第一章 特殊平行四边形专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题(含答案)

特殊四边形动点问题专题训练及答案解析（一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE且BD∥CE，又因为D是△ABC的边AB的中点，所以AD=BD，即DA=CE，又因为CE∥BD，所以四边形ADCE是平行四边形．（2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD，即∠ADC=90°，由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形．（二）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。

（1）求证：OE=OF（2）若CE=12，CF=5，求OC的长（3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论（4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。

（1）证明：∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠OEC，∴OE＝OC，同理：OF＝OC∴OE＝OF（2）∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠ACD/2∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900在Rt△ECF中，EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169∴EF=13由（1）可知OE＝OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形证明：∵O是AC的中点∴AO＝CO∵OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形由（2）可知∠ECF＝900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形证明：∵∠ACB＝900，MN∥BC∴∠AOM＝∠ACB＝900，由（3）知四边形AECF 是矩形∴四边形AECF 是矩形（四）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=20cm 、BD=12cm ，两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动．（1）求证：当E 、F 运动过程中不与点O 重合时，四边形BEDF 一定为平行四边形； （2）当E 、F 运动时间t 为何值时，四边形BEDF 为矩形？（1）解：连接DE ，EB ，BF ，FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动． ∴AE=CF在平行四边形ABCD 中，OD=OB ，OA=OC ∴OA-AE=OC-CF 或AE-OA=CF-OC 即OE=OF∴四边形BEDF 为平行四边形．（2）当点E 在OA 上，点F 在OC 上时EF=BD=12cm ， 四边形BEDF 为矩形 ∵运动时间为t∴AE=CF=2t ∴EF=20-4t=12 ∴t=2（s ）当点E 在OC 上，点F 在OA 上时，EF=BD=12cm EF=4t-20=12 ∴t=8（s ）因此当E 、F 运动时间2s 或8s 时，四边形BEDF 为矩形．（五）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形． （2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？OCDBAEF解：（1）连接DE，EB，BF，FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．∴AE=CF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形AECF为矩形．（六）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（七）(1)设经过xs的时间，四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得：DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答：经过6s的时间，四边形PQCD是平行四边形（2）设经过xs的时间，四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得：AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答：经过13/2s的时间，四边形PQBA是矩形。

北师大版九年级上册第一章专题1 利用特殊平行四边形的性质解动点问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题1 . 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．2 . 已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；(提示:过N作x轴y轴垂线，垂足分别为D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA) （2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？3 . 已知：如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC 为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．4 . 如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，EF，DF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，①判断△AEG的形状，并说明理由．②求证：△DEF是等边三角形．（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，△DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．5 . 如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF、DE，若E是BC的中点.求证：CF＝DE．参考答案一、解答题1、2、3、4、5、。

2015特殊四边形动点问题专题训练及答案解析（一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE且BD∥CE，又因为D是△ABC的边AB的中点，所以AD=BD，即DA=CE，又因为CE∥BD，所以四边形ADCE是平行四边形．（2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD，即∠ADC=90°，由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形．（二）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。

（1）求证：OE=OF（2）若CE=12，CF=5，求OC的长（3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论（4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。

（1）证明：∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠OEC，∴OE＝OC，同理：OF＝OC∴OE＝OF（2）∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠ACD/2∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900在Rt△ECF中，EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169∴EF=13由（1）可知OE＝OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形证明：∵O是AC的中点∴AO＝CO∵OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形由（2）可知∠ECF＝900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形证明：∵∠ACB＝900，MN∥BC∴∠AOM＝∠ACB＝900，由（3）知四边形AECF是矩形∴四边形AECF 是矩形（四）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=20cm 、BD=12cm ，两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动．（1）求证：当E 、F 运动过程中不与点O 重合时，四边形BEDF 一定为平行四边形； （2）当E 、F 运动时间t 为何值时，四边形BEDF 为矩形？（1）解：连接DE ，EB ，BF ，FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动． ∴AE=CF在平行四边形ABCD 中，OD=OB ，OA=OC ∴OA-AE=OC-CF 或AE-OA=CF-OC 即OE=OF∴四边形BEDF 为平行四边形．（2）当点E 在OA 上，点F 在OC 上时EF=BD=12cm ， 四边形BEDF 为矩形 ∵运动时间为t∴AE=CF=2t ∴EF=20-4t=12 ∴t=2（s ）当点E 在OC 上，点F 在OA 上时，EF=BD=12cm EF=4t-20=12 ∴t=8（s ）因此当E 、F 运动时间2s 或8s 时，四边形BEDF 为矩形．（五）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形． （2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？解：（1）连接DE ，EB ，BF ，FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动． ∴AE=CFOCDBAEF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形AECF为矩形．（六）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（七）(1)设经过xs的时间，四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得：DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答：经过6s的时间，四边形PQCD是平行四边形（2）设经过xs的时间，四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得：AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答：经过13/2s的时间，四边形PQBA是矩形。

八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题【例题1】（2021春•费县期中）如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝27cm ，BC ＝36cm ，点P 从A 向点D 以1cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2021秋•抚州期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？【变式1-5】（2022春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝P为BC上一动点，AQ ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．【变式1-6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式1-7】如图，等边△ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【变式1-8】（2021春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）线段AD＝ cm；（2）求证：PB＝PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？【例题2】（2021秋•迁安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B 出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（ ）A．1或3B．2C．2或4D．1或2【变式2-1】（2022春•玄武区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（ ）A．3B．4CD【变式2-2】（2022春•新洲区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）A．1B．4C．103D．143【变式2-3】如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P，Q分别是边BC和CD上的两个动点（可以与线段的端点重合，但P，Q两点不重合），点E、F分别是PA和PQ的中点，在两个动点的移动过程中，线段EF的长度取值范围是 ．【变式2-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm．点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动，点F从点C出发，以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．（1）当E运动到B点时，求出t的值；（2）在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得EF＝3cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式2-6】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．＝ ．（用t的代数式表示）（1）如图1，S△DCP（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式2-7】（2022春•黄州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）．（1）AE＝t，EF＝ ．（2）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？【变式2-8】（2021•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝DC ＝4，AD ＝BC ＝8．延长BC 到E ，使CE ＝3，连接DE ，由直角三角形的性质可知DE ＝5．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒．（t ＞0）（1）当t ＝3时，BP ＝ ；（2）当t ＝ 时，点P 运动到∠B 的角平分线上；（3）请用含t 的代数式表示△ABP 的面积S ；（4）当0＜t ＜6时，直接写出点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等时t 的值．【例题3】如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E ，F 分别为AD ，DC 上的动点，∠EBF ＝60°，点E 从点A 向点D 运动的过程中，AE +CF 的长度（ ）A ．逐渐增加B ．保持不变且与EF 的长度相等C ．逐渐减小D ．保持不变且与AB的长度相等【变式3-1】（2022春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B 一C一D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）A．①③②③B．③②①③C．①③②①D．③②③①【变式3-2】（2022•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，BD=P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）A．2B．4C．D．【变式3-3】（2021春•仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）A．34B．43C．32D．53【变式3-4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝　s时，△PAB为等腰三角形．【变式3-5】（2021•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是DP的长为　．【变式3-6】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【变式3-7】（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF 为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【变式3-8】如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，△ADF2；（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．【例题4】如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）A．6B．10C．D．12【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E 从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【变式4-2】（2022•乐陵市模拟）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）A．54B．CD．5 2【变式4-3】（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）A．1B．C D【变式4-4】（2021•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）A B C．D．3【变式4-5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（ ）A．10B．3C．+3D．+5【变式4-6】（2021春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m m2的值为（ ）A．6﹣B．8﹣C．D．【变式4-7】如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE＝5，点F在该正方形的边上运动，当BF＝AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于 ．【变式4-8】如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为 ．。

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。

北师大版九年级上册第一章专题1利用特殊平行四边形的性质解动点问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF ，连接AE 、CF ，请你猜想：AE 与CF 有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．2．已知，在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，AC 的垂直平分线EF 分别交AD BC ，于点E F ，，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE ，．试说明四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长； （2）如图2，动点P Q ，分别从A C ，两点同时出发，沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止，在运动过程中，已知点P 的速度为5cm /s ，点Q 的速度为4cm /s ，运动时间为 s t ，当以A C P Q ，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．3．如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE BC =，3AB =，4BC =，点P 是EC 上的一动点，且PQ BC ⊥于点Q ，PR BD ⊥于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 的中点时，求证：125PR PQ +=；（2）如图2，当点P为线段EC上任意一点（不与点E，点C重合）时，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．4．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．5．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．参考答案1．AE=CF,证明见解析【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，即可得AB ∥CD ，AB=CD ，然后利用平行线的性质，求得∠ABE=∠CDF ，又由BE=DF ，即可由SAS 证得△ABE ≌△CDF ，从而可得AE=CF.【详解】猜想：AE=CF. 证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD. ∴∠ABE=∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，AB=CD ，∠ABE=∠CDF ，BE=DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE=CF【点睛】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，证明线段相等，常用全等三角形. 2．（1）5cm AF =；（2）43t =. 【解析】【分析】（1）根据全等推出OE=OF ，得出平行四边形AFCE ，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF=CF ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；（2）分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ．∴CAD ACB ∠=∠，AEF CFE ∠=∠．∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA OC =．∴(AAS)AOE COF ∆∆≌．∴OE OF =．∴四边形AFCE 为平行四边形．又∵EF AC ⊥，∴平行四边形AFCE 为菱形．设cm AF CF x ==，则(8)cm BF x =-，在Rt ABF ∆中，4cm AB =，由勾股定理，得2224(8)x x +-=，解得5x =．∴5cm AF =．（2）当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形； 同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，当以AC P Q ，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =． ∵点P 的速度为5cm /s ，点Q 的速度为4cm /s ，运动时间为 s t ，∴5cm PC t =，(124)cm QA t =-．∴5124t t =-，解得43t =． ∴以AC P Q ，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =． 【点睛】本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质．3．（1）见解析；（2）125PR PQ +=仍成立，见解析；（3）125PR PQ -=. 【分析】（1）连接BP ，过C 点作CH BD ⊥于点H ，根据矩形的性质及勾股定理求出BD 的长，根据三角形BCF 的面积=三角形AFP 的面积+三角形BPC 的面积，通过面积计算公式及等量代换即可证明.（2）连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K ．根据矩形的性质及勾股定理求出BD 的长，根据三角形面积相等可求出CK 的长，最后通过等量代换即可证明；（3）图3中的结论是125PR PQ -=， 【详解】（1）连接BP ，作CH BD ⊥于点H ，如图1．∵BE BC =，点P 为CE 的中点，∴BP 是EBC ∠的平分线．∵PR BE ⊥，PQ BC ⊥，∴PR PQ =．在矩形ABCD 中，90BCD ︒∠=，4BC =，3CD AB ==，∴5BD ===． 由1122BCD S BC CD BD CH ∆==， 得431255BC CD CH BD ⋅⨯===． ∵=PBE PBC BCE S S S ∆∆∆+，∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅+⋅=⋅． 又∵BE BC =， ∴125PR PQ CH +==．（2）（1）中结论125PR PQ +=仍成立． 证明：连接BP ，作CH BD ⊥于点H ，如图2．∵PBE PBC BCE S S S ∆∆∆+=，∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅+⋅=⋅． 又∵BE BC =，∴PR PQ CH +=．∵125CH =， ∴125PR PQ +=． （3过C 点作CH BD ⊥于点H ，如图3∵S △BPE -S △BCP =S △BEC ， ∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅-⋅=⋅ 又∵BE BC =，∴PR PQ CH -=． ∵125CH =， ∴125PR PQ -=． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理，难度适中，关键是掌握好矩形的性质及面积法的运用. 4．（1）12；96 （2）答案见解析 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG ，再利用勾股定理列式求出AG ，然后根据AC=2AG 计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接AO ，根据S △ABD =S △ABO +S △ADO 列式计算即可得解；（3）连接AO ，根据S △ABD =S △ABO -S △ADO 列式整理即可得解.【详解】解：(1)在菱形ABCD 中，AG ＝CG ，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG 6==，所以AC ＝2AG ＝2×6＝12. 所以菱形ABCD 的面积＝12AC·BD ＝12×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ， 所以12BD·AG ＝12AB·OE ＋12AD·OF ，即12×16×6＝12×10·OE ＋12×10·OF. 解得OE ＋OF ＝9.6，是定值，不变．(3)发生变化．如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ， 所以12BD·AG ＝12AB·OE －12AD·OF. 即12×16×6＝12×10·OE －12×10·OF. 解得OE －OF ＝9.6，是定值，不变．所以OE ＋OF 的值发生变化，OE ，OF 之间的数量关系为OE －OF ＝9.6.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，（2）（3）作辅助线构造出两个三角形是解题的关键.5．（1）证明见解析；（2）EG 必过BD 中点这个点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA ，证出AH=BE=CF=DG ，由SAS 证明△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG ，得出EH=FE=GF=GH ，∠AEH=∠BFE ，证出四边形EFGH 是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心， 连接BD 交EG 于点O ，易证△EOB ≌△GOD ．可得BO=DO 即点O 为BD 的中点．所以直线EG 经过正方形ABCD 的中心．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形．∴90BAD ABC BCD CDA ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD DA ===．∵AE BF CG DH ===．∴AH BE CF DG ===．∴EAH ≌FBE ≌GCF ≌HDG ． ∴EH EF FG HG ===，AEH BFE ∠=∠． ∴四边形EFGH 是菱形．∵90BEF BFE ∠+∠=︒，AEH BFE ∠=∠． ∴90BEF AEH ∠+∠=︒．∴90HEF ∠=︒．∵四边形EFGH 是菱形，90HEF ∠=︒． ∴四边形EFGH 是正方形．（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心，理由如下： 连接BD 交EG 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形．∴AB DC ．∴EBD GDB ∠=∠．∵EOB GOD ∠=∠，EBD GDB ∠=∠，BE DG =． ∴EOB ≌GOD ．∴BO DO =，即点O 为BD 的中点．∴直线EG 经过正方形ABCD 的中心．。

专题02 特殊平行四边形的动点问题类型一、运动的图像问题例1．如图，在菱形ABCD 中，4cm AB =，60A ︒∠=，点P 从点A 出发，沿A D C →→以1cm/s 的速度运动到点C 停止，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 以相同的速度运动到点B 停止，若APQ 的面积为s （平方厘米），运动时间为(s)t ，则下列能反映S 与t 之间的函数关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据题意，当0﹤t≤4时，△APQ 为等边三角形，且AP=AQ=t ，过点P 作PE△AB 于E ，则，△△APQ 的面积2112224s PE AQ t =⋅⋅=⋅⋅=，故可排除选项A 、B ；当点Q 到达B 点时，点P 到达D 点，这时t=4,面积s 24=， 当4﹤t≤8时，点Q 在B 点不动，点Q 在CD 上运动，△APQ 的面积s 保持不变，故排除选项C ， 所以能反映S 与t 之间的函数关系的图象大致为D 选项，故选：D ．【变式训练1】如图，P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A →B →C 的路径匀速运动到点C ，点R 是 CD 边的中点，点M ，点N 分别是线段AP ，PR 的中点，设P 点运动时间为x ，MN 的长为y ，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，连接AR ．△M 是AP 的中点，N 是PR 的中点，△MN 是PAR △的中位线．△12MN AR =． 即点P 在符合条件的运动过程中，始终有12MN AR =．△12y AR =． △A 、R 是定点，△AR 是定值．△y 是定值，与点P 运动的时间x 无关．故选：D【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，AB△x 轴，点B 的坐标为（4，1）， △BAD ＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形ABCD 的两边分别交于点M ，N （点N 在点M 的上方），连接OM ，ON ，若△OMN 的面积为s ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤6），则S 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如图1，当0≤t≤2时，△l △y 轴，△AMN OMN S S ==S ，△AM=t ，△BAD ＝60°，，△S=212t ⨯=； 图像是经过原点，开口向上的一段抛物线；如图2，当2＜t≤4时，MN 是定长，△AD=4，△BAD ＝60°，△S=12t ⨯⨯=； 图像是经过原点，正比例函数上的一段；△y=2x 的比例系数2△面积线段的倾斜度要比y=2x 的坡；如图3，当4＜t≤6时，当直线经过点C 时，△BC=4，△CBG ＝60°，△BG=2，△B （4，1），C （6，），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，△4161k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ △直线的解析式为1+-△N 的坐标为（t ，），M 的坐标为（t1+-，-1+-=+△S=1(2t ⨯⨯+=+；图像是开口向下的一段抛物线； 故选C ．【变式训练3】如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB和BC上移动，记PA x=，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=BC=4（0≤x≤3）．（2）如图1，当点P在BC上移动时，，△AB=3，BC=4，，△△PAB+△DAE=90°，△ADE+△DAE=90°，△△PAB=△ADE，在△PAB和△ADE中，PAB ADEABP DEA∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝，△△PAB△△ADE，△PA ABAD DE=，△34xy=，△y=12x（3＜x≤5）．故选：C．类型二、函数图像中的几何动点问题例1.如图，直线l1经过A（6，0）、B（0，8）两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线l1的表达式；（2）当t＝时，BC＝BD；（3）将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；（4）在平面内，是否存在点P，使O、A、B、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）483y x =-+ ；（2）103；（3）30；（4）存在， 点P 的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8）【解析】（1）设直线1l 的表达式为y ＝kx ＋b ，将A （6，0）、B （0，8）代入得：60 8k b b +=⎧⎨=⎩，解得：43 8k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△直线1l 的表达式为483y x =-+ ； （2）由点A 、B 的坐标知，OA ＝6，OB ＝8，则AB ＝10，t 秒时，BC ＝t ，BD ＝BA ﹣AD ＝10﹣2t ，当BC ＝BD 时，则t ＝10﹣2t ，解得：t ＝103；故答案为103； （3）由平移可得：直线EF 的关系式为：44(3)81233y x x =-+=-+， 当x ＝0时，y ＝12，F （0，12），当y ＝0时，x ＝9，E （9，0），EFO ABO BAEF S S S =-四边形，即11912683022BAEF S =⨯⨯-⨯⨯=四形边， 答：四边形BAEF 的面积是30；（4）存在，理由：设点P （m ，n ），而点A 、B 、O 的坐标分别为（6，0），（0，8），（0，0）．①当AB 是边时，点A 向左平移6个单位向上平移8个单位得到点B ，同样点O （P ）向左平移6个单位向上平移8个单位得到点P （O ），即0﹣6＝m 且0＋8＝n 或0＋6＝m 且0﹣8＝n ，解得68m n =-⎧⎨=⎩或68m n =⎧⎨=-⎩； ②当AB 是对角线时，由中点公式得：12（6＋0）＝12（0＋m ）且12（0＋8）＝12（0＋n ），解得6 8m n =⎧⎨=⎩； 综上点P 的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8）．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B D C →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x 变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP（3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2（2；（31 【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形， 设ABC ∆的边长为a2a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2==，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ==2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x当点P 在BD 上运动时，四边形ADCPP 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''==，综上，x 或1． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系内，梯形OABC 的顶点坐标分别是：A （3，4），B （8，4）， C （11，0），点P （t ，0）是线段OC 上一点，设四边形ABCP 的面积为S ．（1）过点B 作BE△X 轴于点E ，则BE= ，用含t 的代数式表示PC= ．（2）求S 与t 的函数关系．（3）当S ＝20时，求线段AP 与CP 的长．【答案】（1）4，11-t ；（2）s =32-2t ；（3）AP =5， CP =5【解析】（1）过点B 作BE△x 轴于点E ，如图所示：△B （8，4），E （8，0），△BE=4-0=4，△C （11，0），点P （t ，0），△OC=11，OP=t ，△用含t 的代数式表示PC=11﹣t ；故答案为4，11﹣t ；（2）AB=8-3=5，PC=11﹣t，BE=4，由梯形的面积公式得：S=12（AB+PC）BE=12（5+11﹣t）×4，△S与t的函数关系为：S=﹣2t+32；（3）当S=20时，﹣2t+32=20，解得：t=6．此时，PC=11﹣t=5．过A作AF△OC于F，△A（3，4），△F（3，0），则AF=4-0=4，FP=OP-OF=6-3=3，在Rt△AFP中，5=，△AP=PC=5．故答案为:（1）4，11-t；（2）s=32-2t；（3）AP=5，CP=5类型三、几何图形存在性问题例1.如图，已知在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？【答案】（1）t＝6.5s时，四边形ABQP是矩形；（2）当t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形；（3）当t＝7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形【解析】△设运动时间为t秒，△AP＝t（cm），PD＝AD﹣AP＝24﹣t（cm），CQ＝3t（cm），BQ＝BC﹣CQ＝26﹣3t（cm），（1）如图1：△AD △BC ，△当PA ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形，△△B ＝90°，△四边形ABQP 是矩形，即t ＝26﹣3t ，解得：t ＝6.5，△t ＝6.5s 时，四边形ABQP 是矩形，（2）△AD △BC ，△当QC ＝PD 时，四边形PQCD 是平行四边形．此时有3t ＝24﹣t ，解得t ＝6．△当t ＝6s 时，四边形PQCD 是平行四边形．（3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，如图所示：在Rt△PQF 和Rt△CDE 中，△PQ ＝DC ，PF ＝DE ，△Rt△PQF △Rt△CDE （HL ），△QF ＝CE ，△QC ﹣PD ＝QC ﹣EF ＝QF ＋EC ＝2CE ，即3t ﹣（24﹣t ）＝4，解得：t ＝7（s ）即当t ＝7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形．故答案为：（1）t ＝6.5s 时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t ＝6s 时，四边形PQCD 是平行四边形； （3）当t ＝7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形【变式训练1】矩形ABCD 中，16cm AB ，6cm BC ，点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动（不与点A 、B 重合），一直到达点B 为止；同时，点Q 从点C 出发沿CD 向点D 移动（不与点C 、D 重合）．运动时间设为t 秒．（1）若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动，则：AP =_______cm ；QC =_______cm ．（用含t 的代数式表示）（2）若点P 为3cm/s 的速度移动，点Q 以2cm/s 的速度移动，经过多长时间PD PQ =，使DPQ ∆为等腰三角形？（3）若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ 为菱形？【答案】（1）3t ，3t ；（2）2s ；（3）5524s 【解析】（1）△33AP t t ==；33QC t t ==，△3cm AP t =；3cm QC t =．（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，△90PED ∠=︒△PD PQ =，△12DE DQ = 在矩形ABCD 中，90A ADE ∠=∠=︒，16cm CD AB ==△四边形PEDA 是矩形，△3DE AP t ==，又△2CQ t =，△162DQ t =-△由12DE DQ =，△()131622t t =⨯-，△2t =，△当2t =时，PD PQ =，DPQ ∆为等腰三角形 （3）在矩形ABCD 中，AB CD =，//AB CD ，AD BC =，依题知3AP CQ t == △PB DQ =，△四边形BPDQ 是平行四边形，当PD PB =时，四边形BPDQ 是菱形，△163PB AB AP t =-=-在Rt APD ∆中，PD =由PD PB =，△163t -=△()22163936t t -=+，解得：5524t = △当5524t =时，四边形BPDQ 是菱形． 故答案为：（1）3t ，3t ；（2）2s ；（3）5524s【变式训练2】在直角三角形ABC 中，△B =90°，BC =6 cm ，AB =8 cm ，有一动点P 以3cm/s 的速度从点C 出发向终点B 运动，同时还有一动点Q 以5 cm/s 的速度也从点C 出发，向终点A 运动，连结PQ ，并且PQ △BC ，以CP 、CQ 为邻边作平行四边形CQMP ，设动点P 的运动时间为t （s ）（0＜t ＜2）．（1）BP = （用含t 的代数式表示）；（2）当点M 在△B 的平分线上时，求此时的t 值；（3）当四边形BPQM 是平行四边形时，求CM 的值；（4）连结AM ，直接写出当△AMQ 是等腰三角形时t 的值．【答案】（1）BF=6-3t ；（2）35t =；（3）（4）t=54或43或5043 【解析】（1）∵PC=3t ，BP=BC -PC ，∵BP=6-3t ；（2）如图1，连接BM ，过EM 、DM 作ME∵AB ，MD∵BC,∵当点M 在∵B 的平分线上时，∵EM=MD∵PQ ∵BC ，∵四边形EBPQ 为矩形, 四边形MDPQ 为矩形，∵BE=MD=PQ ，MQ=DP∵平行四边形CQMP ，∵MQ=PC=3t,即DP=PC=3t ，∵BD=6-6t ，即EM=6-6t∵CQ=5t ，4t = ，即MD=4t ，∵EM=MD ，∵6-6t=4t ，解得35t =；（3）如图2，连接CM∵四边形BPQM 是平行四边形，PQ ∵BC ，∵四边形BPQM 是矩形，∵BM=QP,MQ=BP∵∵B=90°，∵M在AB上，∵平行四边形CQMP，∵MQ=PC=3t，∵BP=PC=3t∵BC= BP+PC=6t，即t=1，∵PC=3t=3，CQ=5t=54==,即BM=4，∵∵B=90°==（4）延长QM交AB于E,过M作MD∵BC，∵BC=6 cm，AB=8 cm，10=,∵CQ=5t，∵AQ=10-5t，∵PC=3t，4t=∵∵B=90°，PQ∵BC，∠EQP=90°, MD∵BC∵四边形BEQP是矩形,四边形MQPD是矩形，∵BE=QP=4t，MQ=DP=3t，ME=MD∵AE=8-4t,EM=6-6t，==∵AQ=10-5t，MQ=3t，∵AMQ是等腰三角形∵∵AM=QM，即，解得t=5043或t=2（舍）；∵AM=AQ，即-5t，解得t=43或t=0（舍）；∵MQ=AQ，即3t=10-5t，解得t=5 4 .综上，当∵AMQ是等腰三角形时，t=54或43或5043．【变式训练3】如图1，在长方形ABCD 中，6cm 10cm AB CD BC ===，，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动（点P 运动到点C 处时停止运动），设点P 的运动时间为s t ．（1）PC _____________cm ．（用含t 的式子表示）（2）当t 为何值时，ABP DCP ≌？（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以cm /s v 的速度沿CD 向点D 运动（点Q 运动到点D 处时停止运动，,P Q 两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的υ值使得ABP △与PQC △全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）102t -；（2） 2.5t =；（3）存在，=2.4v 或2，理由见解析．【解析】（1）由题意得，2BP t ，102PC BC BP t ，故答案为：102t -；（2）若ABP DCP ≌，，则BP PC =2102t t ，即410t ， 2.5t ∴=∴当 2.5t =时，ABP DCP ≌；（3）存在，理由如下：当,BP CQ AB PC 时，ABP PCQ ≅6AB =，6PC ∴=，1064BP ∴=-=，24t ，2t ∴= 4CQ BP ，24v =，2v ； 当,BA CQ PB PC 时，ABP QCP ≅PB PC =，152BP PC BC ∴===，25t， 2.5t ∴= 6CQ BP ， 2.56v ， 2.4v综上所述，当=2.4v 或2时，ABP △与PQC △全等．【变式训练4】如图，在长方形ABCD 中，4AB =，10AD =，E 为边AD 上的一点，7DE =，动点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边CB 向终点B 运动，连接PE ，BE ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）求BE 的长；（2）若BPE 为直角三角形，求t 的值；（3）若点P 在BE 的垂直平分线上，求PE 的长．【答案】（1）5；（2）7或53；（3）256【解析】（1）根据题意知：3AE AD DE =-=，△5BE ==，△BE 的长为5； （2）①当90BPE ∠=︒时，3BP =，7CP =，△77s 1t ==； ②当90BEP ∠=︒时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，易得7EF t =-，10BP t =-．在Rt EFP △中，易得()22167EP t =+-．在Rt BEP △中，222BP BE EP =+， △()()221025167t t -=++-，解得：5s 3t =； 综上，当t 为7s 或53s 时，BPE 为直角三角形；（3）设PE x =．△P 在BE 的垂直平分线上，△BP PE x ==． 过点E 作EM BC ⊥于点M ．易得3PM x =-．在Rt EPM 中，222EP EM PM =+， △()22163x x =+-，解得：256x ，△PE 的长为256．故答案为：（1）5；（2）7或53；（3）256。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。