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不同平面弯矩的合成方向

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第八章 组合变形

第八章 组合变形

例题
[ 已知： 例8.1 已知： = 15kN , e = 300mm, 许用拉应力σ 1 ] = 32 MPa, P
试设计立柱直径d 试设计立柱直径d。
解： 将力P向立柱轴线简化，立柱 向立柱轴线简化， 将力 向立柱轴线简化 承受拉伸和弯曲两种基本变 形 任意横截面上的轴力和弯矩 为：
FN = P = 15kN
cos ϕ sin ϕ + I I z y
2 2
ω= ω
2
y
+ω
2
z
Fl 3 = 3E
ωz I z tanψ = = tan ϕ ωy I y
I 一般情况下， z ≠ I y ， 故 ϕ ≠ ψ ，这表明挠度所在 一般情况下， 的平面与外力作用平面并不重合。 的平面与外力作用平面并不重合。
以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F 以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F，F通过截面 ϕ 形心，与y轴夹角为 形心， 建立坐标系， 建立坐标系，将F分解 分解 成沿y和 的分量 成沿 和z的分量
Fy = F cosϕ
Fz = F sin ϕ
图6.4
梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯 Fy、 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。其上弯矩 值为： 值为：
σ1
σw
4×15×103 32×15×103 ×300 + ≤ 32 2 3 πd πd
d = 114mm
所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 例8.2 图a所示起重机的最大吊重 所示起重机的最大吊重 ， 试为横梁AB选择合适的工字钢 选择合适的工字钢。 力 [σ ] = 100MPa ，试为横梁 选择合适的工字钢。 的受力图， 解：根据横梁AB的受力图，由 根据横梁 的受力图 平衡方程可得： 平衡方程可得：

《材料力学》课件8-2两相互垂直平面内的弯曲

《材料力学》课件8-2两相互垂直平面内的弯曲

弯曲变形的分布
弯曲变形的分布规律
两相互垂直平面内的弯曲变形分布规律与受力情况、材料性质和结构特点等因 素有关。通过分析这些因素，可以确定变形在两个相互垂直平面内的分布情况 。
变形分布对结构性能的影响
弯曲变形的分布情况直接影响到结构的承载能力和稳定性。因此，在设计过程 中，需要充分考虑变形分布的影响，以优化结构性能。
THANKS
感谢观看
案例三：机械零件的弯曲分析
总结词
机械零件的弯曲分析是机械工程中常见的分析类型，主 要关注的是零件在不同工况下的变形和应力分布。
详细描述
在机械零件设计中，两相互垂直平面内的弯曲分析是评 估零件性能的重要手段。通过弯曲分析，可以优化零件 的结构设计，提高零件的刚度和强度，降低应力集中和 疲劳失效的风险，从而提高机械设备的可靠性和稳定性 。
弯曲强度的分布
弯曲强度的分布规律
在两相互垂直平面内的弯曲中，弯曲强度在截面上呈线性分布，即离中性轴越远，弯曲 强度越大。
弯曲强度分布的影响因素
弯曲强度分布受到多种因素的影响，如截面形状、材料性质、弯矩大小等。例如，对于 矩形截面，其弯曲强度分布与弯矩的分布密切相关。
弯曲强度的应用
结构设计中的应用
案例二：建筑结构的弯曲分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构的弯曲分析主要关注的是在不同载荷和环境因素 下结构的稳定性。
建筑结构的弯曲分析需要考虑的因素包括结构形式、材料 特性、支撑条件、外部载荷等。通过弯曲分析，可以预测 建筑在不同工况下的变形和应力分布，从而优化建筑设计 ，提高建筑的稳定性和安全性。
03
两相互垂直平面内的弯曲的应力 分析
弯曲应力的计算
弯曲应力的计算公式

工程力学第十一章 组合变形

工程力学第十一章 组合变形

土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。

薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

(z2

d2
4
)
y
2 w

（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
FRB

2D(1
)
2w xy
B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号， 而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正， 而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
如果点B是自由边AB和自由边BC的交点，而点B并没有任何支 柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0 ，亦即：
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy

w v y z
0
， zx

u z
w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响 也可不考虑。
§9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
x y

材料力学第四章平面弯曲

材料力学第四章平面弯曲

得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0

A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4

《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力

《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力

第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。

二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。

变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。

三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。

四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。

变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。

五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。

2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。

3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。

4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。

5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。

六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。

（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。

（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。

2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。

3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。

（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。

2、固定铰支座——有二个约束反力。

3、可动铰支座——有一个约束反力。

（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。

超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。

§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。

求：距A 端x 处截面上内力。

解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。

《工程力学》项目9平面弯曲

《工程力学》项目9平面弯曲

项目9 剪切与挤压
• 任务9.4 平面弯曲梁横截面上的应力 • 梁的横截面上只有弯矩而剪力为零的平面弯曲称为纯弯
曲，如图 9-20梁上CD段；而横截面上既有弯矩也有剪力 的平面弯曲称为横力弯曲或剪力弯曲，如图 9-20梁上AC、 DB段。
图 9-20
项目9 剪切与挤压
9.4.1纯弯曲时梁横截面上的应力 1.实验现象 2.假设及推理 • 研究纯弯曲时梁横截面上的应力，可
式（9-2），即可确定截面上的剪力和弯矩为
3
FS2
YA
qa 4
M2
YAa
3 qa2 4
项目9 剪切与挤压
• 3-3截面：将杆件截面右侧的所有的外力给屏蔽起来，如图
9-7（d）所示，取截面的左侧为研究对象，即可确定截面上
的剪力和弯矩为
FS3
YA
P
3 qa qa 4
1 4
qa
M3
YAa
P0
3 4
9-4（b）所示。 外伸梁：梁的支撑情况同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座
之外，如图 9-4（c）所示。
图9-4
项目9 剪切与挤压
• 任务9.2 梁弯曲的内力
• 9.2.1梁弯曲内力——剪力和弯矩
• 根据力系的平衡条件，可确定在留 下部分的截面上的内力为平行于横 截面的剪力和作用在纵向对称面内 的内力矩即弯矩。根据平衡方程可 得剪力与弯矩的大小，即
• 为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和 弯矩的变化情况，可绘制剪力图和弯矩图。对剪力 图，正值画在轴线的上侧，负值画在轴线的下侧； 对弯矩图正值画在轴线的下侧，负值画在轴线的上 侧，即弯矩坐标正向向下。
项目9 剪切与挤压
• 【例 9-2】图 9-8（a）所示的简支梁受均布荷载作用，试 作其剪力图和弯矩图。

材料力学第六章

材料力学第六章

§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz

材料力学第10章 组合变形

材料力学第10章 组合变形

如，如图10.1（b）所示的传动轴，在将齿轮啮合力向轴心简化后发现齿轮
轴将同时产生扭转与斜弯曲变形。将这种由两种或两种以上的基本变形所组 成的变形称为组合变形。
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材料力学
出版社 理工分社
图10.1
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10.2 两个相互垂直平面内的弯曲 如图10.2（a）所示的具有双对称截面的悬臂梁为例，横向外力F1和F2分 别作用在梁的水平和垂直两纵向对称平面内。此时，梁在F1和F2作用下分别 在水平对称面（xz平面）和铅垂对称面（xy平面）内发生对称弯曲，距离自 由端为x的横截面m—m上，由F1和F2引起的弯矩依次为 （a） 因此，横截面m—m上任意点C(y，z)处由弯矩My和Mz引起的正应力分别为 （b） 于是，利用叠加原理，在F1和F2分别同时作用下，横截面m—m上C点处的正 应力为 （10.1）
可得中性轴方程为 （10.2）
可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的
夹角θ 为 （10.3）
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式中φ ——横截面上合成弯矩M=M2y+M2z矢量与y轴间的夹角。图10.2
图10.2
对于圆形、正方形等截面，惯性矩Iy=Iz，所以有φ =θ 。此时，正应力 也可用合成弯矩M= 进行计算。需要注意的是，由于梁各横截面上的
（1）如材料为钢材，许用应力［σ ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。
（2）如材料为铸铁，许用拉应力［σ t］=30 MPa，许用压应力［σ c］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm

材料力学笔记

材料力学笔记

作者简介:郭志明,现在就读天津大学固体力学专业绪论基本概念材料力学得任务:载荷,弹性变形,塑性变形设计构件需要满足以下三个方面得要求:强度,刚度,稳定性强度:构件抵抗破坏得能力刚度:构件抵抗变形得能力稳定性:构件维持其原有平衡形式得能力基本假设:连续均匀性,各项同性,小变形研究对象及变形形式:杆:构件得某一方向得尺寸远大于其她两个方面得尺寸平板,壳,块体变形形式:拉伸(压缩),剪切,扭转,弯曲基本概念内力:构件内部相邻两部分之间由此产生得相互作用截面法:假象切开,建立平衡方程,求截面内力第一章:轴向拉伸,压缩与剪切基本概念轴力:截面内力FN及FN’得作用线与轴线重合,称为内力轴力图:表示轴力随横截面位置得变化应力:轴力FN均匀分布在杆得横截面上(正应力)圣维南原理斜截面上得应力:拉压杆得变形:(弹性范围内)EA 称为杆件得抗拉(压)刚度泊松比:弹性范围内。

横向应变与纵向应变之比得绝对值工程材料得力学性能:材料在外力作用下在强度与变形方面表现出得性能。

Eg:应力极限值,弹性模量,泊松比等。

力学性能决定于材料得成分与结构组织,与应力状态,温度与加载方式相关,力学性能,需要通过实验方法获得。

弹性变形:塑性变形:低碳钢拉伸实验四个阶段:弹性,屈服,强化,颈缩屈服:应力在应力-应变曲线上第一次出现下降,而后几乎不变,此时得应变却显著增加,这种现象叫做屈服冷作硬化:常温下经过塑性变形后材料强度提高,塑性降低得现象真应力应变:,(工程应变)其她材料得拉伸实验温度,时间及加载速率对材料力学性能得影响蠕滑现象:松弛现象:冲击韧性:材料抵抗冲击载荷得能力(可以通过冲击实验测定)许用应力:对于某种材料,应力得增长就是有限得,超过这一限度,材料就要破坏,应力可能达到得这个限度称为材料得极限应力。

通常把材料得极限应力/n作为许用应力[σ] ,强度条件:杆内得最大工作应力节点位移计算集中应力:由于试件截面尺寸急剧改变而引起得应力局部增大得现象应力集中系数:,σn就是指同一截面上认为应力均匀分布时得应力值超静定问题:未知力得数目超过独立得平衡方程得数目,因此只由平衡方程不能求出全部未知力,这类问题成为超静定问题。

不同平面弯矩的合成方向

不同平面弯矩的合成方向

不同平面弯矩的合成方向1. 弯矩的定义和基本概念弯矩是物体受力产生的一种力矩，它描述了物体在受到力的作用下发生弯曲的趋势。

在平面上，弯矩的合成方向是指不同平面上的弯矩如何相互作用，从而影响物体的整体弯曲形态。

2. 水平平面上的弯矩合成方向在水平平面上，物体受到水平力的作用时，弯矩的合成方向会使物体呈现出不同的变形形态。

例如，如果物体受到平行于水平平面的力矩，弯矩的合成方向会使物体发生扭转变形；如果物体受到竖直向上的力矩，弯矩的合成方向会使物体发生向下的弯曲变形。

3. 垂直平面上的弯矩合成方向在垂直平面上，物体受到垂直方向力的作用时，弯矩的合成方向也会对物体的形态产生影响。

例如，如果物体受到平行于垂直平面的力矩，弯矩的合成方向会使物体发生横向的扭曲变形；如果物体受到水平向内的力矩，弯矩的合成方向会使物体发生向外的弯曲变形。

4. 斜面上的弯矩合成方向在斜面上，物体受到斜向力的作用时，弯矩的合成方向会使物体呈现出特殊的变形形态。

例如，如果物体受到斜向上的力矩，弯矩的合成方向会使物体同时发生扭转和弯曲的变形；如果物体受到斜向下的力矩，弯矩的合成方向会使物体发生向下的弯曲变形。

5. 总结不同平面上的弯矩合成方向会使物体呈现出不同的变形形态。

水平平面上的弯矩合成方向会导致扭转和弯曲变形；垂直平面上的弯矩合成方向会导致横向扭曲和弯曲变形；斜面上的弯矩合成方向会导致扭转、弯曲等复合变形。

这些不同的变形形态使物体适应了不同的力学环境，具有了更好的力学性能。

通过以上的描述，我们可以清楚地了解不同平面上弯矩的合成方向对物体形态的影响。

这种理解不仅有助于我们更好地设计和分析结构，还能够帮助我们更好地理解力学原理，为工程实践提供有力的支撑。

《材料力学》第八章组合变形

《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。

材料力学-5-弯矩图与剪力图

材料力学-5-弯矩图与剪力图

从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。

工程力学组合变形

工程力学组合变形
C点的正应力表达式变为
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
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01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
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04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b

第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)

第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)
y
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1

M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y

假设： 横截面上各点切应力方向平行 于剪力的方向 横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz

M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只 校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动 满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1

max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)

《材料力学》公式汇总

《材料力学》公式汇总
内力虚功：
（9.3）
虚功原理：
变形体平衡的充要条件是：
（9.4）
虚功方程：
变形体平衡的充要条件是：
（9.5）
（9.7）
桁架的莫尔定理：
（9.8）
变形能：
（内力功）
（9.9）
变形能：
（外力功）
（9.10）
外力功表示的变形能：
（9.11）
内力功表示的变形能：
（9.12）
卡氏第二定理：
当 时，材料发生脆性断裂破坏。
（6.2）
第二强度理论：最大伸长线应变理论。
当 时，材料发生脆性断裂破坏。
（6.3）
第三强度理论：最大剪应力理论。
当 时，材料发生剪切破坏。
（6.4）
第四强度理论：八面体面剪切理论。
当 时，材料发生剪切破坏。
（6.5）
第一强度理论的相当应力
（6.6）
第二强度理论的相当应力
截面上的剪应力
（5.3）
主平面方位角
（ ）
（5.4）
大主应力的计算公式
（5.5）
主应力的计算公式
（5.6）
单元体中的最大剪应力
（5.7）
主单元体的八面体面上的剪应力
（5.8）
面上的线应变
（5.9）
面与 + 面之间的角应变
（5.10）
主应变方向公式
（5.11）
大主应变
（5.12）
小主应变
（5.13）
的替代公式
安全系数法校核压杆的稳定公式
（8.8）
折减系数法校核压杆的稳定性
—折减系数
，小于1
10动荷载
序号
公式名称
公式
符号说明

不同平面弯矩的合成方向

不同平面弯矩的合成方向

不同平面弯矩的合成方向平面弯矩是结构工程中常用的概念，用来描述梁或板在受力时的弯曲程度。

在设计和分析结构时，了解不同平面弯矩的合成方向是至关重要的。

下面，我将以人类的视角来描述不同平面弯矩的合成方向，让读者感受到仿佛是真人在叙述。

我们来看梁的弯曲。

在梁的受力过程中，通常会产生两个平面的弯矩，即x方向和y方向的弯矩。

这两个弯矩的合成方向将决定梁的整体弯曲形态。

以一座跨越江河的大桥为例，当风吹过江面，桥梁会受到侧向的风力作用，从而产生一个在平面内的弯矩。

如果x方向的弯矩大于y方向的弯矩，那么桥梁就会呈现出横向的弯曲形态；相反，如果y方向的弯矩大于x方向的弯矩，那么桥梁就会呈现出纵向的弯曲形态。

这样的描述方式使读者更容易理解梁在不同平面上的弯曲情况。

接下来，我们来看板的弯曲。

与梁类似，板也会在受力时产生两个平面的弯矩，即x方向和y方向的弯矩。

以一块钢板的弯曲为例，当钢板受到垂直于平面的力作用时，会产生一个在平面内的弯矩。

如果x方向的弯矩大于y方向的弯矩，那么钢板就会呈现出横向的弯曲形态；相反，如果y方向的弯矩大于x方向的弯矩，那么钢板就会呈现出纵向的弯曲形态。

通过这样的描述方式，读者可以更加直观地感受到板在不同平面上的弯曲情况。

总结起来，不同平面弯矩的合成方向对于结构的设计和分析至关重要。

通过以人类的视角来描述这些方向，我们可以使文章更加富有情感，并让读者感到仿佛是真人在叙述。

在描述中，我避免使用了数学公式或计算公式，以确保文章的易读性。

同时，我尽量使用准确的中文进行描述，并避免使用依赖图像的语句，来保证文章的自然度和流畅性。

最后，我希望读者能够通过这篇文章更好地理解不同平面弯矩的合成方向，从而在结构设计和分析中能够做出准确无误的决策。

弯曲与扭转的组合变形

弯曲与扭转的组合变形

eq4
齿轮轴安全
习题
8-12，8-14, 8-16 , 8-24
d3

32 1172 95.82
(22103)3
144MPa 180MPa
轴安全
例题：齿轮轴受力及尺寸如图示。已知伞齿轮的受为：
轴向力PX=16.5kN，径向力PY=0.414kN，切向力PZ=4.55kN；直齿 轮的受力为：径向力PYD=5.25kN，切向力PZD=14.49kN。轴的直 径d=40mm，材料的许用应力[σ]=300MPa。试用第四强度理论校 核轴的强度。
YB ZB
外力值的计算
M0
9550 PK n
955014.65 240
583 Nm
YA 4.39kN
t1

MD R1

583 30 102
1.79kN
t2

MC R2

583 20 103
2.69kN
ZA 6.33kN YB 1.71kN ZB 4.74kN
皮带轮自重G1=250N,皮带方向与Z轴平行；C轮为被动轮，皮带轮
自重G2=150N,半径R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机的
功 率 PK=14.65 千 瓦 ， 轴 的 转 速 n=240 转 / 分 ， 轴 材 料 的 许 应 力
[σ]=80MPa 。 试用第三强度理论设计轴的直径d。
拉 伸 扭
B
D 圆轴扭转
转 与
弯
曲
的
B
D 平面弯曲
组
PYD
合 变
形
B PZD D
平面弯曲
PY PZ C Px A
FN kN
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不同平面弯矩的合成方向
一、背景介绍
平面弯矩是力学中一个重要的概念，它描述了物体在平面内受到的弯曲力矩。

在工程设计和结构分析中，了解平面弯矩的合成方向对于确保结构的稳定性和安全性至关重要。

本文将以人类的视角，生动地描述不同平面弯矩的合成方向，以增加读者的阅读体验。

二、横向平面弯矩的合成方向
横向平面弯矩是指物体在平面内受到的横向弯曲力矩。

当外部力矩作用在物体的两个相邻点上时，这两个力矩会合成一个横向平面弯矩。

横向平面弯矩的合成方向通常是垂直于平面的方向。

例如，在一座桥梁上，当车辆通过时，桥梁会受到横向平面弯矩的作用，这时桥梁会向上或向下弯曲，所以我们需要确保桥梁的横向强度足够，以承受这种合成方向。

三、纵向平面弯矩的合成方向
纵向平面弯矩是指物体在平面内受到的纵向弯曲力矩。

当外部力矩作用在物体的两个相邻点上时，这两个力矩会合成一个纵向平面弯矩。

纵向平面弯矩的合成方向通常是平行于平面的方向。

例如，在一座高楼中，当风力作用在楼体上时，楼体会受到纵向平面弯矩的作用，这时楼体会向左或向右倾斜，所以我们需要确保楼体的纵向强度足够，以承受这种合成方向。

四、斜向平面弯矩的合成方向
斜向平面弯矩是指物体在平面内受到的斜向弯曲力矩。

当外部力矩作用在物体的两个相邻点上时，这两个力矩会合成一个斜向平面弯矩。

斜向平面弯矩的合成方向是一个既有横向又有纵向分量的方向。

例如，在一座拱桥上，当桥墩受到水流的冲击时，桥墩会受到斜向平面弯矩的作用，这时桥墩会倾斜并产生旋转，所以我们需要确保桥墩的斜向强度足够，以承受这种合成方向。

五、总结
通过对不同平面弯矩的合成方向的描述，我们可以更好地理解力学中的弯矩概念，并在工程设计和结构分析中应用。

横向平面弯矩的合成方向垂直于平面，纵向平面弯矩的合成方向平行于平面，而斜向平面弯矩的合成方向既有横向又有纵向分量。

通过合理设计和优化结构，我们可以确保物体在不同方向上具有足够的强度和稳定性，以应对各种外部力矩的作用。