基本不等式经典例题学生用

不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。

2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。

3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。

4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。

5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。

二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。

2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。

3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。

4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。

5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。

三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。

2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。

3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。

4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。

5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。

四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。

2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。

3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。

4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。

5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。

五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。

2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。

3. 解不等式：|3x 4| < 2。

4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。

5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。

六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。

基本不等式典型例题1、两个不等式：a2+b2≥2ab(a,b∈r)当且仅当a=b时，等号成立；≤a+b(a>0,b>0)当且仅当a=b时，等号成立。

22、常用变形：(1)a+b≥a>0,b>0)⎛a+b⎛(2)⎛≥ab(a,b∈r)⎛2⎛2aba+b(3)≤≤a>0,b>0)a+b2基准1、1.若实数满足用户a+b=2，谋3+3的最小值xy2.若log4+log4=2，求ab211+的最小值xy基准2、未知x＞0,y＞0，且解：利用“1的代换”,∵19+=1，求x+y的最小值.xy1919y9x+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10++.∵x＞0,y＞0,xyxyxy∴y9xy9xy9x+≥2=6.当且仅当=，即y=3x时，挑等号.∙xyxyxy19+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.xy又变式训练1.未知正数a,b,x,y满足用户a+b=10,ab+=1，x+y的最小值为18，谋a,b 的值xy2.已知x,y为正实数，且2x+y=1，则基准3、未知0＜x＜解：∵0＜x＜21+的最小值为xy1，求函数y=x(1-3x)的最大值;31,∴1-3x＞0.3113x+(1-3x)211∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等33212611号成立.∴x=时，函数取得最大值.6121变式训练1.当x＞-1时，谋f(x)=x+的最小值.x+1x4+3x2+33.求函数y=的最小值.x2+1基准4、谋f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）lgx4444＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2(-lgx)(-)=4.lgxlgxlgxlgx解：∵0＜x＜1,∴lgx ＜0,∴lgx+1444≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时获得等号.100lgxlgxlgx则有f(x)=3+lgx+4(0＜x＜1)的最小值为-1.lgx变式训练1.未知x＜51，求函数y=4x-2+的最大值.44x-512.求函数y=x+的值域x基准5、1.未知a,b,c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>2.已知a>0,b>0,ab>0，求证⎛ab⎛+2⎛(a+b)≥42ba⎛⎛⎛1⎛⎛1⎛⎛1⎛-1⎛-1⎛-1⎛≥8⎛a⎛⎛b⎛⎛c⎛3.设a,b,c∈(0,∞)，且a+b+c=1，澄清1.若，且，则下列不等式中，恒成立的是().a.b.c.d.2.未知a.2b.，则的最小值就是().c.4d.53.下列结论正确的是().a.当且时，；b.当时，；c.当时，的最小值为2；d.当时，的最小值为24.设，若是与的等比中项，则的最小值为().a.8b.4c.1d.5.x+y=4,则xy的最大值就是（）22a.1b.1c.2d.421（）a6.若aa．有最小值2b.有最大值2c.存有最小值-2d.存有最大值-2。

初二不等式经典例题摘要：1.初二不等式的概念和基本性质2.经典例题1：解不等式|x - 3| < 13.经典例题2：解不等式-2x + 3 > 54.经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }5.总结与展望正文：一、初二不等式的概念和基本性质初二不等式是初中数学中的重要内容，主要研究如何解不等式以及如何处理不等式组。

不等式是指用不等号（如"<"、"≤"、">"、"≥"）连接的两个数或代数式。

在初二阶段，我们主要学习解一元一次不等式、一元二次不等式以及不等式组。

二、经典例题1：解不等式|x - 3| < 1这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将绝对值符号拆掉，得到两个不等式：x - 3 < 1 和-(x - 3) < 1。

2.分别解这两个不等式，得到x < 4 和x > 2。

3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 2 < x < 4}。

三、经典例题2：解不等式-2x + 3 > 5这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将常数项移到不等式左边，得到-2x > 2。

2.将不等式两边同时除以-2，并注意改变不等号方向，得到x < -1。

四、经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }这是一个一元一次不等式组，我们可以通过以下步骤求解：1.解第一个不等式，得到x < 1。

2.解第二个不等式，得到x >3.5。

3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 3.5 < x < 1}。

五、总结与展望初二不等式是初中数学的基础知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学有着重要意义。

通过解决不等式和不等式组，我们可以提高自己的逻辑思维能力和运算能力。

基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。

解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。

2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。

x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。

题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。

解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。

-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。

注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。

x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。

题目3：解不等式4x + 3 < 19。

解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。

4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。

x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。

题目4：解不等式5 - 3x > 8。

解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。

-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。

注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。

x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。

题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。

解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。

-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。

-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。

-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。

题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。

解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。

4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。

x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。

题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。

解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。

基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

根本不等式 【2 】 常识点： 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ,则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠,则22-2abab a bb a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）留意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．(2)求最值的前提“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值.比较大小.求变量的取值规模.证实不等式.解决现实问题方面有普遍的运用 运用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技能一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.技能二：凑系数例： 当时,求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值.技能三： 分别换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.技能五：在运用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情形,. 例：求函数2y =的值域.技能六：整体代换（“1”的运用）多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的前提的一致性,不然就会出错.. 例：已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 技能七例：已知x,y 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y2 的最大值. 技能八：已知a,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝1ab的最小值. 技能九.取平方例: 求函数15()22y x <<的最大值. 运用二：运用均值不等式证实不等式例：已知a.b.c R +∈,且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 运用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模. 运用四：均值定理在比较大小中的运用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是.。

第五章 一元一次不等式不等式的基本性质 例题例1 将下列不等式化成“x>a ”或“x<a ”的形式：(1) x-5>-1 (2) -2x>3解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x>-1+5即 x>4(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 -2x ÷(-2)<3÷(-2)即 32x <-例2 若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（ D ）>b >0<0 >-b解：将a-b<0 两边同时减去a 得-a>-b 故D 一定成立或者有a b <；而ab 与0的大小关系就不确定例3 若x 是任意实数，则下列不等式中，恒成立的是（ B ）>2x >2x2+x>2 +x2>2解：A 可以化为0x > 两边同时减去2xB 可化为 20x > 两边同时减去22xC 可化为 1x >- 两边减去3D 可化为 21x >-两边减去3又知x 是任意实数 显然20x >恒成立 故选B例4、已知a ＜b,用“＜”或“＞”号填空：(1) a-3_＜__b-3(2) 6a _＜__6b(3)–a_＞__-b(4) a-b_＜__0解：（1）在a b <两边同时减去3（2）在a b <两边同时乘以6（3）在a b <两边同时乘以-1（变号）（4）在a b <两边同时减去b例5 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x - 5＞-1（2）-2x＞3（3）2x- 1＜2（4）-x ＜5/6解：（1）4x>两边同时加5（2）32x<-两边同时除以-2（3）32x<先移项，再两边同时除以2（4）56x>-两边同时乘以-1例6、按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：（一般形式）(1)m＞n，两边都减去3；(2)m＞n，两边同乘以3；(3)m＞n，两边同乘以-3；(4)m＞n，两边同乘以m．解：(1)m-3＞n-3(2) 3m＞3n(3)-3m< -3n(4) m＞0时，不等式成立。

基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。

5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。

解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 5>9- 解析：- 首先对不等式进行移项，将常数项移到右边，得到2x>9 - 5。

- 计算右边式子得2x>4。

- 两边同时除以2，解得x > 2。

2. 解不等式：3x-1<8- 解析：- 移项可得3x<8 + 1。

- 即3x<9。

- 两边同时除以3，解得x<3。

3. 解不等式：5x+3≤slant2x + 9- 解析：- 移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到5x-2x≤slant9 - 3。

- 计算得3x≤slant6。

- 两边同时除以3，解得x≤slant2。

4. 解不等式：4x-7≥slant3x+1- 解析：- 移项得4x - 3x≥slant1+7。

- 即x≥slant8。

5. 解不等式：(1)/(2)x+3>x - 1- 解析：- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。

- 通分计算，((1)/(2)-(2)/(2))x>-4，即-(1)/(2)x>-4。

- 两边同时乘以 - 2，不等号变向，解得x < 8。

6. 解不等式：(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析：- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。

- 计算得(1)/(3)x≤slant3。

- 两边同时乘以3，解得x≤slant9。

7. 解不等式：2(x + 3)>3(x - 1)- 解析：- 先展开括号，得到2x+6>3x - 3。

- 移项得2x-3x>-3 - 6。

- 计算得-x>-9。

- 两边同时乘以 - 1，不等号变向，解得x < 9。

8. 解不等式：3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析：- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。

- 移项得3x-2x≤slant2+6。

- 计算得x≤slant8。

专题：基本不等式的应用 （ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的 序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。