考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编10 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (87年)设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值

A．依赖于s，t．

B．依赖于s,t,x．

C．依赖于t,x不依赖于s．

D．依赖于s不依赖于t．

正确答案：D

解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)． 知识模块：一元函数积分学

2． (88年)设f(x)与g(x)在(一∞，+∞)上皆可导．且f(x)＜g(x),则必有

A．f(-x)＞g(一x)

B．f’(x)＜g’(x)

C．

D．∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt

正确答案：C

解析：由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，则必在(一∞,+∞)上连续，则

知识模块：一元函数积分学

3． (88年)由曲现(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析： 知识模块：一元函数积分学

4． (89年)曲线y=cosx与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为

A．

B．π

C．

D．π2

正确答案：C

解析： 知识模块：一元函数积分学

5． (90年)设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则d[∫f(x)dx]等于

A．f(x)

B．f(x)dx

C．f(x)+C

D．f’(x)dx

正确答案：B

解析：d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx 知识模块：一元函数积分学

6． (90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)等于

A．一e-xf(e-x)一f(x)

B．一e-xf(e-x)+f(x)

C．e-xf(e-x)一f(x)

D．e-xf(e-x)+f(x)

正确答案：A

解析：由于F(x)=-∫0xf(t)dt则 F’(x)=一f(e-x)e-x一f(x)，故应选(A)． 知识模块：一元函数积分学

填空题

7． (87年)∫f’(x)dx=______,∫abf’(2x)dx=_______．

正确答案：f(x)+C，

解析：∫f’(x)dx=f(x)+C, 知识模块：一元函数积分学

8． (87年)积分中值定理的条件是______，结论是_______。

正确答案：f(x)在[a,b]上连续；在[a，b]内至少存在一点ξ，使f(ξ)(b一a)=∫abf(x)dx．

解析：由定积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则在[a，b]内至少存在一点ξ，使 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b一a) 知识模块：一元函数积分学

9． (88年)

正确答案：2(e2+1)．

解析：=2∫02tetdt=2∫02tdet=2(tet|02一∫02etdt)=2(e2+1) 知识模块：一元函数积分学

10． (88年)设f(x)连续，且f(t)dt=x．则f(7)=______．

正确答案：

解析：等式f(t)dt=x两边对x求导得 3x2f(x3-1)=1令x=2得 12f(7)=1则 知识模块：一元函数积分学

11． (89年)∫aπtsintdt=_______．

正确答案：π．

解析：∫0πtsintdt=-∫0πtdcost=-tcost|0π+∫0πcostdt=π 知识模块：一元函数积分学

12． (89年)曲线y=∫0a(t一1)(t一2)dt在点(0,0)处的切线方程是_______.

正确答案：y=2x．

解析：y’=(x一1)(x一2)，y’(0)=2则所求切线方程为 y一0=2(x一0)，即y=2x 知识模块：一元函数积分学

13． (89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=______．

正确答案：x—1．

解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得 ∫01(t+2a)dt=a，即+2a=a由此可得 则 f(x)=x—1 知识模块：一元函数积分学

14． (90年)

正确答案：

解析：令原式=∫10(t2一1)2t2dt=2∫10(t4一t2)dt= 知识模块：一元函数积分学

15． (90年)下列两个积分大小关系式：

正确答案：”＞”．

解析：由于当x∈[一2，一1]时，则 知识模块：一元函数积分学

16． (91年)

正确答案：1

解析： 知识模块：一元函数积分学

17． (91年)质点以tsin(t2)米／秒作直线运动，则从时刻秒内质点所经过的

路程等于______米．

正确答案：

解析：质点所经过的路程为 知识模块：一元函数积分学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18． (87年)求(a，b是不全为零的非负常数)．

正确答案：1)当a=0．b≠0时2)当a≠0，b=0时3)当a≠0且b≠0时 涉及知识点：一元函数积分学

19． (87年)求∫01xarcsinxdx．

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

20． (87年)求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少?

正确答案：由y=一x2+1知y’=-2x则曲线y=一x2+1在点x=x0处切线方程为 y一(一x02+1)=-2x0(x-x0)该切线在x轴和y轴上的截距分别为和x02+1，该切线与曲线，x轴、y轴在第一象限围成平面图形的面积为令S’(x0)=0得且有S”(x0)＞0，由于极值点唯一，则为极小值也即是最小值，且最小值为所求切点坐标为 涉及知识点：一元函数积分学

21． (87年)求由曲线y=1+sinx与直线y=0，x=0，x=π围成的曲边梯形绕Ox轴旋转而成旋转体体积V．

正确答案：所求体积Vx=π∫0π(sinx+1)2dx=π∫0π(sin2x+2sinx+1)dx=+4π 涉及知识点：一元函数积分学

22． (88年)设x≥一1，求∫-1a(1一|t|)dt．

正确答案：当一1≤x≤0时∫-1x(1一|t|)dt=∫-1x(1+t)dt=当x≥0时，∫-1x(1一|t|)dt=∫-10(1+t)dt+∫0x(1一t)dt=故 涉及知识点：一元函数积分学

23． (88年)设f(x)在(一∞，+∞)内有连续导数，且m≤f(x)≤M．a＞0(1)求∫-aa[f(t+a)一f(t一a)]dt．(2)求证：

正确答案：(1)由于(2)由积分的不等式性质，及m≤f(x)≤M可知又由m≤f(x)≤M，得 一M≤一f(x)≤一m 涉及知识点：一元函数积分学

24． (89年)求

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

25． (89年)已知f(2)=．f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫01x2f”(2x)dx

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

26． (89年)证明方程在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．

正确答案：原方程转化为则 F’(x)=令F’(x)=0得x=e 当0＜x＜e时，F’(x)＜0，F(x)严格单调减少；当e＜x＜+∞时，F’(x)＞0，F(x)严格单调增加，因此，F(x)在区间(0，e)，和(e，+∞)内分别至多有一个零点．由闭区间上连续函数的零点定理可知，F(x)在(e-3，e)和(e，e4)内分别至少有一个零点，综上所述，方程在(0，+∞)内有且仅有两个不同的实根． 涉及知识点：一元函数积分学

27． (89年)设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为，试确定a，b，c，使此图形绕x轴旋转一周而成旋转体的体积V最小．

正确答案：由抛物线y=ax2+bx+c过原点可知，c=0 涉及知识点：一元函数积分学

28． (90年)计算

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

29． (90年)设f(x)=其中x＞0，求f’(x)+

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

30． (90年)过P(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形．求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．

正确答案：设过点(1，0)作抛物线的切线的切点为得切线方程为此切线过点(1．0)，即得 x0=3故斜率为切点(3，1)，切线方程为于是 涉及知识点：一元函数积分学