第二十七章相似知识点总结及经验

知识点1.概念
把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应⾓相等、对应边的⽐也相等的图形)
解读：(1)两个图形相似，其中⼀个图形可以看做由另⼀个图形放⼤或缩⼩得到.
(2)全等形可以看成是⼀种特殊的相似，即不仅形状相同，⼤⼩也相同.
(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素⽆关.
知识点2.⽐例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的⽐与另两条线段的长度的⽐相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的'对应⾓相等，对应边的⽐相等.
解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的“对应”来⾃于书写，且要明确相似⽐具有顺序性.
知识点4.相似三⾓形的概念
对应⾓相等，对应边之⽐相等的三⾓形叫做相似三⾓形.
解读：(1)相似三⾓形是相似多边形中的⼀种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三⾓形;
(3)相似三⾓形应满⾜形状⼀样，但⼤⼩可以不同;
(4)相似⽤“∽”表⽰，读作“相似于”;
(5)相似三⾓形的对应边之⽐叫做相似⽐.
【九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳】。

第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）bc ad d c b a =⇔=::； a c a b c d bd b d±±=⇔= 知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似B知识点7 射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。

第27章相似形（要求深刻理解、熟练运用）1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.2．相似形有传递性；即：∵Δ1∽Δ2Δ2∽Δ3∴Δ1∽Δ3四、位似1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．第29章投影和视图知识点总结知识点一：三视图1．三种视图的内在联系主视图反映物体的_________；俯视图反映物体的________；左视图反映物体的_____ __．因此，在画三种视图时，主、俯视图要长对______，主、左视图要高_____ __，俯、左视图要_______．2．三种视图的位置关系一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的______画出俯视图，在主视图的________画出左视图．3．三种视图的画法首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，其中看得见部分的轮廓线通常画成______线，看不见部分的轮廓线通常画成_______线．知识点二：平行投影和中心投影1．太阳光与影子太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为______ ___．物体在太阳光照射的不同时刻，不仅影子的长短在_______，而且影子的方向也在改变．根据不同时刻影长的变换规律，以及太阳东____西______的自然规律，可以判断时间的先后顺序．分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线______，则为平行投影；若两直线_______，则为中心投影，其交点就是光源的位置．灯光的光线可以看成是从_______发出的（即为点光源），像这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影光源的确定：分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的___________即为光源的位置．知识点三．视点与盲区盲区即为视觉看_______的区域．。

九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似多边形的对应边平行或共线。

（3）位似可以将一个图形放大或缩小。

（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。

a和bc和d a,b,c,a,b,c,dd叫做成比例线段，的比，那么这四条线段）在四条线段中，如果的比等于（2简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）aca?bc?d bc?a:b?c:d?ad???；dbdb知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.A已知AD∥BE∥CF,ABDEABDEBCEFBCEFABBC DE??或??或或?或. 可得等EFDFDEDFABDEACEFBCAC CB知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、只看角法（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似17 知识点射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。

第二十七章 相似知识体系 第一节 图形的相似1.比例线段:①.如果a/b=c/d ，那么ad=bc ；②.如果ad=bc ，且bd≠0，那么a/b=c/d ； 如果a/b=c/d ，那么(a+b)/b=(c+d)/d 。

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

3.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形①.相似图形的大小不一定相等。

形状、大小都相等的图形叫做全等图形②.全等图形是相似图形的特殊情况③.图形的相似具有传递性：如果图形A 与图形B 相似，图形B 与图形C 相似，那么图形A 与图形C 相似。

4.相似多边形的特征：①.对应边成比例，对应角相等②.两个相似多边形对应边的比叫做这两个多边形的相似比5.相似多边形的识别：如果两个多边形对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似6.黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

A P B即：如图，如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，使得BP AP AP AB=,那么线段AB 被点P 黄金分割，线段AP 与AB 的比叫做黄金比，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，即51AP AB -=. 第二节 相似三角形1.相似三角形的概念：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

即:如图,△ABC 和△A ＇B ＇C ＇，其中∠A=∠A ＇，∠B=∠B ＇，∠C=∠C ＇，B A ''AB =C B BC ''=A C CA '', 则有△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇。

1.定义法 对应角相等，对应边成比例的三角形相似2.判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两条相交，所构成的三角形与原三角形相似 3.判定定理②如果三角形的三组对应边相等，那么这两个三角形相似 4.判定定理③如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 5.判定定理④ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

相似一、相似知识点：1、相似的判定：①相似多边形的判定；②相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′；2、平行线分线段成比例定理3、相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′的5种方式4、相似三角形的周长与面积：①周长（及对应的高）相似比等于K；②面积相似比等于K25、位似：①位似图形的判定②利用位似，将一个图形放大或缩小③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K二、相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：一、相似知识点：1、相似的判定，如图：①相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等； ②相似三角形的判定：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果：∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''C A AC ＝k ， （AB ＝k .A ′B ′，BC ＝k .B ′C ′，AC ＝k .A ′C ′） 则： △ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k1。

2、平行线分线段成比例定理，如图：（ 3l ，4l ，5l 的距离决定k 的大小）①平行线分线段成比例定理：如右图3l ∥4l ∥5l ，则：EFDE BC AB =＝k1，k DF DE AC AB ==2，k DF EF AC BC ==3，②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段的比相等，如右图：k ACAE AB AD ==3、相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如图：△ADE ∽△ABC②类似SSS ：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果''B A AB ＝''C B BC ＝''C A AC ＝k ， 那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ； ③类似SAS ：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果''B A AB ＝''C A AC ＝k ，∠A ＝∠A ′， 那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ； ④AA 方式：如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似；在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，那么： △ABC ∽△A ′B ′C ′；例a ：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似；例b ：Rt △ABC 斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；例c ：一次函数y=k.x ，（k 为定值），由x ，y ，斜边组成的三角形，无论x 为何值，所有的三角形都相似；⑤类似HL ：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理）。

第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．(1)求证CD CE AC CB=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围． 分析 利用△CDE ∽△CAB ，可证明CD CE AC CB=． 证明：(1)∵∠EDC ＝∠BAO ，∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴CD CE AC CB=. 解：(2)∵AE ＝8，OC ＝12，∴AC ＝12+4＝16，CE =12－4＝8．又∵CD CE AC CB=， ∴CD ·CB ＝AC ·CE ＝16×8＝128． 连接OB ，在△OBC 中，OB ＝12AE ＝4，OC =12， ∴8＜BC ＜16． 【解题策略】 将证CD CE AC CB=转化为证明△CDE ∽△CAB . 专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如22a c b d =，33a c b d =或abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a c b d=，可设法证a c b x =，a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x 便是证题的关键。