初二数学 特殊四边形中的动点问题 教师版

四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。

它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。

本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。

它有四个顶点和四条边。

2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。

在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。

解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。

以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。

具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。

2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。

3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。

4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。

5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。

共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。

当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。

各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。

针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。

解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。

例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。

求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。

解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。

2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。

特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。

咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。

它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。

但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。

首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。

比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。

这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。

然后呢，咱得学会“以静制动”。

别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。

比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。

嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。

还有啊，要多画画图。

有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。

看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。

而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。

再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。

把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。

这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。

咱还得有点“大胆假设”的精神。

碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。

就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。

总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。

就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。

只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。

所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。

4四边形综合满分晋级阶梯四边形 5级四边形 4级典型中点构造四边形 3 级四边形综合梯形寒季班春季班春季班第五讲第四讲第五讲漫画释义壮壮玩拼图知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题动手操作题例 1，练习1；例 2，练习 2；例 3，练习 3；型目例 4，例 5，例 6，练习 4，练习 5．标四边形性质与判定综合编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一的动手操作题，近年来考查频率较高，并且对学生综合掌握所学几何部分的能力要求较高，三道例题分别代表了动手操作题的三大题型——折叠、分割、剪拼，并在练习部分各搭配一习题，在思路导航部分对这三类题型进行了总结，希望老师将此类题目的核心思路进行重点强调及讲解；题型二是在中考新大纲的要求下增加的新题型，寒假时已经进行了预热，旨在锻炼学生们综合运用四边形中各特殊图形之间的关系来进行解题的能力，这部分内容对学生的要求较高，每个题几乎都不只考查一种四边形的知识，本讲也可以看成在后几讲分块练习专题课之前的一个小结课．本讲的最后一道例题是2013 年 101 中学的一道期末考试题，此题根据2011 年大兴一模进行改变，增加了最后一问，近年改变题目之风盛行，老师们也可借此题进行发挥，比如训练 4 是首师大二附的期末考试题，此题也是根据2008 年北京中考题改编的，全面考查了特殊四边形的性质、判定等相关知识点．题型一：动手操作题思路导航在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：1图形折叠图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．图形的折叠问题分两大类题型：⑴ 考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；⑵ 考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．2图形分割近年中考中图形分割的基本类型有：⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．3图形剪拼图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．典题精练【例 1】如图，将边长为8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点D落在 BC 边的中点E处，点A落在F处，折痕为 MN ，求折痕 MN 的长度．A DMA D A DM FM HF FKNN NB E CB EC B E C图 1 H图 2【解析】方法一：如图1，作 MH ∥BC， MN 是折痕，则MN DE只需证明△ MHN ≌△ DCE 得出 MN DE ，由勾股定理求出DE 4 5 ，所以 MN 4 5 ．方法二：延长 NE 交 AB 延长线于点 H ，由题意可知 NC 3， CE 4，NE 5∴△NEC ≌△ HEB ， HE 5，HN 10∵ DNMENM ，AB ∥ CD，∴ MH NH 10，MH 10 作NK AH ，KB BH3，MK 4，KN8∴ MN 45【点评】 此题是一道非常典型的考察折痕的问题，方法一是应用折痕垂直平分对应点连线段， 应用正方形的一个经典模型，将 MN 转化，方法二是折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形，建议老师仔细讲解此题．【例 2】 阅读下列材料：小明遇到一个问题： AD 是 △ ABC 的中线， 点 M 为 BC 边上任意一点 （不与点 D 重合），过点 M 作一直线，使其等分 △ ABC 的面积．ANBMDC图1他的做法是：如图 1，连结 AM ，过点 D 作 DN ∥ AM 交 AC 于点 N ，作直线 MN ，直线 MN 即为所求直线． 请你参考小明的做法，解决下列问题：⑴如图 2，在四边形 ABCD 中，AE 平分 ABCD 的面积， M 为 CD 边上一点，过 M 作一直线 MN ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线 MN ，并保留作图痕迹） ；⑵如图 3，求作过点 A 的直线 AE ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图 3 中画出直线AE ，并保留作图痕迹） ．（ 2013 西城期末）ADBA CCM EDB 图2图 3【解析】 ⑴ 连接 AM ，过 E 作 EN ∥ AM ，交 AD 于 N ，再做直线MN 即可，如图．AB NCMED⑵ 取对角线 BD 的中点 M ，连接 AM 、 CM 、 AC ，过点 M 作 ME ∥ AC 交 CD 于 E ，直线 AE 就是所求直线，如图．DMEACB【例 3】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 a （ a>2 ）的正方形 ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH =1，当∠ AFQ=∠ BGM =∠ CHN=∠ DEP=45 °时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE ，MF ， NG ， PH 交 FA ，GB ， HC ， ED 的延长线于点 R ， S ， T ， W ， 可得△ RQF ，△ SMG ，△ TNH ，△ WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：⑴若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；⑵求正方形 MNPQ 的面积；⑶参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边△ ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF ，再分别过点 D ，E ， F 作 BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△ RPQ ，若△3 ，则 AD 的长为．S RPQ3（ 2013 北京中考 ）RAEDAEDW A QQH DMHMRPFPFPQF NNS BGB EBG CCC图 1图 2T图 3【解析】 ⑴ 四个等腰直角三角形的斜边长为a ，则斜边上的高为1a ，2每个等腰直角三角形的面积为：1 a 1 a 1 a 2，2 24则拼成的新正方形面积为：4 1a 2 a 2 ，即与原正方形 ABCD 面积相等，4∴ 这个新正方形的边长为 a⑵∵ 四个等腰直角三角形的面积和为 a 2 ，正方形 ABCD 的面积为 a 2 ， ∴S 正方形 MNPQ S △ ARE S △ DWH S △ GCT S △ SBF 4S △ ARE 4 1 12 22⑶ 如答图 1 所示，分别延长 RD ，QF ， PE ，交 FA ， EC ， DB 的延长线于点 S ， T ， W ．由题意易得： △RSF ，△ QET ，△ PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长均等于 △ ABC 的边长． 不妨设等边三角形边长为a ，则 SF=AC=a ．如答图 2 所示，过点 R 作 RM ⊥ SF 于点 M ，则 MF = 1 SF= 1a ，2 2SADRPQFB EC TW答图 1MF 1 3 3 S 在 Rt △ RMF 中， RM=32aa36AN1 3 3D M∴S △ RSFa a a 2R2 6 12过点 A 作 AN ⊥ SD 于点 N ，设 AD=AS=x ，则 AN= 1x ， SD=2ND= 3x ，2 PQFBEC TW答图 2∴ S △ ADS111 32AD AN3 x x4 x22 2∵ 三个等腰三角形 △ RSF ， △ QET ， △ PDW 的面积和 = 3S △ RSF 33 a 23 a 2 ，正 △ ABC124的面积为3a 2 ，4∴ S △ RPQS △ ADS S △ CFT S △ BEW3S △ ADS ，∴ 33 322434 x ，解得 x 9解得 x 2 或 x 23 （舍去负数）3∴ x 2 ，即 AD 的长为 2，故答案为： a2 ．3 33题型二：四边形性质与判定综合思路导航特殊四边形之间的关系：从属关系 :四边形平行四边形梯形正等腰直角矩形梯形梯形方菱形形演变关系：一个角是直角一组邻边相等矩形两组对边分别平行平行四边形正方形一组邻边相等一个角是直角菱形两腰相等一组对边平行等腰梯形四边形另一组对边不平行梯形一个角是直角直角梯形两组对边都不平行任意四边形典题精练【例 4】如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E、F、G、H 分别在 NP、PQ、QM 、MN 上，若∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．在图 2、图 3 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB=4 ，BC=8．M G Q A G D A D1FF3 2 HF HN4P B E CB E CE图 3图 1图 2⑴在图 2、图 3 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，图 2 中的四边形 EFGH 是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH ；⑵图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；⑶图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．（ 2013 门头沟区二模）【解析】⑴如图 3 所示：利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形EFGH ．AGD HF⑵∵图2中 HE=2 5，EF 2 5 ，GF= 2 5 ，HG=2 5 ， B E C ∴四边形 EFGH 的周长为： 2 5 4 8 5 ，图3中HE=3 5，EF 5,GF 3 5,HG 5 ,∴四边形 EFGH 的周长为： 3 5 5 2 8 5∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是8 5⑶∵图 2 中四边形 EFGH 的面积为：14 8 16 ，211 213 6 2 12，图 3 中四边形 EFGH 的面积为： 4 8 22 2∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值，它们的面积分别是16、12．【例 5】操作：如图①在正方形ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，点F 在正方形 ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G．易知 FG=GC．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF 与 GC 相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3， AD=4，A D A D A DFF GFGGCB EC B E B E C图①图②图③【解析】探究： GF =GC，理由是：连接CF ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B=∠ ECG=90°，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，∴BE=EF，∠ GFE=∠AFE=∠B=90°，∵ BE=CE，∴EF=EC，∴∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴GF=GC．拓展：连接CF，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△AFE ，B=∠AFE，边形 ABCD 是平行四边形，（ 2013 长春一模）A DFGB E CA D∴ ∠F∵ 四∴ AB∥ CD，G ∴ ∠BE CB+∠C=180 °，∵ ∠AFE+∠GFE =180 °，∴ ∠C=∠ GFE ，∵∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴ GF=GC．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=3=AF ，∵ AD=4 ，∴△ AGD 的周长是 AD +DG+AF=4+DG +AF+FG=4+ DG +CG+AF=4+3+3=10 ．真题赏析【例 6】已知：如图1，在四边形ABCD 中， AD=BC，∠ A、∠ B 均为锐角．⑴当 A B 时，如图2， CD 与AB的位置关系是 CD AB ，大小关系是 CD AB ；⑵当A≠ B 时，CD与 AB 的大小关系是否还成立，证明你的结论．求证： AGC DAG ．D D FC D C CHA B A B A E图 1 图 2 图 3 【解析】⑴如图 1，作 DE 平行于 BC 交 AB 于点 E，∴∠ B=∠ AED ，∵∠ A=∠ B，∴∠ A=∠ AED ，∴AD=DE，∵ AD=CB，∴DE=CB，∵ DE∥ BC，∴四边形 CBED 为平行四边形，∴DC 平行且等于 EB，∵EB＜ AB，∴CD∥AB ，CD ＜ AB；⑵CD＜AB 还成立证明：如图2，分别过点 D 、 B 作 BC、 CD 的平行线，两线交于 F 点，作∠ ADF 的平分线交AB 于 G 点，连接GF．∴四边形 DCBF 为平行四边形∴FD =BC， DC=FB∵AD=BC∴AD=FD∴∠ ADG=∠ FDG ．在△ADG 和△FDG 中GB（2013 年 101 中学期末）D CA E B图 1DCFA G B图 2AD FDADG FDG ，DG DG∴△ ADG≌△ FDG （ SAS）∴AG=FG，∵在△BFG 中， FG +BG＞ BF，∴AG+BG＞ DC，∴DC＜AB ．⑶连接 AC，取 AC 中点 P，连接 PE、 PF， PE 交 AG 于 Q，延长 AD 、 EF 交于 R则 PF 1AD， PE1BC ，∵AD =BCR 2 2∴PF=PE，∴∠ PEF=∠ PFE ∵PE∥ BC， AG⊥ EF∴∠ AGC=∠ PQA=90°－∠ PEF ∵PF∥ AD ， AG⊥EF∴∠ DAG=90°－∠R=90°－∠ PFE ∴∠ AGC=∠ DAGD FCPGQHAE B图 3思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 如图，小明将一块边长为 6 的正方形纸片折叠成领带形状，其中 D CF 30 ，B点落在 CF 边上的 B 处，则 AB 的长为______________．（海淀一模）A AAF E FB D BD′B′C C C【解析】 3 3 ．提示：将图形还原，将AB放在四边形AEBF 或△AEB中AF EB′计算 . 四边形 AEB F 是一个经典的基本模型.将它放大，如图所示， B D EAF EBF 90 ,AE AF,延长BE至M,使得EM BF,易证△ B AM 是等腰直角三角形，则B F B E.2 AB 在原图中可以计算得到：BF 2 26,BE 2 ,所以 2 AB 326，C AB 3 3 .训练 2. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB 26 厘米， BC 18.5 厘米，点点 P 是 AB 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕 MN步骤二，过点 P 作 PT AB ，交MN所在的直线于点Q ，连接E 在 AD上，且AE6厘米，（如图①）；QE （如图②）．DMC DC TQ 10E EA N PB A P20B图①图②图③⑴无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“”、“ ”、“ ”）；⑵如图③所示，将矩形纸片①当点 P 在 A点时， PT②当 PA 6 厘米时，PTABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：与 MN 交于点Q1 ， Q1 点的坐标是（，）；与 MN 交于点Q2 ， Q2 点的坐标是（，）；③当 PA a 厘米时，在图③中用尺规作出MN （不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与 MN 交于点Q3，Q3点的坐标是（，）．DCDC10 10 EEA 20BA20B备用图备用图（崇文一模）【解析】 ⑴ 无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE ；⑵ ①当点 P 在 A 点时， PT 与 MN 交于点 Q 1 ， Q 1 点的坐标是 0 ，3 ； ②当 PA 6 厘米时， PT 与 MN 交于点 Q 2 ， Q 2 点的坐标是 6 ，6 ；③当 PAa 厘米时，在图 ③ 中用尺规作出 MN （连接 EP ，作中垂线，作图略） ，连接 EP ，作中垂线， Q 3 点的坐标是设 Q 3 a ，y ，过 Q 3 作 Q 3 F AD 于 ∴ Q 3 F AP a ， Q 3 P y∵ Q 3 P Q 3 E ， ∴ Q 3 E y2 aa ， 3 ．12F ,∴ EFAF AEy62EF 22∵ Q 3EQ 3 F2y 6 221 2∴ ya ， ∴ y a 312∴ Q 3 点的坐标是 a ，a 23 ． 12【点评】 此题是一道考察折叠不变性的题，题目看似很难，其实只需要按照要求作图，再按照折叠不变性，列出方程．训练 3. 将矩形纸片 ABCD 分别沿两条不同的直线剪两刀， 使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙） . 图 1 中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.APDAD①③EF②④BCBC图1 图2⑴ 请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2 中画出示意图；y yD D A AB C x B Cx图3 备用图⑵以点 B 为原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图），点D的坐标为8，5 ．若剪拼后得到等腰三角形MNP ，使点M、 N 在y轴上（M在 N 上方），点P在边 CD 上（不与C 、D重合）.设直线PM的解析式为y kx b（k0 ），请写出所有符合条件的k 的取值及相应的 b 的取值范围（不要求写解题过程）.（海淀期中统考）【分析】图形的拼接实质就是全等变换，抓住边的平行关系和线段的中点构造“8”形字.【解析】⑴答案不唯一，例如：ADA DADB CB CB C.⑵结论： k 5， 5 b 10 ；k3， b 8 ；k1， b 7 ．8 4 2提示：由题意，△ MNP 与矩形 ABCD 的面积相等，且P到MN的距离为8 ，故 MN 10 ．要使得拼接得到的△ MNP 为等腰三角形，三种情况：①PM PN ，如图给出了一种特殊的分割方法，P为CD中点，AM BN 2.5 ，P 8，2.5 ，M 0，7.5 ，此时直线 PM 的解析式满足k 5．若 P 不是CD中点，只需保持与刚才的分8割线平行即可，仍然可以拼接成符合条件的等腰三角形，所以 5 b 10 ；②PM MN ；因为P、M的水平距离为8， PM 10 ,所以P、M的竖直距离为 6 ，考虑到拼接前后部分是全等形，所以只需要AM DP 3 即可，如图所示.此时直线PM的解析式为y 3x 8 ，故 k34， b 8 .4③ PN MN ,实际就是M 、N互换位置，与上一种情况一样，此时直线PM 的解析式为y 1x 7 ，故 k1， b 7 .y y yM MMA D A D A DP PPB C x B C x B CxN N N【点评】此题比较新，是一道很好的试题，还有拓展空间．确定这个图形的关键点就是 D 点，我们可以一般化，如设 D m，n ， m，n为正实数，这将是一道比较难的数形结合的综合题．当然还可以这样进行改编，取 D 24，13 ，其他条件不变 .训练 4. 请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG、PC．若ABCBEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP 交 DC 于点H构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：C D C D CDP F P P FF GGGA B E A B EA B E图 1 图 2 图 3⑴直接写出上面问题中线段PG 与 PC 的关系及PG的值；PC⑵如图 2，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG 、 PC ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．⑶将图 2 中的条件“正方形 ABCD 和正方形 BEFG ”改为“矩形 ABCD 和矩形 BEFG ”其它条件不变，（如图 3），你在⑵中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（2013 首师大二附期末）【解析】⑴如图 1，延长 GP 交 CD 于 H，∵P 是 DF 的中点，∴ DP=FP．∵四边形 ABCD 和四边形BEFG 是菱形，DH CP FG点 A， B， E 在同一条直线上，∴ DC∥GF ，∴∠ HDP =∠ GFP．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ HP=GP DH =FG∵ CD=CB， FG=GB∴CD-DH =CB -FG A B E图 1即： CH=CG∴△ HCG 是等腰三角形，∴ PC ⊥ PG ，∠ HCP =∠ GCP （等腰三角形三线合一） ∴∠ CPG=90°．∵∠ ABC=60°， ∴∠ DCB =120°，∴∠ GCP= 1∠ DCB =60°，2∴ Rt △CPG 中：PG3 ．PC故 PG ⊥PC ，PG=PC ，PG3 ．PC⑵ PG ⊥ PC 且 PG=PC ；理DHC由：如图 2，延长 GP 交 DC 于点 H ，四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形，DC=BC ， BG=GF ，∠ FGB =∠GCD =∠ DCB =90°，∵PGF∴∴ABECD ∥ GF ，∠ CDP=∠ GFP ．是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ DH =FG ， PH=PG ，∴ HC=GC ，∴△ HCG 是等腰直角三角形，∵ PH=PG∴ PG ⊥ PC 且 PG=PC ．⑶如图 3，延长 GP 交 DC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和 BEFG 是矩形，∴ FGB=∠ GCD=∠ DCB=90°，∴ CD ∥GF ， ∴∠ CDP=∠ GFP ． ∵ P 是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ． ∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ PH=PG= 1HG ，2图 2∴∵ PD H CP F ∴△ HCG 是直角三角形，∴CP= 1HG，2∴PG=PC；GA B E图 3复习巩固题型一动手操作题巩固练习【练习 1】如图，矩形纸片ABCD 中， AB 8 ，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的点为E，折痕的一端 G 点在边 BC 上（ BG＜ GC），另一端 F 落在矩形的边上，BG10 ．⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；⑵求出折痕 GF 的长．A D A D A DB G CB G CB G C备用图 1 备用图 2 备用图 3（平谷二模）【解析】⑴正确画出图⑴、图⑵⑵如图 1，当点 F 在 AB 上时，过点 G 作 GH⊥ AD，则四边形ABGH 为矩形，∴GH=AB=8， AH=BG=10，设 BF=x,由图形的折叠可知△BFG≌△ EFG，∴EG=BG=10，BF=EF=x,在 Rt△GEH 中，由勾股定理，得EH =6，∴ AE=4. ∵∠ A=90°， AF= 8x,EF x ,EF2AF2AE2 A EH D FB CG图1∴ x2 8 x 242解方程，得x 5. ∴ BF=5 ，2 2∵ BG=10，∴ FGBG BF 5 5.如图 2，当点 F 在 AD 边上时，连接 HG 、BE、 FG 因为四边形 HFGE 由四边形 ABGF 折叠得到，由折叠可知 ,BG=EG，AB =EH，∠ BGF =∠EGF ，∵EF∥ BG，∴∠ BGF =∠ EFG ，∴∠ EGF =∠ EFG，∴ EF=EG，∴ BG=EF，∴四边形 BGEF 为平行四边形又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF 为菱形∴ BE，FG 互相垂直平分，在 Rt△EFH 中， EF=BG=10 ， EH=AB =8，由勾股定理可得 FH =AF=6 ，∴ AE=16，∴ BE=2AB 25 ，∴ BO=4 5 ，AE =8 ∴ FG=2OG=2 BG225BO =4【练习 2】⑴如图 1， AD 为 △ ABC 的中线，点E 在边 AC 上，过点 E 作一直线平分 △ ABC 的面积 .⑵如图 2，点 E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点， 过点 E 作一直线平分平行四边形ABCD 的面积 .⑶如图 3，点 E 为梯形 ABCD 上底 AD 上一点，过点E 作一直线平分梯形 ABCD 的面积 .ADAEEDA EDAEBDCBCBCBC图1图 2图 3图【解析】 ⑴如图 1，连接 DE ，作 AF ∥DE 交 BC 于 F , EF 为所求 .⑵ 如图 2，连接 AC 和 BD 交于点 O ，直线 OE 为所求 .⑶如图 3，取 AB ， CD 的中点 M ， N,取 MN 中点 F ,直线 EF 为所求 .ADAEDAEEDMAEOMNFNBF DC BCBCBC图 1图2图 3图【练习 3】已知 : 如图， △ ABC 中， ACAB BC⑴在 BC 边上确定点 P 的位置，使 APCC ．请画出图形，不写画法；⑵在图中画出一条直线 l ，使得直线 l 分别与 AB 、 BC 边交于A点 M 、 N ．并且沿直线 l 将△ ABC 剪开后可拼成一个等腰梯形， 请画出直线 l 及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．BC（西城一模）【分析】 第一问比较简单．若抓住梯形中的常见辅助线以及第一问的提示作用，第二问就不难了．等腰梯形可以通过平移腰出现等腰三角形，那么等腰三角形也可以平移腰出等腰梯形就可以轻松找到裁剪线，问题就圆满解决了．【解析】 ⑴ 答案见图 4（任选一种即可） ．⑵ 答案见图 5．剪拼方法：取 AB 的中点 M ，过点 M 作 AP 的平行线 l ，与 BC 交于点 N ，过点 A 作 BC 的平A A H A行线，与 l 交于点 H ，将 △ BMN 绕点 M 顺时针旋转 180 到 △ AMH ，则四边形 ACNH 为拼接后的等腰梯形．题型二四边形性质与判定综合 巩固练习【练习4】如图，在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD 和正方形 BEFG B EA B ，连接 EG 并延长交 DC 于点 M ，作M NA B ，垂足为点 N ， MN 交 BD 于点 P ，设正方形ABCD 的边长为 1．⑴ 证明：四边形 MPBG 是平行四边形；⑵ 设 BEx ，四边形 MNBG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；⑶ 如果按题设作出的四边形BGMP 是菱形，求 BE 的长．【解析】 ⑴ ∵ 四边形 ABCD 、 BEFG 是正方形∴ ∠DBA ∠FEB 90 ， ∠ABD ∠BEG45 ，D MCGFPANBE（ 2013 东城区南片期末）∴ DB ∥ ME ．∵ MN AB ，CB AB ，∴ MN ∥CB ．∴ 四边形 MPBG 是平行四边形；⑵∵ 正方形 BEFG 中，设 BG BE x ．∵ CMGBEG 45 ，∴CGCMBN 1- x ．111 1 2x 1 ；∴ y （ GB MN ） BN1 x 1 x2 2 x ， 022⑶ 由四边形 BGMP 是菱形，则有 BG MG ，即 x2 1 x ．解得 x2- 2，∴ BE 2- 2 ．【练习 5】△ ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B 、 C 重合），△ ADE 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 E 作 BC 的平行线， 分别交射线 AB 、AC 于点 F 、G ，连接 BE ．⑴如图（ a ）所示，当点 D 在线段 BC 上时．探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明 理由；⑵如图（ b ）所示，当点 D 在 BC 的延长线上运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．（ 2013 年十三分期中）AAE F GB DCB D C图 (a) F E G图 (b)【解析】⑴ ∵△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，∴AE=AD ， AB=AC，∠ EAD=∠ BAC=60°，又∵∠ EAB=∠ EAD -∠ BAD，∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD，∴∠ EAB =∠ DAC ，∴△ AEB ≌△ ADC （SAS），∴∠ ABE =∠ C=60°．又∵∠ BAC=∠ C=60°，∴∠ ABE =∠ BAC ，∴EB∥ GC，又∵ EG∥BC，∴四边形 BCGE 是平行四边形；⑵当 CD =CB 时，四边形 BCGE 是菱形．理由：同⑴，△AEB≌△ ADC，∴BE=CD ，又∵四边形 BCGE 是菱形，∴BE=CB，∴CD =CB，即 CD=CB 时，四边形 BCGE 是菱形．第十六种品格：感恩子路借米孝敬父母中国有句古语：“ 百善孝为先” 。

四边形中的动点问题动点问题是初中数学中常见的问题之一。

这种问题涉及到一些物体或点在平面或空间中的运动轨迹，从而引发一系列有趣的问题。

本文将重点讨论四边形中的动点问题。

一、定义四边形是一个拥有四个端点并且每个端点有两条相邻的边相连的图形。

在四边形中，如果一些点在边界或内部移动，我们称这些点是动点。

二、基本问题四边形中的动点问题主要有三个基本问题：1. 四边形内任取一个动点，这个点的移动轨迹是什么？2. 四边形内任取两个动点，它们的运动是否有任何联系？3. 四边形内任取三个动点，它们是否存在特殊的位置关系？三、解决方法1. 关于第一个问题，我们可以采用向量法、坐标法、三角函数法等不同的方式来解决。

其中最常用的方法是向量法，即用向量表示动点在平面内的位置，并利用向量的加减法来求得动点的移动轨迹。

比如，对于任意一边AB，在边AB上取一点C，设动点P的向量表示为向量a，向量AC表示为向量b，则P点在AC向量上的投影可以表示为向量b’。

而向量a’可以表示为由向量b’平移而来的向量，其中平移的大小和方向取决于向量b和a之间的夹角。

2. 第二个问题比较复杂，需要利用向量叉乘、双曲线函数等高深的数学知识来解决。

一般来说，我们需要找到两个动点之间的代数关系式，再根据这个关系式来判断它们是否有联系。

比如，如果我们发现两个动点在一条直线上运动，则它们存在一定的约束条件，这个约束条件可以用向量叉乘来表达。

3. 第三个问题则是考验计算几何能力的问题。

一般来说，我们需要找到一种不变量来描述三个动点之间的特殊位置关系。

比如，如果我们发现这三个动点共线，则我们可以通过向量叉乘或线性方程组来计算它们的位置关系。

如果我们发现这三个点可以构成一个三角形，则我们可以通过三角形的几何性质来判断它们的位置关系。

如果我们发现这三个动点可以构成一个正方形或者矩形，则我们可以通过它们的对角线、边长、面积等几何参数来计算它们的位置关系。

四、典型例题1. 在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF。

动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。

利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。

分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。

动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。

四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。

四边形中的动态问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。

它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。

在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

例1、Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。

令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。

设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式？例练、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O-A--B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？四边形动点问题(一)1.（1）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.2.已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=时，四边形MNCD是平行四边形．（2）当t=时，四边形MNCD是等腰梯形6.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，BC=10㎝,AD=7㎝,从点A沿着A→D的方向运动，速度是每秒2㎝，连结CE,BE,过点B作BF∥CE,交射线AD于点F,设运动时间为t秒（0<t<3.5）（1）求证：ΔBDF≌ΔCDE（2）当t为何值时，四边形BFCE是矩形，说明理由（3）若四边形BFCE是矩形，当AB和CA满足什么条件时，四边形BFCE是正方形。

四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。

四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。

解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。

2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。

3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。

4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。

5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。

6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。

综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。