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完全平方公式的变形及其应用

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完全平方公式的变形及其应用

多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛，下面结合例题，介绍完全平方公式的变形“公式”及其应用。

一、变式1：2a＋2b＝2ab－2ab

这样因为：由2ab＝2a＋2b＋2ab，移项，得2a＋2b＝2ab－2ab。

例1 已知x＋y＝5，xy＝2，求下列各式的值：（1）2x＋2y；（2）4x＋4y.

解 由变式1，得（1）2x＋2y＝2xy－2xy＝25－2×2＝21.（2）4x＋4y＝222xy－222xy＝221－2×4＝433.

二、变式2：2a＋2b＝2ab＋2ab

这是因为：由2ab＝2a－2ab＋2b，移项，得2a＋2b＝2ab＋2ab。

例2 已知a－1a＝5，求2a＋21a的值。

解 由变式2，得2a＋21a＝21aa＋2＝25＋2＝27.

三、变式3：ab＝12222abab

这是因为：由2ab＝2a＋2b＋2ab，得2ab＝2ab－（2a＋2b），两边同除以2，得ab＝12222abab。

例3 已知a＋b＝7，2a＋2b＝29，求ab的值。

解 由变式3，得ab＝12222abab＝12[27－29]＝10.

四、变式4：ab＝12222abab

这是因为：由2ab＝2a－2ab＋2b，移项得2ab＝（2a＋2b）－2ab，两边同除以2，得ab＝12222abab。

例4 已知a－b＝3，2a＋2b＝5，求ab的值。

解 由变式4，得ab＝12222abab＝12[5－23]＝－2.

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五、变式5：2ab＝2ab＋4ab

这是因为：2ab＝2a＋2b＋2ab＝（2a＋2b－2ab）＋4ab＝2ab＋4ab。

例5 已知a－b＝3，ab＝－2，求2ab的值。

解 由变式5，得2ab＝2ab＋4ab＝23＋4×（－2）＝1.

六、变式6： ab＝1422abab

这是因为：2ab＝2a＋2b－2ab＝（2a＋2b＋2ab）－4ab＝2ab－4ab，移项4ab＝2ab－2ab，两边同除以4即得。

例6 已知a＋b＝3，a－b＝5，求ab的值。

解 由变式6，得ab＝1422abab＝14[23－25]＝－4.

七、变式7：1222abab＝2a＋2b

这是因为：1222abab＝12[（2a＋2ab＋2b）＋（2a＋2ab＋2b）]＝12（22a＋22b）＝2a＋2b。

例7 已知1aa－2ab＝－5，a＋b＝3，求2a＋2b的值。

解 由1aa－2ab＝－5，得2a－a－2a＋b＝－5，即a－b＝5。由变式7，得2a＋2b＝1222abab＝12（23＋25）＝17.

乘法的完全平方公式有两个，在解题过程中，要根据题意，可以选择一个公式变形，也可以两个公式联立变形。

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完全平方公式12种变形公式

完全平方公式12种变形公式

- 1 - 完全平方公式12种变形公式

完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。它具有广泛的应用，如科学、工程等。

完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。下面分别介绍它们的变形过程和形式：

1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。

2.方相加变形：即左边的方程可以变成

[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为

[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。

3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。

4.方相减变形：即左边的方程可以变成

[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为

[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。

5.项变形：即左边的方程可以变成

[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为

[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。

6.积变形：即左边的方程可以变成

[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为 - 2 - [ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。

7. 乘积变形：即左边的方程可以变成

[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为

[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。

(完整版)完全平方公式的变形技巧

(完整版)完全平方公式的变形技巧

(完整版)完全平方公式的变形技巧

完全平方公式的变形技巧

完全平方公式是一个十分重要的公式,其应用非常广泛，下面介绍完全平方公式的八项变形技巧，供同学们学习时参考。

一、符号变形

例1 计算212t

解：原式＝212t

＝212t

＝221222tt

＝1442tt

二、系数变形

例2 计算baba12462

解：原式＝baba3432

＝238ba

＝2272488baba

三、逐步变形

例3 计算2cba

解：原式＝2cba

＝222ccbaba

＝acbcabcba222222

四、指数变形

例4 计算2222111aaa

解:原式＝22111aaa

＝22211aa

＝241a

＝1248aa

五、分组变形

例4 计算1212yxyx

解：原式＝1212yxyx (完整版)完全平方公式的变形技巧

＝122yx

＝14422yxyx

六、拆数变形

例4 计算2102

解：原式＝22100

＝22221002100

＝440010000

＝10404

七、拆项变形

例4 计算yxyx43

解：原式＝yyxyx33

＝yxyyx332

＝222396yxyyxyx

＝2297yxyx

七、逆用变形

例4 计算222nmnmnmnm

解：原式＝2nmnm

＝22n＝24n

完全平方公式的配方应用

完全平方公式的配方应用

完全平方公式的配方应用

完全平方公式是一个常用的配方，可以用来进行简化和加速代数表达式的计算。该公式指出：

(a+b)² = a² + 2ab + b²

该公式可以应用于以下情况：

1. 因式分解

如果一个代数表达式可以表示为 (a+b)² 的形式，那么我们可以使用完全平方公式将其展开，并将其移到一个更简单的形式。

例如，考虑将以下代数表达式因式分解：

x² + 8x + 16

这个表达式可以表示为 (x+4)²，应用完全平方公式：

(x+4)² = x² + 2(4)x + 4² = x² + 8x + 16

因此，我们可以将 x² + 8x + 16 因式分解为 (x+4)²。

2. 完成平方

如果有一个简单的代数表达式，我们可以使用完全平方公式将其转化为更简单的形式，这个过程被称为“完成平方”。

例如，考虑将以下代数表达式完成为平方：

x² + 6x + 5

这个表达式可以表示为 (x+3)² - 4，应用完全平方公式：

(x+3)² - 4 = x² + 2(3)x + 3² - 4 = x² + 6x + 5

因此，我们可以将 x² + 6x + 5 完成为平方形式 (x+3)² - 4。

3. 解一元二次方程

一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0 ，其中a、b、c为常数，x为未知数。

我们可以使用完全平方公式来解一元二次方程。

例如，考虑解方程 x² - 4x - 5 = 0，我们可以将其变形为 (x-2)² -

9 = 0，应用完全平方公式：

(x-2)² - 9 = 0

(x-2)² = 9

x-2 = ±√9

x = 2±3

因此，方程的根为 x = 2+3 或 x = 2-3，即 x = 5 或 x = -1。

总之，完全平方公式是一个非常有用的数学公式，在因式分解、完成平方以及解一元二次方程等方面都有广泛应用。

完全平方公式的12种变形

完全平方公式的12种变形

完全平方公式的12种变形

完全平方公式，这可是数学里相当重要的一块内容。咱今天就来好好聊聊它那 12 种变形，保证让你大开眼界！

记得我之前教过一个学生，叫小李。这孩子吧，聪明是聪明，可就是对完全平方公式总是搞不明白。有一次做作业，碰到一个用完全平方公式变形的题，他愣是半天没做出来，急得抓耳挠腮的。我过去一看，发现他连基本的公式都没记熟。

咱们先来说说这完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b² ，(a - b)² = a² -

2ab + b² 。这是最基础的形态，可别小看它们，从这基础出发，就能变出好多花样来。

第一种变形，(a + b)² - 2ab = a² + b² 。比如说，a = 3 ，b = 4 ，那 (3

+ 4)² - 2×3×4 = 7² - 24 = 49 - 24 = 25 ，正好 3² + 4² 也是 25 ，是不是很神奇？

第二种变形，(a - b)² + 2ab = a² + b² 。还是刚才那数，(3 - 4)² +

2×3×4 = (-1)² + 24 = 1 + 24 = 25 。

第三种变形，a² + b² = (a + b)² - 2ab 。假设 a 是 5 ，b 是 6 ，(5 + 6)²

- 2×5×6 = 121 - 60 = 61 ，5² + 6² 也是 61 。

第四种变形，a² + b² = (a - b)² + 2ab 。同样，a 取 5 ，b 取 6 ，(5 -

6)² + 2×5×6 = 1 + 60 = 61 。 第五种变形，(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) 。咱们来验证一下，a 用

2 ，b 用 3 ，(2 + 3)² + (2 - 3)² = 25 + 1 = 26 ，2×(2² + 3²) = 2×(4 + 9) =

2×13 = 26 ，完全没错！

第六种变形，(a + b)² - (a - b)² = 4ab 。比如说 a 是 1 ，b 是 2 ，(1 +