高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何满分示范课 理
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尚水作品 亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题
专题五 解析几何
满分示范课
【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2 NM→.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[规范解答] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)，1分
由NP→＝2 NM→得x0＝x，y0＝22y，3分
因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1，
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.5分
(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，
则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，
OQ→·PF→＝3＋3m－tn，7分
OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)，
由OP→·PQ→＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，9分
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→，11分
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12尚水作品 分
高考状元满分心得
1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分．
2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝22y，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．
[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP→，NM→；
第二步：由NP→＝2 NM→，确定点P，N坐标等量关系；
第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；
第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；
第五步：由OQ→·PF→＝0，证明OQ⊥PF；
第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．
[跟踪训练](2018·江南名校联考)设椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且∠ACB＝π3，S△ABC＝33.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得DE→·DF→为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos ∠ACB＝(CA＋CB)2－3CA·CB＝4.
又S△ABC＝12CA·CB·sin C＝34CA·CB＝33，
所以CA·CB＝43，代入上式得CA＋CB＝22.
所以椭圆长轴2a＝22，焦距2c＝AB＝2.
所以椭圆M的标准方程为x22＋y2＝1. 尚水作品 (2)设直线方程y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
联立x22＋y2＝1，y＝k（x－1），
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8＞0，
所以x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.
假设x轴上存在定点D(x0，0)使得DE→·DF→为定值．
所以DE→·DF→＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)
＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x20＋y1y2
＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x20＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(x0＋k2)·(x1＋x2)＋x20＋k2
＝（2x20－4x0＋1）k2＋（x20－2）1＋2k2
要使DE→·DF→为定值，则DE→·DF→的值与k无关，
所以2x20－4x0＋1＝2(x20－2)，解得x0＝54，
此时DE→·DF→＝－716为定值，定点为54，0.
