新人教A版版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数函数及其表示教案理解析版

一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。

一、知识梳理１．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：１确定函数的定义域；２化简函数解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．２．利用图象变换法作函数的图象（１）平移变换[注意] （１）对于左（右）平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加（减）指的是自变量．（２）对于上（下）平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加（减）指的是函数值．（２）对称变换１y＝f（x）错误!y＝—f（x）；２y＝f（x）错误!y＝f（—x）；３y＝f（x）错误!y＝—f（—x）；４y＝a x（a＞0且a≠１）错误!y＝log a x（x＞0）．（３）翻折变换１y＝f（x）错误!y＝|f（x）|；２y＝f（x）错误!y＝f（|x|）．（４）伸缩变换１y＝f（x）错误!→y＝f（ax）．２y＝f（x）错误!→y＝af（x）．常用结论１．函数图象自身的轴对称（１）f（—x）＝f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于y轴对称．（２）函数y＝f（x）的图象关于x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a—x）⇔f（x）＝f（２a—x）⇔f（—x）＝f（２a＋x）．（３）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b—x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝错误!对称．２．函数图象自身的中心对称（１）f（—x）＝—f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称．（２）函数y＝f（x）的图象关于（a，0）对称⇔f（a＋x）＝—f（a—x）⇔f（x）＝—f（２a—x）⇔f（—x）＝—f（２a＋x）．二、习题改编１．（必修１P２４A组T7改编）下列图象是函数y＝错误!的图象的是（）答案：C２．（必修１P３５例５（３）改编）函数f（x）＝x＋错误!的图象关于（）Ａ．y轴对称Ｂ．x轴对称Ｃ．原点对称Ｄ．直线y＝x对称答案：C一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）将函数y＝f（x）的图象先向左平移１个单位，再向下平移１个单位得到函数y＝f（x＋１）＋１的图象．（）（２）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的图象相同．（）（３）函数y＝f（x）与y＝—f（—x）的图象关于原点对称．（）（４）若函数y＝f（x）满足f（１＋x）＝f（１—x），则函数f（x）的图象关于直线x＝１对称．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）函数图象的平移、伸缩法则记混出错；（２）不注意函数的定义域出错．１．将函数y＝f（—x）的图象向右平移１个单位长度得到函数的图象．解析：y＝f（—x）的图象向右平移１个单位长度，是将f（—x）中的x变成x—１．答案：y＝f（—x＋１）２．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是．解析：当f（x）＞0时，函数g（x）＝log错误!f（x）有意义，由函数f（x）的图象知满足f（x）＞0时，x∈（２，8]．答案：（２，8]作函数的图象（师生共研）分别作出下列函数的图象．（１）y＝|lg x|；（２）y＝２x＋２；（３）y＝x２—２|x|—１．【解】（１）y＝错误!图象如图１所示．（２）将y＝２x的图象向左平移２个单位，图象如图２所示．（３）y＝错误!图象如图３所示．错误!函数图象的画法[提醒] （１）画函数的图象一定要注意定义域．（２）利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．分别作出下列函数的图象．（１）y＝|x—２|（x＋１）；（２）y＝错误!错误!.解：（１）当x≥２，即x—２≥0时，y＝（x—２）（x＋１）＝x２—x—２＝错误!错误!—错误!；当x<２，即x—２<0时，y＝—（x—２）（x＋１）＝—x２＋x＋２＝—错误!错误!＋错误!.所以y＝错误!这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．（２）作出y＝错误!错误!的图象，保留y＝错误!错误!图象中x≥0的部分，加上y＝错误!错误!的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝错误!错误!的图象，如图中实线部分．函数图象的辨识（师生共研）（１）（一题多解）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）函数f（x）＝错误!在[—π，π]的图象大致为（）（２）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）Ａ．f（x）＝错误!Ｂ．f（x）＝错误!Ｃ．f（x）＝错误!—１Ｄ．f（x）＝x—错误!【解析】（１）法一：显然f（x）＝—f（—x），所以f（x）为奇函数，排除A；f错误!＝错误!＝错误!>１，观察题图可知D正确．故选Ｄ．法二：显然f（x）＝—f（—x），所以f（x）为奇函数，排除A；易知当x→0＋时，f（x）>0，排除C；f（π）＝错误!>0，排除B，故选D.（２）由函数图象可知，函数f（x）为奇函数，应排除B，Ｃ．若函数为f（x）＝x—错误!，则x→＋∞时，f（x）→＋∞，排除D，故选Ａ．【答案】（１）D （２）A错误!（１）抓住函数的性质，定性分析：１从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；２从函数的单调性，判断图象的变化趋势；３从周期性，判断图象的循环往复；４从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（２）抓住函数的特征，定量计算：利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．１．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是（）Ａ．甲是图１，乙是图２Ｂ．甲是图１，乙是图４Ｃ．甲是图３，乙是图２Ｄ．甲是图３，乙是图４解析：选Ｂ．由题知速度v＝错误!反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图１符合，乙与图４符合．２．（２0２0·湖北省部分重点中学４月联考）已知函数f（x）＝错误!，g（x）＝—f（—x），则函数g（x）的图象大致是（）解析：选Ｄ．先画出函数f（x）＝错误!的图象，如图（１）所示，再根据函数f（x）与—f（—x）的图象关于坐标原点对称，即可画出函数—f（—x）的图象，即g（x）的图象，如图（２）所示．故选Ｄ．３．（２0２0·济南市学习质量评估）函数y＝错误!—ln|x|的图象大致为（）解析：选Ｄ．令f（x）＝y＝错误!—ln|x|，则f（—x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，排除选项B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除选项A；当x＝２错误!时，y＝１—ln ２错误!<１—ln e＝0，排除选项Ｃ．故选Ｄ．函数图象的应用（多维探究）角度一研究函数的性质１f（x）是偶函数；２f（x）在区间（—∞，0）上是减函数，在区间（0，＋∞）上是增函数；３f （x）没有最小值．其中正确的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．0【解析】作出f（x）的图象，可知f（x）在（—∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值0．所以１２正确．【答案】B错误!对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：１从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；２从图象的对称性，分析函数的奇偶性；３从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．角度二解不等式函数f（x）是周期为４的偶函数，当x∈[0，２]时，f（x）＝x—１，则不等式xf（x）>0在（—１，３）上的解集为（）Ａ．（１，３）Ｂ．（—１，１）Ｃ．（—１，0）∪（１，３）Ｄ．（—１，0）∪（0，１）【解析】作出函数f（x）的图象如图所示．当x∈（—１，0）时，由xf（x）>0得x∈（—１，0）；当x∈（0，１）时，由xf（x）>0得x∈∅；当x∈（１，３）时，由xf（x）>0得x∈（１，３）．所以x∈（—１，0）∪（１，３）．【答案】C错误!利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．角度三求参数的取值范围已知函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．【解析】画出函数y＝f（x）与y＝k的图象，如图所示．由图可知，当0<k<１时，y＝k和y＝f（x）的图象有３个交点，即方程f（x）＝k有三个不同的实根．【答案】（0，１）错误!求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：１．已知函数f（x）＝x|x|—２x，则下列结论正确的是（）Ａ．f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）Ｂ．f（x）是偶函数，递减区间是（—∞，１）C．f（x）是奇函数，递减区间是（—１，１）Ｄ．f（x）是奇函数，递增区间是（—∞，0）解析：选Ｃ．将函数f（x）＝x|x|—２x去掉绝对值得f（x）＝错误!画出函数f（x）的大致图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（—１，１）上单调递减．２．已知函数f（x）＝|x—２|＋１，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（１，２）Ｄ．（２，＋∞）解析：选Ｂ．先作出函数f（x）＝|x—２|＋１的图象，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为１，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为错误!，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k 的范围为错误!.３．函数f（x）是定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞）的奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，f（３）＝0，若x·[f（x）—f（—x）]<0，则x的取值范围为．解析：函数f（x）的图象大致如图所示．因为f（x）为奇函数，且x·[f（x）—f（—x）]<0，所以２xf（x）<0．由图可知，不等式的解集为（—３，0）∪（0，３）．答案：（—３，0）∪（0，３）[基础题组练]１．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）解析：选Ｃ．小明匀速行驶时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除Ａ．因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除Ｄ．后来为了赶时间加快速度行驶，故排除Ｂ．２．（２0２0·河北衡水中学第二次调研）函数y＝（２x—１）e x的图象大致是（）解析：选Ａ．因为x趋向于—∞时，y＝（２x—１）e x<0，所以C，D错误；因为y′＝（２x＋１）e x，所以当x<—错误!时，y′<0，y＝（２x—１）e x在（—∞，—错误!）上单调递减，所以A正确，B 错误，故选A.３．（２0２0·江西七校第一次联考）设f（x）是定义在R上的周期为３的周期函数，如图表示该函数在区间（—２，１]上的图象，则f（２0１8）＋f（２0１9）＝（）Ａ．２Ｂ．１Ｃ．—１Ｄ．0解析：选Ｃ．因为函数f（x）是定义在R上的周期为３的周期函数，所以f（２0１8）＝f（２0１8—67３×３）＝f（—１），f（２0１9）＝f（２0１9—67３×３）＝f（0），由题图知f（—１）＝—１，f（0）＝0，所以f（２0１8）＋f（２0１9）＝f（—１）＋f（0）＝—１．４．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）<0的解集为（）Ａ．（１，２）Ｂ．（—２，—１）Ｃ．（—２，—１）∪（１，２）Ｄ．（—１，１）解析：选Ｃ．因为函数f（x）是奇函数，所以图象关于原点对称，补全当x<0时的函数图象，如图．对于不等式xf（x）<0，当x>0时，f（x）<0，所以１<x<２；当x<0时，f（x）>0，所以—２<x<—１，所以不等式xf（x）<0的解集为（—２，—１）∪（１，２），故选Ｃ．５．已知函数y＝f（—|x|）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象不可能是（）解析：选Ｃ．函数y＝f（—|x|）＝错误!当x<0时，y＝f（—|x|）＝f（x），所以函数y＝f（—|x|）的图象在y轴左边的部分，就是函数y＝f（x）的图象，故可得函数y＝f（x）的图象不可能是Ｃ．6．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（１，２），（３，１），则f错误!的值等于．解析：由图象知f（３）＝１，所以错误!＝１．所以f错误!＝f（１）＝２．答案：２7．若函数f（x）＝错误!的图象如图所示，则f（—３）＝．解析：由题图可得a（—１）＋b＝３，ln（—１＋a）＝0，得a＝２，b＝５，所以f（x）＝错误!故f（—３）＝２×（—３）＋５＝—１．答案：—１8．设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x—１，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是．解析：如图，作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x—１的图象，观察图象可知：当且仅当—a≤１，即a≥—１时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，所以a的取值范围是[—１，＋∞）．答案：[—１，＋∞）9．作出下列函数的图象．（１）y＝错误!；（２）y＝|log２（x＋１）|.解：（１）因为y＝错误!＝１＋错误!，先作出y＝错误!的图象，将其图象向右平移１个单位长度，再向上平移１个单位长度，即得y＝错误!的图象，如图所示．（２）利用函数y＝log２x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．１0．已知函数f（x）＝x|m—x|（x∈R），且f（４）＝0．（１）求实数m的值；（２）作出函数f（x）的图象；（３）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．解：（１）因为f（４）＝0，所以４|m—４|＝0，即m＝４．（２）f（x）＝x|x—４|＝错误!f（x）的图象如图所示．（３）从f（x）的图象可知，当a>４或a<0时，f（x）的图象与直线y＝a只有一个交点，即方程f （x）＝a只有一个实数根，即a的取值范围是（—∞，0）∪（４，＋∞）．[综合题组练]１．已知函数f（x）＝错误!则对任意x１，x２∈R，若0<|x１|<|x２|，下列不等式成立的是（）Ａ．f（x１）＋f（x２）<0 Ｂ．f（x１）＋f（x２）>0Ｃ．f（x１）—f（x２）>0 Ｄ．f（x１）—f（x２）<0解析：选Ｄ．函数f（x）的图象如图所示，且f（—x）＝f（x），从而函数f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数．又0<|x１|<|x２|，所以f（x２）>f（x１），即f（x１）—f（x２）<0．２．已知函数f（x）＝错误!，x∈R，则不等式f（x２—２x）<f（３x—４）的解集是．解析：由已知得，f（x）＝错误!其图象如图所示：由图可知，不等式f（x２—２x）<f（３x—４）等价于错误!或错误!解得错误!≤x<２或１<x<错误!，所以所求的解集为（１，２）．答案：（１，２）３．已知函数f（x）＝|x|（x—a），a>0，（１）作出函数f（x）的图象；（２）写出函数f（x）的单调区间；（３）当x∈[0，１]时，由图象写出f（x）的最小值．解：（１）f（x）＝错误!其图象如图所示．（２）由图知，f（x）的单调递增区间是（—∞，0），错误!；单调递减区间是错误!.（３）由图象知，当错误!>１，即a>２时，所求最小值f（x）min＝f（１）＝１—a；当0<错误!≤１，即0<a≤２时，所求最小值f（x）min＝f错误!＝—错误!.综上，f（x）min＝错误!４．已知函数f（x）＝２x，x∈R.（１）当m取何值时，方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？（２）若不等式[f（x）]２＋f（x）—m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解：（１）令F（x）＝|f（x）—２|＝|２x—２|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m<２时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，即原方程有两个解．（２）令f（x）＝t（t>0），H（t）＝t２＋t，因为H（t）＝错误!错误!—错误!在区间（0，＋∞）上是增函数，所以H（t）>H（0）＝0．因此要使t２＋t>m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（—∞，0]．。

基础知识整合１．函数的单调性（１）增函数与减函数一般地，设函数f（x）的定义域为I：１如果对于定义域I内某个区间D上的错误!任意两个自变量的值x１，x２，当x１<x２时，都有f（x１）<f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是错误!增函数．２如果对于定义域I内某个区间D上的错误!任意两个自变量的值x１，x２，当x１<x２时，都有f（x１）>f （x２），那么就说函数f（x）在区间D上是错误!减函数．（２）单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）错误!单调性，区间D叫做y＝f（x）的错误!单调区间．２．函数的最值（１）最大值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：１对于任意的x∈I，都有错误!f（x）≤M；２存在x0∈I，使得错误!f（x0）＝M.那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值．（２）最小值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数N满足：１对于任意的x∈I，都有错误!f（x）≥N；２存在x0∈I，使得错误!f（x0）＝N.那么我们称N是函数y＝f（x）的最小值．１．对勾函数y＝x＋错误!（a>0）的增区间为（—∞，—错误!]和[错误!，＋∞）；减区间为[—错误!，0）和（0，错误!]，且对勾函数为奇函数．２．设∀x１，x２∈D（x１≠x２），则１x１—x２>0（<0），f（x１）—f（x２）>0（<0）⇔f（x）在D上单调递增；x１—x２>0（<0），f （x１）—f（x２）<0（>0）⇔f（x）在D上单调递减；２错误!>0（或（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]>0）⇔f（x）在D上单调递增；３错误!<0（或（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]<0）⇔f（x）在D上单调递减．１．下列函数中，在区间（—∞，0）上是减函数的是（）Ａ．y＝１—x２Ｂ．y＝x２＋xＣ．y＝—错误!Ｄ．y＝错误!答案D解析选项D中，y＝错误!＝１＋错误!.易知其在（—∞，１）上为减函数．故选Ｄ．２．（２0１9·信阳模拟）函数y＝—２x２—４ax＋３在区间[—４，—２]上是单调函数，则a的取值范围是（）Ａ．（—∞，１] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．（—∞，２]∪[４，＋∞）Ｄ．（—∞，１]∪[２，＋∞）答案C解析函数y＝—２x２—４ax＋３的图象的对称轴为x＝—a，由题意可得—a≤—４或—a≥—２，解得a≤２或a≥４，故选Ｃ．３．若函数f（x）＝|２x＋a|的单调递增区间是[３，＋∞），则a的值为（）Ａ．—２Ｂ．２C．—6 Ｄ．6答案C解析由图象易知函数f（x）＝|２x＋a|的单调增区间是错误!，令—错误!＝３，所以a＝—6．故选Ｃ．４．已知函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，若f（a２—a）>f（a＋３），则实数a的取值范围为________．答案（—３，—１）∪（３，＋∞）解析由已知可得错误!解得—３<a<—１或a>３，所以实数a的取值范围为（—３，—１）∪（３，＋∞）．５．（２0１9·衡水模拟）函数f（x）＝错误!（x≥２）的最大值为________．答案２解析f（x）＝错误!＝错误!＝１＋错误!，∵x≥２，∴x—１≥１,0<错误!≤１，∴１＋错误!∈（１,２]，故当x＝２时，函数f（x）＝错误!取得最大值２．6．（２0１9·浙江模拟）已知函数f（x）＝错误!则f[f（—３）]＝________，f（x）的最小值是________．答案0 ２错误!—３解析∵f（—３）＝lg [（—３）２＋１]＝lg １0＝１，∴f[f（—３）]＝f（１）＝１＋２—３＝0．当x≥１时，x＋错误!—３≥２错误!—３＝２错误!—３，当且仅当x＝错误!，即x＝错误!时等号成立，此时f（x）min＝２错误!—３<0；当x<１时，lg （x２＋１）≥lg （0２＋１）＝0，此时f（x）min＝0．所以f（x）的最小值为２错误!—３．核心考向突破考向一确定函数的单调区间例１求下列函数的单调区间：（１）y＝—x２＋２|x|＋１；（２）y＝log错误!（x２—３x＋２）．解（１）由于y＝错误!即y＝错误!画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为（—∞，—１]和[0,１]，单调递减区间为[—１，0]和[１，＋∞）．（２）令u＝x２—３x＋２，则原函数可以看作y＝log错误!u与u＝x２—３x＋２的复合函数．令u＝x２—３x＋２>0，则x<１或x>２．∴函数y＝log错误!（x２—３x＋２）的定义域为（—∞，１）∪（２，＋∞）．又∵u＝x２—３x＋２的对称轴x＝错误!，且开口向上，∴u＝x２—３x＋２在（—∞，１）上是单调减函数，在（２，＋∞）上是单调增函数．而y＝log错误!u在（0，＋∞）上是单调减函数，∴y＝log错误!（x２—３x＋２）的单调递减区间为（２，＋∞），单调递增区间为（—∞，１）．确定函数单调性的方法（１）定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法．错误!错误!即时训练１．求出下列函数的单调区间：（１）f（x）＝|x２—４x＋３|；（２）f（x）＝错误! .解（１）先作出函数y＝x２—４x＋３的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x２—４x＋３|的图象．如图所示．由图可知f（x）在（—∞，１]和[２,３]上为减函数，在[１,２]和[３，＋∞）上为增函数，故f（x）的增区间为[１,２]，[３，＋∞），减区间为（—∞，１]，[２,３]．（２）∵３—２x—x２>0，∴—３<x<１．由二次函数图象（图略）可知f（x）的递减区间是（—３，—１]，递增区间为[—１,１）．考向二函数单调性的应用角度１利用函数的单调性比较大小例２（１）（２0１9·长沙模拟）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，则f（—１）与f（a ２—２a＋３）的大小关系是（）Ａ．f（—１）≥f（a２—２a＋３）Ｂ．f（—１）＝f（a２—２a＋３）Ｃ．f（—１）>f（a２—２a＋３）Ｄ．f（—１）<f（a２—２a＋３）答案D解析a２—２a＋３＝（a—１）２＋２≥２，由偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，可得f（—１）＝f（１）<f（a２—２a＋３），故选Ｄ．（２）（２0１9·大同模拟）设函数f（x）＝x２＋x＋a（a>0）满足f（m）<0，则（）Ａ．f（m＋１）＝0 Ｂ．f（m＋１）≤0Ｃ．f（m＋１）>0 Ｄ．f（m＋１）<0答案C解析∵f（x）图象的对称轴为x＝—错误!，f（0）＝f（—１）＝a，∴f（x）的大致图象如图所示．结合图象，由f（m）<0，得—１<m<0，∴m＋１>0，∴f（m＋１）>f（0）>0．故选Ｃ．角度２利用函数的单调性解不等式例３（１）（２0１9·长春模拟）f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f （y），f（３）＝１，当f（x）＋f（x—8）≤２时，x的取值范围是（）Ａ．（8，＋∞）Ｂ．（8,9] Ｃ．[8,9] Ｄ．（0,8）答案B解析２＝１＋１＝f（３）＋f（３）＝f（9），由f（x）＋f（x—8）≤２，可得f[x（x—8）]≤f（9），因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8<x≤9．（２）函数y＝f（x）是R上的增函数，且y＝f（x）的图象经过点A（—２，—３）和B（１,３），则不等式|f（２x—１）|<３的解集为________．答案错误!解析因为y＝f（x）的图象经过点A（—２，—３）和B（１,３），所以f（—２）＝—３，f（１）＝３．又|f（２x—１）|<３，所以—３<f（２x—１）<３，即f（—２）<f（２x—１）<f（１）．因为函数y＝f（x）是R上的增函数，所以—２<２x—１<１，即错误!即错误!所以—错误!<x<１．角度３利用函数的单调性求参数例４（１）（２0１9·太原模拟）若f（x）＝—x２＋４mx与g（x）＝错误!在区间[２,４]上都是减函数，则m的取值范围是（）Ａ．（—∞，0）∪（0,１] Ｂ．（—１,0）∪（0,１]Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．（0,１]答案D解析函数f（x）＝—x２＋４mx的图象开口向下，且以直线x＝２m为对称轴，若在区间[２,４]上是减函数，则２m≤２，解得m≤１；g（x）＝错误!的图象由y＝错误!的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[２,４]上是减函数，则２m>0，解得m>0．综上可得，m的取值范围是（0,１]．故选Ｄ．（２）已知f（x）＝错误!是（—∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析由f（x）在R上单调递减，则有错误!解得错误!≤a<错误!.触类旁通函数单调性应用问题的解题策略（１）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．２在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.３利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.即时训练２．（２0１9·商丘模拟）若f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，且对任意的x１，x２∈[0，＋∞）且x１≠x２，有错误!<0，则（）Ａ．f（３）<f（１）<f（—２）Ｂ．f（３）<f（—２）<f（１）Ｃ．f（—２）<f（１）<f（３）Ｄ．f（１）<f（—２）<f（３）答案B解析∵对任意的x１，x２∈[0，＋∞）且x１≠x２，有错误!<0，∴当x≥0时，函数f（x）为减函数，∴f（３）<f（２）<f（１），又f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，∴f（３）<f（—２）<f（１）．故选Ｂ．３．（２0１9·曲阜师大附中质检）已知函数f（x）＝logax（a>0且a≠１）满足f（a＋１）>f（a＋２），则f（２x—３）>0的解集是（）Ａ．（—∞，２）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（２，＋∞）答案C解析因为函数f（x）＝logax（a>0且a≠１）满足f（a＋１）>f（a＋２），所以0<a<１，则函数f （x）＝logax（0<a<１）是减函数，所以f（２x —３）>0可化为0<２x—３<１，求解可得错误!<x<２，故选Ｃ．４．（２0１8·山东泰安模拟）已知函数f（x）＝错误!是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，＋∞）Ｂ．[４,8）Ｃ．（４,8）Ｄ．（１,8）答案B解析由f（x）在R上单调递增，则有错误!解得４≤a<8．考向三函数的最值（值域）问题例５（１）函数y＝错误!的值域是________．答案（—１,１]解析（分离常数法）因为y＝错误!＝—１＋错误!，又因为１＋x２≥１，所以0<错误!≤２，所以—１<—１＋错误!≤１，所以函数的值域为（—１,１]．（２）（２0１9·福建厦门质检）函数f（x）＝错误!x—log２（x＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________．答案３解析（单调性法）由于y＝错误!x在R上递减，y＝log２（x＋２）在[—１,１]上单调递增，所以f（x）在[—１,１]上单调递减，故f（x）在[—１,１]上的最大值为f（—１）＝３．（３）函数f（x）＝x＋错误!的值域为________．答案（—∞，１]解析（代数换元法）函数的定义域为错误!.令t＝错误!（t≥0），则x＝错误!.所以y＝错误!＋t＝—错误!（t—１）２＋１（t≥0），故当t＝１（即x＝0）时，y有最大值１，故函数f（x）的值域为（—∞，１]．（４）函数f（x）＝３x＋错误!，x∈[１,２]的值域为________．答案[５,7]解析解法一：（基本不等式）f（x）＝３错误!x＋错误!错误!，易证f（x）在错误!上是增函数．∴f（x）在[１,２]上为增函数，从而得值域为[５,7]．解法二：（导数法）f′（x）＝３—错误!，当１≤x≤２时，f′（x）>0，∴f（x）在[１,２]上为增函数，又f（１）＝５，f（２）＝7．∴f（x）＝３x＋错误!，x∈[１,２]的值域为[５,7]．触类旁通函数值域的几种求解方法（１）分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．错误!错误!４基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.５导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.6换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.即时训练５．（２0１9·莱州质检）对于每一个实数x，f（x）是y＝２—x２和y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）的最大值是（）Ａ．２Ｂ．１C．0 Ｄ．—２答案B解析解法一：f（x）＝错误!当x<—２时，函数f（x）的值域为（—∞，—２）；当—２≤x≤１时，函数f（x）的值域为[—２,１]；当x>１时，函数f（x）的值域为（—∞，１）．故函数f（x）的值域为（—∞，１]，所以f（x）max＝１．故选Ｂ．解法二：画出函数f（x）的图象，如图所示：其中A（１,１），B（—２，—２），故当x＝１时，函数f（x）的最大值为１．故选Ｂ．6．函数f（x）＝x＋２错误!的最大值为________．答案２解析设错误!＝t（t≥0），∴x＝１—t２．∴y＝x＋２错误!＝１—t２＋２t＝—t２＋２t＋１＝—（t—１）２＋２．∴当t＝１即x＝0时，ymax＝２．7．已知函数y＝错误!＋错误!的最大值为M，最小值为m，则错误!的值为________．答案错误!解析由题意，得错误!所以函数的定义域为{x|—３≤x≤１}．两边平方，得y２＝４＋２错误!·错误!＝４＋２错误!.所以当x＝—１时，y取得最大值M＝２错误!；当x＝—３或１时，y取得最小值m＝２，所以错误!＝错误!.8．设a，b∈R，a２＋２b２＝6，则a＋b的最小值是________．答案—３解析因为a，b∈R，a２＋２b２＝6，所以令a＝错误!cosα，错误!b＝错误!sinα，α∈R.则a＋b＝错误! cosα＋错误!sinα＝３sin（α＋φ）错误!，所以a＋b的最小值是—３．函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）—１，并且x>0时，恒有f（x）>１．（１）求证：f（x）在R上是增函数；（２）若f（３）＝４，解不等式f（a２＋a—５）<２．解（１）证明：设x１<x２，所以x２—x１>0．因为当x>0时，f（x）>１，所以f（x２—x１）>１，f（x２）＝f[（x２—x１）＋x１]＝f（x２—x１）＋f（x１）—１，所以f（x２）—f（x１）＝f（x２—x１）—１>0⇒f（x１）<f（x２），所以f（x）在R上为增函数．（２）因为m，n∈R，不妨设m＝n＝１，所以f（１＋１）＝f（１）＋f（１）—１⇒f（２）＝２f（１）—１，f（３）＝４⇒f（２＋１）＝４⇒f（２）＋f（１）—１＝４⇒３f（１）—２＝４，所以f（１）＝２，所以f（a２＋a—５）<２＝f（１），因为f（x）在R上为增函数，所以a２＋a—５<１⇒—３<a<２，即原不等式的解集为{a|—３<a<２}．答题启示对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x１，x ２在所给区间内比较f（x１）—f（x２）与0的大小，或错误!与１的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x１＝x２＋x１—x２或x１＝x２·错误!等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．对点训练函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且对一切x>0，y>0都有f错误!＝f（x）—f（y），当x>１时，有f （x）>0．（１）求f（１）的值；（２）判断f（x）的单调性并证明；（３）若f（6）＝１，解不等式f（x＋５）—f错误!<２．解（１）f（１）＝f错误!＝f（x）—f（x）＝0，x>0．（２）f（x）在（0，＋∞）上是增函数．证明：设0<x１<x２，则由f错误!＝f（x）—f（y），得f（x２）—f（x１）＝f错误!，因为错误!>１，所以f错误!>0．所以f（x２）—f（x１）>0，即f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（３）因为f（6）＝f错误!＝f（３6）—f（6），又f（6）＝１，所以f（３6）＝２，原不等式化为f（x２＋５x）<f（３6），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以错误!解得0<x<４．。

基础知识整合１．函数的奇偶性２．函数的周期性（１）周期函数对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有错误!f（x＋T）＝f （x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．（２）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个错误!最小的正数，那么这个错误!最小正数就叫做f（x）的最小正周期．１．函数奇偶性的四个重要结论（１）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0．（２）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．（３）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（４）在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．２．周期性的三个常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x：（１）若f（x＋a）＝—f（x），则T＝２a；（２）若f（x＋a）＝错误!，则T＝２a；（３）若f（x＋a）＝—错误!，则T＝２a（a>0）．３．对称性的三个常用结论（１）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，即f（a—x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a 对称；（２）若对于R上的任意x都有f（２a—x）＝f（x）或f（—x）＝f（２a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；（３）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，即f（—x＋b）＋f（x＋b）＝0，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．１．（２0１7·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝２x３＋x２，则f（２）＝（）Ａ．—２0 Ｂ．２0 C．—１２Ｄ．１２答案D解析f（２）＝—f（—２）＝—[２×（—8）＋４]＝１２．故选Ｄ．２．（２0１9·大连测试）下列函数中，与函数y＝—３|x|的奇偶性相同，且在（—∞，0）上单调性也相同的是（）Ａ．y＝—错误!Ｂ．y＝log２|x|Ｃ．y＝１—x２Ｄ．y＝x３—１答案C解析函数y＝—３|x|为偶函数，在（—∞，0）上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．３．（２0１9·石家庄模拟）已知f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，若f（１）<１，f（５）＝错误!，则实数a的取值范围为（）Ａ．（—１,４）Ｂ．（—２,１）Ｃ．（—１,２）Ｄ．（—１,0）答案A解析因为函数f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，所以f（５）＝f（—１）＝f（１），即错误!<１，化简得（a—４）（a＋１）<0，解得—１<a<４．故选Ａ．４．设函数f（x）＝错误!为奇函数，则a＝________.答案—１解析∵f（x）＝错误!为奇函数，∴f（１）＋f（—１）＝0，即错误!＋错误!＝0，∴a＝—１．５．（２0１8·沈阳模拟）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f（２）＝0．若f（x—１）>0，则x的取值范围是________．答案（—１,３）解析∵f（２）＝0，f（x—１）>0，∴f（x—１）>f（２），又∵f（x）是偶函数，∴f（|x—１|）>f（２），又f（x）在[0，＋∞）上单调递减，∴|x—１|<２，∴—２<x—１<２，∴—１<x<３，∴x∈（—１,３）．6．（２0１9·合肥质检）若函数f（x）（x∈R）是周期为４的奇函数，且在[0,２]上的解析式为f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!＝________.答案错误!解析由于函数f（x）是周期为４的奇函数，所以f错误!＋f错误!＝f错误!＋f错误!＝—f错误!—f错误!＝—错误!＋sin错误!＝错误!.核心考向突破考向一函数奇偶性的判断例１（１）（２0１7·北京高考）已知函数f（x）＝３x—错误!x，则f（x）（）Ａ．是奇函数，且在R上是增函数Ｂ．是偶函数，且在R上是增函数Ｃ．是奇函数，且在R上是减函数Ｄ．是偶函数，且在R上是减函数答案A解析∵函数f（x）的定义域为R，f（—x）＝３—x—错误!—x＝错误!x—３x＝—f（x），∴函数f（x）是奇函数．∵函数y＝错误!x在R上是减函数，∴函数y＝—错误!x在R上是增函数．又∵y＝３x在R上是增函数，∴函数f（x）＝３x—错误!x在R上是增函数．故选Ａ．（２）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ａ．y＝x＋f（x）Ｂ．y＝xf（x）Ｃ．y＝x２＋f（x）Ｄ．y＝x２f（x）答案B解析设g（x）＝xf（x）．因为f（—x）＝—f（x），所以g（—x）＝—xf（—x）＝xf（x），所以g（—x）＝g（x），所以B正确．判断函数奇偶性的方法（１）定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：错误!＝±１（f（x）≠0）判断函数的奇偶性．（２）图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．错误!即时训练１．（２0１8·合肥质检）下列函数中，既是偶函数，又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）Ａ．y＝x３Ｂ．y＝|x|＋１Ｃ．y＝—x２＋１Ｄ．y＝２—|x|答案B解析因为y＝x３是奇函数，y＝|x|＋１，y＝—x２＋１，y＝２—|x|均为偶函数，所以A错误；又因为y＝—x２＋１，y＝２—|x|＝错误!|x|在（0，＋∞）上均为减函数，只有y＝|x|＋１在（0，＋∞）上为增函数，所以C，D错误，故选Ｂ．２．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）Ａ．f（x）g（x）是偶函数Ｂ．|f（x）|g（x）是奇函数Ｃ．f（x）|g（x）|是奇函数Ｄ．|f（x）g（x）|是奇函数答案C解析由题意可知f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x），对于A，f（—x）g（—x）＝—f（x）g（x），所以f（x）g（x）是奇函数，故错误；对于B，|f（—x）|g（—x）＝|—f（x）|·g（x）＝|f（x）|g（x），所以|f（x）|g（x）是偶函数，故错误；对于C，f（—x）|g（—x）|＝—f（x）|g（x）|，所以f（x）|g （x）|是奇函数，故正确；对于D，|f（—x）g（—x）|＝|—f（x）·g（x）|＝|f（x）g（x）|，所以|f（x）g（x）|是偶函数，故错误．选Ｃ．考向二函数的周期性例２（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f （１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝（）Ａ．—５0 Ｂ．0 C．２Ｄ．５0答案C解析因为f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，且f（１—x）＝f（１＋x），所以f（１＋x）＝—f（x—１），所以f（３＋x）＝—f（x＋１）＝f（x—１），所以T＝４，因此f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（１）＋f（２），因为f（３）＝—f（１），f（４）＝—f（２），所以f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝0，因为f（２）＝f（—２）＝—f（２），所以f（２）＝0，从而f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝f（１）＝２，选Ｃ．（２）（２0１7·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋４）＝f（x—２）．若当x∈[—３,0]时，f（x）＝6—x，则f（9１9）＝________.答案6解析∵f（x＋４）＝f（x—２），∴f[（x＋２）＋４]＝f[（x＋２）—２]，即f（x＋6）＝f（x），∴f（x）是周期为6的周期函数，∴f（9１9）＝f（１５３×6＋１）＝f（１）．又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（１）＝f（—１）＝6，即f（9１9）＝6．触类旁通函数周期性问题的求解关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在已知函数关系的范围上进行求解.本例１合理利用已知函数关系和函数奇偶性进行适当变形，准确求出周期.即时训练３．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋２）＝—错误!，且当x∈[0,２）时，f（x）＝log２（x＋１），则f（—２0１7）＋f（２0１9）的值为（）Ａ．0 Ｂ．—４C．—２Ｄ．２答案A解析当x≥0时，f（x＋２）＝—错误!，所以f（x＋４）＝f（x），即４是f（x）（x≥0）的一个周期．所以f（—２0１7）＝f（２0１7）＝f（１）＝log２２＝１，f（２0１9）＝f（３）＝—错误!＝—１，所以f（—２0１7）＋f（２0１9）＝0．故选Ａ．４．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当x∈[—３，—１）时，f（x）＝—（x＋２）２，当x∈[—１,３）时，f（x）＝x，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（２0１9）＝________.答案３３8解析由题意得f（１）＝１，f（２）＝２，f（３）＝f（—３）＝—１，f（４）＝f（—２）＝0，f（５）＝f（—１）＝—１，f（6）＝f（0）＝0，所以数列{f（n）}从第一项起，每连续6项的和为１，则f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１9）＝３３6×１＋２＝３３8．考向三函数性质的综合应用角度１奇偶性的应用例３（１）（２0１9·金版创新）已知函数f（x）＝ax３＋bx＋１，若f（２0１9）＝—１，则f（—２0１9）的值为（）Ａ．３Ｂ．—１C．１Ｄ．0答案A解析设F（x）＝f（x）—１＝ax３＋bx，则F（x）为奇函数，所以F（—２0１9）＝—F（２0１9），即f（—２0１9）—１＝—[f（２0１9）—１]，所以f（—２0１9）＝２—f（２0１9）＝２—（—１）＝３，故选Ａ．（２）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝２x２—x，则当x>0时，f（x）＝（）Ａ．２x２—x Ｂ．２x２＋xＣ．—２x２—x Ｄ．—２x２＋x答案C解析当x>0时，—x<0，f（—x）＝２（—x）２—（—x）＝２x２＋x，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝—f（—x）＝—２x２—x.故选Ｃ．（３）已知函数f（x）＝错误!的图象关于原点对称，g（x）＝ln （ex＋１）—bx是偶函数，则logab ＝（）Ａ．１Ｂ．—１C．—错误!Ｄ．错误!答案B解析由题意得f（0）＝0，∴a＝２．∵g（１）＝g（—１），∴ln （e＋１）—b＝ln 错误!＋b，∴b＝错误!，∴log２错误!＝—１．故选Ｂ．触类旁通利用函数的奇偶性可解决的问题（１）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．２求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f x的方程组，从而得到f x的解析式.３求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f x±f—x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程组，进而得出参数的值.即时训练５．（２0１9·齐鲁名校模拟）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝２x＋m，则f（—２）＝（）Ａ．—３Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．３答案A解析因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即f（0）＝２0＋m＝0，解得m＝—１，则f（—２）＝—f（２）＝—（２２—１）＝—３．6．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（）Ａ．ex—e—x Ｂ．错误!（ex＋e—x）Ｃ．错误!（e—x—ex）Ｄ．错误!（ex—e—x）答案D解析由f（x）＋g（x）＝ex １，可得f（—x）＋g（—x）＝e—x.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，可得f（x）—g（x）＝e—x ２，则两式相减，可得g（x）＝错误!.选Ｄ．7．（２0１9·海口模拟）设函数f（x）＝错误!，则使得f（x）>f（２x—１）成立的x的取值范围是________．答案（—∞，１）解析因f（—x）＝—f（x），故f（x）是奇函数，且x>0时，f（x）＝错误!＝１—错误!，故f（x）单调递增，又f（0）＝0，从而f（x）是R上的增函数，故f（x）>f（２x—１）⇔x>２x—１，得x<１．角度２奇偶性与单调性例４（１）（２0１9·天津模拟）设奇函数f（x）在[—２,２]上是减函数，且f（２）＝—３，若不等式f（x）<２t＋１对所有的x∈[—２,２]都成立，则t的取值范围是（）Ａ．[—１,１] Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—∞，１）∪（１，＋∞）答案C解析因为奇函数f（x）在[—２,２]上是减函数，且f（２）＝—３，所以在[—２,２]上f（x）max＝f （—２）＝—f（２）＝３，要使不等式f（x）<２t＋１对所有的x∈[—２,２]都成立，则２t＋１>f（x）max，即２t＋１>３，解得t>１，故选Ｃ．（２）设定义在[—２,２]上的偶函数f（x）在区间[0,２]上单调递减，若f（１—m）<f（m），则实数m 的取值范围是________．答案错误!解析因为f（x）是偶函数，所以f（—x）＝f（x）＝f（|x|）．所以f（１—m）<f（m）⇔f（|１—m|）<f（|m|）．又当x∈[0,２]时，f（x）是减函数，所以错误!解得—１≤m<错误!.故填错误!.１利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化.错误!即时训练8．（２0１8·南宁模拟）已知定义在R上的函数f（x），对任意x１，x２∈[２0１7，＋∞）且x１≠x２，都有[f（x１）—f（x２）]（x２—x１）>0．若函数f（x＋２0１7）为偶函数，则（）Ａ．f（２0１５）<f（２0１6）<f（２0１7）Ｂ．f（２0１6）<f（２0１５）<f（２0１7）Ｃ．f（２0１7）<f（２0１6）<f（２0１５）Ｄ．f（２0１５）<f（２0１7）<f（２0１6）答案A解析对任意x１，x２∈[２0１7，＋∞）且x１≠x２，都有[f（x１）—f（x２）]（x２—x１）>0，即[f （x１）—f（x２）]（x１—x２）<0，所以f（x）在[２0１7，＋∞）上单调递减，所以f（２0１7）>f （２0１8）>f（２0１9）．因为f（x＋２0１7）为偶函数，所以f（—x＋２0１7）＝f（x＋２0１7），所以f（—１＋２0１7）＝f（１＋２0１7），f（—２＋２0１7）＝f（２＋２0１7），即f（２0１6）＝f（２0１8），f（２0１５）＝f（２0１9），所以f（２0１５）<f（２0１6）<f（２0１7）．故选Ａ．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x２＋２x，若f（２—a２）>f（a），则实数a的取值范围是（）Ａ．（—∞，—１）∪（２，＋∞）Ｂ．（—１,２）Ｃ．（—２,１）Ｄ．（—∞，—２）∪（１，＋∞）答案C解析∵f（x）是奇函数，∴当x<0时，f（x）＝—x２＋２x.作出函数f（x）的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f（x）是R 上的增函数，由f（２—a２）>f（a），得２—a２>a，解得—２<a<１．角度３奇偶性与周期性例５（１）（２0１9·呼伦贝尔统考）已知函数f（x）满足f（x＋２）＝f（x—２），y＝f（x＋２）的图象关于y轴对称，当x∈（0,２）时，f（x）＝log２x２，则下列结论中正确的是（）Ａ．f（４．５）<f（7）<f（6．５）Ｂ．f（7）<f（４．５）<f（6．５）Ｃ．f（7）<f（6．５）<f（４．５）Ｄ．f（４．５）<f（6．５）<f（7）答案A解析由题知f（x）是以４为周期的周期函数，其图象的对称轴为x＝２．因为当x∈（0,２）时，f（x）＝log２x２，所以f（x）在区间（0,２）上是增函数．又f（４．５）＝f（0．５），f（7）＝f（３）＝f （２＋１）＝f（２—１）＝f（１），f（6．５）＝f（２．５）＝f（２＋0．５）＝f（２—0．５）＝f（１．５），且0<0．５<１<１．５<２，所以f（0．５）<f（１）<f（１．５），即f（４．５）<f（7）<f（6．５）．故选Ａ．（２）（２0１8·广东茂名模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（１＋x）＝f（１—x），当x∈[0,１]时，f（x）＝x，若函数g（x）＝|f（x）|—ae—|x|在区间[—２0１8,２0１8]上有４0３２个零点，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（e，e３）Ｃ．（e，e２）Ｄ．（１，e３）答案B解析f（x）满足条件f（１＋x）＝f（１—x）且为奇函数，则f（x）的图象关于x＝１对称，且f（x）＝f（２—x），f（x）＝—f（—x），∴—f（—x）＝f（２—x），即—f（x）＝f（２＋x），∴f（x＋４）＝f （x），∴f（x）的周期为４．令m（x）＝|f（x）|，n（x）＝ae—|x|，画出m（x），n（x）的图象如下图，可知m（x）与n（x）为偶函数，且要使m（x）与n（x）的图象有交点，需a>0，由题意知要满足g（x）在区间[—２0１8，２0１8]上有４0３２个零点，只需m（x）与n（x）的图象在[0,４]上有两个交点，则错误!可得e<a<e３，故选Ｂ．触类旁通利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.,本例１就是将待比较的函数值的自变量全部转化到0，２上，再比较大小.即时训练１0．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），且在区间[0,２]上是增函数，则（）Ａ．f（—２５）<f（１１）<f（80）Ｂ．f（80）<f（１１）<f（—２５）Ｃ．f（１１）<f（80）<f（—２５）Ｄ．f（—２５）<f（80）<f（１１）答案D解析f（x—8）＝—f（x—４）＝f（x），所以函数的周期T＝8，又f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0．因为f（x）在[0,２]上是增函数，且f（x）≥0，所以f（x）在[—２,0]上也是增函数，且f（x）≤0，又x∈[２,４]时，f（x）＝—f（x—４）≥0，且f（x）为减函数．同理f（x）在[４,6]上为减函数且f（x）≤0，从而可得y＝f（x）的大致图象如图所示．因为f（—２５）＝f（—１）<0，f（１１）＝f（３）>0，f（80）＝f（0）＝0．所以f（—２５）<f （80）<f（１１）．故选Ｄ．１１．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x＋２）＝—错误!，当２≤x≤３时，f（x）＝x，则f （１0５．５）＝________.答案２．５解析由已知，可得f（x＋４）＝f[（x＋２）＋２]＝—错误!＝—错误!＝f（x），故函数f（x）的周期为４．∴f（１0５．５）＝f（４×２7—２．５）＝f（—２．５）＝f（２．５）．∵２≤２．５≤３，由题意，得f（２．５）＝２．５．∴f（１0５．５）＝２．５．。

一、知识梳理１．对数函数的图象与性质a>１0<a<１图象性质定义域：（0，＋∞）值域：R过定点（１，0）当x>１时，y>0当0<x<１时，y<0当x>１时，y<0当0<x<１时，y>0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论对数函数图象的特点（１）当a>１时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<１时，对数函数的图象呈下降趋势．（２）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠１）的图象过定点（１，0），且过点（a，１），错误!，函数图象只在第一、四象限．（３）在直线x＝１的右侧：当a>１时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<１时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．二、习题改编１．（必修１P7４A组T7改编）函数y＝错误!的定义域为．解析：要使函数有意义，故满足错误!解得错误!<x≤１．答案：错误!２．（必修１P7３练习T３改编）已知a＝２错误!，b＝log２错误!，c＝log错误!错误!，则a，b，c 的大小关系是．答案：c>a>b一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２x及y＝log错误!３x都是对数函数．（）（２）对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）在（0，＋∞）上是增函数．（）（３）函数y＝ln 错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）的图象过定点（１，0），且过点（a，１），函数图象只经过第一、四象限．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略真数大于零致误；（２）忽视对底数的讨论致误．１．函数f（x）＝log２x２的单调递增区间为．解析：设t＝x２，因为y＝log２t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x２的单调递增区间，所以所求区间为（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）２．函数y＝log a x（a>0，a≠１）在[２，４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝．解析：分两种情况讨论：１当a>１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0<a<１时，有log a ２—log a４＝１，解得a＝错误!，所以a＝２或错误!.答案：２或错误!对数函数的图象及应用（典例迁移）（１）若函数y＝a|x|（a>0，且a≠１）的值域为{y|y≥１}，则函数y＝log a|x|的图象大致是（）（２）若方程４x＝log a x在错误!上有解，则实数a的取值范围为．【解析】（１）由于y＝a|x|的值域为{y|y≥１}，所以a>１，则y＝log a|x|在（0，＋∞）上是增函数，又函数y＝log a|x|的图象关于y轴对称．因此y＝log a|x|的图象应大致为选项Ｂ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a>１时不满足条件，当0<a<１时，画出两个函数在错误!上的图象，可知，只需两图象在错误!上有交点即可，则f错误!≥g错误!，即２≥log a错误!，则a≤错误!，所以a的取值范围为错误!.【答案】（１）B （２）错误!【迁移探究】（变条件）若本例（２）的条件变为：当0<x≤错误!时，４x<log a x，则a的取值范围为．解析：构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a>１时不满足条件，当0<a<１时，画出两个函数在错误!上的图象，可知f错误!<g错误!，即２<log a错误!，则a>错误!，所以a的取值范围为错误!.答案：错误!错误!对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：（１）对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f（x），g（x）；（２）在同一直角坐标系下作出两个函数f（x）与g（x）的图象；（３）比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．１．函数y＝２log４（１—x）的图象大致是（）解析：选Ｃ．函数y＝２log４（１—x）的定义域为（—∞，１），排除A，B；函数y＝２log４（１—x）在定义域上单调递减，排除Ｄ．选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!且关于x的方程f（x）＋x—a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>１时，直线y＝—x＋a与y＝log２x只有一个交点．答案：（１，＋∞）对数函数的性质及应用（多维探究）角度一比较对数值的大小（２0１9·高考天津卷）已知a＝log２7，b＝log３8，c＝0．３0．２，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．c<b<aＢ．a<b<cＣ．b<c<aＤ．c<a<b【解析】因为a＝log２7>log２４＝２，b＝log３8<log３9＝２，且b＝log３8>１，c＝0．３0．２<0．３0＝１，所以c<b<a.故选Ａ．【答案】A错误!比较对数值的大小的方法角度二解简单的对数不等式或方程（一题多解）已知函数f（x）＝log a x（a>0且a≠１）满足f错误!<f错误!，则f错误!>0的解集为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）【解析】法一：因为函数f（x）＝log a x（a>0且a≠１）在（0，＋∞）上为单调函数，而错误!<错误!且f错误!<f错误!，所以f（x）＝log a x在（0，＋∞）上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f（２x—１）>0⇒２x—１>１，所以x>１．法二：由f错误!<f错误!知log a错误!>log a错误!，所以log a２—１<log a３—１，所以log a２<log a３，所以a>１，由f（２x—１）>0得log a（２x—１）>0，所以２x—１>１，即x>１．【答案】C错误!解对数不等式的函数及方法（１）形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>１与0<a<１两种情况讨论；（２）形如log a x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题已知函数f（x）＝log４（ax２＋２x＋３）．（１）若f（１）＝１，求f（x）的单调区间；（２）若f（x）的最小值为0，求a的值．【解】（１）因为f（１）＝１，所以log４（a＋５）＝１，因此a＋５＝４，即a＝—１，所以f（x）＝log４（—x２＋２x＋３）．由—x２＋２x＋３>0得—１<x<３，即函数f（x）的定义域为（—１，３）．令g（x）＝—x２＋２x＋３．则g（x）在（—１，１）上单调递增，在[１，３）上单调递减．又y＝log４x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递增区间是（—１，１），单调递减区间是[１，３）．（２）若f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax２＋２x＋３应有最小值１，因此应有错误!解得a＝错误!.故实数a的值为错误!.错误!解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤１．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知a＝log２0．２，b＝２0．２，c＝0．２0．３，则（）Ａ．a＜b＜cＢ．a＜c＜bＣ．c＜a＜bＤ．b＜c＜a解析：选B.因为a＝log２0．２<log２１＝0，b＝２0．２>２0＝１，c＝0．２0．３<0．２0＝１且c>0，所以a<c<b，故选Ｂ．２．设函数f（x）＝错误!则满足f（x）≤２的x的取值范围是（）Ａ．[—１，２] Ｂ．[0，２]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）解析：选Ｄ．当x≤１时，２１—x≤２，解得x≥0，所以0≤x≤１；当x>１时，１—log２x≤２，解得x≥错误!，所以x>１．综上可知x≥0．思想方法系列４分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f（x）＝log a（２x—a）（a>0且a≠１）在区间[错误!，错误!]上恒有f（x）>0，则实数a的取值范围是（）Ａ．（错误!，１）Ｂ．[错误!，１）Ｃ．（错误!，１）Ｄ．[错误!，１）【解析】当0<a<１时，函数f（x）在区间[错误!，错误!]上是减函数，所以log a（错误!—a）>0，即0<错误!—a<１，解得错误!<a<错误!，故错误!<a<１；当a>１时，函数f（x）在区间[错误!，错误!]上是增函数，所以log a（１—a）>0，即１—a>１，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是（错误!，１）．【答案】A错误!本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y＝a２x＋２a x—１（a>0，且a≠１），当x≥0时，求函数的值域．解：y＝a２x＋２a x—１，令t＝a x，则y＝g（t）＝t２＋２t—１＝（t＋１）２—２．当a>１时，因为x≥0，所以t≥１，所以当a>１时，y≥２．当0<a<１时，因为x≥0，所以0<t≤１．因为g（0）＝—１，g（１）＝２，所以当0<a<１时，—１<y≤２．综上所述，当a>１时，函数的值域是[２，＋∞）；当0<a<１时，函数的值域是（—１，２]．[基础题组练]１．函数y＝错误!的定义域是（）Ａ．[１，２] Ｂ．[１，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由错误!即错误!解得x≥错误!.故选Ｃ．２．若函数y＝f（x）是函数y＝a x（a>0且a≠１）的反函数，且f（２）＝１，则f（x）＝（）Ａ．log２xＢ．错误!Ｃ．log错误!xＤ．２x—２解析：选Ａ．由题意知f（x）＝log a x（a>0且a≠１），因为f（２）＝１，所以log a２＝１，所以a ＝２．所以f（x）＝log２x.故选Ａ．３．（２0２0·东北三省四市一模）若a＝log２错误!，b＝0．４8，c＝ln ２，则a，b，c的大小关系是（）Ａ．a<c<bＢ．a<b<cＣ．c<b<aＤ．b<c<a解析：选Ｂ．a＝log２错误!<log２１＝0，即a<0，b＝0．４8<0．４<错误!，又0．４8>0，所以0<b<错误!，c＝ln ２＝ln错误!>ln错误!＝错误!，即c>错误!，所以a<b<c.故选Ｂ．４．设函数f（x）＝log a|x|在（—∞，0）上单调递增，则f（a＋１）与f（２）的大小关系是（）Ａ．f（a＋１）>f（２）Ｂ．f（a＋１）<f（２）Ｃ．f（a＋１）＝f（２）Ｄ．不能确定解析：选Ａ．由已知得0<a<１，所以１<a＋１<２，又易知函数f（x）为偶函数，故可以判断f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f（a＋１）>f（２）．５．（２0２0·河南平顶山模拟）函数f（x）＝log a|x＋１|（a>0，a≠１），当x∈（—１，0）时，恒有f（x）>0，则（）Ａ．f（x）在（—∞，0）上是减函数Ｂ．f（x）在（—∞，—１）上是减函数Ｃ．f（x）在（0，＋∞）上是增函数Ｄ．f（x）在（—∞，—１）上是增函数解析：选D.由题意，函数f（x）＝log a|x＋１|（a>0且a≠１），则说明函数f（x）关于直线x＝—１对称，当x∈（—１，0）时，恒有f（x）>0，即|x＋１|∈（0，１），f（x）>0，则0<a<１．又u＝|x ＋１|在（—∞，—１）上是减函数，在（—１，＋∞）上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f（x）在（—∞，—１）上是增函数，选Ｄ．6．已知函数y＝log a（x—１）（a>0，a≠１）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）＝２x＋b的图象上，则f（log２３）＝．解析：由题意得A（２，0），因此f（２）＝４＋b＝0，b＝—４，从而f（log２３）＝３—４＝—１．答案：—１7．若函数f（x）＝log a x（0<a<１）在区间[a，２a]上的最大值是最小值的３倍，则a的值为．解析：因为0<a<１，所以函数f（x）是定义域上的减函数，所以f（x）max＝log a a＝１，f（x）min ＝log a２a，所以１＝３log a２a⇒a＝（２a）３⇒8a２＝１⇒a＝错误!.答案：错误!8．已知函数f（x）＝log a（ax—３）在[１，３]上单调递增，则a的取值范围是．解析：由于a>0，且a≠１，所以u＝ax—３为增函数，所以若函数f（x）为增函数，则f（x）＝log a u必为增函数，所以a>１．又u＝ax—３在[１，３]上恒为正，所以a—３>0，即a>３．答案：（３，＋∞）9．已知函数f（x—３）＝log a错误!（a>0，a≠１）．（１）求f（x）的解析式；（２）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．解：（１）令x—３＝u，则x＝u＋３，于是f（u）＝log a错误!（a>0，a≠１，—３<u<３），所以f（x）＝log a错误!（a>0，a≠１，—３<x<３）．（２）因为f（—x）＋f（x）＝log a错误!＋log a错误!＝log a１＝0，所以f（—x）＝—f（x），又定义域（—３，３）关于原点对称．所以f（x）是奇函数．１0．设f（x）＝log a（１＋x）＋log a（３—x）（a>0且a≠１），且f（１）＝２．（１）求实数a的值及f（x）的定义域；（２）求f（x）在区间错误!上的最大值．解：（１）因为f（１）＝２，所以log a４＝２（a>0，a≠１），所以a＝２．由错误!得—１<x<３，所以函数f（x）的定义域为（—１，３）．（２）f（x）＝log２（１＋x）＋log２（３—x）＝log２[（１＋x）（３—x）]＝log２[—（x—１）２＋４]，所以当x∈（—１，１]时，f（x）是增函数；当x∈（１，３）时，f（x）是减函数，故函数f（x）在错误!上的最大值是f（１）＝log２４＝２．[综合题组练]１．（２0２0·河南新乡二模）已知函数f（x）＝log３（9x＋１）＋mx是偶函数，则不等式f（x）＋４x<log３２的解集为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，0）Ｄ．（—∞，１）解析：选Ｃ．由f（x）＝log３（9x＋１）＋mx是偶函数，得f（—x）＝f（x），即log３（9—x＋１）＋m（—x）＝log３（9x＋１）＋mx，变形可得m＝—１，即f（x）＝log３（9x＋１）—x，设g（x）＝f（x）＋４x＝log３（9x＋１）＋３x，易得g（x）在R上为增函数，且g（0）＝log３（90＋１）＝log３２，则f（x）＋４x<log３２⇒g（x）<g（0），则有x<0，即不等式的解集为（—∞，0）．故选Ｃ．２．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<１0，则abc的取值范围是．解析：由题意知，在（0，１0）上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，且a<b<１0，所以lg a＝—lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝１，0<c<lg １0＝１，所以abc的取值范围是（0，１）．答案：（0，１）３．已知函数f（x）＝lg错误!，其中x>0，a>0．（１）求函数f（x）的定义域；（２）若对任意x∈[２，＋∞）恒有f（x）>0，试确定a的取值范围．解：（１）由x＋错误!—２>0，得错误!>0．因为x>0，所以x２—２x＋a>0．当a>１时，定义域为（0，＋∞）；当a＝１时，定义域为（0，１）∪（１，＋∞）；当0<a<１时，定义域为（0，１—错误!）∪（１＋错误!，＋∞）．（２）对任意x∈[２，＋∞）恒有f（x）>0，即x＋错误!—２>１对x∈[２，＋∞）恒成立，即a>—x２＋３x对x∈[２，＋∞）恒成立，记h（x）＝—x２＋３x，x∈[２，＋∞），则只需a>h（x）max.而h（x）＝—x２＋３x＝—错误!错误!＋错误!在[２，＋∞）上是减函数，所以h（x）max＝h（２）＝２，故a>２．。

高考数学一轮复习 第二章 函数2．1函数及其表示教学案 理 新人教A 版2．1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．1．函数与映射的概念函数 映射两集合A ，B 设A ，B 是两个非空____ 设A ，B 是两个非空____对应关系f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的____一个____，在集合B 中____________的____和它对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的____一个______在集合B 中__________的______与之对应名称称________为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应______为从集合A 到集合B的一个映射记法 y ＝f (x )，(x ∈A ，y ∈B ) 对应f ：A →B 是一个映射 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：x 1 2 3 f 3 1 2 g 3 2 1则f (g (3))等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lgx ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f (u )＝1＋u 1－u ，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 24．(2012山东高考)函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( )． A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )． A ．log 32 B ．－2 C ．log 32或－2D ．2一、求简单函数的定义域、值域【例1－1】(2012江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为__________． 【例1－2】已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域． 【例1－3】求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]；(2)y ＝2x 2－1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1. 方法提炼1．求函数定义域的方法(1)求具体函数y ＝f (x )的定义域：函数给出的方式 确定定义域的方法列表法 表中实数x 的集合 图象法 图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合 解析法 使解析式有意义的实数x 的集合 实际问题 有实际意义及使相应解析式有意义的x 的集合(2)求抽象函数的定义域：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．提醒：定义域必须写成集合或区间的形式． 2．求值域的方法常见的求值域的方法有：①配方法；②换元法；③基本不等式法；④利用函数的单调性；⑤分离常数法；⑥数形结合法；⑦导数法等．3．若两个函数的定义域与值域相同，它们不一定是同一函数，如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．4．分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；图象则是由各段上的图象合成的．请做演练巩固提升1,4 二、求函数的解析式【例2－1】 若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】 若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】 已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2. (1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围． 方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； 3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升2忽略分段函数中自变量的取值范围而致误【典例】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解． 错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2,2. 答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．(2013届广东湛江一中第一学期期中)函数f (x )＝ln x －1的定义域为( )． A ．(e ，＋∞) B ．[e ，＋∞) C ．(0，e] D ．(－∞，e]2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )．A ．lg 1xB ．lg1x －1 C ．lg2x －1D ．lg 1x －23．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3．解析法 列表法 图象法 4．对应法则 并集 并集 基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1， ∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，x ＋1>0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x >－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x＝2， ∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32. 考点探究突破【例1－1】 (0，6] 解析：要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0，x >0，解得0＜x ≤6，故f (x )的定义域为(0，6]． 【例1－2】 解：用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∴t ＝3－2x (x ∈[－1,2])．∴－1≤t ≤5. 故f (x )的定义域为[－1,5]．【例1－3】 解：(1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[0,3]，结合二次函数的图象，可知y ＝x 2＋2x 在区间[0,3]上是增函数，故当x ＝3时，y max ＝15； 当x ＝0时，y min ＝0.故函数的值域为[0,15]．(2)令x 2－1＝t ，则t ≥－1，原函数化为y ＝2t，t ∈[－1，＋∞)．结合y ＝2t 的单调性得y ＝2t，t ∈[－1，＋∞)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)原函数即为y ＝log 3x ＋1log 3x－1.当x ＞1时，log 3x ＞0，因此利用基本不等式得y ≥2－1＝1，当log 3x ＝1log 3x，即x ＝3时取“＝”；当0＜x ＜1时，log 3x ＜0， 因此log 3x ＋log x 3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log 3x ≤－2，∴log 3x ＋1log 3x－1≤－3，当且仅当log 3x ＝1log 3x，即x ＝13时取“＝”．综上可知，y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【例2－1】 2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b＝x ， 变形得x ⎝⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又∵方程有唯一解， ∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.【例2－2】 解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【例2－3】 解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x . ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2.故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12.演练巩固提升1．B2．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1，故选C.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]．∵函数g(x)是以1为周期的函数，∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]．当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]．综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．5．1 解析：y＝f(x)是y＝12x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。

函数的奇偶性与单调性（师生共研）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，对任意x１，x２∈（0，＋∞），都有（x１—x２）·[f（x１）—f（x２）]<0．设a＝ln错误!，b＝（ln ３）２，c＝ln错误!，则（）Ａ．f（a）>f（b）>f（c）Ｂ．f（b）>f（a）>f（c）Ｃ．f（c）>f（a）>f（b）Ｄ．f（c）>f（b）>f（a）【解析】由题意易知f（x）在（0，＋∞）上是减函数，又因为|a|＝ln ３>１，b＝（ln ３）２>|a|，0<c＝错误!<|a|，所以f（c）>f（|a|）>f（b）．又由题意知f（a）＝f（|a|），所以f（c）>f（a）>f（b）．故选Ｃ．【答案】C错误!函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路（１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．（２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）>f（x２）或f（x）<f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影１响．已知定义域为（—１，１）的奇函数f（x）是减函数，且f（a—３）＋f（9—a２）<0，则实数a的取值范围是（）Ａ．（２错误!，３）Ｂ．（３，错误!）Ｃ．（２错误!，４）Ｄ．（—２，３）解析：选Ａ．由f（a—３）＋f（9—a２）<0得f（a—３）<—f（9—a２）．又由奇函数性质得f（a—３）<f（a２—9）．因为f（x）是定义域为（—１，１）的减函数，所以错误!解得２错误!<a<３．函数的奇偶性与周期性（典例迁移）（一题多解）（２0２0·武昌区调研考试）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且函数y＝f（x—１）为偶函数，当0≤x≤１时，f（x）＝x３，则f错误!＝．【解析】法一：因为f（x）是R上的奇函数，y＝f（x—１）为偶函数，所以f（x—１）＝f（—x—１）＝—f（x＋１），所以f（x＋２）＝—f（x），f（x＋４）＝f（x），即f（x）的周期T＝４，因为0≤x≤１时，f（x）＝x３，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝—f错误!＝—f错误!＝f错误!＝—f错误!＝—错误!.法二：因为f（x）是R上的奇函数，y＝f（x—１）为偶函数，所以f（x—１）＝f（—x—１）＝—f （x＋１），所以f（x＋２）＝—f（x），由题意知，当—１≤x<0时，f（x）＝x３，故当—１≤x≤１时，f （x）＝x３，当１<x≤３时，—１<x—２≤１，f（x）＝—（x—２）３，所以f错误!＝—错误!错误!＝—错误!.【答案】—错误!【迁移探究】（变条件）本例变为：已知f（x）是定义域为R的偶函数，且函数y＝f（x＋１）为奇函数，当0≤x<１时，f（x）＝x２，则f错误!＝．解析：因为f（x）是R上的偶函数，y＝f（x＋１）为奇函数，所以f（x＋１）＝—f（—x＋１）＝—f（x—１），所以f（x＋２）＝—f（x），f（x＋４）＝f（x），即f（x）的周期T＝４，因为0≤x<１时，f（x）＝x２，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!＝—f错误!＝—错误!.答案：—错误!错误!周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．（２0２0·广东六校第一次联考）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（２—x）及f（x）＝—f（—x），且在[0，１]上有f（x）＝x２，则f错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｄ．函数f（x）的定义域是R，f（x）＝—f（—x），所以函数f（x）是奇函数．又f（x）＝f（２—x），所以f（—x）＝f（２＋x）＝—f（x），所以f（４＋x）＝—f（２＋x）＝f（x），故函数f （x）是以４为周期的奇函数，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝—f错误!.因为在[0，１]上有f（x）＝x２，所以f错误!＝错误!错误!＝错误!，故f错误!＝—错误!，故选Ｄ．函数的综合性应用（师生共研）（１）（２0２0·石家庄市模拟（一））已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（２—x），当x∈[0，１]时，f（x）＝４x—１，则在（１，３）上，f（x）≤１的解集是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．[２，３）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４【解析】（１）因为0≤x≤１时，f（x）＝４x—１，所以f（x）在区间[0，１]上是增函数，又函数f（x）是奇函数，所以函数f（x）在区间[—１，１]上是增函数，因为f（x）＝f（２—x），所以函数f （x）的图象关于直线x＝１对称，所以函数f（x）在区间（１，３）上是减函数，又f错误!＝１，所以f错误!＝１，所以在区间（１，３）上不等式f（x）≤１的解集为错误!，故选Ｃ．（２）偶函数f（x）满足f（x）＋f（２—x）＝0，所以f（—x）＝f（x）＝—f（２—x），f（x＋２）＝—f（x），f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为４，故１错误，２正确；由f（x＋２）＝—f（x），可得f（x＋１）＝—f（x—１）．又f（—x—１）＝f（x＋１），所以f（—x—１）＝—f（x—１），故f（x—１）为奇函数，３正确；若f（x—３）为偶函数，则f（x—３）＝f（—x—３），又f（—x—３）＝f（x＋３），所以f（x＋３）＝f（x—３），即f（x＋6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与４为最小正周期矛盾，故４错误，故选Ｂ．【答案】（１）C （２）B错误!求解函数的综合性应用的策略（１）函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；偶函数一定有f（|x|）＝f（x）”在解题中的应用．（２）解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．１．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＝f（２—x）．若f（x）在区间[１，２]上是减函数，则f（x）（）Ａ．在区间[—２，—１]上是增函数，在区间[３，４]上是增函数Ｂ．在区间[—２，—１]上是增函数，在区间[３，４]上是减函数Ｃ．在区间[—２，—１]上是减函数，在区间[３，４]上是增函数Ｄ．在区间[—２，—１]上是减函数，在区间[３，４]上是减函数解析：选Ｂ．由f（x）＝f（２—x）得f（x）的图象关于直线x＝１对称．又f（x）是偶函数，故函数f（x）的周期是２，f（x）在区间[—２，—１]上是增函数，在区间[３，４]上是减函数．２．（２0２0·甘肃甘谷一中第一次质检）已知定义在R上的函数f（x）满足条件：１对任意的x∈R，都有f（x＋４）＝f（x）；２对任意的x１，x２∈[0，２]且x１<x２，都有f（x１）<f（x２）；３函数f（x ＋２）的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是（）Ａ．f（7）<f（6．５）<f（４．５）Ｂ．f（7）<f（４．５）<f（6．５）Ｃ．f（４．５）<f（7）<f（6．５）Ｄ．f（４．５）<f（6．５）<f（7）解析：选Ｃ．因为对任意的x∈R，都有f（x＋４）＝f（x），所以函数是以４为周期的周期函数，因为函数f（x＋２）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的图象关于x＝２对称，因为x１，x２∈[0，２]且x１<x２，都有f（x１）<f（x２）．所以函数f（x）在[0，２]上为增函数，所以函数f（x）在[２，４]上为减函数．易知f（7）＝f（３），f（6．５）＝f（２．５），f（４．５）＝f（0．５）＝f（３．５），则f（３．５）<f（３）<f（２．５），即f（４．５）<f（7）<f（6．５）．核心素养系列４数学抽象——活用函数性质中“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、奇函数的最值性质已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f（x）＋f（—x）＝0．特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0．设函数f（x）＝错误!的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝．【解析】函数f（x）的定义域为R，f（x）＝错误!＝１＋错误!，设g（x）＝错误!，则g（—x）＝—g（x），所以g（x）为奇函数，由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，所以M＋m＝[g（x）＋１]max＋[g（x）＋１]min＝２＋g（x）max＋g（x）min＝２．【答案】２二、抽象函数的周期性（１）如果f（x＋a）＝—f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.（２）如果f（x＋a）＝错误!（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.（３）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x有f（x＋４）＝—f（x）＋２错误!，若函数f（x—１）的图象关于直线x＝１对称，f（１）＝２，则f（１7）＝．【解析】由函数y＝f（x—１）的图象关于直线x＝１对称可知，函数f（x）的图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数．由f（x＋４）＝—f（x）＋２错误!，得f（x＋４＋４）＝—f（x＋４）＋２错误!＝f（x），所以f（x）是最小正周期为8的偶函数，所以f（１7）＝f（１＋２×8）＝f（１）＝２．【答案】２三、抽象函数的对称性已知函数f（x）是定义在R上的函数．（１）若f（a＋x）＝f（b—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，特别地，若f （a＋x）＝f（a—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．（２）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a—x）＝0，即f（x）＝—f（２a—x），则f（x）的图象关于点（a，0）对称．（２0２0·黑龙江牡丹江一中期末）设f（x）是（—∞，＋∞）上的奇函数，且f（x＋２）＝—f （x），下面关于f（x）的判定，其中正确命题的个数为（）１f（４）＝0；２f（x）是以４为周期的函数；３f（x）的图象关于x＝１对称；４f（x）的图象关于x＝２对称．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４【解析】因为f（x）是（—∞，＋∞）上的奇函数，所以f（—x）＝—f（x），f（0）＝0，因为f（x＋２）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），即f（x）是以４为周期的周期函数，f（４）＝f（0）＝0，因为f（x＋２）＝—f（x），所以f[（x＋１）＋１]＝f（—x），令t＝x＋１，则f（t＋１）＝f（１—t），所以f（x＋１）＝f（１—x），所以f（x）的图象关于x＝１对称，而f（２＋x）＝f（２—x）显然不成立．故正确的命题是１２３，故选Ｃ．【答案】C１．对于函数f（x）＝a sin x＋bx＋c（其中a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（１）和f（—１），所得出的正确结果一定不可能是（）Ａ．４和6 Ｂ．３和１Ｃ．２和４Ｄ．１和２解析：选Ｄ．设g（x）＝a sin x＋bx，则f（x）＝g（x）＋c，且函数g（x）为奇函数．注意到c∈Z，所以f（１）＋f（—１）＝２c为偶数．故选D.２．若偶函数f（x）满足f（x）＝x３—8（x≥0），则f（x—２）>0的条件为．解析：由f（x）＝x３—8（x≥0），知f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝0．所以，由已知条件可知f（x—２）>0⇒f（|x—２|）>f（２）．所以|x—２|>２，解得x<0或x>４．答案：{x|x<0或x>４}[基础题组练]１．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋４）＝f（x），当x∈（0，２）时，f（x）＝２x２，则f（２0１9）＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—98 Ｄ．98解析：选Ａ．由f（x＋４）＝f（x）知，f（x）是周期为４的周期函数，f（２0１9）＝f（５0４×４＋３）＝f（３）＝f（—１）．由f（１）＝２×１２＝２得f（—１）＝—f（１）＝—２，所以f（２0１9）＝—２．故选Ａ．２．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（２x—１）<f错误!的x的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为f（x）是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f（x）在[0，＋∞）上单调递增，f（２x—１）<f错误!，所以|２x—１|<错误!，所以错误!<x<错误!.３．若f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，∀x１，x２∈[0，＋∞）（x１≠x２），有错误!<0，则（）A．f（３）<f（１）<f（—２）Ｂ．f（１）<f（—２）<f（３）Ｃ．f（—２）<f（１）<f（３）Ｄ．f（３）<f（—２）<f（１）解析：选Ｄ．因为∀x１，x２∈[0，＋∞）（x１≠x２），有错误!<0，所以当x≥0时，函数f（x）为减函数，因为f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，所以f（３）<f（２）<f（１），即f（３）<f（—２）<f（１）．４．（２0２0·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）是偶函数，定义域为R，单调增区间为[0，＋∞），且f（１）＝0，则（x—１）f（x—１）≤0的解集为（）Ａ．[—２，0] Ｂ．[—１，１]Ｃ．（—∞，0]∪[１，２] Ｄ．（—∞，—１]∪[0，１]解析：选Ｃ．由题意可知，函数f（x）在（—∞，0]上单调递减，且f（—１）＝0，令x—１＝t，则tf（t）≤0，当t≥0时，f（t）≤0，解得0≤t≤１；当t<0时，f（t）≥0，解得t≤—１，所以0≤x—１≤１或x—１≤—１，所以x≤0或１≤x≤２．故选Ｃ．５．（２0２0·甘肃静宁一中一模）函数y＝f（x）在[0，２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）<f错误!<f错误!Ｂ．f错误!<f错误!<f（１）Ｃ．f错误!<f（１）<f错误!Ｄ．f错误!<f（１）<f错误!解析：选Ｃ．函数f（x＋２）是偶函数，则其图象关于y轴对称，所以函数y＝f（x）的图象关于x ＝２对称，则f错误!＝f错误!，f错误!＝f错误!，函数y＝f（x）在[0，２]上单调递增，则有f错误!<f（１）<f错误!，所以f错误!<f（１）<f错误!.故选Ｃ．6．偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝２对称，f（３）＝３，则f（—１）＝．解析：因为f（x）为偶函数，所以f（—１）＝f（１）．又f（x）的图象关于直线x＝２对称，所以f（１）＝f（３）．所以f（—１）＝３．答案：３7．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，则不等式错误!<0的解集为．解析：因为f（x）为奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，f（１）＝0，所以f（—１）＝—f（１）＝0，且在（—∞，0）上也是增函数．因为错误!＝２·错误!<0，即错误!或错误!解得x∈（—１，0）∪（0，１）．答案：（—１，0）∪（0，１）8．已知函数f（x）＝错误!，若f（a）＝错误!，则f（—a）＝．解析：根据题意，f（x）＝错误!＝１＋错误!，而h（x）＝错误!是奇函数，故f（—a）＝１＋h（—a）＝１—h（a）＝２—[１＋h（a）]＝２—f（a）＝２—错误!＝错误!.答案：错误!9．已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）＋f（—x）＝0，f（x—１）＝f（x＋１），若当x∈[0，１）时，f（x）＝a x＋b（a＞0且a≠１），且f错误!＝错误!.（１）求实数a，b的值；（２）求函数f（x）的值域．解：（１）因为f（x）＋f（—x）＝0，所以f（—x）＝—f（x），即f（x）是奇函数．因为f（x—１）＝f（x＋１），所以f（x＋２）＝f（x），即函数f（x）是周期为２的周期函数，所以f（0）＝0，即b＝—１．又f错误!＝f错误!＝—f错误!＝１—错误!＝错误!，解得a＝错误!.（２）当x∈[0，１）时，f（x）＝a x＋b＝错误!错误!—１∈错误!，由f（x）为奇函数知，当x∈（—１，0）时，f（x）∈错误!，又因为f（x）是周期为２的周期函数，所以当x∈R时，f（x）∈错误!.１0．（２0２0·江西赣州五校协作体联考）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f （x）＝x２＋２x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示．（１）画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—２ax＋２（x∈[１，２]），当a>１时，求函数g（x）的最小值．解：（１）f（x）在y轴右侧的图象如图所示．若x>0，则—x<0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x２＋２x，所以f（x）＝f（—x）＝（—x）２＋２×（—x）＝x２—２x（x>0），所以f（x）＝错误!（２）由（１）知g（x）＝x２—２x—２ax＋２，其图象的对称轴方程为x＝a＋１，当a>１时，a＋１>２，g（x）＝x２—２x—２ax＋２在[１，２]上单调递减，则g（x）在[１，２]上的最小值为g（２）＝２—４a.[综合题组练]１．已知f（x）是定义在[２b，１—b]上的偶函数，且在[２b，0]上为增函数，则f（x—１）≤f（２x）的解集为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．[—１，１] Ｄ．错误!解析：选Ｂ．因为f（x）是定义在[２b，１—b]上的偶函数，所以２b＋１—b＝0，所以b＝—１，因为f（x）在[２b，0]上为增函数，即函数f（x）在[—２，0]上为增函数，故函数f（x）在（0，２]上为减函数，则由f（x—１）≤f（２x），可得|x—１|≥|２x|，即（x—１）２≥４x２，解得—１≤x≤错误!.又因为定义域为[—２，２]，所以错误!解得错误!综上，所求不等式的解集为错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·辽宁沈阳东北育才学校联考（二））函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（—１）＝0，若对任意x１，x２∈（—∞，0），且x１≠x２，都有错误!<0成立，则不等式f（x）<0的解集为（）Ａ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｂ．（—１，0）∪（0，１）Ｃ．（—∞，—１）∪（0，１）Ｄ．（—１，0）∪（１，＋∞）解析：选Ｃ．令F（x）＝xf（x），因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以F（—x）＝—xf（—x）＝xf（x）＝F（x），所以F（x）是偶函数，因为f（—１）＝0，所以F（—１）＝0，则F（１）＝0，因为对任意x１，x２∈（—∞，0），且x１≠x２时，都有错误!<0成立，所以F（x）在（—∞，0）上单调递减，所以F（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以不等式f（x）<0的解集为（—∞，—１）∪（0，１），故选Ｃ．３．函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x１，x２∈D，有f（x１·x２）＝f（x１）＋f （x２）．（１）求f（１）的值；（２）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论．解：（１）因为对于任意x１，x２∈D，有f（x１·x２）＝f（x１）＋f（x２），所以令x１＝x２＝１，得f（１）＝２f（１），所以f（１）＝0．（２）f（x）为偶函数．证明如下：令x１＝x２＝—１，有f（１）＝f（—１）＋f（—１），所以f（—１）＝错误!f（１）＝0．令x１＝—１，x２＝x有f（—x）＝f（—１）＋f（x），所以f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．４．已知函数y＝f（x）在定义域[—１，１]上既是奇函数又是减函数．（１）求证：对任意x１，x２∈[—１，１]，有[f（x１）＋f（x２）]·（x１＋x２）≤0；（２）若f（１—a）＋f（１—a２）＜0，求实数a的取值范围．解：（１）证明：若x１＋x２＝0，显然不等式成立．若x１＋x２＜0，则—１≤x１＜—x２≤１，因为f（x）在[—１，１]上是减函数且为奇函数，所以f（x１）＞f（—x２）＝—f（x２），所以f（x１）＋f（x２）＞0．所以[f（x１）＋f（x２）]（x１＋x２）＜0成立．若x１＋x２＞0，则１≥x１＞—x２≥—１，同理可证f（x１）＋f（x２）＜0．所以[f（x１）＋f（x２）]（x１＋x２）＜0成立．综上得证，对任意x１，x２∈[—１，１]，有[f（x１）＋f（x２）]·（x１＋x２）≤0恒成立．（２）因为f（１—a）＋f（１—a２）＜0⇔f（１—a２）＜—f（１—a）＝f（a—１），所以由f（x）在定义域[—１，１]上是减函数，得错误!即错误!解得0≤a＜１．故所求实数a的取值范围是[0，１）．。

基础知识整合１．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、错误!描点、连线．首先：１确定函数的定义域；２化简函数解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．２．利用图象变换法作函数的图象（１）平移变换y＝f（x）错误!y＝f（x—a）；y＝f（x）错误!y＝错误!f（x）＋Ｂ．（２）伸缩变换（３）对称变换y＝f（x）错误!y＝—f（x）；y＝f（x）错误!y＝f（—x）；y＝f（x）错误!y＝错误!—f（—x）．（４）翻折变换y＝f（x）错误!y＝f（|x|）；y＝f（x）错误!y＝|f（x）|.１．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是１，需要把系数提出来，再进行变换．２．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f（x）中的f（x）进行操作，满足“上加下减”．１．（２0１9·昆明模拟）函数y＝x２—２|x|的图象是（）答案B解析由y＝x２—２|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，排除Ｃ．当x≥0时，y＝x２—２x＝（x—１）２—１．即当x＝0时，y＝0，当x＝１时，y＝—１，排除A，D，故选Ｂ．２．已知图１中的图象对应的函数为y＝f（x），则在下列给出的四个选项中，图２中的图象对应的函数只可能是（）Ａ．y＝f（|x|）Ｂ．y＝|f（x）|Ｃ．y＝f（—|x|）Ｄ．y＝—f（|x|）答案C解析由图２知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f（|x|）＝f（x），其图象在y轴右侧与图１的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f（x），显然B 错误；对于D，当x<0时，y＝—f（—x），其图象在y轴左侧与图１的不相同，不符合，故错误；所以C 正确．３．（２0１8·四川模拟）函数y＝错误!的图象大致是（）答案C解析因为函数的定义域是非零实数集，所以A错误；当x<0时，y>0，所以B错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x→＋∞时，y→0，所以D错误．故选Ｃ．４．（２0１9·宁夏模拟）函数f（x）＝２x＋sinx的部分图象可能是（）答案A解析函数f（x）＝２x＋sinx是奇函数，故其图象关于原点对称，排除B；又当0<x<错误!时，函数值为正，仅有A满足，故选Ａ．５．（２0１9·梅州模拟）函数f（x）＝错误!的大致图象是（）答案B解析函数f（x）的定义域为（0，＋∞），当x→0时，f（x）<0，排除C，D；当x→＋∞时，f（x）>0，排除A，故选Ｂ．核心考向突破考向一函数图象的画法例１作出下列函数的图象：（１）y＝|x—２|·（x＋２）；（２）y＝|log２（x＋１）|；（３）y＝错误!；（４）y＝x２—２|x|—１．解（１）函数式可化为y＝错误!其图象如图（１）实线所示．（２）将函数y＝log２x的图象向左平移１个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log２（x＋１）|的图象，如图（２）所示．（３）原函数解析式可化为y＝２＋错误!，故函数图象可由函数y＝错误!的图象向右平移１个单位，再向上平移２个单位得到，如图（３）所示．（４）因为y＝错误!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞）上的图象，再根据对称性作出（—∞，0）上的图象，最后得函数图象如图（４）所示．画函数图象的一般方法（１）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接画出．２图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.即时训练１．作出下列各函数的图象：（１）y＝x—|x—１|；（２）y＝|x２—４x＋３|；（３）y＝错误!|x|；（４）y＝|log２x—１|.解（１）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝错误!可见其图象是由两条射线组成，如图（１）所示．（２）函数式可化为y＝错误!图象如图（２）所示．（３）作出y＝错误!x的图象，保留y＝错误!x的图象中x≥0的部分，加上y＝错误!x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝错误!|x|的图象，如图（３）实线部分．（４）先作出y＝log２x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log２x—１|的图象，如图（４）所示．考向二识图与辨图角度１知式选图例２（２0１8·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝错误!的图象大致为（）答案B解析∵x≠0，f（—x）＝错误!＝—f（x），∴f（x）为奇函数，故不选A；∵f（１）＝e—e—１>0，∴不选D；∵f′（x）＝错误!＝错误!，∴当x>２时，f′（x）>0，∴不选Ｃ．因此选Ｂ．角度２知图选式例３（２0１8·太原模拟）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）Ａ．f（x）＝x＋sinxＢ．f（x）＝错误!Ｃ．f（x）＝x错误!错误!Ｄ．f（x）＝xcosx答案D解析函数为奇函数，排除C；函数f（x）＝x＋sinx只有一个零点，排除A；B选项中x≠0，所以B不正确，选Ｄ．触类旁通函数图象的识辨（１）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．错误!错误!错误!错误!即时训练２．（２0１8·浙江高考）函数y＝２|x|sin２x的图象可能是（）答案D解析设f（x）＝２|x|sin２x，其定义域关于坐标原点对称，又f（—x）＝２|—x|·sin（—２x）＝—f（x），所以y＝f（x）是奇函数，故排除A，B；令f（x）＝0，所以sin２x＝0，所以２x＝kπ（k∈Z），所以x ＝错误!（k∈Z），故排除Ｃ．故选Ｄ．３．下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）Ａ．y＝x＋lg x Ｂ．y＝x—lg xＣ．y＝—x＋lg x Ｄ．y＝—x—lg x答案B解析（特殊值法）当x＝１时，由图象知y>0，而C，D中y<0，故排除C，D；又当x＝错误!时，由图象知y>0，而A中y＝错误!＋lg 错误!＝—错误!<0，排除Ａ．故选Ｂ．考向三函数图象的应用例４（１）（２0１9·洛阳统考）已知函数f（x）＝错误!关于x的方程f（x）＋x—a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案（１，＋∞）解析问题等价于函数y＝f（x）与y＝—x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>１．（２）（２0１8·天津高考）已知a>0，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a的取值范围是________．答案（４,8）解析由题可设函数g（x）＝f（x）—ax＝错误!当x≤0时，Δ１＝a２—４a，当x>0时，Δ２＝a２—8a.根据题目条件可知a>0时，函数g（x）恰有２个不同的零点，可分以下三种情况：１当错误!时，解得a＝0，不满足条件a>0，此时无解；２当错误!时，解得４<a<8，此时函数g（x）的两个零点均为负数；３当错误!时，此时无解．综上可得a的取值范围是４<a<8．即时训练４．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log２（x＋１）的解集是（）Ａ．{x|—１<x≤0}Ｂ．{x|—１≤x≤１}Ｃ．{x|—１<x≤１}Ｄ．{x|—１<x≤２}答案C解析令g（x）＝y＝log２（x＋１），作出函数g（x）的图象如图．由错误!得错误!∴结合图象知不等式f（x）≥log２（x＋１）的解集为{x|—１<x≤１}．５．（２0１8·陕西模拟）已知函数y＝错误!的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案（0,１）∪（１,２）解析函数y＝错误!的定义域为{x|x≠１}，所以当x>１时，y＝x＋１，当—１<x<１时，y＝—x—１，当x≤—１时，y＝x＋１，图象如图所示，由图象可知当0<k<２且k≠１时两函数的图象恰有两个交点，所以实数k的取值范围为（0,１）∪（１,２）．[特殊点法]１．（２0１9·北师大附中模拟）函数y＝ecosx（—π≤x≤π）的大致图象为（）答案C解析当x＝0时，函数y取得最大值ecos0＝e；当x＝π时，则y＝ecosπ＝错误!.可排除A，B，D，选Ｃ．答题启示使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．对点训练函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为（）答案D解析令f（x）＝xcosx＋sinx，则有f（—x）＝—xcosx—sinx＝—f（x），∴f（x）为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B中的图象不关于原点对称，∴排除B；当x＝错误!时，y＝１，而由C中图象知当x＝错误!时，y≠１，∴排除C；当x＝π时，y＝—π，而A中，当x＝π时，y>0，∴排除Ａ．故选Ｄ．[性质检验法]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）函数y＝—x４＋x２＋２的图象大致为（）答案D解析当x＝0时，y＝２，排除A，Ｂ．y′＝—４x３＋２x＝—２x（２x２—１），当x∈错误!时，y′>0，排除Ｃ．故选Ｄ．答题启示利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．对点训练（２0１9·沧州七校联考）函数f（x）＝ln 错误!的图象是（）答案B解析因为f（x）＝ln 错误!，所以x—错误!＝错误!>0，解得—１<x<0或x>１，所以函数的定义域为（—１,0）∪（１，＋∞），可排除A，Ｄ．因为函数u＝x—错误!在（—１,0）和（１，＋∞）上单调递增，函数y＝ln u在（0，＋∞）上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f（x）在（—１,0）和（１，＋∞）上单调递增，故选Ｂ．[图象变换法]３．已知函数f（x—１）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）答案B解析函数f（x—１）的图象向左平移１个单位，即可得到函数f（x）的图象；因为函数f（x—１）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x—１）的图象关于原点对称，所以函数f（x）的图象关于点（—１,0）对称，排除A，C，D，故选Ｂ．答题启示有关函数y＝f（x）与函数y＝af（bx＋c）＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换（左加右减，上加下减）、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．对点训练已知定义在区间[0,２]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝—f（２—x）的图象为（）答案B解析y＝f（x）错误!y＝f（—x）错误!y＝f（２—x）错误!y＝—f（２—x）．选Ｂ．。