高中基本不等式经典例题教案

环节三 基本不等式(一)
1．理解基本不等式2b a ab +≤
(a ＞0，b ＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养；
2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；
3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养． PPT 课件，及GEOGEBRA 制作的动画课件．
一、整体感知
问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？
师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结．
预设答案：类比代数式运算的研究，学习了一般运算之后，就要探索其特殊关系，这些特殊关系往往具有重要作用，比如乘法公式等等．那么学习了不等式的性质，我们就要尝试探索一些特殊的不等式——基本不等式．
它是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石．
设计意图：让学生从整体上把握本节内容，了解基本不等式在解决不等式问题有重要的作用．。

高考基本不等式求最值教案一、教学目标1.理解基本不等式的定义和性质。

2.熟练掌握常见的基本不等式及其证明方法。

3.学会灵活运用基本不等式求解最值的方法。

二、教学内容1.基本不等式的概念和性质。

2.常见的基本不等式及其证明方法。

3.利用基本不等式求解最值问题。

三、教学步骤第一步：导入新知1.通过举例子或是提问的方式，引发学生对不等式最值问题的思考。

2.提出问题：如何通过基础不等式求解最值问题？第二步：学习基本不等式的定义和性质1.讲解基本不等式的定义和性质。

2.写出常见的基本不等式的形式，并讲解其证明方法。

第三步：实例分析1.分析并讲解一些常见的基础不等式的实例。

2.引导学生思考如何通过基础不等式求解最值问题。

第四步：练习和巩固1.教师出示一些基础不等式的练习题，可以分组抢答或是个人作答。

2.针对不同的题型，提供不同的解题思路和方法。

第五步：拓展1.提供一些拓展题目，要求学生通过灵活运用基础不等式来求解最值问题。

2.鼓励学生多思考、多尝试，加强解题的技巧和策略。

第六步：总结与归纳1.和学生一起总结基本不等式的性质和求最值的方法。

2.强调对基础不等式的熟练掌握和灵活运用的重要性。

四、教学重难点1.教学重点：基本不等式的定义和性质。

2.教学难点：灵活运用基本不等式求解最值问题。

五、教学方法1.演示法：通过例子的演示，引导学生掌握基本不等式的性质和求解最值的方法。

2.提问法：通过提问的方式，激发学生的思考和解题的兴趣。

六、教学工具1.教学PPT。

2.黑板、粉笔。

七、教学评价1.教师可以通过观察学生的课堂表现和解题情况来进行评价。

2.学生可以通过课堂练习和作业完成情况来进行自我评价。

通过以上教学设计，学生可以在课堂上系统地学习和巩固基本不等式的概念、性质和求解最值的方法。

在教学过程中，充分发挥学生的主体性，通过提问和解题活动，激发学生的思考和兴趣，确保学生能够真正理解和掌握基本不等式的相关知识，并能够熟练运用解题技巧解决最值问题。

高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

高中不等式经典教案第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

课题：基本不等式教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4一、教学目标：1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 难点：注意基本不等式2a bab +≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。

三、教学方法：启发、探究式相结合 四、教学工具：多媒体课件五、教学过程：一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥二、探究过程：1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 则正方形的边长为22a b +。

探究1：（1）正方形ABCD 的面积S=＿＿＿＿ （2）四个直角三角形的面积和S ’=＿＿ （3）S 及S ’有什么样的关系？ ADB HFGE《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

问题：你能证明这个结论吗？ 证明：（作差法） 因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时，0)(2>-b a 当b a =时，0)(2=-b a所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+总结结论1：一般的，如果文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。

高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计教学设计一：引入1.创设情境：通过一道问题引入基本不等式的概念和应用。

举例：小明身上有一百元，他想买一双运动鞋，价格在70-90元之间，小明想要尽可能地省钱买到心仪的鞋子。

你认为小明至少要花多少钱才能买到合适的鞋子呢？2.学生思考：让学生自由思考并讨论这个问题。

引导学生思考900的平方根是多少，以及小明至少要花多少钱。

3.引出不等式：根据学生的思考和讨论，引出基本不等式的概念，即a²≥b²。

4.学习目标：通过本节课学习，学生将了解基本不等式的定义、性质和应用。

教学设计二：知识讲授1.基本概念：通过讲解和举例，引导学生了解基本不等式的定义、性质以及运用。

2.性质讲解：依次讲解基本不等式的反身性、传递性和加法性质，并通过实际例子进行说明。

3.运用设计：设计一道问题给学生解答，让他们应用基本不等式的性质来解决问题。

问题：若a>b，b>c，c>d，d>e，e>f，求证：a²>f²。

4.板书总结：总结基本不等式的定义、性质和应用，让学生掌握基本概念和方法。

教学设计三：巩固练习1.分组讨论：将学生分成小组，让他们自行解决以下问题。

问题1：若a>b，b>c，c>0，求证：a+c>b。

问题2：若a>b，b>0，求证：a>0。

问题3：若a>0，b>0，c>0，求证：bc>0。

2.小组展示：每个小组选择一道题目进行展示，并说明解题过程和思路。

3.教师点评：对学生的解题过程和答案进行点评和评价，纠正错误理解和方法。

教学设计四：拓展应用1.实际应用：举例一些实际生活中与不等式相关的问题，并引导学生将其转化为数学问题进行求解。

例1：小明今年的身高是x cm，比去年增加了10%，求去年的身高最多是多少。

例2：商品经过n次打折后的价格为x元，每次打折都是打折前的80%，求运算中所有x的最小值。

高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。

一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。

二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。

2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。

2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。

四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。

2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。

五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。

布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。

本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。

通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。

人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13.4 基本不等式：2ba ab +≤教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1. 理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释.2. 会用此均值不等式证明简单的不等式. 二、过程与方法经历两个重要不等式的推导和证明过程，从代数和几何两方面体会重要不等式的重要性，养成良好的思维习惯.三、情感、态度与价值观培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力,感受数学的美. 教学重点和难点教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程. 教学难点：理解“当且仅当a =b 时取等号”的数学内涵. 教学关键：基本不等式的证明、理解和应用.教学突破方法：以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际出发，放手让学生探究思考.再用多媒体辅助加深学生对不等式的理解. 教法与学法导航教学方法；本节课采用观察、感知、抽象、归纳、探究；启发诱导、讲练结合的教学方法.学习方法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式.从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情.定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案. 教学准备教师准备：投影仪.学生准备：直角板、圆规. 教学过程一、创设情境，导入新课同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系教师备课系统──多媒体教案2吗?提问1:我们把“风车”造型抽象成下图.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：22a b +；22a b +.提问2：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab .提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=.二、主题探究，合作交流1. 一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.提问4：你能给出它的证明吗？证明: 222222(),()0;()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时, 所以 222a b ab +≥ 注意强调：当且仅当a b =时, 222a b ab +=2. 特别地,如果0,0,,a b a b ab a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>, 从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤. 用分析法证明：人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3要证：ab ba ≥+2， ① 只要证：ab b a 2≥+， ② 要证②，只要证02≥-+ab b a ，③ 要证③，只要证0)(2≥-b a ，④显然，④是成立的．当且仅当b a =时，④中的等号成立， 4. 你能利用图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？ 观察右图,得到不等式①的几何解释.易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝CA ·C B 即CD ＝ab .这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”. 评述： （1）如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.（2）在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、拓展创新，应用提高1. 利用基本不等式证明不等式 例 已知x 、y 都是正数，求证：（1）yxx y +≥2； （2）（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.教师备课系统──多媒体教案4解：∵x ，y 都是正数， ∴y x ＞0，x y＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0. （1）xyy x x y y x ⋅≥+2＝2，即x y y x +≥2.（2）x ＋y ≥2xy ＞0 , x 2＋y 2≥222y x ＞0, x 3＋y 3≥233y x ＞0.∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3， 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.四、小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数2ba +，几何平均数ab 及它们的关系2ba +≥ab .它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤2)2(b a +.五、课堂作业 补充：1.求证:473a a +≥-. 证明：444(3)32(3)32437333a a a a a a +=+-+≥-+=+=---. 当且仅当43a -=a -3，即a =5时,等号成立. 2.已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥8abc . 证明：∵a 、b 、c 都是正数. ∴a ＋b ≥2ab ＞0. b ＋c ≥2bc ＞0. c ＋a ≥2ac ＞0.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc . 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .第2课时教学目标一、知识与技能能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平.教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误.三、情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性. 教学重点和难点教学重点：基本不等式2a bab +≤的应用. 教学难点：运用不等式2a bab +≤求最大值、最小值.教学关键：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一. 教学突破方法：对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤. 教法与学法导航教学方法；本节课采用启发诱导、讲练结合的教学方法.学习方法：通过自主学习、合作讨论，准确理解不等式等号成立的条件，才能在实际中进行灵活的运用. 教学准备教师准备：直尺和投影仪. 学生准备：直角板. 教学过程一、创设情境，导入新课 1．重要不等式：如果)(2R,,22”号时取“当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．基本不等式：如果a 、b 是正数，那么).(2”号时取“当且仅当==≥+b a ab ba教师备课系统──多媒体教案63. 我们称2a b+为a b 、的算术平均数，称ab 为a b 、的几何平均数. 二、主题探究，合作交流（基本不等式的实际应用）例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy =100，篱笆的长为2（x +y ） m .由2x yxy +≥，可得2100x y +≥，2()40x y +≥.等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y =10.因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=.当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长为9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2.解法二：设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ,则2（x +y ）=36, x +y =18,矩形菜园的面积为xy m 2.由18922x y xy +≤==，可得81xy ≤. 当且仅当x =y ，即x =y =9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2. 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7)1600(720240000xx l ++= 16002400007202240000720240297600.x x≥+⨯⋅=+⨯⨯= 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：1. 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；2. 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；3. 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；4. 正确写出答案.随堂练习:课本第100页练习第1、2、3、4题 三、拓展创新，应用提高（利用不等式求最值）例3 （1） 若x >0,求9()4f x x x =+的最小值; （2） 若x <0,求9()4f x x x =+的最大值.分析：本题（1）中有x >0和94x x⨯=36两个前提条件;（2）中x <0,可以用-x >0来转化.解: （1） 因为 x >0 ，由基本不等式得：99()42423612f x x x x x =+≥+==,当且仅当94x x=. 即x =32时, 9()4f x x x=+取最小值12. （2）因为 x <0，所以 -x >0，由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612f x x x x x x x-=-+=-+-≥-⋅-==,所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-，即x =-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12.教师备课系统──多媒体教案8规律技巧总结：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.四、小结平均值不等式的应用在用平均值不等式求函数的最值，应注意考查下列三个条件： （1）在函数的解析式中，各项均为正数.（2）在函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值.（3）在函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用平均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.五、课堂作业教材第100～101页的习题3.4 A 组第2、3、4题.教案 B第1课时教学目标一、知识与技能学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.二、过程与方法通过实例探究抽象基本不等式. 三、情感、态度与价值观通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重点应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程.教学难点基本不等式2a bab +≤等号成立条件. 教学过程一、情境导入以2002年北京第24届国际数学家大会的会标导入新课. 二、新知探究设直角三角形的两条边长为a 、b,那么正方形的边长为22b a +.这样4个直角三人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修9角形的面积和为2ab ,正方形面积为22b a +.由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD 的面积，我们就得到了一个不等式.ab b a 222≥+.当直角三角形变为等腰直角三角形, 即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有ab b a 222=+.此时，a 、b 代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数a 、b ，上述不等式还成立吗？设计意图：使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法.问题1： 你能给出它的证明吗?222222()00.a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=，当时，（），当时，（） 所以，0)(2≥-b a ，即ab b a 222≥+.设计意图：体会作差法证明不等式，温故而知新. 1. 重要不等式一般地,对于任意实数a 、b ,我们有ab b a 222≥+.当且仅当b a =时，等号成立.你能将不等式ab b a 222≥+中的二次降为一次吗？此时a 、b 应满足什么条件呢？ 得到：ab b a 2≥+（a >0，b >0），通常我们将它写作(0,0),2a bab a b +≤>> 2. 基本不等式： (0,0),2a bab a b +≤>>. 问题2：你还能用其它方法推导不等式2ba ab +≤吗？ 要证：ab ba ≥+2， ① 只要证：ab b a 2≥+， ② 要证②，只要证02≥-+ab b a ， ③教师备课系统──多媒体教案10要证③，只要证0)(2≥-b a . ④显然，④是成立的．当且仅当b a =时，④中的等号成立.设计意图：让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路，加大基本不等式的探究力度.问题3： 上述两个不等式的区别与联系是什么？ 联系：当且仅当b a =时等号成立.区别：222(,R),a b ab a b +≥∈ (0,0).2a bab a b +≤>> 设计意图：从背景、结构、成立的条件方面比较异同，此处旨在让学生对两个不等式加以区别，并明确基本不等式的结构、成立的条件，以及两者之间的代换关系.3．算术平均数和几何平均数我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数；把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数. 文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 前面我们从“数”的角度给基本不等式(0,0)2a bab a b +≤>>作出了严格的证明，下面我们能否再从“形”的角度给基本不等式作出合理的几何解释呢？设计意图：旨在让学生体会由形到数，又由数回到形的过程，通过两个角度的反复印证，加深对基本不等式的认识.思考：（1）在直角三角形ADB 中，我们用线段AC 、CB 分别表示b a 、,你能找出表示2ba +和ab 的线段吗？那么基本不等式又说明了什么几何事实呢？结论：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. （2）如果把上述直角三角形放到圆中，你能在圆中找出表示2ba +和ab 的线段吗？ 给出Rt △ABD ，由于△ACD ∽△BCD ,因而ab CD =，由于CD 小于OD ，OD 为圆的半径，长为2a b+，用不等式表示为2ba ab +≤． 显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当b a =时，等号成立. 结论：半弦不大于半径.此处从图的角度再次明确和强调基本不等式等号成立的条件. （3）前面，我们刚刚学习了数列，2ba +和ab 在数列中代表什么？ 结论：从数列的角度看,基本不等式说明两个正数的等差中项不小于它们的等比中人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修11项.设计意图：从不同角度探究基本不等式的几何解释，启发学生认识形与数不是一对一的，对于一个代数表达式，也可以从不同的“形”去理解和解释.[问题4]：你能将基本不等式2ba ab +≤进行其它的变形吗？ （1）b a ab +≤2；（2） 2)2(b a ab +≤；（3） 222b a ab +≤ . 设计意图：再次从结构上理解基本不等式，同时强调不等式中的a 、b 可以用任何的大于零的数或者代数式去代换. 三、拓展应用1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0； b ＋c ≥2bc ＞0； c ＋a ≥2ac ＞0.∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc . 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .2. 已知m >0,求证24624m m+≥. 分析：因为m >0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b ，直接利用基本不等式.证明：因为m >0,，由基本不等式得：2424626224621224m m m m+≥⨯⨯=⨯=⨯=. 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号. 四、课时小结教师备课系统──多媒体教案12本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数2ba +，几何平均数ab 及它们的关系2ba +≥ab .它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.五、评价设计1.已知x 、y 都是正数，求证：（1）yxx y +≥2； 2. 已知x 、y 都是正数，求证（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 解答：1．.∵x 、y 都是正数 ∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.2. ∵x ，y 都是正数，所以x ＋y ≥2xy ＞0；x 2＋y 2≥222y x ＞0； x 3＋y 3≥233y x ＞0. ∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3， 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.第2课时教学目标一、知识与技能进一步掌握基本不等式2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.二、过程与方法通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德. 教学重点基本不等式2a bab +≤的应用. 教学难点利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值. 教学过程一、引入课题1．重要不等式：如果)(2R,,22”号时取“当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．定理：如果a,b 是正数，那么).(2”号时取“当且仅当==≥+b a ab ba 3 公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.4．baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 5．定理：如果,,R a b c +∈，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）. 6．推论：如果,,R a b c +∈，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）. 二、讲解范例例1 已知m >0,求证24624m m +≥. 分析：因为m >0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式.证明：因为 m >0，由基本不等式得：2424626224621224m m m m+≥⨯⨯=⨯=⨯=. 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号. 例2 求证:473a a +≥-.教师备课系统──多媒体教案14分析：由于不等式左边含有字母a ,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a ,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证. 证明： 444(3)32(3)32437333a a a a a a +=+-+≥-+=+=---， 当且仅当43a -=a -3，即a =5时,等号成立. 例3 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走如果m ≠ n ，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？分析：设从出发点至指定地点的路程为S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为1t 、2t 要回答题目中的问题，只要比较1t 、2t 的大小就可以了解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲、乙两人走完全程所需时间分别是1t 、2t ，依题意有：21122,22t n Sm S S n tm t =+=+，可得 mnn m S t n m S t 2)(,221+=+=. ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=-. ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴1t －2t < 0 即：1t < 2t .答：甲先到达指定地点.说明：此题体现了比较法证明不等式在实际中的应用，要求学生注意实际问题向数学问题的转化.三、随堂练习某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______ 吨．解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x ⋅+≥160，当16004x x=，即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案: 2 四、作业课本第100～101页习题3.4 A 组第1、2、3、4题 B 组第1、2题.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修15第三章测试题一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 若,,n m y x >>下列不等式正确的是 （ ）.A . n y m x ->-B . yn xm >C . myn x > D . x n y m ->- 2. 若角βα,满足ππ22αβ-<<<,则βα-的取值范围是（ ）. A . (π,0)- B . (π,π)- C . 3ππ(,)22- D . (0,π)3．若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）.A . c b c a -≥+B . bc ac >C .02>-ba c D . 0)(2≥-cb a 4．若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）.A . b a 11>B . ab a 11>-C . 3131b a < D . 3232b a >5．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.A . 3-≤mB . 3-≥mC . 03≤≤-mD . 03≥-≤m m 或 6．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则（1－xy ）（1＋xy ）有（ ）.A . 最小值21和最大值1 B . 最小值43和最大值1 C . 最小值21和最大值43D . 最小值17．设x > 0， y > 0，y x y x a +++=1，yyx x b +++=11，a 与b 的大小关系（ ）.A . a >bB . a <bC . a ≤bD . a ≥b8．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围（ ）.A . 4-<aB . 4->aC . 12->aD . 12-<a教师备课系统──多媒体教案169．若)21,0(∈x 时总有,0)21(log 12>--x a 则实数a 的取值范围是（ ）. A . 1||<aB . 2||<a C . 2||>a D . 2||1<<a10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲、乙两人谁先到达指定地点（ ）.A . 甲B . 乙C . 甲乙同时到达D . 无法判断11．设x 、y 、z 满足约束条件组1,32,01,01,x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值（ ）.A . 8、3B . 4、2C . 6、4D . 1、012．设f （x ）是奇函数，对任意的实数x 、y ，有),()()(y f x f y x f +=+0>x 且当时，,0)(<x f 则f （x ）在区间[a ,b ]上（ ）A . 有最大值f （a ）B . 有最小值f （a ）C . 有最大值)2(ba f + D . 有最小值)2(ba f + 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上）13．已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．14．设1(,=+-∈+）且y x xy R y x ，则x +y 的最小值为_________． 15．函数11)(22+++=x x x x f 的值域为 ． 16．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧留出宽分别为3m 、4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 ．三、解答题（本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）关于x 的一元二次不等式210ax ax a ++-<的解集为R ，求a 的取值范围.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修1718．（10分）若不等式02<--b ax x 的解是2＜x ＜3，求不等式012>--ax bx 的解集.19．（12分）设x 为正实数，且1222=+y x ，求21y x +的最大值．20．（12分） 已知ABC ∆的三边长a b c 、、满足2b c a +≤，2c a b +≤，求b a的取值范围．21. （12分）已知△ABC 的三边长是a b c 、、且m 为正数,求证:mc cm b b m a a +>+++.22．（14分） 设集合},0)2(2|{},045|{22=++-=>+-=a ax x x B x x x A若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．参考答案1～5 DADBA 6～12 BBADA CB13． []5,10 14. 222+ 15. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.24m 、18m17．解：当0a =时，不等式210ax ax a ++-<的解集为R ；教师备课系统──多媒体教案18当0a ≠时，由题意知()20,410a a a a <⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得0a <.所以a 的取值范围为0a ≤.18．解：由不等式02<--b ax x 的解是2＜x ＜3，所以2、3应为方程20x ax b --=的两根,根据根与系数关系得5,6a b ==-.代入012>--ax bx ,得：26510x x --->，解得1123x -<<-.所以不等式012>--ax bx 的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 19． 解：∵0>x ，∴2)]221([2)221(2122222y x y x y x ++≤+⋅=+ 又2321)2()221(2222=++=++y x y x ， ∴423)2321(212=⋅≤+y x .即423)1(max 2=+y x . 20． 解：设a x b =，c y a =，则121210,0x y x y x y x x y <+≤⎧⎪<+≤⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，，，，作出平面区域（如下图），yxO1ABCD1- 1-2 12y x +=1x y =+2x y +=1x y +=1y x =+人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修19由图知：21(,)33A ，31(,)22C ，∴2332x <<，即2332b a <<．21. 证明:做差比较法()()()()()()()()()a b c a b m c m b a m c m c a m b m a m b m c m a m b m c m +++++-+++-=++++++ =2()()()()abc abm a b c ma mb mc m +++-+++ .∵a b c 、、为三角形的三边 ∴0a b c +-> 又∵0,0,0,0a b c m >>>>, ∴ 0a b c a m b m c m +->+++，∴a b ca mb mc m+>+++ . 22．解{|14},A x x x A B =<>∴≠或∅的意义是方程0)2(22=++-a ax x 有解， 且至少有一解在区间),4()1,(+∞--∞ 内，但直接求解情况比较多，如果考虑“补集”，则解法较简单. 设全集}21|{}0)2(4)2(|{2≥-≤=≥+-=∆=a a a a a a U 或， 且0)2(2|{2=++-=a ax x x a P 的方程关于的两根都在[1，4]内}记),2(2)(2++-=a ax x x f ∴方程0)(=x f 的两根都在[1，4]内012(1)030182,71870(4)01414a a f a a a f a a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩∆≥≤≥≥-≥⇔⇔≤≤-≥≥<<<<或，，解得，，}7182|{≤≤=∴a a P ，∴所求实数a 的取值范围是}7181|{>-≤=a a a P C U 或.。

教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。

2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。

二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。

●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。

●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。

●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。

2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。

●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。

●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。

3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。

●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。

●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。

基本不等式教案
主题：基本不等式
目标：
1. 理解基本不等式的概念和性质。

2. 掌握基本不等式的解法和应用。

3. 能够运用基本不等式解决实际问题。

教学步骤：
引入（5分钟）：
教师简要介绍基本不等式的概念，并与学生讨论不等式在日常生活中的应用。

教学（30分钟）：
1. 解释“大于等于”和“小于等于”的概念，以及它们在数轴上的
表示。

2. 介绍基本不等式的性质和解法，例如当a>b时，有a+c>b+c、ac>bc（其中c为正数）。

3. 解释绝对值不等式的性质和解法，例如当|a|>b时，有a>b
或a<-b。

4. 给出一些简单的示例，让学生应用基本不等式进行求解。

实践（15分钟）：
1. 提供一些实际问题，要求学生运用基本不等式进行求解，例如：
a）某学生的数学成绩大于等于80分，语文成绩大于等于85
分，求该学生的总分最小值；
b）某商品原价200元，现在打7折，求最低的折扣价。

2. 学生在小组内讨论并解答问题，教师给予指导和帮助。

总结（5分钟）：
教师总结基本不等式的重要性和应用，并复习基本不等式的解法和性质。

拓展：
教师可以提供更复杂的问题，让学生进一步运用基本不等式进行求解，并引导学生在日常生活中寻找更多的不等式应用。

专题2：基本不等式1．≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．注意：(1)a ＋b 2和ab 分别叫a ，b 的算术平均数和几何平均数 ；(2)两种重要变形：①a ＋b ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ；2．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，则x ＋y x ＝y 时，和x ＋y 有最小 值2p .(简记：积定和最小 )(2)如果和x ＋y 是定值p ，则xy ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大 值p 24.(简记：和定积最大 ) 3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b≥2 (a ，b 同号 )； (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．※考点自测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)当x ＞1时，函数y ＝x ＋1x的最小值等于2.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × ) 2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C3．若函数y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．答案 25 m 25．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 116※题型讲练题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 (1)1 (2)23＋2命题点2 “1”字代换法求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为 .(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是 .答案 (1)16 (2)92命题点3 换元法求最值例3 (1)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)15 (2)6(2)已知0<x <12，则y ＝12x (1－2x )的最大值为 .(3)已知x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为_____．答案 (1)C (2)116 (3)2题型二 利用基本不等式解决恒成立问题例4 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为() A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)a ≥15．变式训练2：(1)当x <32时，不等式a ≥x ＋82x －3恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)若对于任意x ∈N *，x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，则a 的取值范围_______．答案 (1) a ≥－52 (2)[－83，＋∞)变式训练3：(1)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，则每间虎笼的长= ，宽= 时，可使每间虎笼面积最大，最大面积为 . 答案 长为4.5 m ，宽为3 m 时，面积最大272. (2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9. 证明： 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a. 同理1＋1b ＝2＋a b. 所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．※课后练习(时间：45分钟)1．下列不等式中，一定正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 答案：D2．已知x >0，y >0，x ＋y ＝3，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≤14B ．1a ＋1b≤1 C ．ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8 答案 D4．正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16 答案 B5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2答案 C6．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于 . 答案 37．已知x ，y ＞0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为_______．答案：38．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为 ．答案 29．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)答案：16010．已知不等式(x ＋y )()1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．答案： 411．已知正数x ，y 满足：x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为 .答案 812．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )()1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.13．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足9a ＋b ＝ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围．解：9a ＋b ＝ab ，故9b ＋1a＝1， 所以4a ＋b ＝(4a ＋b )(9b ＋1a )＝13＋36a b ＋b a ≥13＋236a b ·b a＝25，即4a ＋b ≥25， 当且仅当36a b ＝b a，即b ＝6a 时等号成立． 而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0<c ≤25.14．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． 解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9.。

第5讲基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，等号成立的条件：当且仅当□1a ＝b 时取等号．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥□22ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值□32P ．(2)已知x ，y 都是正数，如果x ＋y 的和等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值□414S 2．利用基本不等式求最值要注意：(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)．常用结论1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2．ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．()(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.()(4)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．回源教材(1)已知x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值为________．解析：x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）×1x ＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．答案：1(2)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．解析：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：9(3)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2，此时矩形场地的长、宽分别是________m.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0＜x＜10，所以面积y ＝x (10－x )≤(x ＋10－x 2)2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，所以y max ＝25.此时矩形的长与宽均为5m.答案：255，5利用基本不等式求最值配凑法例1(1)已知x ＞2，则4x －2＋x 的最小值是________．解析：由x >2知x －2>0，则4x －2＋x ＝4x －2＋(x －2)＋2≥24x －2·（x －2）＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2，即x ＝4时取“＝”，所以4x －2＋x 的最小值是6.答案：6(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤22x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)，∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.答案：92常数代换法例2(2024·济宁高三月考)若a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3解析：C因为a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，所以2a ＋3b ＝16(2a ＋3b )(3a ＋2b )＝16(12＋4b a ＋9a b )≥16(12＋24b a ·9a b )＝4，当且仅当3a ＝2b ＝3时，取等号，即2a ＋3b的最小值为4.消元法例3(2024·菏泽期中)若正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，则4x ＋y 的最小值是()A ．3B ．6C ．23D ．42解析：B因为正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，所以y ＝3x －x ，由y >0，得3x－x >0，因为x >0，所以3－x 2>0，即0<x <3.所以4x ＋y ＝3x ＋3x ≥23x ·3x＝6，当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时等号成立．故选B ．反思感悟利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．训练1(1)已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为()A ．16B ．8＋42C ．12D ．6＋42解析：A 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )(2x ＋4y )＝8x y ＋2yx＋8≥28x y ·2yx＋8＝16，当且仅当8x y ＝2yx，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16.(2)(2024·深圳六校质检)已知x>0，y>0，若x＋y＋xy＝3，则xy的最大值为()A．1B．2C．2D．22解析：A法一：由x>0，y>0，得x＋y≥2xy，所以x＋y＋xy＝3≥2xy＋xy，当且仅当x＝y时等号成立．令xy＝t(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，即0<xy≤1，故0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，xy的最大值为1，故选A．法二：由x＋y＋xy＝3，且x>0，得y＝3－xx＋1，则xy＝x（3－x）x＋1＝－x2＋3xx＋1，因为x>0，y>0，则3－xx＋1>0且x>0，解得0<x<3.设t＝x＋1∈(1，4)，则x＝t－1，xy＝－x2＋3xx＋1＝－（t－1）2＋3（t－1）t＝－t2＋5t－4t＝－t－4t＋5＝－(t＋4t)＋5≤－2t·4t＋5＝1，当且仅当t＝4t，即t＝2，也即x＝y＝1时等号成立，所以xy的最大值为1，故选A．(3)已知x>1，则y＝x－1x2＋3的最大值为________．解析：令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0，∴y＝t（t＋1）2＋3＝tt2＋2t＋4＝1t＋4t＋2≤124＋2＝16，当且仅当t＝4t，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，y max＝1 6 .答案：1 6利用基本不等式求参数值或取值范围例4(1)当x>a时，2x＋8x－a的最小值为10，则a＝()A．1B．2 C．22D．4解析：A2x＋8x－a＝2(x－a)＋8x－a＋2a≥22（x－a）×8x－a＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.(2)已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)(1x＋ay)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.答案：4反思感悟利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围．训练2若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则实数m的取值范围是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，所以4x＋1＋1y＝12[(x＋1)＋y]·(4x＋1＋1y)＝12(5＋4yx＋1＋x＋1y)≥1 2(5＋24yx＋1·x＋1y)＝92，＋1＝2y，＋y＝1，＝13，＝23时，等号成立，所以4x＋1＋1y的最小值为92.因为不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，即(2m－3)(m＋3)>0，解得m<－3或m>32.答案：(－∞，－3)∪(32，＋∞)基本不等式的实际应用例5长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是mx，所以y＝mx(kx2＋9)＝m(x＋9x)，1≤x≤10.(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000(x＋9x)≥1000×29＝6000(千克)．当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．反思感悟1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解．训练3某校为该校生物兴趣小组分配了一块面积为32m 2的矩形空地，该生物兴趣小组计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区，如图，要求矩形试验区的四周各空0.5m ，各试验区之间也空0.5m ．则每块试验区的面积的最大值为________m 2.解析：设矩形空地的长为x m ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)0.5×34－x －64x≤34－2x ×64x＝18，当且仅当x ＝64x，即x ＝8时等号成立，易知x ＝8符合题意，所以每块试验区的面积的最大值为18÷3＝6(m 2)．答案：6限时规范训练(五)A 级基础落实练1．下列函数中，最小值为2的是()A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π2)解析：C 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0，π2)时，sin x∈(0，1)，y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，因为sin x∈(0，1)，故D错误．2．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．14B．4C．12D．2解析：D由题意得4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.3．(2024·六安金寨县青山中学期末)已知x>2，y＝4x＋1x－2，则y的最小值为()A．8B．10C．12D．14解析：C∵x>2，∴y＝4x＋1x－2＝4(x－2)＋1x－2＋8≥24（x－2）·1x－2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝1x－2，即x＝52时取等号，故选C．4．(2024·长沙雅礼中学第三次月考)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为()A ．36B ．25C ．16D ．9解析：B法一：由x ＋y ＝7，得(x ＋1)＋(y ＋2)＝10，则(1＋x )(2＋y )≤（1＋x ）＋（2＋y ）22＝25，当且仅当1＋x ＝2＋y ，即x ＝4，y ＝3时等号成立，所以(1＋x )·(2＋y )的最大值为25.故选B ．法二：因为x ＋y ＝7，所以y ＝7－x ，因为x >0，y >0，所以0<x <7，则(1＋x )(2＋y )＝(1＋x )(9－x )＝－x 2＋8x ＋9＝－(x －4)2＋25≤25，所以当x ＝4，y ＝3时，(1＋x )(2＋y )取得最大值25.故选B ．5．(2023·忻州联考(二))已知0<a <2，则1a ＋92－a 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．16解析：C 因为0<a <2，所以1a >0，92－a >0，则1a ＋92－a ＝12[a ＋(2－a )](1a ＋92－a )＝12(1＋9a 2－a ＋2－a a ＋9)＝5＋12(9a2－a ＋2－a a)≥5＋9a 2－a ·2－aa＝8，当且仅当9a 2－a ＝2－a a ，即a ＝12时等号成立，所以1a ＋92－a 的最小值为8.6．(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a ，b 满足a >b >0且a ＋b ＝2，则下列结论中正确的有()A ．a 2＋b 2>2B ．8a ＋2b ≥9C ．ln a ＋ln b >0D ．a ＋1a >b ＋1b解析：AB对于A ，因为a >b >0且a ＋b ＝2，由基本不等式a 2＋b 2>2ab ，得a 2＋b 2＝12[a 2＋b 2＋(a 2＋b 2)]>12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝2(或由不等式a 2＋b 22>(a ＋b 2)2直接得到)，故A 正确；对于B ，8a ＋2b ＝12(8a ＋2b )(a ＋b )＝12(10＋8b a ＋2a b )≥12(10＋28b a ·2ab)＝9，当且仅当8b a ＝2a b ，即a ＝43，b ＝23时等号成立，故B 正确；对于C ，ln a ＋ln b ＝ln(ab )<ln(a ＋b 2)2＝ln 1＝0，故C 错误；对于D ，因为ab <(a ＋b 2)2＝1，所以0<ab <1，所以(a ＋1a )－(b ＋1b )＝(a －b )＋b －a ab ＝(a －b )(1－1ab )＝（a －b ）（ab －1）ab<0，故D 错误．故选AB ．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥2（x ＋1）·1（x ＋1）－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.答案：08．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系式为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－（x ＋25x ）万元，由于x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．答案：89．(2024·张家口部分学校期中)已知a >0，b >0，且有a 2＋4ab ＝16b 2，则a ＋2b 的最小值为________．解析：(a ＋2b )2＝a 2＋4ab ＋4b 2＝16b 2＋4b 2≥216b 2×4b 2＝16，当且仅当16b 2＝4b 2，即b ＝2，a ＝4－22时取等号，由于a >0，b >0，所以a ＋2b ≥4，所以a ＋2b 的最小值为4.答案：410．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时，取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以4－x 2>0，则y ＝x 4－x 2＝x 2·（4－x 2）≤x 2＋（4－x 2）2＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ，即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立，∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y)(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 级能力提升练12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1解析：BC 对于A ，B ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取等号，解得－2≤x ＋y ≤2，所以A 不正确，B 正确；对于C ，D ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，所以x 2＋y 2≤2，所以C 正确，D 不正确．故选BC ．13．(多选)(2023·安徽三模)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当c ab取最小值时，下列说法正确的是()A ．a ＝2bB ．c ＝4b 2C ．2a ＋1b －6c 的最大值为1D ．2a ＋1b －6c 的最小值为12解析：AC ∵正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，∴c ab a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a －1≥2a b ·4b a －1＝3，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b 时等号成立，A 正确；a ＝2b 时，c ＝(2b )2－2b 2＋4b 2＝6b 2，B 错误；2a ＋1b－6c ＝1b ＋1b －66b 2＝－1b 2＋2b ＝－(1b －1)2＋1，当1b ＝1，即b ＝1时，2a ＋1b －6c的最大值1，C 正确，D 错误．故选AC ．14．中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为(50＋1015－0.1x )元，单套利润为x －50－1015－0.1x ＝(x －50－100150－x )元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x ＝－（150－x ）＋100150－x ＋100≤100－2（150－x ）·100150－x ＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．。

全 方 位 教 学 辅导教案学科：数学任课教师：讲课时间： 2012 年 11 月 3 日礼拜姓名 性别女年级 高二总课时：第次课教课 均值不等式应用（技巧）内容教课 1、熟习均值不等式的应用题型目标 2、掌握各样求最值的方法要点 要点是掌握最值应用的方法 难点难点是不等式条件的应用 教 课 前 作业达成状况： 学 检 查 交流与交流 过 与 交 程流针 一．均值不等式a 2b 2对 1.（ 1）若 a,b R ，则 a 2 b 22ab (2) 若 a, bR ，则 ab （当且仅当 a b性 时取“ =”）2授 R *，则 a b课2.(1) 若 a,bab (2) 若 a,b R * ，则 a b2 ab （当且仅当 a b2时取“ =”）2 (3) 若 a,bR * ，则 aba b2( 当且仅当 ab 时取“ =”）3. 若 x12 ( 当且仅当 x 1时取“ =”）; 若 x 0 ，则 x1 0 ，则 x2(当且xx仅当 x1 时取“ =”）若 x112或 x1 -2 ( 当且仅当 a b 时取“ =”）0 ，则 xx2即 x xx3. 若 ab 0 ，则ab 2 ( 当且仅当 a b 时取“ =”）ba若 ab 0 ，则ab a b a b -2 ( 当且仅当 ab 时取“ ”） b a即 或ababR ，则 (ab ) 224. 若 a,b 2 2ab（当且仅当 ab 时取“ =”）2注：（ 1）当两个正数的积为定植时，能够求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实质问题方面有宽泛的应用． 应用一：求最值例 1：求以下函数的值域2（1）y ＝3x ＋（ 2）y ＝x ＋技巧一：凑项例 1：(2) y2x1 , x 3。