2019年九年级数学下册第二十七章相似知识点总结新版新人教版202004171105

知识点1.概念
把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应⾓相等、对应边的⽐也相等的图形)
解读：(1)两个图形相似，其中⼀个图形可以看做由另⼀个图形放⼤或缩⼩得到.
(2)全等形可以看成是⼀种特殊的相似，即不仅形状相同，⼤⼩也相同.
(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素⽆关.
知识点2.⽐例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的⽐与另两条线段的长度的⽐相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的'对应⾓相等，对应边的⽐相等.
解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的“对应”来⾃于书写，且要明确相似⽐具有顺序性.
知识点4.相似三⾓形的概念
对应⾓相等，对应边之⽐相等的三⾓形叫做相似三⾓形.
解读：(1)相似三⾓形是相似多边形中的⼀种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三⾓形;
(3)相似三⾓形应满⾜形状⼀样，但⼤⼩可以不同;
(4)相似⽤“∽”表⽰，读作“相似于”;
(5)相似三⾓形的对应边之⽐叫做相似⽐.
【九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳】。

疱丁巧解牛知识·巧学一、相似的概念1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似形.“相同形状”也就是一个图形可看作是由另一个图形放大、缩小或复制得到的.方法归纳相似关系中只关注图形的形状是否相同，不考虑它们的大小和位置之间的关系.也就是说：只要两个图形形状相同，不论大小是否相同，位置如何摆放都是相似形.2.生活中常见的相同形状的图形主要有以下几种类型：(1)同一地区按不同的比例尺所绘制的地图；(2)同一张底片扩印出来的照片，电影胶片上的图像与它映照到屏幕上的图像；(3)通过放大镜、眼镜所看到的图形与实际图形；(4)沙盘模型与建筑原型是相似形.3.相似多边形：形状相同的多边形是相似多边形.例如：国旗上的5个五角星都相似.要点提示形状相同的前提是边数相同.4.相似与全等：全等是相似的特殊情形.形状相同，两图形相似；形状相同并且大小也相同，两图形全等.辨析比较“放大镜”与“哈哈镜”.放大镜是一种用来观察物体细节的简单目视光学器件，是焦距比眼的明视距离小得多的会聚透镜.使用放大镜，令其紧靠眼睛，并把物体放在它的焦点以内，成一正立放大的虚像，这个“像”与物体本身相似.哈哈镜镜面凹凸不平，根据凹凸镜成像原理，成的是或大或小的虚象，照出人来就奇形怪状了，所以哈哈镜的“像”与物体本身不相似.二、比例线段1.线段的比：线段的比是指用同一长度单位量得两条线段的长度的比.①两条线段的比与长度单位的选择无关；②求两条线段的比时，若其单位不同，则必须使单位相同再求比；③两条线段的比是一个正数；④两条线段的比a∶b中，要清楚谁为前项.例如：线段a=10 cm，b=15 cm，则线段a与b的比是10∶15=2∶3，a是前项，b是后项；线段b与a的比是15∶10=3∶2，b是前项，a是后项.10cm，则线段AB与AC的比是正方形ABCD中，AB=10 cm，对角线AC=210=2∶2.10∶22.比例线段：比例线段是指在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比a∶b等于另外两条线段的c∶d，即a∶b=c∶d.那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.例如：四条线段1 cm、2 cm、3 cm、6 cm满足1∶2=3∶6，所以1 cm、2 cm、3 cm、6 cm是比例线段.要点提示①四条线段才能成比例；②线段成比例时，一定要将线段按顺序列出，不可颠倒，一般可以按大小顺序写出.3.比例中项：若作为比例内项的两条线段相同，即a∶b=b∶c，则线段b叫做a、c的比例中项.三、相似多边形的性质1.相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.(1)形状的相同是指“对应边成比例，对应角相等”.(2)识别两个边数相同的多边形是否相似的方法：①两个多边形的边都对应成比例；②角都对应相等, 那么这两个多边形相似.误区警示上述两个条件必须同时成立，缺一不可(如矩形与正方形角都对应相等，但边不是都对应成比例，不相似；菱形与正方形边都对应成比例，但角不是对应相等，不相似).在格点上画多边形相似时，就是保持对应位置上的线段放大或缩小相同的倍数，对应的角的大小不变，所以画出的多边形是相似的.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.例如：若△ABC 与△A′B′C′相似，那么k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，这两个相似三角形的相似比就是k.(1)相似比是有顺序性的，前面的一个多边形的边作为分子，后面一个多边形的边作为分母.表示两个多边形相似的顺序不一样时，相似比也不相同.(2)相似比为正数.相似比为1，即k=1时，两个相似多边形不仅形状相同，而且大小也相同，这时两个多边形就全等.深化升华 根据性质，可以由一个图形的已知条件求其相似图形的未知元素.①由对应角相等，可以直接求出对应角的度数；②由对应边的比等于相似比，列比例式可以求对应边长.问题·探究问题1 等边三角形都相似吗？导思：根据相似多边形的定义，比较它们的边，是否成比例比较它们的角是否相等. 探究:(1)从不同类型的三角形入手：①等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°，因此，两个等边三角形的边都对应成比例，角也都对应相等，所以是相似的；②两个等腰三角形，当它们的顶角不相等时，角就不能对应相等，虽然两三角形对应腰的比相等，但是不能等于两底边的比，所以也不一定相似；③由于任意两个三角形，它们的边不一定对应成比例，角也不一定对应相等，所以不一定相似.(2)看看我们学习过的四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？(见27.2《问题·探究》)(3)不同边数的多边形相似吗？边长为10 cm 的正方形与同样边长的正六边形相似吗？为什么？问题2 相似三角形的周长之比为多少？导思：熟悉比例的变形，避免重复计算.探究:比例是商的形式，根据等式的基本性质，可以把商与积互化.(1)【比例的基本性质】在任意的一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即a ∶b=c ∶d ⇔da=bc.(符号“⇔”表示从左边的条件可以得到右边的结论，把右边作为条件，可以得到左边的结论).(2)【反比定理】在一个比例里，第一个比的反比，等于第二个比的反比，这叫做比例中 的反比定理，即cd a b d c b a =⇔=. (3)【更比定理】在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例；或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理，即db c a d c b a =⇔=. (4)【合比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理，即dd c b b a d c b a +=+⇔=. (5)【等比定理】几个相等的比的前项的和与后项的和的比，等于这些比里的任一个比，即 若k n m d c b a ==== (b+d+…+n≠0)，则k nd b m c a =++++++ . 典题•热题例1 如图27.1-2，在给出的点格内通过放大或缩小画出已给图形的相似形.图27.1-2思路解析：首先固定一个最左边格点上的一个点，分别在横线上和竖线上把相应的线段放 大或缩小(画图，一般都画在所给定的区域内).解：如图27.1-3.图27.1-3方法归纳 在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后的位置，再由这些点构造新图形.例2 (1)已知线段a=30 mm ，b=5 cm ，则a ∶b=__________；(2)量得A 、B 两地在某张地图上的距离是5 cm ，而两地的实际距离是250 km ，则这张地图的比例尺是__________；(3)在相同时刻的物高与影长成比例.如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时，高为1.5 m 的测竿的影长为2.5 m ，那么古塔的高是__________m.思路解析：(1)由定义“两条线段的比是这两条线段长度的比”，在计算它们的比时先要 统一单位；因为a=30 mm=3 cm ，所以a ∶b=3∶5.(2)比例尺=实际距离图上距离，通常写成1∶常数的形式，计算前还是要注意统一单位；因为 5cm=0.05 m ，250 km=250 000 m ，所以比例尺为0.05∶250 000=1∶5 000 000.(3)相同时刻的物高与影长成比例，因此古塔的高、古塔的影长、测竿的高、测竿的影长是成比例线段，即测杆的影长测杆的高古塔的影长古塔的高=，从而解决问题. 设古塔的高为x m ，根据题意得5.25.150=x ， 解得x=30，所以古塔的高为30 m.答案：(1)3∶5 (2)1∶5 000 000 (3)30深化升华 利用比例线段可以进行相关计算，其关键是找准比例式.比例尺=测杆的影长测杆的高物体的影长物体的高实际距离图上距离=;. 例3 若x ∶y ∶z=3∶4∶7且2x-y+z=18，那么x+2y-z=__________. 思路解析：由x ∶y ∶z=3∶4∶7,知743z y x ==.可利用比例解决问题.特别是遇到连等式时，可用设比例系数(即公比)的办法解决.方法一：∵x ∶y ∶z=3∶4∶7，∴743z y x ==. 设k z y x ===743(k≠0)，则x=3k ，y=4k ，z=7k. ∴ 2x-y+z=6k-4k+7k=9k ，即9k=18.解得k=2.∴ x+2y-z=3k+8k-7k=4k=4×2=8.方法二：∵x ∶y ∶z=3∶4∶7，∴y z y x 47,43==. ∴2x-y+z=2×y 43-y+y 47=18.解方程得y=8. ∴x=6，z=14.∴x+2y-z=6+16-14=8.答案：8变式方法 利用比例式计算时，通常可用方程思想，设中间参数计算.又如：已知x ∶y=2∶7，求22225223y xy x y xy x -++-的值. 由x ∶y=2∶7,得y x 72=.把y x 72=代入原式得(以下略).。

第27章相似知识点梳理（一）姓名___________班级__________学号__________分数___________知识点1：比例性质与k换元1．若a︰b︰c＝2︰3︰7，且a－b＋3＝c－2b，则c值为何？A．7；B．63；C．221；D．421；2．已知513ba=，则a ba b-+的值是()A．23；B．32；C．94；D．49；3．已知ac＝bd，下列各式中，一定成立的是()A．a cb d=；B．a db cd c--=；C．ad bcd c=；D．ab acd d=；4．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？( )A．舞蹈社不变，溜冰社减少；B．舞蹈社不变，溜冰社不变；C．舞蹈社增加，溜冰社减少；D．舞蹈社增加，溜冰社不变；5．若a∶b＝1∶2，则(a＋b)∶b＝.6．已知23a b=，则ab=．7．若12ab=，则a bb+＝____________．8．如果235x y z==，那么33x y zx y z+-=-+_____．※10．已知xxzy-+＝zzxy-+＝yyzx-+则xzzyyx）（）（+⨯+＝____________．知识点2：相似图形及其性质11．将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )A．；B．；C．；D．；12．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )A．FG；B．FH；C．EH；D．EF；13．下列四组图形中，一定相似的是( )A．正方形与矩形；B．正方形与菱形；C．菱形与菱形；D．正五边形与正五边形；14．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A．1：4；B．1：2；C．2：1；D．4：1；15．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2︰1，则下列结论正确的是( )A．∠E＝2∠K；B．BC＝2HI；C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长；D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL；16．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD，(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AGGD的长．※17．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB ∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．知识点3：平行线分线段成比例定理18．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE ＝6，BD＝3，则BF＝( )A．7；B．7.5；C．8；D．8.5；A BC DE Fm nabc19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是( )A．4.5；B．8；C．10.5；D．14；AB CDE F（第19题图）（第20题图）20．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝53BC，则BE︰EA等于()A．3︰5；B．2︰5；C．2︰3；D．3︰2；21．已知：如图，12BDCD=，AE＝CE，则BGGE=()A．12；B．2；C．1；D．13；GAB CDE FECBA（第21题图）（第22题图）22．如图，E、F是△ABC两边的中点，若EF=3，则BC=_______．23．如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有____________对．AGEHFJIB C（第23题图）（第24题图）24．如图，AB∥CD，23AOBO=，则ACBD=________．25．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥B C．(1)求∠EDB的度数；(2)求DE的长．AB CDE26．如图，AE∥HK∥DB，AG＝12，BG＝24，EF＝40，CD＝30，求CH、KF的长。

九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似多边形的对应边平行或共线。

（3）位似可以将一个图形放大或缩小。

（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

九年级下册数学第27章知识点汇总（人教
版）
27.1图形的相似
gt;gt;gt;gt;图形的相似知识点
27.2相似三角形
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)
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27.3位似
位似图形(Homothetic figures)的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形(homothetic figures)，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

gt;gt;gt;gt;位似图形知识点
九年级下册数学第27章知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~请关注数学知识点。

相似图形图形相似的定义：我们把形状相同的图形叫作相似图形。

注意：1、相似图形只针对形状，不谈大小；2、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；3、相似图形的形状相同，大小不一定相同，全等图形是特殊的相似图形；4、图形的相似与图形的位置无关。

特殊图形——相似多边形：如果它们的角对应相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形。

图文说明：如图所示，在四边形ABCD 和四边形1111D C B A ，1A A ∠=∠,1B B ∠=∠,1C C ∠=∠1D D ∠=∠,11111111D A ADD C CD C B BC B A AB === 则四边形ABCD 相似于四边形1111D C B A 相似； 记作：四边形ABCD ∽四边形1111D C B A(注意要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！！！)相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

注意： 1、相似多边形对应边的比称为相似比,一般用 k 表示；2、若已知四边形ABCD 与四边形1111D C B A 的相似是k ,那么四边形1111D C B A 与四边形ABCD 的相似比是k1。

比例线段定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如dcb a =（即bc ad =），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段。

其中a 、b 、c 、d 叫组成比例的项；a 、d 叫比的外项，b 、c 叫比的内项， 当比的内项相等时，即cbb a =或c b b a ::=，线段 b 叫做线段a 和c 的比例中项。

解题策略：1、抓住比的内项乘积等于比的外项乘积，进行一些比的变换； 2、判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大先排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；3、成比例的线段是有顺序的，比如：a 、b 、c 、d 是成比例的线段，则只能写成d c b a =，而不能写成cd b a =。

第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．(1)求证CD CE AC CB=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围． 分析 利用△CDE ∽△CAB ，可证明CD CE AC CB=． 证明：(1)∵∠EDC ＝∠BAO ，∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴CD CE AC CB=. 解：(2)∵AE ＝8，OC ＝12，∴AC ＝12+4＝16，CE =12－4＝8．又∵CD CE AC CB=， ∴CD ·CB ＝AC ·CE ＝16×8＝128． 连接OB ，在△OBC 中，OB ＝12AE ＝4，OC =12， ∴8＜BC ＜16． 【解题策略】 将证CD CE AC CB=转化为证明△CDE ∽△CAB . 专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如22a c b d =，33a c b d =或abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a c b d=，可设法证a c b x =，a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x 便是证题的关键。

九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似答案：A分析：利用已知条件得到即OAOC =OBOD，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到AOOB=OCOD，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即OAOC =OBOD，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵OAOC =OBOD，∴AOOB =OCOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．2、两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2答案：D分析：根据相似图形的性质求解即可．解：因为这两个六边形相似，所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，故选：D．小提示：本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键．3、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．4、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm 的线段实际长为500cm ， 故选B ．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（ ） A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2 答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可． 解：分两种情况讨论 （1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2， ∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1， 或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC．BD2=BC⋅BE D．CE⋅AB=BE⋅CA答案：D分析：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，根据SAS证明△ABE≌△ADE，可得EB=ED，∠ADE=∠ABE=90°，根据面积法可得S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，可得ABAC=BEEC即可判断D选项正确，其他选项无法证明．解：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，∴∠EAB=∠EAD，在△ABE与△ADE中，{AE=AE∠EAB=∠EADAB=AD，∴△ABE≌△ADE，∴EB=ED，∵∠ABC=90°，∴∠ADE=∠ABE=90°，∴BE⊥AB,ED⊥C，∵S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，∴ABAC =BEEC，即CE⋅AB=BE⋅CA．A,B,C选项无法证明．故选：D．小提示：本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．7、如图，AG:GD=3:1，BD:DC=2:3，则AE:EC的值是（）A．8:7B．6:5C．3:2D．8:5答案：B分析：过点作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出CFFE =CDDB=32，AEFE=AGGD=3，进而得到答案．解：如图，过点作DF∥BE交AC于点F，由平行线分线段成比例定理得，则CFEF =CDDB=32，AEEF=AGGD=3，∴CF＝32EF，AE＝3EF∴EC＝CF＋EF＝52EF∴AE∶EC＝3EF∶52EF＝6：5，故选：B小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8、如图，l1∥l2∥l3，若ABBC =23，DF=15，则EF=（）A．5B．6C．7D．9答案：D分析：根据平行线分线段成比例定理可得ABBC =DEEF，根据题意，DE=DF−EF，进而求解．∵l1∥l2∥l3，∴ABBC =DEEF．∵ABBC =23，∴DEEF =23，∵DE=DF−EF，DF=15，∴15−EFEF =23，∴EF=9．故选：D．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．9、如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（）A．2√5＋2B．2√5﹣2C．√5＋1D．√5﹣3答案：C分析：黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为√5−12，叫黄金分割比，由此进行求解即可．解：C为线段AB的黄金分割点，BC＝2 ，AC＜BC∴ACBC =BCAB=√5−12∴AC=2×√5−12=√5−1∴AB=AC+BC=√5−1+2=√5+1故选：C小提示：本题考查黄金分割定理，理解黄金分割定理的概念，熟悉比值是解题的关键．10、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB =BECEB．BDAD=BEECC．ADAB=CEBED．BDBA=DEAC答案：B分析：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．A．由ADDB =BECE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由BDAD =BEEC，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；C．由ADAB =CEBE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由BDBA =DEAC，不能得到DE∥BC，故本选项不符合题意；故选B．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．填空题11、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为______．答案：43分析：过E点作EH∥AC交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD =34,由于AD=CD，则EH AD =34，然后利用平行线分线段成比例定理得到AFEF的值.过E点作EH∥AC交BD于点H，如图：∵EH∥AC，∴EHCD =BEBC，∵BE＝3EC，∴EHCD =3CE4CE=34，∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴EHCD =EHAD=34，∵EH∥AD，∴AFEF =ADEH=43.故答案为43.小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.12、如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．答案：100分析：由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD，即AB=BD×ECCD，解得：AB=120×5060=100（米）．故答案为100．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 __．答案：152##7.5分析：根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD=√AB2+AD2=10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴ΔBOF∽ΔBCD，∴OFCD =BOBC，∴OF6=58，解得，OF=154，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠A=90°，∴∠EDO=∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO=DO，EF⊥BD，在ΔDEO和ΔBFO中，{∠EDO=∠FBOBO=DO∠EOD=∠FOB，∴ΔDEO≅ΔBFO(ASA)，∴OE=OF，∴EF=2OF=15．2．所以答案是：152小提示：本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．14、如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE:BE=4:3，且BF=2，则DF=_________．答案：143分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=14．3故答案为14．3小提示：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．15、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______．答案：34分析：易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=BF BD +DFBD=1，然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，∴EFAB +EFCD=BFBD+DFBD=1，∵AB=1，CD=3，∴EF1+EF3=1，∴EF=34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．解答题16、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC ＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．答案：树高AB是9米分析：先证得△DEF∽△DCB，可得BCEF =DCDE，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF =DCDE，∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5m，CD＝10 m，由勾股定理得DE＝√DF2−EF2＝0.4 m，∴BC0.3=100.4，∴BC＝7.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17、如图，ΔABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切：（2）若EFAC =58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD=OD，求EC的长．答案：（1）见解析；（2）54；（3）6−√13．分析：（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠BAC与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC，结合∠DBC+∠OBC=90°即可得证；（2）求BEOC需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得EFAM =BEOA，由AM=12AC、OA=OC知EF12AC=BEOC，结合EFAC=58即可得；（3）Rt△DBC中求得BC=4√3、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=√3x、BF=4√3﹣√3x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案．（1）证明：如图，连接OB，∵OB=OD，∴∠BDC=∠DBO，∵∠BAC=∠GBC、∠BDC=∠BAC，∴∠GBC=∠BDC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBO+∠OBC=90°，∴∠GBC+∠OBC=90°，∴∠GBO=90°，∴PG与⊙O相切；（2）解：过点O 作OM ⊥AC 于点M ，连接OA ，∵OC =OA ，OM ⊥AC ，∴∠AOM =∠COM =12∠AOC ，∵ AC ⌢=AC ⌢，∴∠ABC =12∠AOC ，∴∠EBF =∠AOM ，又∵∠EFB =∠OMA =90°，∴ΔBEF ∽ΔOAM ，∴ EF AM =BE OA ，∵AM =12AC ，OA =OC ，∴ EF 12AC =BE OC ，又∵ EF AC =58，∴ BE OC =2×EF AC =2×58=54；（3）解：∵PD =OD ，∠PBO =90°，∴BD =OD =4，在RtΔDBC中，BC=√CD2−BD2=√82−42=4√3，又∵OD=OB，∴ΔDOB是等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，∴∠OCB=12∠DOB=30°，∴EC=2EF，由勾股定理FC=√EC2−EF2=√4EF2−EF2=√3EF ∴设EF=x，则EC=2x、FC=√3x，∴BF=4√3−√3x，∵BEOC =54，且OC=4，∴BE=5，在RtΔBEF中，BE2=EF2+BF2，∴25=x2+(4√3−√3x)2，整理得4x2−24x+23=0△=242-16×23=208＞0解得：x=24±4√132×4=6±√132，∵6+√132>4，舍去，∴x=6−√132，∴EC=6−√13．小提示：本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.18、如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．答案：(1)证明见解析(2)△ECF，△BAF与△OBF相似，理由见解析(3)3+√19分析：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据△OBF∽△ECF得出3OA=2BF+9，根据△OBF∽△BAF得出BF2=3(OA+3)，联立方程组求解即可．（1）证明：如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠2=∠3=∠4，∵DE=BE，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，又∵BE平分∠DBC，∴∠1=∠6，∴∠3=∠6，又∵∠3与∠5互余，∴∠6与∠5互余，∴BF⊥AC；（2）解：△ECF，△BAF与△OBF相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠2=∠4，∴∠1=∠4，又∵∠OFB=∠BFO，∴△OBF∽△BAF，∵∠1=∠3，∠OFB=∠EFC，∴△OBF∽△ECF；（3）解：∵△OBF∽△ECF，∴EFOF =CFBF，∴23=CFBF，∴3CF=2BF，∵在矩形ABCD中对角线相互平分，图中OA=OC=OF+FC=3+FC，∴3OA=2BF+9①，∵△OBF∽△BAF，∴OFBF =BFAF，∴BF2=OF⋅AF，∵在矩形ABCD中AF=OA+OF=OA+3，∴BF2=3(OA+3)②，由①②，得BF=1±√19（负值舍去），∴DE=BE=2+1+√19=3+√19．小提示：本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．。

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳单选题1、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴ABBE =ACCD,即1.21.5=14CD,解得CD=17.5m．故答案为A．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．2、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、如图，将ΔABC沿BC边上的中线AD平移到ΔA′B′C′的位置．已知ΔABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②SΔDOESΔCOB=12；③ADAB=OEOB；④SΔODESΔADC =13，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：由BE、CD是△ABC的中线，可得DE=12BC,即DEBC=12，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝△BOC中BC上的高的3倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=1 4S△COB,S△ADE=34S△BOC，从而可判断④．解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC,即DEBC=12，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵△DOE∽△COB，∴OEOB =DEBC，∴ADAB =OEOB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝3△BOC中BC上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=14S△COB，ADAB=DEBC=12，∴S△DAES△BAC =(ADAB)2=(12)2=14，∴S△ADE=34S△BOC，∴S△ODES△ADE =13，∵E是AC的中点，∴S△ADC=2S△ADE∴SΔODESΔADC =16．故④错误．综上，①③正确．故选B．小提示：本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．6、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．7、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．8、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE =AGADB．DFCF=DGADC．FGAC=EGBDD．AEBE=CFDF答案：D分析：根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：∵GE∥BD，∴AEBE =AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE =ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF =DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF =DGAG∴AGDG =CFDF∴AEBE =CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC =DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．10、如图，在△ABC中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足APAC =AQAB．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：△AQP∽△ABC．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．两人都正确D．两人都错误答案：B分析：根据APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB可以判定△AQP∽△ABC，APAB与AQAC不一定相等，不能判定PQ//BC．解：∵APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB，∴△AQP∽△ABC，即淇淇的结论正确；∴∠AQP=∠ABC，∠APQ=∠ACB，∵不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．故选B．小提示：本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．填空题11、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．13、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．14、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ，∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点， ∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2， ∴OA =2，∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33， 在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AO AD 即AC =AO 2AD =4√33=√3， ∴AB =2AC =2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．解答题16、问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =2√3，∠ABD =30°，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF ⊥AB 交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AE DF =_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则△ADE 的面积为______．答案：（1）√32，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：13√3+√398或13√3−√398 分析：（1）通过证明ΔFBD ∽ΔEBA ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解； （2）通过证明ΔABE ∽ΔDBF ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．解：（1）如图1，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD=BEBF =ABDB=√32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，∴ΔFBD∽ΔEBA，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，所以答案是：√32，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵BEBF =ABDB=√32，∴ΔABE∽ΔDBF，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，∠DAB=90°，∴BE=√3，AD=2，DB=4，∵∠EBF=30°，EF⊥BE，∴EF=1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB=∠BEF=90°，∴DE=√BD2−BE2=√16−3=√13，∵∠DEA=30°，∴DG=12DE=√132，由（2）可得：AEDF =BEBF=√32，√13+1=√32，∴AE=√39+√32，∴ΔADE的面积=12×AE×DG=12×√39+√32×√132=13√3+√398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：ΔADE 的面积=12×AE ×DG =12×√39−√32×√132=13√3−√398； 所以答案是：13√3+√398或13√3−√398． 小提示：本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17、已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；(2)以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A 、B 的对应点A 1、B 1，然后顺次连接O 、A 1、B 1即可；（2）先找到A 1、B 1的对应点A 2、B 2，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；．（1）解：如图所示，△OA 1B 1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．18、已知AB是圆O直径，点C为圆上一点，OD⊥BC于D，过C作切线，交OD延长线于E．（1）求证：BE为圆O切线；（2）连接AD并延长交BE于F，若C为弧AB中点，OB=10，求BF．答案：（1）见详解；（2）203分析：（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据AB是圆O直径，OB=10，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由C为弧AB中OB=5，再证明△ADH～点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=12△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．（1）证明：如图1，连接OC，∵CE是圆O切线，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE为圆O切线；（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵AB是圆O直径，OB=10，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵C为弧AB中点，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵OD⊥BC，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=12OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴AHAB =DHBF，即1520=5BF，解得：BF=203．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．。

相像三角形根本学问学问点一：相像图形1.的两个图形说成是相像的图形。

留意：〔1〕我们可以这样理解相像形：两个图形相像，其中一个图形可以看作是由另一个图形得到的．〔2〕全等形是相像图形的一种．2.相像多边形：假如两个多边形 ,对应角，对应边,那么这两个多边形是相像多边形。

记为相像比。

3.相像多边形的性质：对应角，对应边。

留意：当两个相像的多边形是全等形时，他们的相像比是.练习1、在比例尺为1：8000000的“中国政区〞地图上，量得甲市及乙市之间的间隔是6.5，那么这两市之间的实际间隔为；学问点二：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.l1∥l2∥l3 ,可得，2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.∵∥∴.3、断定三角形相像定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边及原三角形三边对应成比例.即： ∵ ∥ ∴.练习1、如图，E 是平行四边形的边的延长线上的一点，连结交于F ，那么图中共有相像三角形 〔 〕 A 1对 B 2对 C 3对 D 4对练习2、如图，△中，点D 、E 分别是、的中点，以下结论不正确的选项是〔 〕A.2B. △∽△C. ACABAE AD = D. ADE ABC S S ∆∆=3练习3、在菱形中，E 是边上的点，连接交于点F, 假设2,那么FDBF的值是〔 〕 A.21 B.31 C.41 D.518、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，那么球拍击球的高度h 为〔 〕A 、815B 、 1C 、43 D 、85学问点三：相像三角形 1、相像三角形定义：假如两个三角形中，三角对应，三边对应，那么这两个三角形叫做相似三角形。

如△及△相像，记作。

相像比：两个相像三角形的比，叫做这两个三角形的相像比。