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一般物体的平衡问题物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a ）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡．三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c ）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．从能量方面来分析：物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡； 物体系统偏离平衡位置，减少者为不稳定平衡； 物体系统偏离平衡位置，不变者，为随遇平衡．如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置． 随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变．类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）．分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则：在平衡位置，系统的重力势能为(0)2(cos )E L l mg α=-当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为()[cos cos()][cos cos()]E mg L l mg L l θθαθθαθ=-++--2cos (cos )mg L l θθ=-()(0)2(cos 1)(cos )P E E E mg L l θθ∆=-=--故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡．例2．如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
专题一 力 物体的平衡【扩展知识】 1．重力物体的重心与质心重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
质心：物体的质量中心。
设物体各部分的重力分别为G 1、G 2……G n ，且各部分重力的作用点在oxy 坐标系中的坐标分别是（x 1，y 1）（x 2，y 2）……（x n ，y n ）,物体的重心坐标x c ，y c 可表示为x c=∑∑iiiGx G =n n n G G G x G x G x G ++++++ΛΛ212211， y c =∑∑ii i G y G =n n n G G G y G y G y G ++++++ΛΛ2122112．弹力胡克定律：在弹性限度内，弹力F 的大小与弹簧伸长（或缩短）的长度x 成正比，即F=k x ，k 为弹簧的劲度系数。
两根劲度系数分别为k 1，k 2的弹簧串联后的劲度系数可由k 1=11k +21k 求得，并联后劲度系数为k=k 1+k 2. 3．摩擦力最大静摩擦力：可用公式F m =μ0F N 来计算。
F N 为正压力，μ0为静摩擦因素，对于相同的接触面，应有μ0>μ(μ为动摩擦因素) 摩擦角：若令μ0=NmF F =tanφ，则φ称为摩擦角。
摩擦角是正压力F N 与最大静摩擦力F m 的合力与接触面法线间的夹角。
4．力的合成与分解余弦定理：计算共点力F 1与F 2的合力FF=θcos 2212221F F F F ++ φ=arctanθθcos sin 212F F F +（φ为合力F 与分力F 1的夹角）三角形法则与多边形法则：多个共点共面的力合成，可把一个力的始端依次画到另一个力的终端，则从第一个力的始端到最后一个力的终端的连线就表示这些力的合力。
拉密定理：三个共点力的合力为零时，任一个力与其它两个力夹角正弦的比值是相等的。
5．有固定转动轴物体的平衡力矩：力F 与力臂L 的乘积叫做力对转动轴的力矩。
高中物理竞赛——物体的平衡
一、共点力平衡
1、特征：质心无加速度。
2、条件：ΣF = 0 ，或 x F ∑ = 0 ，y F ∑ = 0
例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子
与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重
心位置。
解说：直接用三力共点的知识解题，几何
关系比较简单。
答案：距棒的左端L/4处。
（学生活动）思考：放在斜面上的均质长
方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会
通过长方体的重心吗？
解：将各处的支持力归纳成一个N ，则长方体受三
个力（G 、f 、N ）必共点，由此推知，N 不可能通过
长方体的重心。
正确受力情形如图6所示（通常的受力
图是将受力物体看成一个点，这时，N 就过重心了）。
答：不会。
二、转动平衡
1、特征：物体无转动加速度。
2、条件：ΣM = 0 ，或ΣM + =ΣM -
如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。
3、非共点力的合成
大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。
作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。
掌握了基本的力的知识，我们就来继续探索一下物体的平衡需要哪些有关于力的方程来约束。
回忆一下初中我们如何处理平衡问题？二力平衡：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上 三力平衡（高中）：相互平行的三个力，和二力平衡处理起来没有本质区别；如果三力共点，那么可以用力的矢量三角形法则处理。
也可以用力的正交分解方法处理。
其中三角形的方法比较需要几何知识， 正交分解的方法，比较需要解方程能力。
共点力平衡的正交分解方法：运用坐标系和力的正交分解可以归纳出静力学一般解题步骤。
①受力分析：对题目中每个个体或者你所选定的系统找出其受的各种力，并且画出受力图。
为了防止漏力，要养成按一般步骤分析的好习惯，一般应先分析重力；然后环绕物体一周，找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力（电场力、磁场力）等。
②根据受力分析得到的力是立直角坐标系，要求需要分解的力越少越好。
③根据直角坐标系对各种力进行正交分解（其中某个方向的力可正可负）。
④由平衡关系写出2020Fx Fy ==此即最后的静力学方程。
⑤根据此方程可解出所需要的问题。
取正交分解的时候，我们的原则是，建立一个直角坐标系，最好沿着某一方向上，完全没有某个“无关”的力例题精讲方法提示本讲导学高中物理竞赛专题 力平衡（一）【例1】 均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示，若细线竖直，试分析棒的受力情况。
【例2】 如图三根长度均为l 的轻杆用段链连接并固定在水平天花板上的A 、B两点，AB 两点相距2l ，会在段链C 上悬挂一个质量为m 的重物，要使CD 杆保持水平，则在D 点上应施加的最小力为多少？【例3】 两个质量为M ，半径为R 的相同圆球A 和B ，用两根长为l （2l R =）的绳悬挂于O 点，在两球上另有一质量为m （m nM =），半径为r （2Rr =）的圆球C ，如图，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角θ与n 的关系.【例4】 一重为W 的匀质球静止于倾角为1θ和2θ的两固定斜面之间，如图，设所有接触面都光滑，求斜面作用于球上的力。
力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力 1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
②重心与质心不一定重合。
如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。
如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。
以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.2.巴普斯定理：①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过的路程。
如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。
如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πR x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。
（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。
[答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离92L ] 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x .有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得6R x =. 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得6R x =. (2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的41，中线长度应为原三角形中线长度的21。
专题一力物体的平衡第一讲力的处理矢量的运算1、加法表达：a + b = c o名词：c为“和矢量”。
法则：平行四边形法则。
如图1所示和矢量大小：c = a2b22abco^ ，其中a为a和b的夹角。
和矢量方向：c在a、b之间，和a夹角B = arcs in ------2 2.a b 2abcos:-2、减法表:达：a = c — b o名词：c为“被减数矢量”，b为“减数矢量”，a为“差矢量”法则：三角形法则。
如图2所示。
将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。
差矢量大小：a = ；b2• c2- 2bccosr，其中B为c和b的夹角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。
例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R，周期为T，求它在-T内和4 1在-T内的平均加速度大小。
21解说：如图3所示，A到B点对应-T的过程，A4到C点对应1T的过程。
这三点的速度矢量分别设为2v A、v B和 v C。
图3_v t —V 。
/曰 __V B —V A . _v c —V A a =得：a AB = , a Ac =-tt ABt AC由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量.：V 1= V B — V A ，厶v 2= v c — V A ,根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（：V2的“三角形”已被拉 伸成一条直线）。
本题只关心各矢量的大小，显然：V A = V B = V c = 2JI R且.T■：v 1 = . 2 v A =2 2二 RTL V2 = :2 V A =4 二 R 'T2 2 二R4二 R所以： a AB =v 1 _ T =8 2 二Ra■ A V 2T - 8二 Rt ABT T 2ACt ACT T 242观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答：否；不是。
话题15：物体平衡的种类一、物体的平衡状态（简称物体的平衡）物体相对于地面处于静止、匀速直线运动或匀速转动的状态，称为物体的平衡状态，简称物体的平衡．物体的平衡包括共点力作用下物体的平衡、具有固定转动轴的物体的平衡和一般物体的平衡．当物体受到的力或力的作用线交于同一点时，称这几个力为共点力．物体在共点力作用下，相对于地面处于静止或做匀速直线运动时，称为共点力作用下物体的平衡．当物体在外力的作用下相对于地面处于静止或可绕某一固定转动轴匀速转动时，称具有固定转动轴物体的平衡．当物体在非共点力的作用下处于平衡状态时，称一般物体的平衡．二、解决物体的平衡问题的一般思路解决共点力作用下物体的平衡问题，或具有固定转动轴物体的平衡问题，或一般物体的平衡问题，首先把平衡物体隔离出来，进行受力分析，然后根据共点力作用下物体的平衡条件：物体所受的合外力为零，即0F =∑（如果将力正交分解，平衡的条件为：0xF=∑、0y F =∑）；或具有固定转动轴的物体的平衡条件：物体所受的合力矩为零，即0M =∑；或一般物体的平衡条件：0F =∑；0M =∑列方程，再结合具体问题，利用数学工具和处理有关问题的方法进行求解．三、物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种．1、稳定平衡处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。
如带正电小球处在两等量正电荷小球连线的中点时。
如图()a 中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的．2、不稳定平衡处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使()a物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。
如带正电的小球处在两个带等量负电荷小球连线的中点时。
如图()b 中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡．3、随遇平衡处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。
高一物理竞赛用题------力—物体平衡一、选择题1、如图所示，均匀细杆AB 质量为M ，A 端装有转轴，B 端连接细线通过滑轮和质量为m 的重物C 相连，若杆AB 呈水平，细线与水平方向夹角为θ 时恰能保持平衡，则杆对轴A 有作用力大小下面表达式中正确的有 （）（A ）mg ， （B ）Mg 2 sin θ，（C ）M 2－2Mm sin θ＋m 2g ，（D ）Mg －mg sin θ。
2．如图所示，物体在水平力F 的作用下静止在斜面上，若稍许增大水平力F ，而使物体仍能保持静止时，则下列说法正确的是：( ) A 、斜面对物体的静摩擦力及支持力一定增大 B 、斜面对物体的静摩擦力及支持力都不一定增大C 、斜面对物体的静摩擦力一定增大，支持力不一定增大D 、斜面对物体的静摩擦力不一定增大，支持力一定增大3、一块砖放在一足够长的倾斜木板上，在砖下滑过程中，将板放下至水平，则砖受到的摩擦力大小的变化可能是：( )A 、一直增大；B 、一直减小；C 、先增大后减小；D 、先减小再增大。
4、原长相同，劲度系数分别是k 1 k 2 k 3 的三个轻质弹簧（已知k 1>k 2>k 3）分别如图（a ）、(b)、（c ）三种方式组成弹簧组，每个钩子与悬点的距离相等，当在每个钩子上挂上相同质量的物体后 （ ）A （a ）图中弹簧组的伸长量最大B （b ）图中伸长量最大C （c ）图中弹簧组的伸长量最大D 三图中弹簧组伸长量一样大 5、 一个质点受到如图所示的五个共点力F 1、F 2、F 3、F 4、F 5的作用，则物体所受合力大小为（ ） （A ）0，（B ）2 F 5，（C ）F 1+ F 2+ F 3+F 4+F 5，（D ）F 1+ F 2+ F 3+F 4。
6、如图所示装置，平板重300N ，滑轮及绳重不计，一切摩擦不计，要使整个装置静止，则p 物重力的最小值为（ ） （A ）300N （B ）200 N （C ）150 N （D ）100 N 。
力 物体的平衡【基本内容】：1、力学中常见的几种力重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下。
重力实际上是地球对物体引力的一个分力，另一个分力提供提供物体随地球自转所需的向心力。
弹力 物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。
在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量（伸长量或缩短量）成正比。
F kx =-，k 为劲度系数，x 为形变量。
摩擦力 摩擦力分为滑动摩擦力和静摩擦力两种，当一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，方向沿接触面的切线且与相对运动或相对运动趋势相反。
滑动摩擦力的大小由公式f N μ=计算，动摩擦因数μ是由接触面的情况和材料决定。
2、共点力作用下物体的平衡如果几个力作用在物体上，且交于一点或几个力的作用线交于一点，这几个力叫做共点力。
如果物体只受三个力作用，一般根据两个力的合力同第三个力等值反向做出平行四边形，解决问题，处理方法有勾股定理、正弦定理和余弦定理，有时也根据根据相似三角形的关系列方程。
如果物体受到三个以上的共点力作用，一般可用正交分解法。
物体的平衡包括静平衡和动平衡，即有静止、匀速直线运动、匀速转动三种平衡状态。
3、有固定转动轴物体的平衡力矩 力与力臂（转动轴到力的作用线之间的距离）的乘积称为力矩，记为M Fd =，它是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，单位为N m ⋅。
力偶与力偶矩 作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的一对力偶。
力偶对物体只有转动作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。
力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂等于两个平行力的作用线之间的距离。
4、一般物体的平衡力对物体的作用效果可以改变物体的运动状态，物体所受的合力对物体的平动有影响，而合力矩对物体的转动有影响，当这两种影响都不存在时，物体处于平衡状态。
所以受任意的（共点的）平面力系作用的物体，平衡条件为000()x y i F F M ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑对任一转轴 这三个方程组成平面内任意力系的平衡方程式。
值得注意的是，所有力对于某一点的力矩代数和为零时，则对任一点的力矩代数和都等于零，因此，上述方程组中只能有一条力矩平衡方程。
当然，平衡方程组也可用两个力矩平衡方程来表示，即A 000x i Bi F M M ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑其中直线AB 不能与x 轴垂直。
若用三个力矩平衡方程表示物体的平衡条件，需注意：选作转轴的三点A 、B 、C 不能再同一直线上。
对于空间力系，一般可列出六个独立平衡方程，即所有力在任意x 轴上投影的代数和为零（三个方程），所有力对任意x 轴力矩的代数和为零（三个方程）。
5、平衡的稳定性物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
平动平衡的稳定性 处在平衡状态的质点，当受到扰动时，会稍稍偏离平衡位置。
这时会产生合外力。
当平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，如果这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡；如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡；如果这物体所受合外力仍为零，且能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡就叫随遇平衡。
例如，位于光滑碗底的质点处于稳定平衡状态；位于光滑圆球顶端的质点处于不稳定平衡状态，位于光滑水平面上的质点处于随遇平衡状态。
一个质点可以在一个方向处于某种平衡状态，而在另一个方向处于另一种平衡状态。
例如，一个质点位于内壁光滑的水平直管底部，对于平行于管轴方向的扰动，处于随遇平衡，对于垂直于管轴方向的扰动，则处于稳定平衡状态。
显然，对于受共点力作用但不能看成质点的物体的平衡可同样讨论。
这一类属平动平衡。
转动平衡的稳定性 相对固定轴可以转动的物体处于平衡时，若受到外界扰动而偏离平衡位置，产生合外力矩。
如果合外力矩是一个回复力矩，即此合外力矩有把物体拉回原平衡位置的倾向，那么称原物体的平衡处于稳定的转动平衡状态。
同样，可给出不稳定转动平衡状态和随遇转动平衡状态的定义。
无固定转轴物体平衡的稳定性 对于无固定转轴物体，当它受到外界扰动而偏离平衡位置时，会产生合外力和合外力矩。
如果合外力是平动回复力，合外力矩是转动回复力矩，那么会有被拉回到平衡位置的倾向，则原物体的平衡位置处的平衡是稳定的。
同样，可给出不稳定平衡和随遇平衡的定义。
而且，物体可以在平动方面处于一种平衡状态，而在转动方面处于另一种平衡状态；对于同一种平动平衡状态，可以在一个方向上处于一种平衡状态，在另一个方向上处于另一种平衡状态。
6、液体静平衡静止流体内的压强 液体内部某点处的压强与方向无关，可用公式p gh ρ=计算，式中的h 是指从该点到液面的距离。
浮力 浮力是物体在流体中所受压力的合力，浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它排开流体的重量，即F gV ρ=，浮力的方向竖直向上。
浮力的作用点称为浮心。
浮心就在与浸没在流体中的物体同形状、同体积的那部分流体的重心处，但它不等同于物体的重心，只有在物体密度均匀时，浮心才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。
物体平衡的稳定性 物体处于漂浮状态时，所受的浮力与重力是一对平衡力。
处于漂浮状态的物体，其平衡的稳定性，就其所受扰动方式的不同而不同。
对于竖直方向的扰动，其平衡是稳定的；对于水平方向的扰动，其平衡是随遇的；对于过质心的水平轴的旋转扰动，其平衡的稳定性又视其具体情况而定，若偏离平衡位置后，重力和浮力的合力矩促使物体恢复到原来位置，其平衡是稳定的，若重力和浮力的合力矩促使物体倾倒，这时物体的平衡是不稳定的。
【例题】：例1 如图所示，质量为m 的物体静置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的静摩擦因数为μ。
试问，至少要用多大的力作用在物体上才能使物体运动？解 如图所示，设F 的方向与斜面的夹角为α，由图示的物体受力情况以及使物体产生运动的条件，得cos sin 0F mg f αθ+-= sin cos N F mg αθ+= 将f N μ=代入上面两式得cos sin cos sin F mg μθθαμα-=+ 当α取某一值时，可使F 的值达到最小，上式可写成cos sin 1)F mg μθθμαα-=+设sin β=cos β=，tan βμ=于是F ==由上式可知当arctan αβμ==时，所需的力F 最小，其值为F =例2 半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为2a π，2Ra =，绳圈的劲度系数为K ，将圈从球的正上方轻放到球上，并使其绳圈沿球表面向下平移，绳圈伸长，先用手扶着绳圈使其各部分都在同一水平面内，最后松手后绳圈能停留在某平衡位置，如图所示。
考虑重力，不计摩擦。
（1）设平衡时绳圈长2b π，b =，求K 值。
（2）若22MgK Rπ=，求绳圈的平衡位置。
解 （1）设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上，在绳圈上任取一小段，长为b ϕ∆，质量为22M m b M b ϕϕππ∆∆=⋅∆=（ϕ∆很小）.b这一小段绳圈在水平面内，两端受张力T 的作用；竖直平面内受重力mg ∆，方向竖直向下；球面的支持力为N ，方向沿半径R 指向球外。
正视图和俯视图分别如图（a ）和（b ）所示。
由于ϕ∆很小，sin 22ϕϕ∆∆≈，因此两端张力的合力为2sin 2()2T T K b a ϕϕπϕ∆≈∆=-⋅∆，位于水平面内，指向绳圈的圆心。
重力mg ∆、球面支持力N 和张力合力T ϕ∆都在同一平面内。
当绳圈处于平衡状态时，这三个力的合力为零，可得sin 0N T θϕ-∆= ① cos 0N mg θ-∆= ② 由①、②两式，得22()4()tan 2T K b a K b a mg Mg Mg ϕπϕπθϕπ⋅∆-⋅∆-===∆∆ ③又因为tan 1θ=== 由③式，有22tan 1)4()2Mg MgK b a R θππ===- (2)若22MgK Rπ=时，将它代入③式，得 2()tan b a R θ-=，其中sin b R θ=，2Ra =即 2tan (sin )2sin 12RR R θθθ=-=-sin 2sin 1cos θθθ=- sin 2sin cos θθθ=+ 上式平方后得2sin 2sin 21θθ=+ ④T ϕ∆(a)(b)在90θ≤的范围内，0sin 21θ≤≤，④式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。
例3 人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆，要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置，试求杆与地板间的最小动摩擦因数。
解 当杆与水平面成倾斜角α时，受力如图所示，设杆长为2l ，取重力和人作用于杆的力F 作用线的交点O 为轴，根据平衡条件得21sin cos (1sin sin )sin Nl fl fl ααααα+=+=因此 222cos sin cos sin 1sin 2sin cos 12tan cot f N N N ααααααααα=⋅=⋅++=⋅+ 要使杆不滑动，须满足f N μ≤即12tan cot μαα≥+因为 2tan cot 2αα+=为正值，所以当 2tan cot αα=即tan α=有最小动摩擦因数min μ=例4 如图所示，一根细棒，上端A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等。
两棒限于图示的竖直面内运动，且不计较铰链处的摩擦。
当在C 端加一个适当的外力，（在纸面内），可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角为90，且C 端正处在A 端的正下方。
（1）不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理（2）如果AB 棒的质量1 1.0m kg =，BC 棒的质量2 2.0m kg =，求此外力的大小和方向。
解 （1）先用隔离法考虑BC 棒，以B 为转轴，其重力的力矩与F 的力矩平衡，可知F的方向必须作用在BC 棒左侧向上。
再用整体法考虑ABC 的平衡：系统除受重力1m g 、2m g 的作用外，还受铰链A 处的拉力T 和C 处的外力F 作用而平衡。
由共点力平衡条件可知，力F 的作用线应指向棒AB ，且与重力作用线相交，如图所示。
(2)设棒长为L ，F 与AC 线的夹角为θ，用整体法考虑ABC 以A 为转轴的力矩平衡，有12sin ()sin 452LF m m g θ⋅=+⋅⋅再用隔离法考虑BC 棒以B 为转轴的力矩平衡，有 2sin(45)sin 452LF L m g θ⋅⋅-=⋅ 联立解得18.7()F g N ==sin 0.395θ==arcsin0.395θ=例5 半径为r 、质量为m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两相互接触。
