桂林理工大学 线性代数试卷 (2016-2017 学年度第 一 学期)

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。

A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。

A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。

A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。

A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。

答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。

答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。

答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。

答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。

桂林理工大学考试试卷(2016-2017 学年度第 一 学期)课 程 名 称：概率统计 A卷 命 题：基础数学教研室题 号一二三总 分得 分1． 单项选择题（每小题2分，共10分）1．，则 ( )；(A) 0.7 (B) 0.4 (C) 0.58 (D) 0.82. 设，已知，，则参数各为（ ）(A) (B)(C) (D)3．设随机变量的概率分布为X012p0.250.350.4是的分布函数，则=（）（A）0.6； （B）0.35； （C）0.75； （D）0.44．设是来自正态总体的样本，其中未知，已知，则下列不是统计量的是( )(A)(B)(C) (D)5．设是来自具有数学期望为，方差为的任一总体的一个样本，则的无偏估计量为（）(A) (B)(C) (D)二．填空题（每题2分，共10分）1.设每人携带感冒病毒的概率为0.005，一个容纳4个人的办公室中存在病毒的概率为 .2.设随机变量在上服从均匀分布，则.3.设随机变量的分布函数为,则= 。

4.若与是相互独立的随机变量，且,(指数分布)，则，。

5．设随机变量X~R[0,1]，由切比雪夫不等式可得。

三．计算下列各题（共80分）1.（10分）某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02.现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？此次品来自哪条生产线的概率最大？2.（14分）设随机变量的概率密度函数为 ，求（1）未知参数a； （2）写出随机变量的分布函数概率； （3）.3.（10分）设某城市成年男子的身高，问应如何设计公共汽车的车门高度，使男子与车门碰头的机会小于0.01？（精确到小数点后两位）.（）4．（14分）（工科学生做，文科学生不做）设的联合概率密度为： ，（1）求、的边缘概率密度和；（2）判断是否独立；（3）求.4．（14分）(文科学生做，工科学生不做)设二维离散型随机变量的联合分布律为Y013X-10.050.250.100.300.200.1求：（1）的概率分布; (2)并判断与的相关性。

\广西桂林市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．下列集合表示正确的是（）A．{2，4} B．{2，4，4} C．（1，2，3）D．{高个子男生}2．函数f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）恒过定点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（1，1）D．（a，1）3．函数y=的定义域是（）A．[4，+∞） B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）4．若一条直线过A（1，3）、B（2，5）两点，则此直线的斜率为（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．5．下列区间中，方程2x+2x﹣6=0有解的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x+B．y=x3C．y=D．y=e x+e﹣x7．下列命题中正确的是（）A．空间任三点可以确定一个平面B．垂直于同一条直线的两条直线必互相平行C．空间不平行的两条直线必相交D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC 和EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．设a=（）1.3，b=（）0.3，c=log3，则下列关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b10．函数f（x）=2|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．11．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．8 B．9 C．12 D．1612．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）+m=0有3个实数根，则实数m的取值范围为（）A．（1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（1，5）D．（﹣5，﹣1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知2a=3，则a=．14．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．15．已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．16．在四面体ABCD中，A﹣BD﹣C为直二面角，AB=AD=5，BC=CD=DB=6，则直线AC 与平面BCD所成角的正弦值为．三、解答题17．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，求A∩B；A∪B．18．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．19．已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）求f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）求f（x）的闭区间[2，5]上的最值．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．21．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？22．已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设h（x）=f（x）+x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．A【解析】根据集合的表示，B不满足互异性，C应写在花括号内，D中元素不确定，2．B【解析】令x=1，得y=log a1=0，得到y=0，故函数y=log a x，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，0）3．C【解析】函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}，解得{x|x≤4}，4．C【解析】直线过A（1，3）、B（2，5）两点，则此直线的斜率为k==2，5．B【解析】令f（x）=2x+2x﹣6，则f（1）=2+2﹣6＜0，f（2）=22﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴方程2x+2x﹣6=0的解一定位于区间（1，2）．6．D【解析】对于A，B，满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数；对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于D，满足f（﹣x）=f（x），函数是偶函数．7．D【解析】对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，所以A错；对于B，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，所以B错；对于C，空间不平行的两条直线，平行、相交、异面都有可能，故C错；对于既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，故D对．故选D．8．C【解析】连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°9．B【解析】∵0＜a=（）1.3＜b=（）0.3，c=log3＜0，∴b＞a＞c．10．B【解析】∵f（x）=2|x﹣1|=，当x≥1时，函数为单调递增函数，当x＜1时，函数为单调递减函数，11．D【解析】根据四棱锥的三视图，得；该四棱锥是如图所示的直四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为4；所以，该四棱锥的体积为V=S底面积•h=×（2+4）×4×4=16．12．C【解析】由f（x）+m=0得f（x）=﹣m，作出函数f（x）的图象如图：由图象知要使f（x）+m=0有3个实数根，则等价为f（x）=﹣m有3个不同的交点，即﹣5＜﹣m＜﹣1，即1＜m＜5，即实数m的取值范围是（1，5），二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．log23【解析】已知2a=3，则a=log23；故答案为：log23．14．6π【解析】∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．15．{x|﹣1＜x＜1}【解析】根据题意，由于f（1）=0，则f（x）＞0⇔f（x）＞f（1），f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则f（x）＞f（1）⇔f（|x|）＞f（1）⇔|x|＜1，解可得：﹣1＜x＜1，则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜1}；故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．16．【解析】如图，取BD中点O，连结AO，CO，∵在四面体ABCD中，A﹣BD﹣C为直二面角，AB=AD=5，BC=CD=DB=6，∴AO⊥平面BDC，AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C平面角，且∠AOC=90°，∵AO⊥平面BDC，∴∠ACO是直线AC与平面BCD所成角，∵AB=AD=5，BC=CD=DB=6，∴AO==4，CO==3，AC==，∴sin∠ACO==．∴直线AC与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．三、解答题17．解∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}，∴A∩B={x|2≤x＜3}，A∪B={x|x≥﹣1}．18．解（Ⅰ）由直线l与直线2x﹣y+4=0平行可知l的斜率为2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线l过点A（1，﹣3），则直线l的方程为y+3=2（x﹣1），即2x﹣y﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由直线m与直线l垂直可知m的斜率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线m在y轴上的截距为3，则直线m的方程为，即x+2y﹣6=0﹣﹣19．解（1）由f（2）=，得：2﹣=，解得：n=1，故f（x）=x﹣；（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）（1+）∵x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞）∴x1﹣x2＜0，1+＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）由（2）f（x）在[2，5]递增，故f（x）min=f（2）=2﹣=，f（x）max=f（5）=5﹣=．20．证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥P A，∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．…（2）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．故可得平面BDE⊥平面PBC．…21．解（1）当0≤x≤30时，L（x）=2+0.5x；当x＞30时，L（x）=2+30×0.5+（x﹣30）×0.6=0.6x﹣1，∴（注：x也可不取0）；（2）当0≤x≤30时，由L（x）=2+0.5x=35得x=66，舍去；当x＞30时，由L（x）=0.6x﹣1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）=0.58x，当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，∴25＜x≤30；当x＞30时，由L（x）＜F（x），得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，∴30＜x＜50；综上，25＜x＜50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．22．解（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，∴g（0）=0，即，…∵，∴，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），得mx=﹣（m+1）x恒成立，故，综上所述，可得；…（2）∵，∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），…又∵在区间[1，+∞）上是增函数，∴当x≥1时，…由题意，得，因此，实数a的取值范围是：．…。

大一线代试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性代数中，向量空间的维数是指：A. 向量空间中的向量个数B. 向量空间中的基的个数C. 向量空间中任意向量的分量数D. 向量空间中最大的线性无关向量组的向量个数答案：D2. 对于任意的矩阵A，行列式|A|等于：A. 矩阵A的迹B. 矩阵A的秩C. 矩阵A的逆的负数D. 矩阵A的主对角元素的乘积答案：A3. 如果一个矩阵A可逆，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的秩小于A的阶数C. A的行列式不为零D. A的转置矩阵不可逆答案：C4. 对于n维向量空间中的任意两个向量，它们：A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可以线性相关也可以线性无关D. 以上都不对答案：C5. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的迹C. 满足方程Ax = λx的非零向量x对应的λD. 矩阵的行列式的值答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 向量组α1, α2, ..., αk的秩为r，那么这组向量的极大无关组中包含的向量个数为________。

答案：r个7. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I（单位矩阵），则称矩阵B为矩阵A的________。

答案：左逆矩阵8. 若向量β1, β2, ..., βs能由向量组α1, α2, ..., αt线性表示，且向量组α1, α2, ..., αt也能由向量组β1, β2, ...,βs线性表示，则称向量组α1, α2,..., αt和向量组β1,β2, ..., βs________。

答案：等价9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2 - aλ + b，那么矩阵A的迹为________。

答案：a10. 对于任意的n阶方阵A，|A^T| = |A|________。

答案：相等三、解答题（共75分）11. （15分）已知矩阵A和B满足AB=BA，证明(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

线性代数（理工）试题（一）一、单项选择题(每小题3分,共18分)1. 行列式412175943-的元素a 23的代数余子式23A 是（ ）. A. 3 B. 3- C. 5 D. 5-2. 设A 为3阶方阵,且1=A , 则 =A 3( ).A. 3B. 27C. 3-D. 27-3. 若B A ,为)2(≥n n 阶方阵,则下列各式正确的是( ).A.B A B A +=+B.T T T B A AB =)(C.BA AB =D.BA AB = 4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A r <=)(，下述结论中正确的是（ ）.A. A 的任意m 个列向量必线性无关；B. A 的任意一个m 阶子式不等于零；C. 齐次方程组0=Ax 只有零解；D. 非齐次方程组b Ax =必有无穷多解. 5. 设4321,,,αααα是一组n 维向量,其中321,,ααα线性相关, 则( ) A. 4321,,,αααα必线性相关, B. 21,αα必线性相关, C. 32,αα必线性无关, D. 321,,ααα中必有零向量. 6. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11101011A 的特征值为 ( ). A. 0,1,1 B. 2,1,1-- C. 2,1,1 D. 2,1,1- 二、填空题(每小题3分, 共24分)7.=-ααααsin cos cos sin .8. 设14111112--=D , ij A 为D 中ij a 的代数余子式, 则=++333231A A A . 9. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A , 则A 的逆矩阵=-1A . 10. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300220111A , 则=A A T . 11. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=443120131211A , 则A 的秩 =)(A r . 12. 设21,λλ是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值, T )2,0,1(1=α,T a ),3,2(2=α是对应于21,λλ的特征向量, 则=a .13. 二次型31212322213218232),,(x x x x x x x x x x f --++=的矩阵=A .14. 若二次型31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f +-++=是正定的，那么t 应满足的不等式为 .三、计算下列行列式 (2612⨯=分分)(1)D 2512371459274612---=--. (2)n x y y y yx y y D yy x y yyyx=.四．(8分)解下列矩阵方程:设,2,321011330B A AB A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= 求B .五. （8分）求出向量组1234{,,,}αααα的秩和一个极大线性无关组，其中T )2,0,1,2,1(1--=α,T )6,6,2,4,2(2--=α，T )3,2,0,1,2(3-=α,T)4,3,3,3,3(4=α六.（12分） λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x x x x x x x λλλ，有唯一解，无解，有无穷解？若有无穷解时，求其通解.七.（12分）已知二次型322322213214),,(x x x x x x x x f +++=， （1）写出二次型f 的矩阵,（2）用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.八. 证明题 (6分)设向量组123,,ααα线性无关，且1122233312,23,4βααβααβαα=+=+=-试证明：向量组123,,βββ线性无关.线性代数（理工）试题（二）一、单项选择题（每题3分，共 24分）1.已知-10a 111-1-1A =1-11-11-1-11，则A 中元素a 的代数余子式13A 是（ ）。

线性代数测试题6一.填空题(每小题3分,满分30分)1. 设B A ,是3阶矩阵,且,其中32,,,r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232,32r r B r r A βαβα均为3维行向量,3,15==B A ,则行列式=-B A2.已知方阵满足(为常数A 02=++cE bA aA c b a ,,0≠c ),则=-1A3.设02002000110011≠kk k ,则应满足_______________.k 4.设21,,ααβ线性相关, 32,,ααβ线性无关,则321,,,αααβ线性_______关.5.设()()(2,3,1,,0,,1,1,1321)===αααb a 线性相关,则满足关系式___________b a ,6.设A 满足,则A 有特征值_____________022=++E A A 7.设A 为n 阶方阵,(),3-=n A R 且321,,ααα是0=Ax 的三个线性无关的解向量,则的一个基础解系为______________.0=Ax 8.二次型正定,则满足条件()3231212322213212245,,x x x x x x ax x x x x x f --+++=a _____________.9.设方阵相似于对角矩阵,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=124242421A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45t =t __________.10.设A 是3矩阵,4⨯(),2=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ,则()=BA R ________二.(8分)计算n 阶行列式ba ababb a ab b a D n +++=111三(8分)设 , 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200120312,100110011C B X ,使满足下面的关系式:()E C B C E X TT=--1四.(10分)设向量组()()()()(b a ,3,,1,1,6,3,1,3,2,1,1,4,1,2,1,5,0,3,154321=--===)=ααααα确定的值,使向量组b a ,54321,,,,ααααα的秩为2,并求一个极大线性无关组.五. (8分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x kx x x x x x 的系数矩阵为A,设B 为3阶方阵,已知0≠B ,且0=AB ,求的值.k 六. (14分)设实二次型()32212322213214432,,x x x x x x x x x x f --++=1.求正交变换QY X =,将二次型化为标准形. 2.确定该二次型的正定性.七. (8分)设列向量α是一个n 维实向量,已知α是单位向量.令矩阵 TE T αα2-= 证明:T 是一个对称的正交矩阵.八.(14分)已知321,,ααα和321,,βββ是线性空间3R 的两组基,其中()()TTT1,0,0,)1,1,0(,1,1,1321===ααα ()()()TTT0,2,1,1,1,0,1,0,1321=-==βββ1.求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵A.2.设向量α在基321,,ααα下的坐标为()T1,2,,求1--α在基321,,βββ下的坐标.线性代数测试题6答案：一.填空题答案1．=-B A -1；2. )(11bE aA cA+-=-；3.),1()1,2()2,(∞+⋃-⋃--∞∈k ；4.线性相关；5.02=-b a ；6. 1；7.332211αααk k k ++；8.；9.；10. 2 2>a 5=t 二. 居余马《线性代数》$1.2 例8(p.17)：将按第一行展开，得n D 2111)(1101)(-----+=++-+=n n n n n abD D b a b a ababb a ab abD b a D 阶递推公式改写为)(...)(122211aD D baD D b aD D n n n n n -==-=-----而 ，ab b a D -+=22)(b a D +=1，于是有 ，整理得nn n b aD D =--12122321211;...,;;b aD D b aD D b aD D b aD D n n n n n n n n n =-=-=-=--------将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到22,...,,,1-n a a a 222111...b a ab ab b D a D n n n n n n ----+++=-即得，整理得n n n n n n n n a b a b a ab ab b D aD ++++++=------11222111...⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=+=++b a a b ab b a an D n n nn ,,)1(11三．由于，再由已知得，，再由TT T T T T T T T T B C C C B C C B C E C B C E -=-=-=----)(])([)(111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--123012001)(1TT T T B C C B C E ()E C B C E X T T =--1可得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1210120011230120011X四. 令),,,,(54321ααααα=A ，则对其进行行的初等变换有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2000000003621011111134536210312311111b a b a A ，由2)(=A r 2,0==b 得a ，其中一个极大无关组为：21,αα五. 由以及O B ≠O AB =知必为奇异阵，即A 0||=A （否则若为非奇异阵，必有A 0)()()(==r AB r =B r O ，此与矛盾），而O B ≠)1(511045022111312221||k kk k A -⨯⨯=-+--=---=，得1=k六. 设此实二次型对应的矩阵为A ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=320222021A ，令0||=-A E λ得特征根为1122=53=λ。