高考数学热点难点专题12+解三角形的方法(理)

新高考解三角形解答题技巧
解三角形解答题是高考的热点题型，主要涉及正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等知识。

以下是一些解题技巧：
1. 熟悉基础知识：解三角形的问题需要熟练掌握正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等基础知识。

2. 审题清晰：认真审题，明确题目要求，弄清楚已知条件和未知数，再根据已知条件进行推导。

3. 善于运用三角形的性质：在解题过程中，要善于运用三角形的性质，如角平分线定理、中线定理等，这些性质可以帮助我们简化计算过程。

4. 观察三角形形状：通过已知条件和推导结果，观察三角形的形状，如直角三角形、等腰三角形等，这有助于我们找到解题的突破口。

5. 灵活运用公式：在解题过程中，要灵活运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等公式，以适应不同的情况。

6. 逻辑清晰：在推导过程中，逻辑要清晰，每一步都要有明确的依据，避免出现跳跃或错误。

7. 细心计算：在计算过程中，要细心，避免因计算错误导致整个解题过程失败。

8. 多做练习：通过多做练习，可以熟悉各种题型，提高解题速度和准确性。

总之，解三角形解答题需要熟练掌握基础知识、善于运用三角形的性质和公式、逻辑清晰、细心计算等多方面的技巧。

同时，多做练习也是提高解题能力的有效途径。

解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
高一到高三数学必刷基础题型全归纳解已更新完成解三角形专题，而三角形是高中数学教学中的重点和难点，也是历年高考的必考点和命题热点。

其中，正弦定理和余弦定理及解三角形更是重中之重，但面对利用正余弦定理或三角函数关系所产生的各类解，学生往往缺乏必要的甄别意识和区分技能，从而造成“会而不对，对而不全”的现象时有发生。

利用这些题型掌握可以轻松提高
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
Word文档资料，微信：1989450104，其实，学习一定是有捷径和方法的，不是一味的苦学到半夜，清华北大数名学霸耗精心总结《高分其实很简单》，学霸们晒方法、晒技巧、晒笔记、晒心得、晒智慧！更有高考“必考点”、易考点、分析，让你做题，解题学会举一反三！。

高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

第1页，－共1页 解三角形的 【2 】技能与办法归纳一.常见的常识1.C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2cos )2sin(C B A =+. 2.323sin π=⇒=A A 或32π=A （两解）;623cos π=⇒=A A （一解）. 3.降幂公式：22cos 1cos 2A A +=,22cos 1sin 2A A -=; 合一公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+A b a A b A a .4.b a B A >⇔>B A B A cos cos sin sin <⇔>⇔.5.此类题型常消失：已知)3sin(2)(π+=A A f ,30π<<A ,求)(A f 得规模. 我们常把换元法与数形结正当一升引！二.化简所给的三角等式时的办法与留意1.办法：边化角或角化边;但有时也可能要边角混杂（此情形有但很少）.2.转化办法无非运用三个公式：正弦定理.余弦定理.面积公式.3.细心化简,切不可随便在等式双方同除一个不肯定是否不为0的式子.4.若化成角时,要留意π=++C B A 的运用（消元）.三.求最值或规模的问题,一般是化成某个角的三角函数,并精确给出角的规模. 举例：在锐角三角形ABC 中,3π=B ,求A A cos 3sin 3+得规模.四.作图,把已知前提都标在图上,剖断所给前提的类型选择正弦或余弦定理.1.一般地,是SSA,SAS,SSS 时常用余弦定理;是AAS 或SSA 常用正弦定理.2.有时也可以联合三角形的其他几何性质：如：已知2=a ,3π=A ,可以画出其外接圆,点A 在优弧BC 上移动.如：作某一边上的高后,可以用平面几何常识求解.3.三角形的中线性质：三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线, 则)(2)2(2222AC AB BC AD +=+.。

解三角形的各种方法与注意事项在几何学中，三角形是一个有着很多有趣性质的形状。

在解决三角形的问题时，我们需要了解不同的解法和注意事项，以便确保我们的解答是正确的。

本文将介绍解三角形的各种方法和注意事项。

第一种方法：正弦定理正弦定理是解三角形问题中经常使用的方法之一。

它是指在任何三角形ABC中，一条边的长度与其对应角的正弦值成比例。

公式如下： sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c在这个公式中，a、b和c是三角形的边长，A、B和C则是三角形对应的角度。

如果我们已知三角形中两个角的度数和一条边的长度，我们可以使用正弦定理来计算另外两条边的长度。

第二种方法：余弦定理余弦定理也是解决三角形问题的有效方法之一。

它指出，在任何三角形ABC中，一条边的长度和与之相邻的两个角的余弦值成反比例。

公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)根据这个公式，如果我们知道了三角形中的三条边中的两条边和这两条边之间所形成的角度，我们就可以计算第三条边的长度。

第三种方法：海伦公式海伦公式是解决三角形问题中的另一个重要工具。

它可以用来计算任何三角形的面积。

它指出，在任何三角形ABC中，如果知道了三条边的长度，可以使用以下公式来计算三角形的面积：S = √s(s-a)(s-b)(s-c)其中，S是三角形的面积，a，b和c是三角形的边长，s是周长一半（也就是三条边的和除以2）。

注意事项解决三角形问题时，我们还需要注意一些细节。

首先，我们需要确保我们选取的角是正确的。

如果我们错误地选择了一个不是对应角度的角，我们得到的结果可能是错误的。

其次，我们需要注意在使用正弦定理，余弦定理和海伦公式时单位的一致性。

我们不能同时使用英寸和厘米或者度和弧度，必须确保我们在使用相同的单位。

最后，我们需要在计算时注意精度。

如果我们使用了不够精确的坐标，我们可能会得到不准确的答案。

解三角形的实用方法在几何学中，解三角形是一项重要的任务，它涉及到通过给定的边长或角度来确定三角形的其他未知量。

本文将介绍几种常见的实用方法来解决三角形问题。

一、已知边长解三角形当我们已知三角形的三条边长时，可以使用余弦定理和正弦定理来求解三个内角。

接下来以边长分别为a、b、c，内角为A、B、C的三角形为例进行说明。

1. 余弦定理余弦定理给出了两边和夹角余弦之间的关系：c² = a² + b² - 2abcosC，b² = a² + c² - 2accosB，a² = b² + c² - 2bccosA。

根据这些公式，我们可以计算出三个内角的余弦值，然后使用反余弦函数得出最终结果。

2. 正弦定理正弦定理描述了三角形的边与其对应角的正弦之间的关系：sinA/a= sinB/b = sinC/c。

根据这个公式，我们可以计算出三个内角的正弦值，然后使用反正弦函数得出最终结果。

通过以上两个定理，我们可以根据已知的边长求解三角形的内角。

二、已知角度解三角形当我们已知三角形的一个内角以及与该角相对应的两个边长时，可以使用正弦定理和余弦定理求解三角形的其他未知量。

1. 正弦定理根据正弦定理，我们可以得到一个方程，用于计算三角形的边长：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

通过已知的内角和两个边长，可以解出第三边的长度。

2. 余弦定理如果我们已知一个角和两个边长，可以使用余弦定理求解三角形的一条边：c² = a² + b² - 2abcosC，b² = a² + c² - 2accosB，a² = b² + c² -2bccosA。

通过以上两个定理，我们可以根据已知的角度和边长求解三角形的其他未知量。

三、特殊三角形的解法除了上述方法外，特殊三角形也有一些独特的解法。

解三角解题方法归纳总结在数学学科中，三角函数是一种重要的概念。

而解三角形问题，在中学数学中占据着重要的位置。

为了帮助学生更好地掌握解三角解题方法，本文将对解三角解题方法进行归纳总结。

一、正弦定理正弦定理是解决三角形中任意一角的问题时常用的方法之一。

正弦定理的表达式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中 a、b、c 代表三角形的三边的长度，A、B、C 代表对应的三个内角。

以解题中常见的“已知三边求三角形内角”问题为例，可以利用正弦定理进行求解。

首先，根据正弦定理的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知角度的等式。

然后，通过解等式，求得未知角度的数值。

二、余弦定理余弦定理也是解决三角形中任意一边的问题时常用的方法之一。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中 a、b、c 代表三角形的三边的长度，C 代表对应的夹角度数。

以解题中常见的“已知两边和夹角求第三边”问题为例，可以利用余弦定理进行求解。

首先，根据余弦定理的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知边长的等式。

然后，通过解等式，求得未知边长的数值。

三、正切函数正切函数是三角函数中的一种，解决三角形内角问题时，可以通过正切函数来求解。

正切函数的表达式为：tanθ = 对边/邻边。

以解题中常见的“已知一角和对边求邻边”问题为例，可以利用正切函数进行求解。

首先，根据正切函数的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知边长的等式。

然后，通过解等式，求得未知边长的数值。

四、角平分线定理角平分线定理是解决三角形内角问题时常用的方法之一。

角平分线定理指出，三角形内一条角平分线将对边分成两条线段，那么这两条线段的比等于另外两条边的比。

以解题中常见的“已知两边和其夹角，求夹角的平分线”问题为例，可以利用角平分线定理进行求解。

首先，根据角平分线定理的表达式，将已知的两边和夹角的数据代入，得到一个含有未知角度的等式。

高三理数解三角知识点形高三理数解异数学是理科学习中非常重要的一门学科，而数学的一大难点便是解题。

在高三的数学学习中，解三角形必定是一个难点。

接下来，我将为大家介绍一些高三理数解三角知识点形。

首先，我们来谈谈如何解决三角形题目中的角度求解问题。

在解三角形问题时，我们经常需要计算角度的值。

我们可以利用三角函数的性质来帮助我们进行角度求解。

以求解sin角的值为例，我们可以通过题目中给定的信息，结合对应的三角函数性质，利用sin函数的定义域来限定可能的取值范围，然后再根据具体的条件来确定最终的角度。

当然，在实际运算时，我们需要利用计算器等工具来帮助我们更快地得出结果。

其次，我们来探讨一下如何解决三角形题目中的边长求解问题。

在解决边长问题时，我们通常需要利用三角函数的关系式和定理来辅助求解。

例如，利用正弦定理、余弦定理和正切定理等可以帮助我们求解未知边长的长度。

这些定理可以帮助我们在已知某个角的值和至少两个边长的情况下，推导出其他边长的长度，从而解决边长求解问题。

另外，在解决三角形题目时，我们还经常遇到解决特殊三角形的问题。

特殊三角形是指具有特定边长和角度关系的三角形，例如等腰三角形和平面直角三角形等。

对于这些特殊三角形，我们可以根据其特点和性质，利用已知的信息来解决问题。

例如，对于等腰三角形，我们知道其两条底边是相等的，可以通过已知的角度或边长推导出其他未知的值。

而对于平面直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解边长和角度。

解决三角形问题时，我们还需要注意一些常见的解题技巧。

首先是化简题目，将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决问题。

其次是运用图形分析法，通过画图的方式来帮助我们更好地理解题目，并找到解题的思路。

此外，推导公式和运用已知条件也是解题中常用的技巧。

通过推导，我们可以得到问题的关键方程或关系式，从而更好地解决问题。

最后，在解题时，我们还需要注意一些常见的错误和易忽略的点。

例如，忽略题目中的约束条件，没有严格按照已知条件推导和计算，以及计算精度不足等。

解三角形的方法与应用三角形作为几何学中的基本图形之一，其性质和应用广泛存在于数学、物理、建筑学等领域。

解三角形是指根据已知条件求解出三角形的各边长、角度等未知数值。

本文将介绍解三角形的常用方法和一些实际应用案例。

一、通过两边和夹角解三角形当已知三角形两边长度和夹角时，可以通过余弦定理来求解三角形的第三边长度。

余弦定理的数学表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中a、b为已知两边的长度，c为未知边的长度，C为已知的夹角。

通过直接代入数值，可以计算出c的值。

例如，已知一个三角形两边分别为3cm和4cm，夹角为60度，我们可以使用余弦定理计算出第三边的长度。

代入公式，得：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2×3×4×cos60°c^2 = 9 + 16 - 24×0.5c^2 = 1由于c的长度必须为正数，我们可以得出c的值为1cm。

因此，该三角形的第三边长度为1cm。

二、通过两角和一边解三角形当已知三角形两角和一边的长度时，可以通过正弦定理来求解三角形的其他未知量。

正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c为三角形的三边长度，A、B、C为对应的角度。

通过已知条件，可以构建一个比例方程组，从而求解出未知量。

例如，已知一个三角形两角分别为30度和60度，一边的长度为3cm。

我们可以使用正弦定理来求解其他未知量。

根据正弦定理可以得到以下两个等式：3/sin30° = b/sin60°3/sin30° = c/sin90°通过解方程组，可以求解出其他两条边的长度。

计算结果显示，b 的长度为3√3 cm，c的长度为6 cm。

三、实际应用案例解三角形在很多实际问题中都有应用。

以下是几个常见的实际应用案例：1.测量高度：当无法直接测量高处物体的高度时，可以通过观察其与地面或水平面的夹角，并测量与观察点的水平距离，利用三角形的性质计算出高度。