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数据统计分析实战作业指导书第1章数据统计分析基础 (3)1.1 数据统计分析概述 (3)1.2 数据类型与数据来源 (3)1.3 统计分析方法简介 (3)第2章数据清洗与预处理 (4)2.1 数据清洗 (4)2.1.1 缺失值处理 (4)2.1.2 异常值处理 (4)2.1.3 重复值处理 (4)2.1.4 数据类型转换 (4)2.2 数据整合与转换 (4)2.2.1 数据整合 (4)2.2.2 数据转换 (4)2.2.3 数据聚合 (4)2.3 数据规范化与标准化 (5)2.3.1 数据规范化 (5)2.3.2 数据标准化 (5)第3章描述性统计分析 (5)3.1 频数与频率分析 (5)3.1.1 频数分析 (5)3.1.2 频率分析 (5)3.2 集中趋势分析 (5)3.2.1 均值分析 (6)3.2.2 中位数分析 (6)3.2.3 众数分析 (6)3.3 离散程度分析 (6)3.3.1 极差分析 (6)3.3.2 方差与标准差分析 (6)3.3.3 离散系数分析 (7)3.4 分布形态分析 (7)3.4.1 偏态分析 (7)3.4.2 峰度分析 (7)第4章概率论基础 (7)4.1 随机事件与概率 (7)4.1.1 随机试验与样本空间 (7)4.1.2 随机事件及其运算 (8)4.1.3 概率的定义与性质 (8)4.1.4 条件概率与独立性 (8)4.2 离散型随机变量 (8)4.2.1 离散型随机变量的定义 (8)4.2.2 离散型随机变量的概率分布 (8)4.2.3 常见离散型随机变量 (8)4.3 连续型随机变量 (8)4.3.1 连续型随机变量的定义 (8)4.3.2 连续型随机变量的概率密度 (8)4.3.3 常见连续型随机变量 (8)第5章假设检验 (9)5.1 假设检验概述 (9)5.2 单样本t检验 (9)5.3 双样本t检验 (9)5.4 卡方检验 (9)第6章方差分析 (10)6.1 方差分析概述 (10)6.2 单因素方差分析 (10)6.3 多因素方差分析 (10)6.4 重复测量方差分析 (10)第7章相关分析与回归分析 (10)7.1 相关分析 (10)7.2 线性回归分析 (11)7.3 多元回归分析 (11)7.4 非线性回归分析 (11)第8章主成分分析与因子分析 (11)8.1 主成分分析 (11)8.1.1 主成分分析原理 (11)8.1.2 主成分分析的计算步骤 (11)8.1.3 主成分分析的应用场景 (11)8.2 因子分析 (12)8.2.1 因子分析原理 (12)8.2.2 因子分析的计算步骤 (12)8.2.3 因子分析的应用场景 (12)8.3 主成分分析与因子分析的应用 (12)8.3.1 在金融领域的应用 (12)8.3.2 在生物信息学领域的应用 (12)8.3.3 在社会学研究中的应用 (12)8.3.4 在教育领域的应用 (12)第9章时间序列分析 (13)9.1 时间序列概述 (13)9.2 平稳性检验与预处理 (13)9.3 时间序列模型构建 (13)9.4 预测与评估 (13)第10章机器学习与数据挖掘 (13)10.1 机器学习概述 (13)10.2 数据挖掘任务与算法 (14)10.3 分类与预测 (14)10.4 聚类分析与应用 (14)第1章数据统计分析基础1.1 数据统计分析概述数据统计分析是指运用统计学原理和方法，对收集到的数据进行处理、分析和解释的过程。
实验数据的统计与误差分析方法引言：在科学研究中，实验数据的统计与误差分析方法是十分重要的。
通过对数据进行统计分析和误差分析，可以更加客观地评估实验结果的可靠性和准确性。
本文将介绍实验数据的统计分析方法和误差分析方法，并提出一些相关的实践经验。
一、实验数据的统计分析方法实验数据的统计分析方法主要包括描述统计和推断统计。
描述统计是对数据的基本特征进行总结和描述，推断统计则是通过样本数据对总体参数进行推断。
1. 描述统计描述统计主要包括以下几种方法：（1）中心位置度量：即对数据的集中趋势进行度量，常用的指标有算术平均值、中位数和众数。
算术平均值是最常用的中心位置度量指标，能够反映数据的总体情况。
（2）离散程度度量：即对数据的分散程度进行度量，常用的指标有标准差、方差和极差。
标准差是最常用的离散程度度量指标，能够反映数据的波动情况。
（3）偏态度和峰态度量：即对数据的分布形态进行度量，常用的指标有偏态系数和峰态系数。
偏态系数描述了数据分布的偏斜程度，峰态系数描述了数据分布的陡缓程度。
2. 推断统计推断统计主要包括以下几种方法：（1）参数估计：通过样本数据对总体参数进行估计，常用的方法有点估计和区间估计。
点估计是直接用样本数据估计总体参数的值，区间估计是用样本数据确定总体参数的置信区间。
（2）假设检验：通过样本数据对总体参数的某个假设进行检验，常用的方法有抽样分布检验和假设检验。
抽样分布检验是根据样本数据构建抽样分布，通过比较样本统计量与抽样分布的关系判断总体假设的合理性；假设检验是通过计算样本统计量的概率值，判断总体假设的接受程度。
二、误差分析方法误差是实验数据与真实值之间的差异，误差分析是对误差进行评估和分析的过程。
误差分析方法主要包括系统误差和随机误差的分析。
1. 系统误差分析系统误差是由于实验过程中存在的系统偏差或定性转换引起的误差。
系统误差的来源可以是仪器的误差、环境的影响、实验操作的不准确等。
系统误差分析的方法包括以下几步：（1）确定系统误差的来源和机理；（2）采用适当的方法进行实验设计，降低系统误差；（3）对实验数据进行分析和处理，比较不同条件下的实验结果，确定系统误差的大小。
概率与统计中的误差分析概率与统计是数学中非常重要的一门学科，它研究了现实世界中不确定性的问题。
然而，由于各种原因，无论是实验误差、测量误差还是样本误差，我们在进行数据分析时都会面临误差。
因此，误差分析是概率与统计中至关重要的一环。
本文将详细探讨概率与统计中的误差分析，从误差来源、误差类型到误差控制的方法。
一、误差来源误差来源是指导致数据分析结果与真实情况存在差异的原因。
在概率与统计中，常见的误差来源包括实验误差、测量误差和样本误差。
实验误差是指在进行实验过程中，由于设备不准确或操作不规范等原因导致的误差。
例如，在进行物理实验时，温度计的刻度可能存在误差，导致测量结果出现偏差。
测量误差是指在测量过程中，仪器本身存在的误差。
无论仪器有多么精确，都会存在测量误差，这是由于测量仪器制造过程中的不完美性所导致的。
比如，在进行长度测量时，使用的尺子可能并不完全准确，这就会引入误差。
样本误差是指从总体中抽取样本进行统计分析时，由于样本抽取方法不准确或样本量不足所导致的误差。
例如，在进行市场调查时，如果只针对某一特定群体进行样本调查，可能会导致样本误差。
二、误差类型误差分析中，误差通常可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是指在进行数据采集或测量时，由于固有的因素或者仪器的缺陷导致的误差。
系统误差通常具有一定的方向性和稳定性，可以通过校正或调整来减少。
随机误差是指在进行实验或测量时，由于各种无法控制的随机因素而产生的误差。
随机误差通常是不可预测的，无法通过校正或调整来消除，但可以通过多次重复实验或测量来减小其对结果的影响。
三、误差控制方法为了减小误差对数据分析结果的影响，概率与统计中采用了一系列的误差控制方法。
首先，合理设计实验和测量过程是减小误差的关键。
在实验中，应尽量控制实验条件的一致性，减小实验误差的影响。
在测量中，应使用准确可靠的仪器，并进行定期校准和维护。
其次，增加样本量可以减小样本误差。
样本量越大，与总体的接近程度就越高，样本误差就越小。
目录实验一描述性分析实验二正态总体的均值检验实验三非参数检验实验四方差分析实验五回归分析实验六判别、聚类分析实验七主成分分析实验八因子分析实验一描述性分析【实验目的】1.掌握数字特征的计算（A）；2. 掌握相关矩阵计算（A）。
【实验原理】数据分析是指用适当的统计方法对收集来的大量第一手资料和第二手资料进行分析，以求最大化地开发数据资料的功能，发挥数据的作用；是为了提取有用信息和形成结论而对数据加以详细研究和概括总结的过程。
要对数据进行分析，当然要分析数据中包含的主要信息，即要分析数据的主要特征，也就是说，要研究数据的数字特征。
对于数据的数字特征，要分析数据的集中位置、分散程度。
数据的分布是正态的还是偏态等。
对于多元数据，还要分析多元数据的各个分量之间的相关性等。
【实验项目设计】1.给定一组单变量数据，分组计算均值、方差、Q1、Q3、偏度、峰度。
2.给定一组多变量数据，计算相关矩阵。
【实验内容】一、单样本的数字特征计算(习题1.4) 从某商店的营业日中随机抽取12天,得日营业额数据为（单位：万元）：12.5, 17.2, 9.1, 25.4, 31.2, 20, 18.9, 22.8, 21.1, 17.8, 25.1, 27.7试求样本均值、样本方差、样本变异系数、样本中位数、上样本四分位数、下样本四分位数、样本四分位数间距和极差。
1. 建数据集Data d4;Input x @@;Cards;12.5 17.2 9.1 25.4 31.2 20 18.9 22.8 21.1 17.8 25.1 27.7;Run;2. 使用“SAS/ 分析家”菜单(1)打开“分析家”界面。
选择SAS界面的级联菜单：“解决方案”➢“分析”➢“分析家”。
(2)调出数据文件Work.D4 。
在界面的空白处，右键弹出菜单，选择级联菜单：“文件”➢“按SAS名称打开”。
依次选择逻辑库和文件对象，分别为“Work”、“D4”，单击“确定”按钮。
统计与统计分析A2实验指导书【试验目的】通过实验教学，使学生验证并加深理解和巩固课堂教学内容，掌握常用统计分析方法在Excel和SPSS中的实现，更好的理解和掌握统计分析方法的应用原理、基本条件、实现步骤、结果的内涵等问题。
通过实验，使学生能够结合具体任务和条件对社会经济问题进行初步的调查研究，结合自己的专业，在定性分析基础上做好定量分析，提高学生的科研能力和解决实际问题的能力，以适应社会主义市场经济中各类问题的实证研究、科学决策和经济管理的需要。
【试验内容】Excel和SPSS中的统计分析功能，包括：1、数据的整理与显示，包括数据的排序与筛选、数据透视表与分类汇总、制作频数分布表和绘制各种统计图。
计算描述统计量，选择适合的描述统计量反映统计数据的集中和离中趋势。
2、SPSS的参数检验，包括单样本的T检验，两独立样本的T检验及配对样本的T检验。
3、SPSS的方差分析。
4、相关与回归分析，包括Excel及SPSS中相关系数的计算、一元线性回归的基本方法、同时了解各种检验指标的给出、残差图、线性拟合图的制作等问题。
【实验要求】1、按学校要求的试验报告格式打印。
2、用WORD文档输出，宋体，5号。
实验一SPSS统计数据整理与分析一、实验目的：根据统计调查目的，应用SPSS11.0软件或12.0，生成SPSS文件，并学会运用SPSS11。
0软件，对数据进行整理及分析。
二、操作平台：SPSS11.0或12.0三、统计分析内容：1、搜集信管091-092班一门课的成绩（每位同学收集的课程尽量不一样），但需包括所有同学，分析两个班成绩的差异，并给出有建设性的意见。
（可用excel也可以用spss进行分析）2、振兴大学是一所综合性大学,有三个附属学院,分别是商贸学院、生物学院和医学院。
近期高校管理层为了了解社会对本校学生的满意程度，以此促进本校教学改革，其中进行了一项对本校的毕业生调查，随机抽取了48名毕业生组成样本，要求他们所在的工作单位对其工作表现、专业水平和外语水平三个方面的表现进行评分，评分由0到10，分值越大表明满意程度越高。
数据分析技术作业指导书一、概述数据分析技术作为一种重要的工具，已经在各个领域得到广泛应用。
本指导书旨在帮助学生掌握数据分析技术的基本原理和方法，以及如何应用这些技术进行实际的数据分析工作。
二、数据收集和清洗1. 数据收集数据收集是数据分析的第一步，学生需要了解如何获取数据。
可以从互联网上下载已有的数据集，也可以自行设计实验或调查来收集数据。
数据的来源应当可靠，并且数量足够以保证分析的可靠性。
2. 数据清洗在进行数据分析之前，学生需要对原始数据进行清洗。
这包括处理缺失数据、异常值、重复值等。
清洗后的数据应当准确无误，才能保证后续分析的准确性。
三、数据探索和可视化1. 数据探索数据探索是了解数据的基本特征和关系的过程。
学生需要运用一些统计方法，如计算均值、方差、相关系数等，以了解数据的分布和变化情况。
此外，还可以使用一些探索性数据分析方法，如频率分析、箱线图等，来揭示数据中的模式和规律。
2. 数据可视化数据可视化是将数据进行图表展示的过程。
学生需要熟悉基本的图表类型，如柱状图、折线图、散点图等，并了解何时使用何种图表来呈现数据。
同时，还可以运用一些高级的可视化方法，如热力图、雷达图等，来更加直观地展示数据的特征。
四、数据分析方法1. 描述性统计描述性统计是对数据进行总结和描述的过程。
学生需要熟悉一些常用的描述性统计方法，如平均数、中位数、标准差等，并能够运用这些方法对数据进行分析和解释。
2. 预测性分析预测性分析是基于历史数据来预测未来趋势和结果的过程。
学生需要了解一些预测性分析方法，如时间序列分析、回归分析等，并能够运用这些方法对未来进行预测和评估。
3. 关联性分析关联性分析是寻找数据之间的相关关系的过程。
学生需要掌握一些关联性分析方法，如相关分析、卡方检验等，并能够运用这些方法来探索数据中的关联关系。
五、数据分析实践在数据分析实践中，学生需要运用所学的数据分析技术来解决实际问题。
可以根据老师布置的作业或者自己感兴趣的问题来选择数据集和分析方法。
《概率论与数理统计》实验指导书【课程性质、目标和要求】课程性质:概率论与数理统计实验是与《概率论与数理统计》课程相配套的数学实验，它是为了理解和巩固这门课而设计的。
教学目标：通过本实验的教学，使学生掌握处理随机数据的基本方法，以及获得建立某些实际问题的模拟能力，并深刻理解概率与数理的思想方法。
教学要求：本实验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理统计》相配套的数学实验，所以，实验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理论指导下开展数学实验。
在实验供应结合生产科研的实际问题，进行解决实际问题能力的实践性环节的培养。
概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，通过本实验(我们以excel为平台，教师也可选其它数学软件．Excel电子表格软件是微软办公软件组的核心应用程序之一，它功能强大，操作简单，适用范围广，普遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、统计分析、图表制作等各个方面。
其数据分析模块简单直观，操作方便，是进行概率与统计学教学的首选软件)，我们可以了解随机现象及其发生的概率，模拟系统的变化规律。
鉴于该课程的特点，为更好地实现教学目标，我们开发以下16个实验。
教师可以根据教学情况选其中6个试验进行教学。
【教学时间安排】实验一 Excel的基本使用方法和技巧1、问题的背景概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，如何对实践中的随机现象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理统计实验课程的重要内容．鉴于Excel的通俗易懂和应用的普适性，我们采用Excel来实现概率论与数理统计课程实验。
因此，对Excel 的基本应用成为本门课程的基础．2、实验目的要求（1）学习和掌握Excel的调用程序．（2）学习和掌握Excel的基本命令．（3）学习和掌握Excel的有关技巧．（4）掌握基本统计命令的使用方法3、实验主要内容在各种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作方便著称，赢得了广大用户的青睐．本实验学习一些经常使用的技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来实验的效率．（一）基本命令(1) 快速定义工作簿格式(2) 快速复制公式(3) 快速显示单元格中的公式(4) 快速删除空行(5) 自动切换输入法(6) 自动调整小数点(7) 用“记忆式输入”(8) 用“自动更正”方式实现快速输入(9) 用下拉列表快速输入数据（二）基本统计函数（1）描述性统计（2）直方图4、实验仪器设备计算机和数学软件实验二随机事件的模拟-----模拟掷均匀硬币的随机试验1、问题的背景抛硬币实是一个古老而现实的问题，我们可以从中得出许多结论．但要做这个简单而重复的试验，很多人没有多余的时间或耐心来完成它，现在有了计算机的帮助，人人都可很短的时间内完成它．2、实验目的要求（1）学习和掌握Excel的有关命令（2）了解均匀分布随机数的产生（3）掌握随机模拟的方法．（4）体会频率的稳定性．3．实验主要内容抛硬币试验：抛掷次数为n．对于=n20，50，100，1000，10000各作5次试验．观察有没有什么规律，有的话，是什么规律．4、实验仪器设备计算机和数学软件实验三随机模拟计算π的值----蒲丰投针问题1、问题的背景：在历史上人们对π的计算非常感兴趣性，发明了许多求π的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求π的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法．2、实验目的要求本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来的随机模拟法，从中体学会到新思想产生的过程．（1）学习和掌握Excel的有关命令（2）掌握蒲丰投针问题（3）理解随机模拟法（4）理解概率的统计定义3、实验主要内容蒲丰投针问题：下面上画有间隔为(0)d d>的等距平行线，向平面任意投一枚长为()l l d<的针，求针与任一平行线相交的概率．进而求π的近似值．对于n=50，100，1000，10000，50000各作5次试验，分别求出π的近似值．写出书面报告、总结出随机模拟的思路．4、实验仪器设备计算机和数学软件实验四综合实验---敏感性问题调查1、问题的背景在问卷调查中，被调查者由于种种原因不愿意回答问题，这类问题就是敏感性问题．对敏感性问题的调查方案，关键要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密．进而能根据调查问题的特点，科学设计调查表，合理制定调查程序，分析调查结果是一个有趣的问题．2、实验目的要求（1）学习和掌握利用概率统计解决实际问题的技能．（2）学习和掌握对敏感性问题调查的基本方法和措施．（3）学习和掌握敏感性问题调查的有关技巧．3、实验主要内容确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率、或某社区居民参加赌博的比率、或某社区居民吸毒的比率、或某城市经营者偷税漏税户的比率、或某学校学生考试作弊的比率．调查方案的设计及操作程序：调查问题的设计、调查操作程序，调查样本容量的确定。
概率与统计中的误差分析在概率与统计学中，误差分析是一项至关重要的任务。
准确地评估和解释测量结果的误差对于实现可靠的数据分析至关重要。
本文将探讨概率与统计学中的误差分析，重点介绍误差来源、误差类型以及误差分析的方法与应用。
一、误差来源在概率与统计学中，误差可以来自多个方面。
主要的误差来源包括以下几个方面：1. 观测误差：观测误差是由于实际观测量与真实值之间的差异导致的误差。
观测误差可能是由于实验设备的限制、采样方法的不完善或人为误差等原因引起的。
2. 随机误差：随机误差是由于实验或观测过程中的随机因素引起的误差。
比如，在进行重复观测时，由于随机因素的存在，每次观测结果可能会有一定的偏移。
随机误差通常通过多次观测或重复实验进行平均处理来减小。
3. 系统误差：系统误差是由于实验或观测过程中的常态性偏差引起的误差。
系统误差可能源于仪器漂移、环境条件变化、实验方法不当等原因。
系统误差通常是固定的，可以通过校正或补偿来减小。
二、误差类型在概率与统计学中，误差可以分为以下几种类型：1. 绝对误差：绝对误差是指观测值与真实值之间的差异的绝对值。
绝对误差可以直接反映出观测结果的准确程度。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之比。
相对误差通常以百分比或小数形式给出，用于比较不同观测结果的准确性。
3. 标准误差：标准误差是指多次观测结果的标准差。
标准误差可以用来评估观测结果的稳定性和可靠性。
三、误差分析方法与应用在概率与统计学中，有多种方法可以进行误差分析。
1. 线性回归分析：线性回归分析可以通过拟合最佳直线来评估自变量和因变量之间的误差。
线性回归模型可以用于预测和估计观测结果的误差范围。
2. 方差分析：方差分析是一种常用的误差分析方法，它可以用于比较多个观测结果间的误差差异。
方差分析可以帮助确定哪些因素对观测结果的误差有显著影响。
3. 假设检验：假设检验可以用于评估观测结果与设定理论值之间的差异是否显著。
假设检验可以帮助确定观测结果是否受到显著误差的影响。
实验数据分析中的 误差、概率和统计§1 实验测量及误差§2 粒子物理实验的测量数据 §3 粒子物理实验的数据分析§1 实验测量及误差大量科学问题（自然科学、社会科学）的研究与解决依赖于实验或测量数据（包括统计数据）。
§1.1 实验测量的目的及分类 》目的：得到一个或多个待测量的数值及误差（确定数值）； 确定多个量之间的函数关系（寻找规律，确定分布）。
》分类：1. 测量方式直接测量 － 用测量仪器直接测得待测量 （尺量纸的长度） 间接测量 －直接测量量为x ，待测量为y ，y 是x 的函数 ()y f x =例如待测量为大楼高度h ，实测量为距离和仰角,x θ， 则tan h x θ=。
绝大部分问题是间接测量问题。
2. 测量过程静态测量 － 待测量在测量过程中不变多次测量求得均值动态测量 － 待测量在测量过程中变化 例雷达站测离飞行气球的距离多次测量求得气球的运动轨迹3. 测量对象待测量 － 固定常量 待测量 － 随机变量例放射源单位时间内的计数 （假定寿命极长） 每次测量值不一定相同。
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·235·粒子物理实验数据分析中处理的都是间接、动态、随机变量的测量和处理问题。
随机变量――一次测量所得的值是不确定的，无穷多次测量，一定测量值的概率是确定的。
（统计规律性） 离散随机变量――测量值是离散的分立值（掷硬币和扔骰子试验） 二项分布、泊松分布、多项分布。
连续随机变量――测量值一个区间内的所有值均匀分布、指数分布、正态分布、2χ分布、F 分布、t 分布。
描述随机变量的特征量――概率分布或概率密度非负性、 可加性、 归一性()0.f x ≥ 233121()()().xxxx x x f x dx f x dx f x dx +=⎰⎰⎰ () 1.f x dx Ω=⎰()0.i P x ≥ ()()().i j i j P x x P x P x ⋃=+ 1() 1.ni i P x ==∑期望值（概率意义上的平均值）离散型()()i i iE X x p x μ==∑连续型 ()xf x dx Ω=⎰方差（标准离差σ的平方）离散型 2()()(),i i iV X x p x μ=-∑连续型 2()()().V X x f x dx Ωμ=-⎰§1.2 测量误差及其分类1．报导误差的重要性• 物理量的测量值及其误差是衡量其可靠性及精度的依据。
• 没有误差的结果是没有意义的，因而是无法引用的。
• 要改正只给测量中心值、不给误差的坏习惯。
·236· 实验物理中的概率统计2．误差分类• 过失误差（粗差）－过失造成的误差操作、记录、运算中的错误，测量条件的突然改变…。
• 统计误差（随机误差）－ 待测量为随机变量，服从某种概率分布 统计误差一般为待测量（随机变量）的标准差。
x μσ=±，x σσμ+-+-=。
μ一般理解为期望值。
• 系统误差 － 测量仪器、方法、理论模型的误差 测量环境变化导致的误差 测量仪器、测量方法的误差测量所依据的理论模型、（经验公式）的误差 ……导致系统误差的因素一般可分为带有随机性质和不带有随机性质的两类。
带有随机性质的系统误差由其分布的标准差决定。
不带随机性质的系统误差，由于有多种来源，每种来源导致的误差大小和符号不易确定，通常只能一起处理，考虑为一个随机变量。
系统误差的分析是一件特别复杂的、细致的工作，只能针对具体问题具体分析。
系统误差的分析是一件特别费时的工作, 往往占分析工作70%以上的时间• 系统误差的随机性质－－许多情况下，测量仪器或设备对一个常数值的物理量的测定过程中包含了许多随机过程，对同一个常数值的物理量的多次测定成为一个分布，即测定值成为一个随机变量。
李雅普诺夫中心极限定理： 设相互独立的随机变量12,,,n X X X 有有限的数学期望和方差，当n 很大时，随机变量1nii X =∑近似地服从正态分布。
在许多物理量测量中，系统误差是由许多相互独立的随机因素合成的，根据该定理可知，系统误差近似地服从正态分布。
例如单能光子束射入碘化钠晶体(NaI(T1)),用光电倍增管测量晶体中的闪烁荧光，光电倍增管的输出电信号经过放大器等电子学线路，最后测量出脉冲幅度谱。
这一测量中涉及一系列相互独立的随机过程，如 :光子在晶体中的能量损失，错误！文档中没有指定样式的文字。
·237·（电子对效应，康普顿效应，光电效应，电离能损，…） 能量损失转化为不同波长光的概率分布， 光在晶体中的透射率率随光波长的概率分布， 光在晶体中的透射率随不同路程长度的概率分布， 晶体表面的反射折射系数随光波长的概率分布， 光在倍增管窗玻璃中的穿透率随光波长的概率分布，光子在光电倍增管阴极上产生光电子的量子效率的波长分布， 光子在光电倍增管阴极上产生光电子的量子效率随击中 位置的分布， 电子的倍增过程中倍增系数的涨落， ……因此，最后测到的全能峰的脉冲幅度近似于正态分布。
―测量值报导st sys μσσ±±μ：通过测量得到的对待测量真值的估计ststsysσσμσ+-+-±，syssysst σσμσ+-+-±，sysst st sysσσσσμ++--++--。
系统误差与统计误差从来源知相互独立t σ=tμσ±，t t σσμ+-+-。
§1.3 测量数据表示及运算1．数据位数• 误差应与测量精度一致, 测量值末位应与误差末位相同；7.550.03,± 7.60.1,± 7.550.1,± X 7.60.03,± X 。
• 需要对多个测量数据进行运算以得到结果，可将测量值多写一个估计位数字，珠峰高度 8848.430.21± 米。
• 误差最多只能写两位有效数字8.630.25±, 8.6320.246± X • 直接测量值（原始数据）误差必须有根据。
直接测量值是以后一切运算、推断的基础，其测量（中心）值及其误差必须给得准确，有根据。
·238·实验物理中的概率统计2．数据修约规则• 测量（中心）值 -- 4舍5入舍去部分0.5>，末位＋1；舍去部分0.5<，末位不变；舍去部分0.5=，末位为奇数， ＋1，末位为偶数， 不变。
• 测量误差 -- 进位保守性原则：进位而非舍入 2.42 2.53．多个实验数据之间的运算由于测量值总有误差，即使被测物理量原本是常量，由于测量误差的存在，测量值转化成为随机变量进行运算才是合理的。
因此多个实验（测量）数据之间的运算要按随机变量之间的运算规则来进行。
即根据误差传播公式进行。
木桶效应 － 木桶存水的多少取决于高度最短的那块板误差运算 － 最终的误差取决于各项中最差的测量值 （保守原则）运算结果的相对误差与参与运算的多个实验数据中最大的相对误差相对应。
例加减：位数最靠前的为准，相对误差最大的为准。
(3.50.1)(0.430.05) 3.930.15 3.90.2±+±→±→±。
乘除：数字位数最少的为准，相对误差最大的为准。
(3.50.1)(0.430.05)1.5050.180 1.50.2±⨯±→±→±。
§1.4 误差与概率分布被测物理量X ，看作是随机变量，有对应的概率分布 离散分布：被测到 i x 的概率是i p连续分布：被测到 ],(dx x x +的概率是dx x f )(期望值 μ ⎰∑===dxx xf p x x E iii )()(μ错误！文档中没有指定样式的文字。
·239·方差 2)(xx V σ= dxx f x p x x V iii )()()()(22⎰∑-=-=μμ实验报导值： m mσμ±, 要尽可能做到 .,σσμμ→→m m , m m σμ±,要做到这一点，关键是要知道被测量x 服从什么分布。
（1） 多丝室的空间分辨（均匀分布）带电粒子穿过多丝室，靠近的两根丝感应出电信号。
设丝距为d ，问空间分辨为多大？d ∙←→∙ ∙ ∙ ∙――――――――――――――――――――――――――――→ X↑ 粒子入射 空间分辨，即多丝室在X 方向上的定位能力。
d or d /2 ?当两根丝感应出电信号，可以判断粒子入射位置在此两根丝之间。
在没有其他知识的情况下，认为入射位置为0d →间的均匀分布是合理的假定。
于是 ()1/,f x d = (:0)x d →/2d μ=， 22/12d σ=。
空间分辨2d σ=（2） 探测器的探测效率及误差》 伯努利分布――定义和概率分布伯努利试验――随机试验可能的结果只有两种：“成功”X=1； “失败”X=0。
随机变量X 的概率分布为(1)P X p ==， (0)1(01),P X pp ==-<<》 二项分布 ―― n 个伯努利随机变量之和 定义和概率分布独立地进行n 次伯努利试验，事件“成功”的发生次数r 可为0到n 之间的任一个正整数， r 是一个随机变量，它可以视为n 个伯努利分布随机变量之和：12.n r X X X =+++事件“成功”发生r 次(0)r n ≤≤的概率等于·240· 实验物理中的概率统计(;,)(1)0,1,,r rn rn B r n p C p p r n -=-=其中p 是一次伯努利试验中事件“成功”的概率。
随机变量r 的均值、方差 (),()(1).E r np V r np p μ≡==-》探测效率及其误差用探测器对粒子作计数，当一个粒子穿过探测器时，测量结果只可能是记到一次计数，或者没记到计数，没有其它可能。
这样，n 个粒子穿过探测器时，探测器记到r 次计数的概率由二项分布描述。
》 一个粒子穿过探测器得到一次计数的概率称为探测效率ε， 显然它就等于二项分布的参数p 。
事实上ε是依靠有限次测量确定的，即/r n ε=。
当n 足够大，p ε≅。
》 有限次测量确定的ε是有误差的，ε的方差为()(1)/(1)/,r V V p p n n n εεε⎛⎫==-≅- ⎪⎝⎭所以探测效率的误差(标准偏差)为εσ=》 εσ有如下性质：0.5ε=时，εσ达到极大值εσ对于0.5ε=为对称分布；当ε接近0或1时，εσ达到极小。
为了能实验地测定ε，探测器计数r 最小需等于1，即 min1/,n ε=此时min 1/1/.n n εεσσ==≅》探测效率的相对误差则为错误！文档中没有指定样式的文字。
