750名居民出去旅游，求该晚上该市居民出行的比例。