同济大学《高等数学》5.3节 定积分的换元法与分部积分法

1x2
1
11
02arcxsdin x [xarcxs]0 2in02x
dx 1x2
1 1 1 dx2
2
2 6 2 0 1x2
1 1 2(1x2)1 2d(1x2) 1220
12[(1x2)12]012

12
3 1 2
15
例2 计算1e xdx 0

1 (e 2
2
1)
18
例4 设 f(x)在 [0,1 ]上连1 [续 1x f， (x)e]f(求 x)d.x 0
解：

1
xf
(x)e f (x)dx
0

1
x
ef
(x)df(x)
0
1xdef (x) 0
[xef(x)]1 001ef(x)dx
故
1[1xf(x)e] f(x)dx[xef
或
abudv[uv]ba
b
vdu
a
这个公式就是定积分分部的积分公式 13
注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.
14
1
例1 计算2arcsxindx 0
解uarcx,sv ix n ,d u dx,d vdx
上、下限 (t代 )然入 后相减 . 即可
4
换元公式也可以反过来使用 :
a bf[(x)]'(x)d xa bf[(x)d ](x)
t (x)

f(t)dt((a),(b))

5
例2 计算 e2lnxdx 1x 6
此 种 方 法 可 以 不出明新显变写量 ， 如 上 例 也 可这样解：

( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0​
​
+ න () d
0​
= න [(−) + ()] d
0​
​
2 න () d , (−) = (),
=
0​
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .

2


1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有

a
a
f (x)dx 2

a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2


例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(

f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证

b

∫a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ′( x )为 d b( x ) F ′( x ) = ∫ f ( t )dt = f [b( x )]b′( x ) f [a ( x )]a′( x ) dx a ( x )
则F ( x) =
b( x )
证 F ( x) =
(∫
0
a( x )
+ ∫0
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三,牛顿—莱布尼茨公式
定理 3(微积分基本公式)
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数,则 ∫a f ( x )dx = F ( b ) F ( a ) .
证 ∵ 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
9 4
∫ πcos mx sin nxdx,
x (1 +
π
x )dx = _____ .
dx = _____ . 8, ∫ 1 2 31+ x
3
∫ 9,lim
x→0
x
0
cos t 2 dt x
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= ________ .
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结束
二,求导数: 1, 设函数 y = y( x ) 由方程 ∫ e dt + ∫ cos tdt = 0 所确
一,问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动,已知速度 v = v (t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且v ( t ) ≥ 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
∫T
T2
1
v ( t )dt

x
dx
021
1
t
2tdt
202(111t)dt
2tln|1t|0 2
42ln3
（2）根号下为 x的二次式
整理课件
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设xs int， π t π， 则dxcotsd， t
2
2
且当x0时， t 0； 当 x 1 时，t π， 因 此
2
6
1 2 0
x2 1 x2
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续，f(x)dx F(x)C
那么
a bf[ (x ) ](x )d x a bf[ (x )d ] (x )F [ (x )a b ]
整理课件
例1 计算
3
e
x 3
dx
0
解
3 0
e
x
3 dx
330e
x 3
d(
x )
3
3
e
x 3
3 0
3(e1)
例2 计算 10
导数，且 φ(t)[a, b] ，于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: （1）换元前后，上限对上限、下限对下限；
（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引 入新的变量记号，积分限跟着变。
整理课件
（1）根号下为 x的一次式
例6 计算
3 0
x dx 1 x
解 设 1 x t，即x t2 1， 则dx2td， t
1 2[(π 4π 6)1 2sinx2π π 4 6]
1[π 1(11)] 2 12 2 2
π 1 24 8
2. 第二类换元积分法

2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4

d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式


2
0
a
sin
t

a cost a 2 (1

则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则


f [ (t)](t)dt

F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以，原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x

t， 则

−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π