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定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
例谈定积分的应用
定积分是利用积分技术来搭建企业系统的一种服务方式，通过定积分，企业可以解决营销，客户追踪，价格管理，订单跟踪等问题，让企业
既有资源利用效率，又能惠及消费者。
一、定积分的应用
1、促销活动：利用定积分可以创建各种丰富多彩的促销活动，满减、
团购、买赠、金币锁定等，激励消费者购买和积累积分。
2、客户管理：定积分能够建立细致复杂的客户档案，包括客户经理内容，购买次数，消费金额，积分余额等，更好地进行客户管理。
3、价格管理：通过定积分，可以根据不同客户的特征，设置特定的价格，比如会员价，大客户价等，更好地提高定价精确度和竞争力。
4、订单追踪：定积分的订单追踪系统可以记录客户的订单信息，有利
于企业更好地追溯客户信息以及及时为客户提供优质服务。
二、定积分的优势
1、可靠性：定积分系统可以提供可靠性能，降低前端和后端系统出现
的异常和故障，防止客户和企业受到损害。
2、安全性：定积分的安全性也得到有效保障，内部数据交换完全采用
加密技术，保证信息不受外部干涉。
3、兼容性：定积分具有可行性和兼容性，它可以按照各种不同环境定
制与企业系统相协调的服务，能够提供企业最适合的解决方案。
4、易用性：定积分使用界面简洁明了，业务流程简单可靠，容易上手，操作简单易懂，为客户提供更贴心的服务。
三、总结
定积分的引入为企业的经营活动带来了更多的便利，有效提高了企业
的经营效率，也让消费者能够从消费上受到更多的好处。
由此可见，
定积分不仅是企业的一种低成本的服务方式，也是一个更加有效的、
更加充分的消费积分服务体系，为企业和消费者都更好地搭建企业系统。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。
在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。
在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。
它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。
通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。
在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。
在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。
在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。
在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。
在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。
定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。
通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。
1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。
在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。
在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。
在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。
定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。
2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。
定积分∫abxf(x)dx计算的简化及应用
积分∫abxf(x)dx，即指求定积分，定义为把一个函数在一个间隔上积分，及从某一点零点到另一点b点的函数f(x)的积分，称为”定积分”标志符
号为∫abxf(x)dx，下面就定积分∫abxf(x)dx计算的简化及应用来进行分析：
一、简化原理
1. 将复杂的积分计算简化为较简单的积分：若函数f(x)可以分解成多项式，则可以用定积分的拉格朗日变量和和差分分解公式以及多项式的
积分公式进行任意阶次的整式的简单的积分计算。
2. 将被积函数拆分为若干小的字函数：可以将被积函数拆分成若干小
的字函数，从而将定积分的计算过程简化，从而进行计算。
3. 应用变形法：可以使用变形法将被积函数转化到一种熟悉的形式，
从而简化定积分的计算过程。
二、应用领域
1. 经济学领域：定积分在经济学领域有着广泛的应用，如影响经济增
长的投资规模的计算等。
2. 数理统计学领域：定积分在数理统计学领域也有着广泛的应用，如
利用极限求解一定条件下的样本空间的充分必要性条件等。
3. 物理学领域：定积分在物理学领域有着广泛的应用，如用于估算电力，流体力学等方面。
4. 工程学领域：定积分主要用于解决土木工程、机械工程、材料工程、电子信息工程、给水排水工程、交通运输工程、自动控制工程、机电
一体化工程和节能工程等方面的问题。
总之，定积分的计算有一系列的简化原理及使用领域，可以极大地简
化计算过程，在经济学、数理统计学、物理学、工程学等领域都有着
重要的应用，因此，熟悉定积分∫abxf(x)dx计算的简化及其应用非常重要。
定积分的应用(10定积分是微积分中的一个重要概念。
它表示在一定区间内，函数曲线与 x 轴之间的面积，也可以理解为变化率的累加。
定积分的应用非常广泛，下文将介绍其中的十个应用。
一、求物体在一定时间内的位移我们知道，物体在做匀加速运动时，其位移可以用位移公式S=vt+1/2at² 来计算。
如果物体的运动速度是变化的，我们可以将其速度函数 v(t) 求出，然后将其积分得到位移函数 S(t)，再在一定时间段内求出 S(t) 的定积分即可得到物体在该时间段内的位移。
二、计算概率密度函数下的概率概率密度函数也是一个函数，其定义为：在一个无限小区间内，事件发生的概率与该区间长度的比值。
在一定范围内，概率密度函数曲线下的面积等于该范围内事件发生的概率。
因此，我们可以通过计算概率密度函数的定积分来获得某个事件发生的概率。
三、计算质心位置质心是物体的一个重要物理概念，其位置定义为将物体划分成若干小的无限小质量体积元，在这些质量体积元上求平均位置所得的点。
计算出物体每个质量体积元的质心位置，然后按质量将它们加权平均，就可以得到整个物体的质心位置。
计算质心位置的过程实质上就是对质量体积元的轴心距进行加权平均，这就是定积分的应用。
四、计算曲线长度我们可以用定积分来计算一个曲线的长度。
将曲线划分成许多小段，每个小段都近似为一条直线段，利用勾股定理计算它们的长度之和，然后取极限即可得到曲线的长度。
五、计算旋转体积旋转体积的计算方法就是将一个平面图形绕某个轴线旋转所形成的体积。
可以用定积分来计算旋转体积，其基本思想就是把旋转体积看作是由许多小的圆柱体构成的，计算出每个小圆柱的体积之和即可得到整个旋转体积。
六、计算弧度在物理学和天文学中，我们往往需要计算弧度。
弧度是一个角度的度量方式，它表示弧长与半径之比。
对于一个圆，一周的弧长就是圆的周长，因此圆的一周弧度为2π 弧度。
如果我们知道了一个圆弧所对应的角度度数，就可以通过简单的定积分计算出它的弧度。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
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第五讲 定积分的简单应用[知识梳理]［知识盘点］1．定积分在几何中的应用（1）当[,]x a b ∈有()0f x >时，由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积_______________.S =（2）当[,]x a b ∈有()0f x <时，由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积_______________.S =（3）当[,]x a b ∈有()()0f x g x >>时，由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线(),()y f x y g x ==围成的曲边梯形的面积_______________.S =（4）若()f x 是偶函数，则()________aaf x dx -=⎰；若()f x 是奇函数，则()________.aaf x dx -=⎰2．定积分在物理中的应用（1）作变功直线运动的物体在时间区间[,]a b 上所经过的路程__________S =（2）在恒力F 的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =（3）在恒力F 的作用下，物体沿与力F 的方向成α角的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =（4）在变力()F F x =的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =（5）在变力()F F x =的作用下，物体沿与力F 的方向成α角的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =［特别提醒］1．研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义，当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；2．求含有曲边的平面图形的面积问题时，在平面几何中是很难解决的问题，而定积分为这类问题的求解提供了很好的解决方法，这充分显示了定积分的巨大作用；3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.[基础闯关]1.已知曲线()y f x =在x 轴的下方，则由(),y f x =0,1y x ==-和3x =所围成的曲边梯形的面积S 可表示为( ) A ．31()f x dx -⎰B ．13()f x dx -⎰ C ．13()f x dx -⎰ D ．31()f x dx -⎰2．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B.52C.3D.2 3．若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积( )． A ．⎰-badx x g x f )()( B ．⎰-badx x g x f ))()((C ．⎰-badx x f x g ))()(( D ．⎰-badxx g x f ))()((4．由2y x =与曲线23y x =-所围成的图形的面积为（ ） A． B．9- C ．325 D ．3535．一物体以初速度9.8 6.5/v t m s =+的速度自由下落，则下落后的第二个4s 内所经过的路程为 。
§3.5 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。
2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3. 定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[a,b]等分成n 个小区间。
在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的定积分。
记作: ⎰ba dx )x (f 。
即⎰ba dx )x (f =)(f n ab lim i n1i n ξ-∑=∞→.其中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式，b,a 分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。
4.定积分的几何意义: ⎰badx )x (f 表示介于x 轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图像连续不断的函数,并且F ˊ(x)=f(x),那么⎰ba dx )x (f =F(x)|b a=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。
6.定积分的性质:①⎰⎰=babadx )x (f k dx )x (kf ,(其中k 为常数);②⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [;③⎰⎰⎰+=bcc ab adx )x (f dx )x (f dx )x (f (其中a<b<c)。
