2012年理数高考试题答案及解析-全国

- 1 - / 11 2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.

第I卷

注意事项：

全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一、选择题

1、 复数131ii=

A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i

【解析】iiiiiiii21242)1)(1()1)(31(131，选C.

【答案】C

2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=

A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3

【解析】因为ABA,所以AB,所以3m或mm.若3m，则}3,1{},3,3,1{BA,满足ABA.若mm，解得0m或1m.若0m，则}0,3,1{},0,3,1{BA，满足ABA.若1m，}1,1{},1,3,1{BA显然不成立，综上0m或3m，选B.

【答案】B

3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

A 216x+212y=1 B 212x+28y=1C 28x+24y=1 D 212x+24y=1

【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42cc因为准线为4x，所以椭圆的焦点在x轴上，且42ca，所以842ca，448222cab，所以椭圆的方程为

14822yx，选C.

【答案】C

4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

A 2 B 3 C 2 D 1

【解析】连结BDAC,交于点O，连结OE，因为EO,是中点，所以1//ACOE,且121ACOE，所以BDEAC//1，即直线1AC

与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做OECF于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22AC,2,2CEOC,2OE,所以利用等积法得1CF，选D.

【答案】D

（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100

【解析】由15,555Sa,得1,11da，所以nnan)1(1，所以111)1(111nnnnaann，又1011001011110111001312121111110110021aaaa，选A.

【答案】A

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B） (C) (D)

【解析】在直角三角形中，521ABCACB，，,则52CD,所以5454422CDCAAD,所以54ABAD,即babaABAD5454)(5454，选D.

【答案】D

（7）已知α为第二象限角，33cossin，则cos2α=

(A) 5-3 （B）5-9 (C) 59 (D)53

【解析】因为33cossin所以两边平方得31cossin21，所以032cossin2，因为已知α为第二象限角，所以0cos,0sin，31535321cossin21cossin，所以)sin)(cossin(cossincos2cos22=3533315，选A.

【答案】A

（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

(A)14 （B）35 (C)34 (D)45

【解析】双曲线的方程为12222yx，所以2,2cba，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos2221PFF,选C.

【答案】C

（9）已知x=lnπ，y=log52，21ez，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x

【解析】1lnx，215log12log25y，eez121，1121e，所以xzy，选D.

【答案】D

(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

【解析】若函数cxxy33的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2xy，令033'2xy，解得1x，可知当极大值为cf2)1(，极小值为2)1(cf.由02)1(cf，解得2c，由02)1(cf，解得2c，所以2c或2c，选A.

【答案】A

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

【解析】第一步先排第一列有633A，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226种，选A.

【答案】A

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.

【答案】B

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．.

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________.

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由yxz3得zxy3，平移直线xy3，由图象可知当直线经过点)1,0(C时，直线zxy3的截距最 大，此时z最小,最小值为1-3yxz.

【答案】1

（14）当函数取得最大值时，x=___________.

【解析】函数为)3sin(2cos3sinxxxy，当20x时，3533x，由三角函数图象可知，当23x，即65x时取得最大值，所以65x.

【答案】65x

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.

【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62nnCC，所以8n，所以展开式的通项为kkkkkkxCxxCT288881)1(，令228k，解得5k，所以2586)1(xCT，所以21x的系数为5658C.

【答案】56

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

【解析】如图设,,,1cACbABaAA设棱长为1，则,1baABbcaBCaBC-1，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160CAABAA所以21•••cbcaba，所以3)(21baAB，2)-(21bcaBC ，2)-()(11••bcabaBCAB，设异面直线的夹角为，所以36322cos1111•BCABBCAB.

【答案】36

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；