完全平方公式变形的应用

完全平方公式的五种常见应用举例

完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些

使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”

和“变形应用”等.下面举例说明.

一、正用

根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22

(23)mm

分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使

其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.

解 22

(23)mm22

[(2)3]mm

222

(2)6(2)9mmmm

4322

446129mmmmm

432

42129mmmm

思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗?

二、逆用

将公式逆向使用，即由右向左套用.

例2 己知，，，则多项式20172018ax20172019bx20172020cx

的值为( )222

abcabbcac

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3

分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难

发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以

得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222

()()()abbccaabbcca

解 ∵20172018ax

20172019bx

20172020cx

∴，，1ab1bc2ca

∴222

abcabbcac

2221

(222222)

2abcabbcac

2222221

(222)

2aabbbbcccaca

2221

[()()()]

2abbcca

2221

[(1)(1)2]

23

应选D.

三、正逆联用

根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.

例3 (全国初中数学竞赛试题)

完全平方公式的变形公式

完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。

一、通过移项变形

1、（a+b）²=a²+2ab+b²

变形为 a²+b²=（a+b）²-2ab

2、（a+b）²=a²+2ab+b²

变形为 2ab=（a+b）²-（a²+b²）

用法：以上变形适用于已知a+b、ab 、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。

第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）} 的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！

例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：

（1）a²+b²； （2）a²-ab+b²

解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab 先移项

因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab

所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab

因为a+b=7，ab=10

所以a²+b²=49-30=19

二、a+b与a-b的转换

（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab （由a-b变为a+b）

（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b） （3）（a+b）²-（a-b）²=4ab

（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）

用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.

例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.

解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²

2（a² +b²）=9+5=14

a² +b²=7

（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²

4ab=9-5=4

完全平方公式的变形及其应用

完全平方公式的变形及其应用

多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。

一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。

例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。

解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。

二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$

这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。

例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。

解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。

三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$

这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。

例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。

解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。

(完整版)完全平方公式的变形技巧

完全平方公式的变形技巧

完全平方公式是一个十分重要的公式,其应用非常广泛，下面介绍完全平方公式的八项变形技巧，供同学们学习时参考。

一、符号变形

例1 计算212t

解：原式＝212t

＝212t

＝221222tt

＝1442tt

二、系数变形

例2 计算baba12462

解：原式＝baba3432

＝238ba

＝2272488baba

三、逐步变形

例3 计算2cba

解：原式＝2cba

＝222ccbaba

＝acbcabcba222222

四、指数变形

例4 计算2222111aaa

解:原式＝22111aaa

＝22211aa

＝241a

＝1248aa

五、分组变形

例4 计算1212yxyx

解：原式＝1212yxyx (完整版)完全平方公式的变形技巧

＝122yx

＝14422yxyx

六、拆数变形

例4 计算2102

解：原式＝22100

＝22221002100

＝440010000

＝10404

七、拆项变形

例4 计算yxyx43

解：原式＝yyxyx33

＝yxyyx332

＝222396yxyyxyx

＝2297yxyx

七、逆用变形

例4 计算222nmnmnmnm

解：原式＝2nmnm

＝22n＝24n