角分线、平行线与等腰三角形

平行线与等腰三角形平行线和等腰三角形是几何学中经常遇到的重要概念。

平行线指的是在同一平面上的两条直线，它们永远不会相交。

等腰三角形则是指具有两条边长度相等的三角形。

本文将探讨平行线与等腰三角形之间的关系以及相关的性质。

一、平行线与等腰三角形的关系平行线与等腰三角形之间存在着紧密的联系。

当一条横截两条平行线的直线与等腰三角形相交时，特定的性质会出现。

我们可以通过以下两方面来详细讨论这一关系。

1.1 线段比例当一条直线横截两条平行线时，它们所截取的线段具有一定的比例关系。

更具体地说，如果我们绘制一条直线与两条平行线相交，构成了两个等腰三角形，那么这些等腰三角形的底边（即两条平行线间的线段）之间的比例将会相等。

1.2 对应角相等另一个有趣的性质是，当一条横截两条平行线的直线与等腰三角形相交时，相应的角度大小也具有特定的关系。

具体而言，对于截取等腰三角形的两条线段，如果这些线段分别与两条平行线的交点构成的角度相等，那么这两个等腰三角形对应的顶角也会相等。

二、平行线与等腰三角形相关性质除了上述的基本关系外，平行线和等腰三角形还存在其他一些相关性质。

我们将在下面的内容中进行探讨。

2.1 平行线截取等腰三角形当一条平行线截取了等腰三角形的底边时，所得到的线段也是等腰的。

具体而言，在等腰三角形中，平行于底边的线段与该等腰三角形的两个侧边之间的距离是相等的。

2.2 平行线截取等腰三角形的高当一条平行线截取等腰三角形的两边时，所得到的线段也是等腰的。

换句话说，当一条平行线截取等腰三角形两边的时候，这个线段和该等腰三角形的高是相等的。

2.3 平行线截取等腰三角形的相似三角形我们还可以发现，平行线还能够截取出与等腰三角形相似的三角形。

这是因为当平行线截取等腰三角形时，所得到的三角形内部的角度大小与原等腰三角形是相等的。

三、平行线与等腰三角形的应用平行线与等腰三角形的概念和性质在实际中有着广泛的应用。

以下是一些例子：3.1 地理测量在地理测量中，我们经常需要计算不同地点之间的距离。

一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

角平分线、平行线与等腰三角形在等腰三角形的学习中我们经常会接触到不同的几何模型，模型的研究变形有助于我们更为深入地理解基本的图形关系和性质定理。

下面介绍由角平分线、平行线构造等腰三角形的一类几何模型。

例、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.这是我们教材中的例题，作为文字命题，要作出对应的图形，写出已知求证，进而求解。

已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥ BC．求证：AB =AC.本题的求解很简单，只需要运用平行线的性质，再由角平分线最终得到∠B=∠C，然后运用等腰三角形的判定即得。

本题就是有角平分线和平行构造等腰三角形的典型例题。

下面再对这一结论作更深入的变形和拓展。

1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系等腰三角形有△ABC、△AEF、△BOC、△BEO、△CFOEF=BE+CF变式、若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？原题中结论还成立吗？等腰三角形有△BEO、△CFOEF=BE+CF仍成立将上题中平分两内角改为平分两外角，或平分一内角和一外角，我们即得下面两道变式题2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。

试探究EF、BE、FC之间的关系3、如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。

试探究EF、BE、FC之间的关系同学们在日常的学习中若能开动脑筋，从变化中思考不变的关系，从条件改变中找到结论变化的规律，树立理性探究、发散思考的学习数学精神，相信几何的学习自当事半功倍！谢谢大家继续为我的微课投票：打开网址 /Works/workslist 搜索姓名：彭鹏飞，点击下面的五个微课为我投票（这个是个教学论坛需要注册，家长朋友们可以用小孩的身份证号进行注册。

等腰三角形全部定理
等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

等腰三角形有许多有趣的性质和定理，让我们逐一来看。

首先，等腰三角形的性质包括以下几点：
1. 等腰三角形的两个底边（不等于顶角的两条边）相等。

2. 等腰三角形的顶角对应的两个底角相等。

3. 等腰三角形的高（从顶角到底边的垂直线段）同时也是中线和角平分线。

接下来是等腰三角形的定理：
1. 等腰三角形底角平分线定理，等腰三角形的底边上的高（垂直于底边的线段）同时也是底角的平分线。

2. 等腰三角形顶角平分线定理，等腰三角形的顶角的平分线同时也是顶角对边的中线和高。

3. 等腰三角形的高定理，等腰三角形的高、中线和角平分线重
合于同一条线段。

此外，等腰三角形还满足勾股定理的条件，即等腰三角形的顶
角对边的平方等于底边的一半与底边两边的平方和的关系。

总之，等腰三角形是一个非常有趣的几何形状，它具有许多独
特的性质和定理，这些性质和定理在解题和证明中有着重要的应用。

希望这些信息能够帮助你更好地理解等腰三角形的相关知识。

辅助线做法口诀
1、辅助线，如何添？把握规律有几点。

2、三角形，角分线，可向两边作垂线。

3、角分线，平行线，等腰三角形来添。

4、角分线，加垂线，三线合一试试看。

5、线段的，中垂线，可向两端把线连。

6、证线段，倍与半，截长补短可试验。

7、三角形，边中点，连接即成中位线。

8、三角形，有中线，延长中线一样长。

9、特殊的，四边形，对称中心等分点。

10、梯形里，作高线，平移一腰试试看。

11、对角线，平行移，补成三角形常见。

12、证相似，线段比，添线平行成习惯。

13、等积式，比例换，寻找线段很关键。

14、直接证，有困难，等量代换少麻烦。

15、斜边上，作高线，比例中项一大片。

16、圆半径，圆弦长，弦心距来中间站。

17、圆周上，有切线，切点圆心把线连。

18、是直径，或半圆，想成直角径连弦。

等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两边相等的三角形。

在数学中，等腰三角形有许多独特的性质和特点，本文将对等腰三角形的性质进行详细的介绍和解析。

一、定义和基本性质等腰三角形的定义是指具有两边相等的三角形。

一个等腰三角形拥有以下基本性质：1. 两边相等：等腰三角形的两边长度相等，一般用a表示。

2. 两底角相等：等腰三角形的底角（即两边的夹角）相等，一般用θ表示。

3. 顶角：等腰三角形的顶角（即顶点对应的角）为顶角，一般用α表示。

二、等腰三角形具有以下重要的性质：1. 等腰三角形的底边中线也是高和角平分线：对于一个等腰三角形ABC，其中M为底边AC的中点，垂直于底边的高和角平分线，即AM是高线，BM是角平分线。

2. 顶角的余角等于底角：等腰三角形中，顶角的余角等于底角。

也就是说，顶角α加上底角θ的和等于180度。

3. 顶角的二等分线和底边垂直：对于等腰三角形ABC，其中D为底边AC上的点，AD是顶角α的二等分线，那么AD垂直于BC。

4. 等腰三角形的高线、角平分线和垂直平分线汇于一点：对于等腰三角形ABC，其中H是底边AC上的高线的交点，I是底边上的角平分线的交点，J是底边上的垂直平分线的交点，那么H、I、J三点共线且连线HI和HJ垂直。

5. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形的顶角的二等分线、底边和高线之间的交点构成了等腰三角形的外接圆。

6. 等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过底边和高线的长度计算，使用以下公式：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高的长度。

这些性质使得等腰三角形在数学和几何中有着重要的应用。

它们不仅帮助我们计算等腰三角形的各个实际参数，还可用于解决其他几何问题。

结论等腰三角形是具有两边相等的三角形。

它有许多独特的性质和特点，包括两边相等、两底角相等等基本性质，以及底边中线是高和角平分线、顶角的余角等于底角、顶角的二等分线和底边垂直、等腰三角形的高线、角平分线和垂直平分线汇于一点等重要性质。

全等三角形中做协助线技巧重点大汇总口诀：三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两头把线连。

线段和差及倍半，延伸缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延伸中线等中线。

一、由角均分线想到的协助线口诀：图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

角均分线拥有两条性质： a 、对称性； b 、角均分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角均分线的协助线的作法，一般有两种。

①从角均分线上一点向两边作垂线；②利用角均分线，结构对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

往常状况下， 出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线； 其余状况下考虑结构对称图形。

至于选用哪一种方法，要联合题目图形和已知条件。

与角有关的协助线EA（一）、截取构全等如图 1-1 ，∠ AOC=∠BOC ，如取 OE=OF ，并连 ODC接 DE 、 DF ，则有△ OED ≌△ OFD ，从而为我们证FBA图1-1明线段、角相等创建了条件。

E例1． 如图 1-2 ，AB//CD ， BE 均分∠ BCD ，CE 均分∠ BCD ，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD 。

BF例2．已知：如图 1-3 ， AB=2AC ，∠ BAD=图1-2∠ CAD ，DA=DB ，求证 DC ⊥ACD C.\例3．已知：如图1-4，在△ ABC中，∠ C=2∠ B,AD均分∠ BAC，求证：AB-AC=CD剖析：本题的条件中还有角的均分线，在证明A中还要用到结构全等三角形，本题仍是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的E线段上截取短的线段，来证明。

试一试看能否把短的延伸来证明呢？CB D练习图 1-41．已知在△ ABC中，AD均分∠ BAC，∠ B=2∠C，求证： AB+BD=AC2．已知：在△ ABC中，∠ CAB=2∠B，AE均分∠ CAB交BC于E，AB=2AC，求证： AE=2CE3．已知：在△ ABC中，AB>AC,AD为∠ BAC的均分线，M为AD上任一点。

初中几何辅助线口诀（含经典题解析）BC=AB+CD。

如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180
如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

中线。

已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

分析：利用中线分等底和同高得面积关系。

CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：∠BGE=∠CHE。

如图，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。

分析：取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是。

∠C=180
由全等三角形想到的辅助线
如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 的度数
BC＝17. 求CD的长。

分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

的面积。

在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

证：EF//AD
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分析：在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。

【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。

【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。

【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。

【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。

【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。

【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。

【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。

【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。