第10章概率专题2 古典概型常考题型专题练习——【含答案】

第十章概率单元测试卷一、单选题1．（2021·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程20x bx c++=有实数根的样本点个数为（）A．17B．18C．19D．20【答案】C【解析】【分析】直接列举即可得到.【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个；方程有实数根，需满足240b c-≥；样本点中满足240-≥的有（2，1）､（3，1）､（3，2）､（4，1）､（4，2）､（4，3）､（4，4）､（5，b c1）､（5，2）､（5，3）､（5，4）､（5，5）､（5，6）､（6，1）､（6，2）､（6，3）､（6，4）､（6，5）､（6，6），共19个.故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据基本事件的概念一一列举即可得出选项.【详解】解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个.故选：C3．（2022·湖南·高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝DD ．A ∪B ＝B ∪D【答案】D【解析】【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A ⊆D ，A ∪C ＝DB ，D 为互斥事件，B ∩D ＝∅；A ∪B ＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B ∪D 为必然事件，这两者不相等故选：D4．（2021·全国·高一单元测试）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）． A ．112 B ．16 C ．14 D ．13【答案】B【解析】【分析】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.【详解】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，所有比赛的情况:：11()a b ,、22(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜三局；11()a b ,、23(,)a b 、32(,)a b ，齐王获胜两局；12(,)a b 、21(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜两局；12(,)a b 、23(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局；13(,)a b 、21(,)a b 、32(,)a b ，田忌获胜两局；13(,)a b 、22(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为16P = 故选：B【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.5．（2021·全国·高一课时练习）10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A ．35B ．23C ．34D ．415【答案】B【解析】【分析】 根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率6293P ==. 故选：B.6．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（ ） A ．12 B ．15 C ．14 D ．25【答案】C【解析】【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，方法有：123,124,134,234++++++++共4种，其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：1236++=共1种，故所求概率为1 4 .故选：C7．（2021·黑龙江实验中学高二阶段练习）在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于15%-的概率为（）A．310B．12C．35D．710【答案】D【解析】【分析】利用列举法求解即可【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于15%-，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于15%-有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为7 10.8．（2022·全国·高三专题练习（理））抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B += 【答案】C【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A B +，然后计算概率．【详解】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立， 事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==． 故选：C ．【点睛】 关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()P A B P A P B +≠+．二、多选题9．（2021·重庆·高三开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12 【答案】ACD【解析】【分析】 根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12，根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12，对于A选项，2个球都是红球的概率为111326⨯=，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为1151326-⨯=，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为2121323-⨯=，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率1211232132⨯+⨯=，D选项正确.故选：ACD.10．（2021·广东佛山·高二阶段练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.11．（2022·全国·高二单元测试）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（ ）A ．1234P P P P ===B ．312P P =C ．12341P P P P +++=D ．423P P =【答案】CD【解析】【分析】利用n 次的独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得1234,,,P P P P 的值，即可求解.【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ， 根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的；由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的；由423P P =，故D 是正确的.故选：CD【点睛】本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.12．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二阶段练习）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()P A PB PC ==B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1()8P ABC =D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅= 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分别求得(),(),()P A P B P C 可判断A ，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =， 所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确； 综上可知正确的为ABD.故选:ABD ．【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.【答案】0.21##21100【解析】【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为,,A B C ，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A ，B ，C 则()()0.86()()0.35()()()1P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，则()0.21P B =故答案为：0.2114．（2021·全国·高一课时练习）从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.【答案】4【解析】【分析】直接列举基本事件即可.【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.故答案为：4.15．（2021·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______【答案】0.686【解析】【分析】根据题意，先求得B与C至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.【详解】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中A正常工作的概率为0.7；B正常工作的概率为0.8,C正常工作的概率为0.9，---=，则B与C至少有一个正常工作的概率为1(10.8)(10.9)0.98所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；故答案为：0.686；【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．（2021·全国·高一课时练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】34【解析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=. 故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，，第八组[]190195,，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．【答案】(1)0.06；(2)平均数为174.1，中位数为1745.；(3)()715P E =． 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为400850.=， ∴第七组的频率为()100850008200160042006006......--⨯⨯++⨯+=． (2)由直方图得，身高在第一组[)155160,的频率为00085004..⨯=， 身高在第二组[)160165,的频率为00165008..⨯=， 身高在第三组[)165170,的频率为004502..⨯=， 身高在第四组[)170175,的频率为004502..⨯=，由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=>，设这所学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<， 由()0040080217000405...m ..+++-⨯=得1745m .=，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ，平均数为157.50.04162.50.08167.50.2172.50.2177.50.065182.50.08187.50.06⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+192.50.0085174.1⨯⨯=．(3)第六组[)180185,的抽取人数为4，设所抽取的人为a ，b ，c ，d ， 第八组[]190195,的抽取人数为0.0085502⨯⨯=，设所抽取的人为A ，B ，则从中随机抽取两名男生有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，aA ，aB ，bA ，bB ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB 共15种情况，因事件{}5E x y =-≤发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB 共7种情况．所以()715P E =． 18．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49；（2）1318.【解析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A ，B ，C ，由已知列出()()()P A P B P C 、、的方程组可得答案；（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案. 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得()()()132949P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49.（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个， 于是，两个球同色的概率为31653618++=， 则两个球颜色不相同的概率是51311818-=. 【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A 1、A 2、…、A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1、A 2、…、A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).19．（2021·全国·高一课时练习）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率. 【答案】（1）34p =，23q =；（2）512.【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得,p q ；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【详解】解：（1）设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，则()P A p =，()P B q =. 设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB =，D AB AB =+.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与B 相互独立，AB 与AB 相互互斥，所以()()()()P C P AB P A P B ==，()()P D P AB AB =+()()()()()()()()()()()()11P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =+=+=-+-.由题意可得()()1,2511,12pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩即1,217.12pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得3,42,3p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,33.4p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于p q >，所以34p =，23q =.（2）设=i A {甲同学答对了i 道题}，i B ={乙同学答对了i 道题}，0i =，1，2.由题意得，()11331344448P A =⨯+⨯=，()23394416P A =⨯=，()12112433339P B =⨯+⨯=，()2224339P B =⨯=.设E ={甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+. 由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，所以()()()()()()()12211221349458916912P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512. 【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，设C={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB=，D AB AB=+．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．20．（2021·海南·海口市灵山中学高二期中）某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．（单位：人次）满意度老年人中年人青年人自助餐点餐自助餐点餐自助餐点餐10分（满意）1212022015分（一般）22634120分（不满意）116232（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?【答案】（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）110P=；（3）建议其选择自助餐．【解析】(1)分别求出三种年龄层次的人群中，选择自助餐的概率，进行比较从而得出结论.(2)点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a），中年人2人（设为b，c），青年人2人（设为d，e），列出选2人的基本事件，得出基本事件数和两人都是中年人所包含的事件数，由古典概率公式可得答案. (3)分别求出自助餐和点餐满意的均值，建议选择满意度平均值大.【详解】（1）由题知，老年人选择自助餐的频率115 19P=，中年人选择自助餐的频率23239P =， 青年人选择自助餐的频率32742P =， 则213P P P >>，即中年人更倾向于选择自助餐．（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a ），中年人2人（设为b ，c ），青年人2人（设为d ，e ）． 从中选取2人，其基本事件有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共10个基本事件，其中2人都是中年人仅有一个(,)b c 符合题意； 故两人都是中年人的概率为110P =． （3）由表可知，自助餐满意的均值为：1521012510058052121074x ⨯+⨯+⨯==++．点餐满意的均值为：241017550125417526x ⨯+⨯+⨯==++12x x >，故建议其选择自助餐．21．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25.（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i i i x x p ==∑（其中i x 表示第i 组的中间值，ip 表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为： 700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般. （1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案； （2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数.22．（2021·全国·高二课时练习）A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.（1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 【答案】（1）49；（2）604729.【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率． （2）根据对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：（1）设i A 表示事件:一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只，0i =，1，2，i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只“，0i =，1，2， 依题意有：1124()2339P A =⨯⨯=，2224()339P A =⨯=．0111()224P B =⨯=，1111()2222P B =⨯⨯=，所求概率为：010212()()()P P B A P B A P B A =++14141444949299=⨯+⨯+⨯= （2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率34604119729P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭；【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的概率计算，属于中档题.。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ．310B ． 35C ． 25D ． 152. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 15B ． 12C ． 35D ． 453. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 2144B ． 1522C ． 2150D ． 9254. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 316B ． 29C ． 718D ． 496. 若 P (AB )=19，P(A)=23，P (B )=13，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立C ．事件 A 与 B 相互独立D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( )A．142B．121C．221D．178.下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”9.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对10.已知0≤a<2，0≤b<4，为估计在a>1的条件下，函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点的概率P．用计算机产生了[{0,1})内的两组随机数a1，b1各2400个，并组成了2400个有序数对(a1,b1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如表：满足b1<a12的数对个数满足b1≥a12的数对个数合计满足a1≤12的数对个数1101200满足a1>12的数对人数550合计2400则数据表中数据计算出的概率P的估计值为( )A．1348B．1124C．1960D．712二、填空题（共6题）11.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是．12.思考辨析，判断正误A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)．( )13.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）．16. 古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：① 试验中所有可能出现的基本事件只有 个； ② 每个基本事件出现的可能性 ．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． （2）计算公式：对于古典概型，任何事件 A 的概率为 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．三、解答题（共6题）17. 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．18. 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取 n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表．(1) 求 a ，b ，n 的值；(2) 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率．19. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅰ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．20.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“✓”表示购买，“×”表示未购买．(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是16+37．该种想法正确吗？为什么？22.垃圾分类，人人有责．2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．(1) 应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】若函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数，则a2−2<0，又a∈{−2,0,1,2,3}，故只有a=0，a=1满足题意，所以函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数的概率P=25．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得P=35．【知识点】古典概型3. 【答案】A【解析】根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)=1−P(A)P(B)=1−(1−0.6)×(1−0.7)=0.88．则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(A∩B∣C)=P(A∩B∩C)P(C)=0.6×0.70.88=2144．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个古典概型．样本空间共包含36个样本点记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)(5,6),(6,5),(6,6)}，共16个样本点．所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．【知识点】古典概型6. 【答案】C【解析】因为P(A)=1−P(A)=1−23=13，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．又因为P(AB)≠P(A)+P(B)，所以事件A与B并不互斥．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C72=21，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，所以其和等于18的概率是P=221．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．【知识点】独立事件积的概率9. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】要使得函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点，4a2−4b>0，所以a2>b，条件中所给的共有2400对有序数对，在这些有序数对中，使得函数有两个相异的零点，共有110+(1200−550)=760，所以数据表中数据计算出的概率P的估计值是7602400=1960．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.8【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】×【知识点】事件和与事件积，事件和与事件积的概率计算13. 【答案】13；13【解析】设平局（用 △ 表示）为事件 A ，甲赢（用 ⊙ 表示）为事件 B ，乙赢（用 ⋇ 表示）为事件 C ．容易得到如图．平局含 3 个基本事件（图中的 △），P (A )=39=13．甲赢含 3 个基本事件（图中的 ⊙），P (B )=39=13．【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125，所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】712【解析】随机取出 2 个球的基本事件有 C 92=36 种，“至少有一个红球”的事件有 C 31C 61+C 32=21 种，所以至少有一个红球的概率为 2136=712． 【知识点】古典概型16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727，7895，0123，⋯，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 依题意得5n =0.05，an=0.35，20n=b，解得n=100，a=35，b=0.2．(2) 因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取3060×6=3名，2060×6=2名，1060×6=1名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,c1}，{a2,a3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c1}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,c1}，{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1−315=0.8．【知识点】频率分布直方图、古典概型、频率与频数19. 【答案】(1) 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2) （ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21种．（ⅰ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)=521．【知识点】古典概型、分层抽样20. 【答案】(1) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2．(2) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3．(3) 与（1）同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1．所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．【知识点】古典概型21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，由分层抽样，得x30=y15=z15=430+15+15=115，解得x=2，y=1，z=1，所以应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；(2) （i）样本空间为：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，所以n(M)=10，所以事件M发生的概率P(M)=n(M)n(Ω)=1012=56．【知识点】分层抽样、古典概型。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.若事件A与B相互独立，则P(B∣A)与P(B)的大小关系是( )A．P(B∣A)=P(B)B．P(B∣A)<P(B)C．P(B∣A)>P(B)D．不能确定2.甲、乙两人同时报考同一所大学，甲被录取的概率是0.6，乙被录取的概率是0,7．如果两人是否被录取互不影响，那么至少有1人被该大学录取的概率是( )A．0.42B．0.46C．0.58D．0.883.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数大约为( )A．160B．7840C．7998D．78004.同时掷两个质地均匀的骰子，向上点数之积为12的概率是( )A．13B．19C．118D．1365.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A．0.216B．0.36C．0.432D．0.6487.经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8000件产品中次品的件数为( )A．7840B．160C．16D．7848.甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为( )A．730B．1115C．715D．7109.袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有 1 个白球和全是黑球；③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球．在上述事件中，是对立事件的为 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④10. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是 ( ) A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关二、填空题（共6题）11. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于 ．（用数字作答）12. 若随机事件 A ，B 互斥，且 A ，B 发生的概率均不为 0，P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为 ．13. 从 3 男 3 女共 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的机会相等），则 2 名都是女同学的概率等于 ．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于 4 的概率是 ．16. 从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 ．三、解答题（共6题）17. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有 3 只黄色，3 只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱． (1) 摸出的 3 个球为白球的概率是多少？(2) 摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少？(3) 假定一天中有 100 人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30 天计）能赚多少钱？18.设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：∈S．① 1∉S；②若a∈S，则11−a解答下列问题：(1) 若数列{2⋅(−1)n}中的项都在S中，求S中所含元素个数最少的集合S∗；(2) 在集合S∗中，任取三个元素a，b，c，求使a⋅b⋅c=−1的概率；(3) 集合S中所含元素的个数一定是3n(n∈N∗)吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．19.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1) 若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2) 若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．20.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2) 抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如下表，其中“○”表示享受”ד表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件"抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同"，求事件M发生的概率．21.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，统计结果如图所示．(1) 采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆车中随机抽取2辆，求至少有1辆为电动汽车的概率；(2) 为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为所有电动车车主发放补助，标准如下：①每辆电动自行车补助300元；②每辆电动汽车补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算，并用样本估计总体，估计市政府执行此方案的预算．22.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时．(1) 求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2) 求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3) 求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】事件的相互独立性2. 【答案】D【知识点】事件的相互独立性3. 【答案】B【解析】8000×(1−2%)=7840（件）．【知识点】频率与概率4. 【答案】B【解析】同时掷两个质地均匀的骰子，共有6×6=36种不同的结果，其中向上点数之积为12的基本事件有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)共4个，所以P=436=19．【知识点】古典概型5. 【答案】B【知识点】古典概型6. 【答案】D【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】B【解析】该厂产品的不合格率为2%，按照概率的意义，8000件产品中次品的件数约为8000×2%=160．【知识点】频率与概率8. 【答案】B【解析】由题可知，摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，概率为610×26=15，第二种：从乙箱中摸出红球，概率为810×46=815，所以摸出红球的概率为15+815=1115，故选：B．【知识点】古典概型9. 【答案】B【解析】至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．故②中两事件是对立事件．③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②． 【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】频率指在相同条件下重复试验，事件 A 出现的次数除以总数，它是变化的．概率指在大量重复进行同一个实验时，事件 A 发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件 A 发生的概率，它是不变的． 故选C ．【知识点】频率与概率二、填空题（共6题） 11. 【答案】 11105【知识点】古典概型12. 【答案】 (43,32]【解析】由题意可得 {0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,所以 {0<2−a <1,0<3a −4<1,2a −2≤1,解得 43<a ≤32．【知识点】事件的关系与运算13. 【答案】 15【解析】记三名男生分别为 A 1，A 2，A 3，三名女生分别为 B 1，B 2，B 3，从 6 名学生中任选 2 名共有 15 种不同的结果，其中 2 名都是女生的结果有 3 种，故概率为 315=15． 【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125， 所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】 13【解析】掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数 n =6， 则出现向上点数大于 4 包含的基本事件个数 m =2， 所以出现向上点数大于 4 的概率为 P =m n=26=13．【知识点】古典概型16. 【答案】0.2【知识点】古典概型三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 把 3 个黄色乒乓球标记为 A ，B ，C ，3 个白色的乒乓球标记为 1，2，3．从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为：ABC ，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23，123，共 20 个． 事件 E =‘‘摸出的 3 个球为白球"，事件 E 包含的基本件有 1 个，即摸出 1，2，3 号 3 个球， 所以 P (E )=120=0.05．(2) 事件 F =‘‘摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球"， 事件 F 包含的基本事件有 9 个， 所以 P (F )=920=0.45．(3) 事件 G =‘‘摸出的 3 个球为同一颜色"=‘‘摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球"， 事件 G 包含的基本事件有 2 个， 所以 P (G )=220=0.1，假定一天中有 100 人次摸奖，由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生 10 次，不发生 90 次．则摊主一天可赚 90×1−10×5=40 元，每月可赚 30×40=1200 元． 【知识点】古典概型18. 【答案】(1) 因为 a n =2⋅(−1)n ， 所以 a 1=−2，a 2=2，a 3=−2， 即 S 中必有元素 2，−2， 因为 2∈S ， 所以11−2=−1∈S ；因为 −1∈S ， 所以 11−(−1)=12∈S ； 因为 12∈S ， 所以11−12=2∈S ，所以 S 中至少含有元素 2，−1，12， 同理，由 −2∈S ，可得，13∈S ，32∈S ，所以 S 中至少含有元素 −2，13，32，综上，S 中所含元素个数最少的集合 S ∗={2,−1,12,−2,13,32}．(2) 在 S ∗ 中任取 3 个元素 a ，b ，c ，共有 C 63=20（种）取法，而使 a ⋅b ⋅c =−1 的只有 2，−1，12 和 −2，13，32 两种取法， 所以使 a ⋅b ⋅c =−1 的概率为220=110．(3) 一定是 3n (n ∈N ∗)．理由如下： 因为由 a ∈S 且 1∉S ⇒a ≠1， 所以由 a ∈S ⇒11−a ∈S ⇒11−11−a∈S ⇒1−1a∈S ⇒11−(1−1a)∈S ⇒a ∈S ，即当 a ∈S 时，11−a ∈S ，1−1a ∈S ． 下面证明：a ，11−a ，1−1a 互不相等，若 a =11−a ，则 a −a 2=1，即 a 2−a +1=0，无解，所以 a ≠11−a ；若a=1−1a ，则a2−a+1=0，无解，所以a≠1−1a；若11−a =1−1a，则a2−a+1=0，无解，所以11−a∉1−1a．综上，a，11−a ，1−1a互不相等，所以集合S中所含元素的个数一定是3n(n∈N∗)．【知识点】古典概型、元素和集合的关系19. 【答案】(1) 每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空问Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件A由4个样本点组成，所以P(A)=46=23．(2) 有放回地连续取出两次，样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}，共9个样本点，由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这事件，则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)=49．【知识点】古典概型20. 【答案】(1) 由已知，得老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2) （i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种．（ii）由题中表格知，符合题意的所有可能结果为(A,B)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,E)，(C,F)，(D,F)，(E,F)，共11种．所以事件M发生的概率为1115．【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 根据分层随机抽样的原理，电动自行车应抽取2020+25×9=4（辆），分别记为a1，a2，a3，a4，电动汽车应抽取2520+25×9=5（辆），分别记为b1，b2，b3，b4，b5．从9辆电动车中抽取2辆，共有36种抽法，其中2辆均为电动自行车的有a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共6种．设“从这9辆车中随机抽取2辆，至少有1辆为电动汽车”为事件A，则P(A)=1−P(A)=1−636=56.(2) 由题图可知，抽取的这100辆电动车中电动自行车有60辆，电动汽车有40辆，其中电池需要更换的电动自行车有8辆，电动汽车有1辆．由补助方案可知，这100辆电动车共需补助60×300+40×500+9×400=41600（元）．由样本估计总体，市政府执行此方案的预算为41600100×50000=20800000（元）．【知识点】古典概型、概率的应用22. 【答案】(1) 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的样本点的总数为24．设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)=124．(2) 设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)=924=38．(3) 设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)=824=13．【知识点】古典概型。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 下列问题中是古典概型的是 ( ) A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1 点的概率C ．在区间 [1,4] 上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率D ．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5 的概率2. 已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为 ( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．13. 设事件 A ，B ，已知 P (A )=15，P (B )=13，P (A ∪B )=815，则 A ，B 之间的关系一定为 ( ) A ．两个任意事件 B ．互斥事件 C ．非互斥事件 D ．对立事件4. 我省高考从 2021 年开始实行 3+1+2 模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理 4 个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为 ( ) A ． 16B ． 12C ． 56D ． 345. 《 西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦 》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过 《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A ． 0.5B ． 0.6C ． 0.7D ． 0.86. 在一对事件 A ，B 中，若 A 是必然事件，B 是不可能事件，则 A 和 B ( ) A ．是互斥事件，但不是对立事件 B ．是对立事件，但不是互斥事件 C ．是互斥事件，也是对立事件D ．是互斥事件7.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )A．13B．12C．23D．358.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个，下列事件中的必然事件是( )A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品9.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③10.某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的概率为( )A．25B．815C．35D．23二、填空题（共6题）11.已知集合A={−2,−1,−12,13,12,1,2,3}，任取k∈A，则幂函数f(x)=x k为偶函数的概率为．（结果用数值表示）12.在边长为2的正方形当中，有一块封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为．13.记事件A={某人射击一次,中靶}，且P(A)=0.92，则A的对立事件是，它发生的概率是．14.思考辨析判断正误．不可能事件与任何一个事件相互独立．( )15.判断下列结论是否正确．（请在括号中打“√”或“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的．( )（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( )16.古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有个；②每个基本事件出现的可能性．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．（2）计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数．基本事件的总数三、解答题（共6题）17.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1) 根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2) 根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3) 经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．18.某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110∼120的学生数有14人．(1) 求总人数N和分数在120∼125的人数n；(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？(3) 现在从比分数在115∼120名学生（男女生比例为1:2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者某年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放优惠券金额50100150200(1) 求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2) 以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．20.随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如下表（单位：人）．青年人中年人老年人满意6070x一般5525y不满意25510(1) 从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；(2) 从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率；(3) 现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由．21.使用一种仪器测量一个高为70个单位长的建筑物50次，所得的数据如下表：测量值68个69个70个71个72个单位长单位长单位长单位长单位长次数51510155(1) 根据以上数据，求测量50次的平均值．(2) 若用该仪器再测量此建筑物一次，试估计测量值为70个单位长的概率．22.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1) 写出这个试验的基本事件；(2) 求出“至少有两枚正面向上”这一事件的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D．【知识点】古典概型2. 【答案】B【解析】设3件合格品为A1，A2，A3，2件次品为B1，B2，从5件产品中任取2件，基本事件为(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共10个．恰有1件次品的有6个，所以P=610=0.6．【知识点】古典概型3. 【答案】B【解析】因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】C【解析】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有：{化学,生物}，{化学,政治}，{化学,地理}，{生物,政治}，{生物,地理}，{政治,地理}共6种选法．由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以她们的选科至少有一科不相同的概率为P=1−636=56．【知识点】古典概型5. 【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90−80+60=70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100=0.7．【知识点】频率与概率6. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算7. 【答案】B【知识点】古典概型8. 【答案】D【知识点】事件的关系与运算9. 【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知，③正确，只有③的两个事件不会同时发生．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.25【知识点】古典概型、指数函数及其性质12. 【答案】125【解析】设阴影区域的面积为S，则S4≈60100，所以S≈125．【知识点】频率与概率13. 【答案】{某人射击一次,未中靶}；0.08【解析】事件A={某人射击一次,中靶}，则A的对立事件是{某人射击一次,未中靶}．因为P(A)=0.92，所以P(A)=1−P(A)=0.08．【知识点】事件的关系与运算14. 【答案】√【知识点】事件的相互独立性15. 【答案】×；√；×；×【知识点】频率与概率16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】×(80+82)=81．(1) 根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是12(2) 根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，=3（人），记为a，b，c，女职工2人，记为D，E，男职工抽5×1830从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab，ac，bc，．故所求的概率为P=310(3) 由题意知81×18+11×69+x=30×76.2，解得x=69．所以样本中所有女职工的健康指数平均数为xʹ=(11×69+69)÷12=69，×[11×190+(69−69)2]≈174.2．方差为sʹ2=112【知识点】样本数据的数字特征、茎叶图、古典概型18. 【答案】(1) 分数在110∼120内的学生的频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35，=40，所以该班总人数为N=140.35分数在120∼125内的学生的频率为：P2=1−(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.10，分数在120∼125内的人数为n=40×0.10=4．(2) 由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，=107.5，即为105+1102设中位数为a，因为0.01×5+0.04×5+0.05×5+0.50，所以a=110，所以众数和中位数分别是107.5，110．(3) 由题意分数在115∼120内有学生40×(0.03×5)=6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B1)，(A4,B1)，(A3,B1)，(A4,B2)，(A3,B1)，(B1,B2)共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，所以所求的概率为P=14．15【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、古典概型19. 【答案】(1) 购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02所以这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为：50×400+100×300+150×280+200×201000=96（元）．(2) 由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，有P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=(2+0.8)×0.1=0.28，P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.2×0.1=0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3．【知识点】样本数据的数字特征、事件的关系与运算、频率分布直方图20. 【答案】(1) 从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25+5+10=40．记事件D为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”，则所求概率为P(D)=40300=215．(2) 记事件M为“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意”，则P(M)=60140=37；记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意”，则P(N)=70100=710．则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为P(MN+MN)=P(M)⋅P(N)+P(M)⋅P(N)=37×(1−710)+(1−37)×710=3770.(3) 这种抽样不合理．理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为20，满意和一般的总人数为x+y=50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理．合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x，y，10的具体数值来确定抽样数值．【知识点】古典概型、独立事件积的概率、分层抽样21. 【答案】(1) 设平均值为m，则m=68×5+69×15+70×10+71×15+72×550=70．(2) 用频率估计概率：P=1050=15．【知识点】频率与概率、样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．这个试验的基本事件有8个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，{反反正}，{反正反}，{正反反}，{反反反}；(2) “至少有两枚正面向上”这一事件包含的基本事件有4个，分别为：{正正正}，{正反正}，{正正反}，{反正正}，所以“至少有两枚正面向上”这一事件的概率P=48=12．【知识点】古典概型、随机事件的概念。

高中数学必修二第十章概率总结(重点)超详细单选题1、下列概率模型中不是古典概型的为（ ）A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B ．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率答案：C分析：根据古典概型的特点，即可判断出结果.解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等. 显然A ､B ､D 符合古典概型的特征，所以A ､B ､D 是古典概型；C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：C.2、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ）A ．1320B ．25C ．14D ．15 答案：B解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以P (B )=45×34=35，故P (A )=1−P (B )=1−35=25． 故选：B ．小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．3、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D4、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”答案：A分析：根据互斥事件的概念判断即可.“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A 正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B 不正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D 不正确．故选:A.5、袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（ ）A ．0.0324B ．0.0434C ．0.0528D ．0.0562答案：B解析：第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，∴第4次恰好取完所有红球的概率为：210×(910)2×110+810×210×910×110+(810)2×210×110=0.0434， 故选：B6、饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P 经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A ．116B ．18C ．14D ．12 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.解：点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间Ω={（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件C ，则C ={（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知P (C )=18． 故选：B ．7、若随机事件A ，B 互斥，且P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(43,32]B ．(1,32]C ．(43,32)D ．(12,43) 答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<10<P(B)<1P(A)+P(B)≤1 ，即{0<2−a <10<3a −4<12a −2≤1，解得43<a ≤32，所以实数a 的取值范围为(43,32]. 故选：A.8、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12答案：D解析：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．小提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．多选题9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A ．P(B)的值不能确定，因为它与A 1、A 2、A 3中究竟哪一个发生有关B ．P(B|A 1)=511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1、A 2、A 3是两两互斥的事件答案：BD分析：P(B)的值与A1、A2、A3都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件B与A1的发生有关系可判断C；A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件可判断D.A选项，P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922，所以A错误；B选项，P(B|A1)=510×51112=511，所以B正确；C选项，事件B与A1的发生有关系，所以C错误；D选项，A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.10、小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案：BD分析：对于选项A，二者是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，通过计算得到线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率小于线路二所需时间小于45分钟的概率，所以选项C错误；对于选项D，求出所需时间之和大于100分钟的概率为0.04，所以选项D正确. 对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+69×0.1=39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04，所以选项D正确．故选：BD.小提示：本题主要考查概率的计算和应用，考查随机变量的均值的计算和应用，考查互斥事件和对立事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、以下对各事件发生的概率判断正确的是（）A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12答案：BCD分析：A.列举所有的基本事件，得到概率，判断选项；B.首先列举素数，再根据组合数，写出概率；C.列举满足条件的基本事件，求概率；D.根据组合数写出概率，判断选项.A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率P=24=12，故A不正确；B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含(3,11)，则概率为P=1C62=115，故B正确；C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5种，所以点数之和为6的概率P=536，故C正确；D.由题意可知取出的产品全是正品的概率P=C32C42=12，故D正确.小提示：本题考查古典概型，列举法，组合数，属于基础题型，本题的关键是正确列举所有满足条件的基本事件.填空题12、某商店的有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为________.答案：0.39解析：利用互斥事件和对立事件的概率公式即可求解该题.中奖可分为三个互斥事件：一等奖、二等奖和鼓励奖，故中奖的概率为：0.05+0.16+0.40=0.61，中奖与不中奖互为对立事件，故不中奖的概率为：1−0.61=0.39.所以答案是：0.39.13、设随机事件A 、B ，已知P (A )=0.4，P (B |A )=0.3，P (B |A )=0.2，则P (B )=_____________． 答案：0.24分析：根据条件概率的公式即可求解.∵P (A )=0.4，∴P (A )=1−P (A )=1−0.4=0.6，由条件概率公式得：P (BA )=P (A )P (B |A )=0.4×0.3=0.12；P (BA )=P (A )P (B |A )=0.6×0.2=0.12，所以P (B )=P (BA )+P (BA )=0.12+0.12=0.24，所以答案是：0.24.14、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________．答案：13.分析：计算出甲乙都未能解决的概率相乘可得答案.甲、乙两人都未能解决的概率为(1−12)×(1−13)=12×23=13.所以答案是：13.解答题15、现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：(1)当p=4时，求q的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围．答案：(1)q=512(2)35<p≤23分析：（1）根据随机事件概率的性质，由p+13+q=1可得出答案；（2）先设出各个事件后得出C=AB̅∪A B∪AB，由题意得P(C)=12+12p>45，且p+13+q=1，从而解出p的取值范围。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )A．1627B．5281C．2027D．792.从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为( )A．15B．12C．35D．453.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为( )A．12B．√32C．√33D．√634.甲、乙两名同学参加一项射击游戏，游戏规定每击中一次目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为( )A．35B．45C．34D．145.已知集合A={x∣ x2−2x−3≥0}，B={x∣ −2≤x<2}，则A∩B=( )A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−1,2)D．[1,2)6.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．若将“仁、义、礼、智、信”排成一排，则“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( )A．110B．15C．310D．258.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张数字，设抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为( )A．8B．10C．11D．159.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品10.某公交线路某区间内共设四个站点（如图），分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为( )A．23B．34C．35D．12二、填空题（共6题）11.甲、乙、丙三人独立解答一道数学竞赛试题，甲解出它的概率为0.9，乙解出它的概率为0.8，丙解出它的概率为0.85．只有甲解出的概率为．12.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是．13.甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，己知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是．14.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是 ．15. 如图，三行三列的方阵有 9 个数 a ij (i =1,2,3;j =1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ． (a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33)16. 在三角形的每条边上各取三个分点（如图），以这 9 个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为 ．（用数字作答）三、解答题（共6题）17. 青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为 27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取 6 人参加活动． (1) 求应从这三个社团中分别抽取的学生人数．(2) 将抽取的 6 名学生进行编号，编号分别为 A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这 6 名学生中随机抽出 2 名参加体育测试．①用所给的编号列出所有可能的结果．②设事件 A 是“编号为 A 1，A 2 的两名学生至少有一人被抽到”，求事件 A 发生的概率．18. 近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高速铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了 1000 名市民进行调查，并将其满意程度（单位：分）统计成如图所示的频率分布直方图，其中 a =4b ．(1) 求a，b的值；(2) 求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3) 若按照分层随机抽样的方式从满意程度在[50,60)，[60,70)的市民中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的满意程度在[50,60)的概率．19.某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪分布在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如图所示的频率分布直方图：若月薪落在区间(x−2s,x+2s)的左侧，则认为该学生属于“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询其月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．(1) 现该校：2018年大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是不是“就业不理想”的学生；(2) 为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层随机抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；(3) 位于某省的一高校2018年某专业的本科毕业生共200人，现他们决定于2021年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取的样本的月薪分布情况相同，并用样本频率估计总体频率，现有两种收费方案：方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何费用．问：哪一种收费方案最终收取的活动总费用较少？20.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1) 若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2) 若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．21.现有8名马拉松比赛志愿者（他们都只通晓一门外语），其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 列出该试验包含的所有样本点．(2) 求A1被选中的概率．(3) 求B1和C1不全被选中的概率．22.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 求A1被选中的概率；(2) 求B1和C1不全被选中的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，所以比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：P =(23)4+C 43(23)3(13)+23C 31(23)(13)2=2027．【知识点】事件的相互独立性2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得 P =35． 【知识点】古典概型3. 【答案】C【解析】如图所示，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，直线 AD 与 B 1C 1 平行，则直线 AD 与平面 A 1BC 1 所成角的正弦值即为 B 1C 1 与平面 A 1BC 1 所成角的正弦值， 因为 △A 1BC 1 为等边三角形，则 B 1 在平面 A 1BC 1 上的投影即为 △A 1BC 1 的中心 O ， 则 ∠B 1C 1O 为 B 1C 1 与平面 A 1BC 1 所成角， 可设正方体边长为 1，显然 BO =√33×√2=√63， 因此 B 1O =√1−(√63)2=√33， 则 sin∠B 1C 1O =B 1OB 1C 1=√33．【知识点】线面角4. 【答案】C【解析】设“甲射击一次，击中目标”为事件 A ，“乙射击一次，击中目标”为事件 B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件 A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件 B ，则 P (A )=35，P(A)=1−35=25，P (B )=p ，P(B)=1−p ，依题意得 35×(1−p )+25×p =920，解得 p =34，故选C ．【知识点】事件的相互独立性5. 【答案】A【解析】 A ={x∣ x 2−2x −3≥0}={x ∣∣ x ≥3 或 x ≤−1}，B ={x∣ −2≤x <2}， 则 A ∩B ={x∣ −2≤x ≤−1}． 【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】D【解析】设 2 名男同学分别为 A 1，A 2，3 名女同学分别为 B 1，B 2，B 3，从以上 5 名同学中任选 2 人有 A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共 10 种可能，其中选中的 2 人都是女同学的情况有 B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共 3 种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为 310=0.3． 【知识点】古典概型7. 【答案】A【解析】将“仁、义、礼、智、信”排成一排，无限制条件时有 A 55 种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有 A 22A 33种，故所求概率为A 22A 33A 55=110，故选A ．【知识点】古典概型8. 【答案】B【解析】如表所示，表中点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数．123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)则 Q ={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}． 所以 Q 中含有 10 个样本点． 【知识点】事件与基本事件空间9. 【答案】A【解析】依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件． 【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】A【解析】设事件A为“甲、乙两人不在同一站点下车”，由题意知甲、乙两人同在A1站点下车的概率为13×13=19；甲、乙两人同在A2站点下车的概率为13×13=19；甲、乙两人同在A3站点下车的概率为13×13=19；所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P(A)=3×19=13，则P(A)=1−13=23．【知识点】事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0.027【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】0.6【知识点】古典概型13. 【答案】0.28；0.3024【知识点】事件的相互独立性14. 【答案】725【解析】设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)=40100=25，P(B)=70100=710，故P(AB)=P(A)⋅P(B)=25×710=725．【知识点】事件的相互独立性15. 【答案】1314【知识点】事件的关系与运算、古典概型16. 【答案】13【知识点】频率与概率三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 羽球出国人数：6×2727+9+18=3；兵乓球社人数：6×927+9+18=1；篮球社人数：6×1827+9+18=2．(2) ① {A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A1,A6}，{A1,A6}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}．②两名学生至少有一人被抽到包括一人抽到一人没抽到和两人都抽到两种情况，设P1为事件“一人抽到一人没抽到”，则P1=2×415=815，设P2为事件“两人都抽到”，则P2=115，则事件A发生的概率P A=P1+P2=815+115=35．【知识点】分层抽样、古典概型18. 【答案】(1) 依题意得(a+b+0.008+0.027+0.035)×10=1，所以a+b=0.03，又a=4b，所以a=0.024，b=0.006．(2) 平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06=74.9（分）；众数为70+802=75（分）；中位数为70+0.5−0.08−0.240.035≈75.14（分）．(3) 依题意知，从满意程度在[50,60)的市民中抽取了2人，分别记为a，b，满意程度在[60,70)的市民中抽取了6人，分别记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人的所有可能情况为(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，其中满足条件的为(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．则至少有1人的满意程度在[50,60)的概率为1328．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、古典概型19. 【答案】(1) x=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015 +6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015 +9500×1000×0.00005=6650,x−2s=6650−3000=3650>3600，所以张茗是“就为不理想”的学生．(2) 第一组有1000×0.00005×100=5（人），第二组有1000×0.00010×100=10（人），第三组有1000×0.00015×100=15（人），按照分层随机抽样从中抽6人时，第一组抽1人，记为A；第二组抽2人，分别记为B，C；第三组抽了3人，分别记为D，E，F．从这6人中抽2人共有15种情况：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)．其中恰有1人月薪不超过5000元的有9种情况：(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)．由古典概型的概率公式可得所求概率P=915=35．(3) 方案一：月薪在3000∼4000元之间的共收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500（元）；月薪在4000∼5000元之间的共收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000（元）；月薪在5000∼6000元之间的共收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500（元）；月薪在6000∼7000元之间的共收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000（元）；月薪在7000∼8000元之间的共收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000（元）；月薪在8000∼9000元之间的共收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500（元）；月薪在9000∼10000元之间的共收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500（元）．故按方案一收取的最终活动总费用为133000元．方案二：月薪高于6650元的共收取800×200×[(7000−6650)×0.00030+1000×(0.00020+0.00015+0.00005)]=80800（元）；月薪不低于4000元但低于6650元的共收取400×200×[(6650−6000)×0.00030+ 1000×(0.00010+0.00015)]=35600（元）．故按方案二收取的最终活动总费用为116400元．因为116400<133000，所以方案二最终收取的活动总费用较少．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型、频率分布直方图20. 【答案】(1) 每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空问Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件A由4个样本点组成，所以P(A)=46=23．(2) 有放回地连续取出两次，样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}，共9个样本点，由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这事件，则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)=49．【知识点】古典概型21. 【答案】(1) 该试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点．(2) 因为每个样本点出现的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，用M表示事件“A1被选中”，则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}，含有6个样本点，所以A1被选中的概率P(M)=618=13．(3) 用N表示事件“B1和C1不全被选中”，则N表示事件“B1和C1全被选中”，因为N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，含有3个样本点，所以B1和C1不全被选中的概率P(N)=1−318=56．【知识点】事件的关系与运算、古典概型22. 【答案】(1) 从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1,B1,C1)，(A1,B1,C2)，(A1,B2,C1)，(A1,B2,C2)，(A1,B3,C1)，(A1,B3,C2)，(A2,B1,C1)，(A2,B1,C2)，(A2,B2,C1)，(A2,B2,C2)，(A2,B3,C1)，(A2,B3,C2)，(A3,B1,C1)，(A3,B1,C2)，(A3,B2,C1)，(A3,B2,C2)，(A3,B3,C1)，(A3,B3,C2)，共18个基本事件，由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的，用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M= {(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}，事件M由6个基本事件组成，因此P(M)=618=13．(2) 用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，事件N由3个基本事件组成，所以P(N)=318=16，由对立事件的概率公式得P(N)=1−P(N)=1−16=56．【知识点】古典概型。

人教版(2019)必修第二册第十章同步训练卷概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 30 60 100 110 130 140概率P 110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染．该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35 B ．1180 C ．119 D ．562．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”；事件B 表示“不小于5的点数出现”．则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ）A ．23 B ．13 C ．1 2 D ．563．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()P A B P A =+ ()P B ；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A ．12 B ．512 C ．14 D ．16 5．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ） A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．91216 6．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（ ） A ．2936 B ．551720 C ．2972 D ．29144 7．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是（ ）此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号A．13B．23C．14D．348．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（）厨余垃圾”箱可回收物”箱其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60A．厨余垃圾投放正确的概率为3B．居民生活垃圾投放错误的概率为3 10C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（）A．7()10P B=B．9()10P A B=C．()0P A B=D．()()P A B P C=10．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P，则下列结论中正确的是（）A．1234P P P P===B．312P P=C．12341P P P P+++=D．423P P=11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是2912．以下对各事件发生的概率判断正确的是（）A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如835=+，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是5 36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1 2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为________．14．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，3 5，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．15．甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率____________；②求第4次由甲射击的概率________．16．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球至少有一个白球”，D“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C=．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：“星队”至少猜对3个成语的概率．18．（12分）计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．19．（12分）设甲、乙、丙三位老人是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为005．，甲、丙都需要照顾的概率为01．，乙、丙都需要照顾的概率为0125．．（1）甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是多少？（2）求这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率．20．（12分）一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回．求：（1）第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；（2）2次取出的4个球中恰有2个红球，2个白球的概率．21．（12分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（2）如果25（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）22．（12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？人教版(2019)必修第二册第十章同步训练卷答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=，故选A ．2．【答案】A【解析】事件A 表示“小于5的偶数点出现”；事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴()2163P A ==，()2163P B ==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为()()()112333P A B P A P B =+=+=，故选A ．3．【答案】A【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有()()()P A B P A P B =+，对于任意两个事件A ，B 满足()()()()P A B P A P B P AB =+-，所以是不正确的；③也不正确．()()()P A P B P C ++不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}， 显然事件A 与B 不互斥，但()()11122P A P B +=+=． 4．【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则()()()1221135343412P A P A P A =+=⨯+⨯=，故选B ． 5．【答案】D 【解析】将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立， 记事件A 为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”， 则A 为“抛掷3次都没有出现6点向上”， 记事件i B 为“第i 次中，没有出现6点向上”，1,2,3i =，则123A B B B =， 又()56i P B =，所以()351256216P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()()1259111216216P A P A =-=-=，故选D ． 6．【答案】A 【解析】当开关合上时，电路畅通即表示A 至B 畅通且B 至C 畅通， A 至B 畅通的概率1111511114236P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， B 至C 畅通的概率2112915630P =-⨯=， 所以电路畅通的概率125292963036P PP =⨯==，故选A ． 7．【答案】B 【解析】此人从小区A 前往H 的所有最短路径为A B C E H →→→→，A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，A D F G H →→→→，共6条；记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，共4条，()4263P M ∴==，即他经过市中心的概率为23，故选B ．8．【答案】D【解析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率40024001001003==++； 可回收物投放正确的概率240424030305==++； 其他垃圾投放正确的概率6032020605==++．对A ，厨余垃圾投放正确的概率为23，故A 正确；对B ，生活垃圾投放错误有200602020300+++=， 故生活垃圾投放错误的概率为3003100010=，故B 正确；对C ，该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故C 正确； 对D ，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数600300100100033x ++==，可得方差22221100010001000[(600)(300)(100)]3333s =⨯-+-+-=380000200009≠，故D 错误，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】ABC【解析】由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件， 所以7()10P B =，2()10P A =，1()10P C =，则9()10P A B =， 故A 、B 、C 正确，故D 错误， 故选ABC ． 10．【答案】CD 【解析】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ， 根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3111()28P ==，3211()28P ==，2233113C ()(1)228P =-=，1243113C (1)228P =⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的； 由313P P =，故B 是错误的； 由12341P P P P +++=，故C 是正确的； 由423P P =，故D 是正确的， 故选CD ． 11．【答案】AC 【解析】对于A ，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为211413327⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，用A 、B 、C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则1()5P A =，1()3P B =，1()4P C =，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为42325345⨯⨯=，所以此密码被破译的概率为23155-=，故B 不正确； 对于C ，设“从甲袋中取到白球”为事件A ，则82()123P A ==；设“从乙袋中取到白球”为事件B ，则61()122P B ==，故取到同色球的概率为2111132322⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，易得()()P A B P B A =，即()()()()P A P B P B P A ⋅=，即()[1()]()[1()]P A P B P B P A -=-，∴()()P A P B =，又1()9P A B =，∴1()()3P A P B ==，∴2()3P A =，故D 错误，故选AC ．12．【答案】BCD【解析】对于A ，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P （甲获胜）13=，P （乙获胜）13=，故玩一局甲不输的概率是23，故A 错误；对于B ，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115，故B 正确；对于C ，基本事件总共有6636⨯=种情况，其中点数之和是6的有()1,5，()2,4，()3,3，()4,2，()5,1，共5种情况， 则所求概率是536，故C 正确； 对于D ，记三件正品为1A ，2A ，3A ，一件次品为B ，任取两件产品的所有可能为12A A ，13A A ，1A B ，23A A ，2A B ，3A B ，共6种； 其中两件都是正品的有12A A ，13A A ，23A A ，共3种， 则所求概率为3162P ==，故D 正确， 故选BCD ． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】04． 【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A ，买其它肉的人组成的集合设为B ， 则韦恩图如下：A B 中有30人，()U A B 中有10人， 又不买猪肉的人有30位，∴U B A 中有20人， ∴只买猪肉的人数为10010203040---=， ∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为400.4100=， 故答案为0.4．14．【答案】101125【解析】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()145P A =，()235P A =，()325P A =． 该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=， 故答案为101125．15．【答案】227，1327【解析】①由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为121233327⨯⨯=．②第4次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中； 故这件事的概率为3112221222113333333333327⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭．16．【答案】①④ 【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，①由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故①正确；②B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故②错误； ③C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④()631155P C =-=，()1415P E =，8()15P CE =， 从而()()()()1P C E P C P E P CE =+-=，故④正确； ⑤C B ≠，从而()()P B P C ≠，故⑤错误， 故答案为①④． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】23． 【解析】记事件A ，“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”， 由题意，E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++， 由事件的独立性与互斥性，得()()()P E P ABCD P ABCD =+()()()P ABCD P ABCD P ABCD +++ ()()()()P A P B P C P D =()()()()P A P B P C P D +⋅()()()()P A P B P C P D +()()()()P A P B P C P D +⋅()()()()P A P B P C P D + 323212323132224343434343433-⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23． 18．【答案】（1）丙；（2）1130． 【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=， 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大． （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ， 则214215315()()()()529529529P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1130=． 19．【答案】（1）0.2，0.25，0.5．（2）07．．【解析】（1）记事件A =“甲在这一小时内需要照顾”，事件B =“乙在这一小时内需要照顾”．事件C =“丙在这一小时内需要照顾”．由题意，知事件,,A B C 两两相互独立．且()()()()()()()()()0.050.10.125P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C ⎧==⎪==⎨⎪==⎩，解得()()()0.20.250.5P A P B P C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是0.2，0.25，0.5． （2）由（1），知()0.8P A =，()0.75P B =，()0.5P C =， 所以这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率()()()()110.7P P ABC P A P B P C =-=-=．20．【答案】（1）3100；（2）2150． 【解析】记“第1次取出的2个球都是白球”为事件A ，“第2次取出的2个球都是红球”为事件B ，因为每次取出后再放回，所以A 、B 是相互独立事件．（1）由古典概型知，3()10P A =，1()10P B =， 因此，313()()()1010100P AB P A P B ==⨯=， 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100． （2）画出树状图得到相关事件的样本点数，如图所示：由图知，样本点总数为100，设“2次取出的4个球中恰有2个红球，2个白球”为事件C ， 则事件C 中含有的样本点数为31661342⨯+⨯+⨯=， 因此4221()10050P C ==， 故2次取出的4个球中恰有2个红球，2个白球的概率是2150． 21．【答案】（1）37；（2）1049；（3）11a =或18． 【解析】（1）甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率37P =． （2）如果25a =，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙，共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15，14)，（16，12）（16，13），（16，15），(16，14)有10种取法， 所以概率1049P =． （3）把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等．(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)22．【答案】（1）005．；（2）045．；（3）1200． 【解析】把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123，共20个．（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，()10.0520P E ==． （2）事件F ={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，()90.4520P F ==． （3）事件G ={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，()20.120P G ==，假定一天中有100人次摸奖， 由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次， 则一天可赚90110540⨯-⨯=，每月可赚1200元．。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率重点归纳笔记单选题1、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ） A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740 答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380. 故选：C.2、如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为p (0<p <1)，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．[1−(1−p )p 2]pB ．[1−p (1−p 2)]pC ．[1−(1−p )(1−p 2)]pD ．[1−(1−p )2p ]p 答案：C分析：要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.记零件或系统X 能正常工作的概率为P(X)，该系统正常工作的概率为:P {[(AB )∪C ]∩D }=P [(AB )∪C ]P (D ) =[1−P(AB)P(C)]P (D )=(1−P(A ∪B)P(C))P (D ) =[1−(1−P (AB ))(1−P (C ))]P (D )=[1−(1−p 2)(1−p )]p , 故选：C.3、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100 答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D4、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（ ） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立 答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得： P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确； 对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误； 对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误； 对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误； 故选：A5、如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）A ．0.999B ．0.981C ．0.980D ．0.729 答案：B解析：求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率P 1=0.9×0.9=0.81， 开关3正常工作的概率P 2=0.9，故该系统正常工作的概率P =1−(1−P 1)(1−P 2)=1−(1−0.81)×(1−0.9)=0.981, 所以该系统的可靠性为0.981. 故选：B.6、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A =“向上的点数为3”，B =“向上的点数为6”，C =“向上的点数为3或6”，则有（ ）A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．A ∩B =CD ．A ∪B =C 答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项 对于A ：事件A =“向上的点数为3”发生，事件B =“向上的点数为6”一定不发生，故选项A 不正确；对于B ：事件C =“向上的点数为3或6”发生，事件B =“向上的点数为6”不一定发生，但事件B =“向上的点数为6”发生，事件C =“向上的点数为3或6” 一定发生，所以B ⊆C ，故选项B 不正确； 对于C ：事件A 和事件B 不能同时发生，A ∩B =∅，故选项C 不正确；对于D ：事件A =“向上的点数为3”或事件B =“向上的点数为6”发生，则事件C =“向上的点数为3或6”发生，故选项D 正确； 故选：D7、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）． A ．112B ．16C ．14D ．13答案：B分析：设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，所有比赛的情况:： (a 1,b 1)、(a 2,b 2)、(a 3,b 3)，齐王获胜三局； (a 1,b 1)、(a 2,b 3)、(a 3,b 2)，齐王获胜两局； (a 1,b 2)、(a 2,b 1)、(a 3,b 3)，齐王获胜两局； (a 1,b 2)、(a 2,b 3)、(a 3,b 1)，齐王获胜两局； (a 1,b 3)、(a 2,b 1)、(a 3,b 2)，田忌获胜两局；(a1,b3)、(a2,b2)、(a3,b1)，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为P=16故选：B小提示：本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.8、已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件答案：C分析：根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．9、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6， D 选项结论正确. 故选：C10、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．38B ．58C ．316D ．516 答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58． 故选：B 填空题11、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____． ①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； ②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件； ③这枚骰子质地一定不均匀． 答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确； 所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.12、对两个相互独立的事件A 和B ，如P(A)=12，P(B)=14，则P(AB)=______． 答案：18解析：根据独立事件概率乘法公式计算.根据概率的乘法公式，有：P(AB)=P(A)⋅P(B)=12×14=18． 所以答案是：1813、一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.答案：0.9## 910分析：利用概率加法公式直接求解.一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：P=0.5+0.7−0.3=0.9.所以答案是：0.9.14、现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点P(m,n)在第二象限的概率为______．答案：16分析：列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可由题，点P(m,n)所有可能的情况为(−1,0)，(−1,−2)，(−1,3)，(0,−1)，(0,−2)，(0,3)，(−2,−1)，(−2,0)，(−2,3)，(3,−1)，(3,0)，(3,−2)共12种情况，其中在第二象限的为(−2,3)，(−1,3)，故点P(m,n)在第二象限的概率为212=16所以答案是：1615、我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.答案：0．98.分析：本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98．小提示：本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 解答题16、人类的四种血型与基因类型的对应为：O 型的基因类型为ii ，A 型的基因类型为ai 或aa ，B 型的基因类型为bi 或bb ，AB 型的基因类型为ab ．其中a 和b 是显性基因，i 是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A 型，一个是B 型，请确定他们的子女的血型是O ，A ，B 或AB 型的概率，并填写下表：答案：见解析分析：根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再根据频率与概率的关系即可得解.解：当父母血型的基因类型组合ai ×bi ，得子女血型的基因类型有ai,ab,bi,ii 共4个，则O 型血的概率为14，A 型血的概率为14，B 型血的概率为14，AB 型血的概率为14，当父母血型的基因类型组合ai ×bb ，得子女血型的基因类型有ab,ab,bi,bi 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为0，B 型血的概率为12，AB 型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合aa ×bi ，得子女血型的基因类型有ab,ai,ab,ai 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为12，B 型血的概率为0，AB 型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合aa ×bb ，得子女血型的基因类型有ab,ab,ab,ab 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为0，B 型血的概率为0，AB 型血的概率为1， 填入表中，如表所示：所以一对夫妻的血型一个是A 型，一个是B 型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：ai,ab,bi,ii ，ab,ab,bi,bi ，ab,ai,ab,ai ，ab,ab,ab,ab 共16个，则他们的子女的血型是O 型血的概率为116，A 型血的概率为316，B 型血的概率为316，AB 型血的概率为916. 17、从编号为A 、B 、C 、D 的4名男生和编号为m 、n 的2名女生中任选3人参加演讲比赛． (1)把选中3人的所有可能情况一一列举出来； (2)求所选3人中恰有一名女生的概率； (3)求所选3人中至少有一名女生的概率 答案：(1)答案见解析 (2)35 (3)45分析：（1）列举法写出基本事件； （2）结合古典概型概率公式即可求出结果； （3）结合古典概型概率公式即可求出结果. （1）设4名男生分别为A ，B ，C ，D ，两名女生分别为m ，n ，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC ，ABD ，ABm ，ABn ，ACD ，ACm ，ACn ，ADm ，ADn ，Amn ，BCD ，BCm ，BCn ，BDm ，BDn ，Bmn ，CDm ，CDn ，Cmn ，Dmn ，共20种， （2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种， 所以所求概率为1220=35， （3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为1620=45 18、若一正四面体的四个面分别写上数字1，2，3，4，设m 和n 是先、后抛掷该正四面体得到的底面上的数字，用X 表示函数f(x)=x 2+mx +n 零点的个数．（1）求X =0的概率；（2）求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．答案：（1）916；（2）37． 解析：（1）基本事件就是(m,n)，用列举法写出所有的有序数对(m,n)，同时得出方程无实数解的(m,n)，计数后可得概率；（2）写出含有3的有序数对(m,n)，求出对应函数有零点的(m,n)，计数后可得概率．（1）由题意，设基本事件空间为Q ={(m,n )|m =1,2,3,4;n =1,2,3,4}，则Q ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3.2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，则Q 中共有16个基本事件；设函数f(x)=x 2+mx +n 零点的个数为0个时为事件A ，则A ={(m,n )|m =1,2,3,4;n =1,2,3,4; 且m 2−4n <0}，即A ={(1,1),(1,2),(1,3),(1.4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}，则A 中有9个基本事件；所以X =0的概率P(X =0)=916．（2）设先后两次出现的点数中有数字3为事件D ，则Q ={(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)}，故D 中有7个基本事件，设先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的事件为E ，则E ={(3,1),(3,2),(4,3)}，E 中有3个基本事件，所以先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率为37．小提示：关键点点睛：本题考查古典概型，解题关键是事件空间的理解．写出事件空间中的所有基本事件．本题实质就是由1,2,3,4构成的一个有序数对(m,n)为一个基本事件，从而易用列举法写出所有基本事件，并得出满足条件的基本事件．19、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取1张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案：（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.分析：本题可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果.（1）是互斥事件，不是对立事件.理由：“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生的，是互斥事件，不能保证其中必有一个发生，还可能抽出“方块”或者“梅花”，不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，则它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”可能同时发生，如抽得点数为10，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.。

10．2古典概型［知识梳理]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2）任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．（2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是错误!;如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A）＝错误!。

4．古典概型的概率公式P(A)＝错误!。

［诊断自测］1．概念思辨（1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. （）(2）事件A,B至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．(）(3）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，那么事件A的概率为错误!.（)(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．（)答案（1)×（2)×(3）√(4)×2．教材衍化(1)（必修A3P134A组T5）在平面直角坐标系中点（x,y)，其中x，y∈{0，1，2,3,4,5｝，且x≠y，则点（x，y)在直线y＝x的左上方的概率是（)A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!答案B解析在平面直角坐标系中满足x，y∈｛0,1，2,3，4,5}，且x≠y 的点(x，y）共有6×6－6＝30个，而满足在直线y＝x的左上方，即y>x的点（x，y）的基本事件共有15个，故所求概率为P＝错误!＝错误!。

故选B。

(2)(必修A3P134A组T4）已知A，B，C，D是球面上的四个点,其中A,B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条,这两条直线是异面直线的概率等于________．答案错误!解析A,B，C，D四点可构成一个以D为顶点的三棱锥，共6条棱，则所有基本事件有:(AB，BC)，（AB,AC)，(AB，AD)，（AB，BD)，（AB，CD)，(BC，CA），(BC,BD)，（BC,AD)，(BC,CD），（AC，AD），(AC，BD），(AC，CD），（AD，BD),（AD,CD），（BD，CD），共15个，其中满足条件的基本事件有：（AB，CD），（BC,AD)，（AC，BD），共3个，所以所求概率P＝错误!＝错误!。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷7（共22题）一、选择题（共10题）1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对2.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为A．(1−p)n B．1−p n C．p n D．1−(1−p)n3.抛掷一枚骰子，记“朝上的面的点数是1或2”为事件A，“朝上的面的点数是2或3”为事件B，则( )A．A⊆BB．A=BC．事件A+B表示朝上的面的点数是1或2或3D．事件AB表示朝上的面的点数是1或2或34.孪生素数猜想（素数是只有1和自身因数的正整数）是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数．在不超过20的素数中随机选取两个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是( )A．445B．115C．328D．175.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为( )A．①B．②C．③D．④6.在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( )A．2936B．551720C．2972D．291447.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A．23B．35C．25D．158.口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是( )A．16B．13C．12D．239.2020年11月5日−11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区．现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是( )A．110B．310C．25D．3510.掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是( )A．11000B．1999C．12D．9991000二、填空题（共6题）11.对同一目标进行三次射击，第一次、第二次、第三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是．12.玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某歌星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：．13.思考辨析 判断正误某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )14.有三张标号分别为1，2，3的蓝色卡片和两张标号分别为1，2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是．15.判断正误．用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率．16.某盒子中有若干白色的围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入了其中，充分搅拌后随机抽出了30颗数得其中有6颗黑色的围棋子，则根据这些信息估计白色围棋子的数目约为．三、解答题（共6题）17.5个同学任意站成一排，计算：(1) 甲站在正中的概率；(2) 甲、乙两个人站在两端的概率．18.两个盒内分别盛着写有0，1，2，3，4，5，六个数字的六张卡片，若从每盒中各取一张，求所取两数之和等于6的概率．现有甲乙两人分别给出一种解法：．甲的解法：因为两数之和可有0，1，2，⋯，10共包含11个基本事件，所以所求概率为111乙的解法：从每盒中取一张卡片，共有36种取法，其中和为6的情况共有5种：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，因此所求概率为5．36试问哪一种解法正确？为什么？19.最新高考改革方案已在我省实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下．在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．(1) 现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2) 在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．20.在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1) 事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}；(2) 事件B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}；(3) 事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5)(5,3),(4,6),(6,4)}．21.莞草编织的莞席曾是东莞人的骄傲，早在《诗经》就有”上莞下箅，乃安斯寝“．近年来莞草生长环境恶劣，为保护东莞草编织这一非物质文化遗产，东莞市非遗保护中心在沙田镇设立莞草种植基地，以保障莞草的生长．某科研所为进一步改良莞草，对莞草的生长高度进行研究，在基地随机抽取了1000株莞草，测量其生长高度（单位：cm），并绘制成频率分布直方图．如图所示．(1) 求样本中生长高度在115cm以上（含115cm）的株数；(2) 由频率分布直方图估算该基地莞草株高的平均数和方差；(3) 现从该样本中某6株高度依次是：100cm，110cm，112cm，112cm，125cm，125cm的莞草中任取2株，求这两株高度和不少于225cm的概率．22.设人的某一特征（眼睛的大小）是由他的一对基因所决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：(1) 1个孩子由显性决定特征的概率是多少？(2) “该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】D【解析】每位同学不能通过测试的概率是(1−p)，"至少有一位同学能通过测试"的对立事件为"所有同学都没有通过测试"，故所求事件的概率为1−(1−p)n．【知识点】事件的关系与运算、事件的独立性与条件概率3. 【答案】C【解析】由已知得A={1,2}，B={2,3}，则A∩B={2}，A∪B={1,2,3}，所以事件A+B表示朝上的面的点数为1或2或3，故选C．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】D【知识点】古典概型5. 【答案】A【解析】由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，故满足题意的只有①．【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】A【解析】第一个并联支路的上部分畅通的概率为12×23=13，所以其不畅通的概率为1−13=23，则第一个并联支路畅通的概率为1−23×14=56，第二个并联支路畅通的概率为1−15×16=2930，所以当开关合上时，电路畅通的概率是2930×56=2936．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】B【解析】方法一：生物实验室有5只兔子，3只测量过，则有2只未测量，从 5 只兔子中随机取 3 只有 C 53=10 种可能， 恰有 2 只测量过有 C 32⋅C 21=6 种可能，所以恰有 2 只测量过的概率为 610=35．方法二：记 5 只兔子分别为 A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的 3 只兔子为 A ，B ，C ，则从这 5 只兔子中随机取出 3 只的基本事件有 ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共 10 种，其中恰有 2 只测量过该指标的基本事件有 ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共 6 种， 所以所求事件的概率 P =610=35．【知识点】古典概型8. 【答案】D【解析】根据题意，口袋中有 6 个球，其中 3 个红球、 2 个黄球和 1 个白球， 则红球和白球共有 4 个，故从中随机摸出 1 个球，那么摸到红球或白球的概率是 46=23．【知识点】古典概型9. 【答案】C【解析】设事件 A 为从五个专区中选择两个专区参观，且选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区， 则 P (A )=C 11C 41C 52=410=25．【知识点】古典概型10. 【答案】C【解析】每一次出现正面向上的概率都是 12，故选C ．【知识点】古典概型二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.36【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】公平【解析】两枚硬币落地的结果有正反，反正，正正，反反，因此上面两种情况各占 12，是公平的．【知识点】频率与概率13. 【答案】×【知识点】频率与概率14. 【答案】310【解析】因为从这五张卡片中任取两张共有10个基本事件，两张卡片颜色不同且标号之和小于4有2+1=3（个）基本事件，因此所求概率是310．【知识点】古典概型15. 【答案】×【知识点】古典概型16. 【答案】400【解析】白色围棋子的个数估计方法是x白=30×1006−100=400．【知识点】频率与概率三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 15．(2) P22P33P55=110．【知识点】古典概型18. 【答案】乙的解法正确．因为从每个盒子任取一张卡片，都有6种不同的取法，且取到的各张卡片的可能性均相等，所以“从两盒中各取一张卡片”的基本事件总数为36，其两数和为6的情况正是乙所列的5种情况．所以乙的解法正确．而甲的解法中，两数之和可能出现的11个基本事件，其发生的可能性并不均等，所以甲的解法错误．【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 由题意知x500=0.3，所以x=150，所以y+z=60．因为z=2y，所以y=20，z=40．则应抽取“不赞成改革”的教师人数为50500×20=2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为50500×40=4．(2) 至少有1名教师被选出的概率P=C21C42+C22C41C63=12+420=45．【知识点】分层抽样、古典概型20. 【答案】(1) 事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3．(2) 事件B中所合的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6．(3) 事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2．【知识点】事件与基本事件空间21. 【答案】(1) 由频率分布直方图可知，样本中生长高度在115cm以上（含115cm）的频率为(0.01+0.008+0.004)×10=0.22，所以样本中生长高度在115cm以上（含115cm）的株数为：0.22×1000=220．(2) 由频率分布直方图可估计：x=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，s2=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366，所以该基地莞草株高的平均数为100cm，方差为366．(3) 设两株高度和不少于225cm的事件为A，记高度依次为100cm，110cm，112cm，112cm，125cm，125cm，分别为a，b，c，d，e，f，则两株高度和共有15种结果，如下：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，其中A包含了(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共9个结果，所以P(A)=915=35，故这两株高度和不少于225cm的概率为35．【知识点】古典概型22. 【答案】(1) 父母的基因分别为rd，rd．则孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共4种，故具有dd基因的可能性为14，具有rr基因的可能性也为14，具有rd基因的可能性为12，1个孩子由显性决定特征的概率是34．(2) 这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，均为34．【知识点】频率与概率。

第十章 10.1 10.1.3A 级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的是( )A ．从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子,点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD【解析】A,B,D 为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性,而C 不适合等可能性,故不为古典概型．故选ABD ．2．(2021年郑州模拟)一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则第一册和第二册相邻的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34 【答案】C【解析】设一部三册的小说为1,2,3,所以试验的样本空间Ω＝{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共6个样本点,事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点,故第一册和第二册相邻的概率为p ＝46＝23. 3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为( ) A ．25B ．15C ．310D ．35【答案】C【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),而甲、乙都当选的结果有3种,故所求的概率为310.故选C ． 4．(2021年河南模拟)(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56 【答案】BD【解析】由题意设一等品编号为a ,b ,二等品编号为c ,次品编号为d ,从中任取2件的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d ),共6种．对于A,两件都是一等品的基本情况有(a ,b ),共1种,故两件都是一等品的概率P 1＝16,故A 错误；对于B,两件中有1件是次品的基本情况有(a ,d ),(b ,d )(c ,d ),共3种,故两件中有1件是次品的概率P 2＝36＝12,故B 正确； 对于C,两件都是正品的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(b ,c ),共3种,故两件都是正品的概率P 3＝36＝12,故C 错误；对于D,两件中至少有1件是一等品的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),共5种,故两件中至少有1件是一等品的概率P 4＝56,故D 正确． 5．某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23 【答案】B【解析】所有样本点为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点,所以p ＝26＝13.故选B ． 6.(2021年南充模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(——表示一根阳线, 表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】C 【解析】从八卦中任取一卦,基本事件总数n ＝8,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m ＝3,∴所求概率为P ＝38.故选C ． 7．(2021年太原月考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是________．【答案】15【解析】设所取的数中b >a 为事件A ,如果把选出的数a ,b 写成一数对(a ,b )的形式,则试验的样本空间Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共15个,事件A 包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,因此所求的概率P (A )＝315＝15.8．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书,若某同学从中任意选出2本书,则选出的2本书编号相连的概率为__________．【答案】25【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种,满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种,故选出的2本书编号相连的概率为410＝25. 9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,并分别记为x ,y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ,求事件A 发生的概率；(2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ,求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,抛掷第2次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,因为骰子共抛掷2次,所以共有36种结果．(1)事件A 发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果,所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19. (2)事件B 发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果,所以事件B 发生的概率为P (B )＝636＝16. 10．(2021年安庆期末)某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率．解：(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A 1,A 2,A 3,2名中级教师分别记为A 4,A 5,高级教师记为A 6,则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,A 5),(A 1,A 6),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,A 5),(A 2,A 6),(A 3,A 4),(A 3,A 5),(A 3,A 6),(A 4,A 5),(A 4,A 6),(A 5,A 6)},即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的样本点为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),共3种．所以P (B )＝315＝15. B 级——能力提升练11．两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】设两位男同学分别为A ,B ,两位女同学分别为a ,b ,则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知,共有24种等可能的结果,其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种,故所求概率为1224＝12.故选D ． 12．从1,2,3,4中任取两个不同的数,则取出两个数之差的绝对值为2的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．16 【答案】B【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3),(2,4)共2种结果,故取出两个数之差的绝对值为2的概率p ＝26＝13.故选B ． 13．(2021年哈尔滨月考)在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合再任意排成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】C【解析】一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字,而由1,2,3,4,5组成的五位数中,个位数是1,2,3,4,5是等可能的,“被2或5整除”这一事件等价于个位数字为2,4,5,∴所求概率为35＝0.6.故选C ． 14．(2021年聊城期末)在国庆阅兵中,某兵种A ,B ,C 三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B 先于A ,C 通过的概率为________．【答案】13【解析】用(A ,B ,C )表示A ,B ,C 通过主席台的次序,则试验的样本空间Ω＝{(A ,B ,C ),(A ,C ,B ),(B ,A ,C ),(B ,C ,A ),(C ,A ,B ),(C ,B ,A )},共6个样本点,其中事件B 先于A ,C 通过的有(B ,C ,A )和(B ,A ,C ),共2个样本点,故所求概率P ＝26＝13.15．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个样本点(a ,b )．记“这些样本点中,满足log b a ≥1”为事件E ,则E 发生的概率是________．【答案】512【解析】事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字,共有12种结果,满足条件的样本点是满足log b a ≥1,可以列举出所有的样本点,当b ＝2时,a ＝2,3,4；当b ＝3时,a ＝3,4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是3＋212＝512. 16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛,其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学,从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言,写出所有可能的结果,并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画,写出所有可能的结果,并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ,B ,C ,其中A 为女同学,B ,C 为男同学,选出的3名高二乙班同学为D ,E ,F ,其中D 为男同学,E ,F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),(D ,E ),(D ,F ),共9种,故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p ＝915＝35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共9种,选出的2名同学性别相同的有(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),共4种,所以选出的2名同学性别相同的概率为49. C 级——探索创新练17．(2020年江西月考)某学校有40名高中生参加足球特长生初选,第一轮测身高和体重,第二轮足球基础知识问答,测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)用分层抽样的方法从成绩在第3,4,5组的高中生中抽6名组成一个小组,若从6人中随机选2人担任小组负责人,求这2人来自第3,4组各1人的概率．解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x ＋0.02)×5＝1,所以x ＝0.04.所以成绩的平均值为0.05×75＋802＋0.35×80＋852＋0.30×85＋902＋0.20×90＋952＋0.10×95＋1002＝87.25. (2)第3组学生人数为0.30×40＝12,第4组学生人数为0.20×40＝8,第5组学生人数为0.10×40＝4,所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3,2,1.第3组的3人分别记为A 1,A 2,A 3,第4组的2人分别记为B 1,B 2,第5组的1人记为C ,则从中选出2人的基本事件为共15个,记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人,这2人来自第3,4组各1人”为事件M , 则事件M 包含的基本事件为(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),共6个,所以P (M )＝615＝25.。

古典概型【基础全面练】 (25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列是古典概型的是( )A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止【解析】选C.A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本空间是无限的，故B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项中样本空间不是有限个，各个样本点的发生也不具有等可能性，故D 不是．2．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14. 3．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A ．310B ．25C ．12D ．35【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)共10种等可能发生的结果，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 4．已知A ＝{1，2，3}，B ＝{x∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B 的概率是( ) A ．29 B ．13 C ．89D ．1【解析】选C.因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到构成的基本事件总数为9(如表所示).因为A∩B＝B当B ＝∅时，a 2－4b<0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b.当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b.综上，符合条件的结果有8种．所以A∩B＝B 的概率P ＝89. 二、填空题(每小题5分，共10分)5．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则事件A ＝“三人在同一个食堂用餐”包含的样本点个数为________．【解析】a ，b ，c 三名学生选择食堂的结果有：(A ，A ，A)，(A ，A ，B)，(A ，B ，A)，(A ，B ，B)，(B ，A ，A)，(B ，A ，B)，(B ，B ，A)，(B ，B ，B)共8个，三人在同一食堂用餐的结果有：(A ，A ，A)，(B ，B ，B)，共2个．答案：26．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)n ＝________；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b.记事件A 表示“a＋b ＝2”，则事件A 的概率为________．【解析】(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2. (2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝ {(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个，事件A 包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．所以P(A)＝412 ＝13. 答案：(1)2 (2)13三、解答题(每小题10分，共20分)7．某涉外公司经理计划从3个亚洲国家分公司A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家分公司B 1，B 2，B 3中选择2个公司去调研．(1)若从这6个分公司中任选2个，求这2个公司都在亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选1个，求这2个公司包括A 1但不包括B 1的概率．【解析】(1)由题意知，从6个公司中任选两个，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)}，共15个．所选两个公司都在亚洲国家的事件所包含的样本点有：{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315 ＝15. (2)从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有：{(A 1，B 2)，(A 1，B 3)}，共2个，则所求事件的概率为P ＝29. 8．新高考数学试题中有多项选择题，要求为：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某多项选择题的正确答案是BCD.(1)若甲同学不会做该题，但他想猜对得5分，就随机填写了一个答案，求他得5分的概率．(2)若乙同学也不会做该题，他只想得3分，就按单项选择题处理，随机填写了一个答案，求他得3分的概率．【解析】(1)该事件的样本空间Ω＝{(AB)，(AC)，(AD)，(BC)，(BD)，(CD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，(ABCD)}，共11个样本点，每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率．用A 表示“甲同学得5分”，则A ＝{(BCD)}，含有1个样本点，所以P(A)＝111. (2)该事件的样本空间Ω＝{(A)，(B)，(C)，(D)}，共4个样本点，每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率．用B 表示“乙同学得3分”，则B ＝{(B)，(C)，(D)}，含有3个样本点，所以P(B)＝34.【综合突破练】 (20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B ．13 C ．29 D ．19【解析】选D.分类讨论法求解．个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545 ＝19. 2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则19是下列哪个事件的概率( )A.颜色全同B ．颜色不全同 C.颜色全不同 D ．无红球【解析】选A.有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327 ＝19 ；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427 ＝89；颜色全不同的结果有6种，其概率为627 ＝29 ；无红球的情况有8种，其概率为827. 二、填空题(每小题5分，共10分)3．一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．若某人从中任选2道题，每一次选1题(不放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为________，若从中任选2道题，每一次选1题(有放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为________．【解析】将3道选择题依次编号为1，2，3；2道填空题依次编号为4，5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A 为“所选的题不是同一种题型”，则事件A 包含的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共12种，所以P(A)＝1220＝0.6. 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B 为“所选的题不是同一种题型”，故所选题不是同一种题型的样本点共12种，所以P(B)＝1225＝0.48. 答案：0.6 0.484．设集合P ＝{x ，1}，Q ＝{y ，1，2}，P ⊆Q ，x ，y∈{1，2，3，…，9}．在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x ，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x 2＋y 2＝r2内的概率恰为27，则r 2的一个可能整数值是________(只需要写出一个即可). 【解析】满足条件的点有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(7，7)，(8，8)，(9，9)，共14个．欲使其落在x 2＋y 2＝r 2内的概率为27，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r 2≤32，故r 2＝30或31或32.答案：30(或31或32)三、解答题(每小题10分，共20分)5．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解析】设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝1890 ＝15. (2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P(A)＝18100 ＝950. 6．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A ，B ，C ，田忌的三匹马分别为a ，b ，c ；三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A ，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．【解析】(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa ，Bb ，Cc)，(Aa ，Bc ，Cb)，(Ab ，Ba ，Cc)，(Ab ，Bc ，Ca)，(Ac ，Ba ，Cb)，(Ac ，Bb ，Ca).经分析：仅有配对为(Ac ，Ba ，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为16. (2)田忌的策略是首场安排劣马c 出赛，基本事件有2个：(Ac ，Ba ，Cb)，(Ac ，Bb ，Ca)，配对为(Ac ，Ba ，Cb)时，田忌获胜，则获胜的概率为12 .。

10.1.3古典概型课后篇巩固提升基础达标练1.(2020全国高一课时练习)下列试验是古典概型的是()A.种下一粒大豆观察它是否发芽B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况D.某人射击中靶或不中靶C具有古典概型两个特征.2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A. B. C. D.5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=.故选A.3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B. C. D.1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是.4.(2020某某高三月考)今年春节期间,一场突如其来的新型冠状病毒肺炎自某某开始迅速向全国蔓延,随之而来的是医疗物资的紧缺,由于某某医务人员和医院床位严重不够,国家领导人当机立断,仅仅用了十多天时间建成两座医院,名为“火神山”“雷神山”,全国人民如同一家人,纷纷捐款捐物,全国各地的白衣天使义无反顾踏上志愿者之路,纷纷驰援某某.假设火神山医院有2名志愿者医生来自某某湘雅医院,有2名志愿者医生来自某某某某医科大学附属医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为()A. B. C. D.2名来自某某湘雅医院的医生分别为a,b,记2名来自某某某某医科大学附属医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P=.5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是()A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为164件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.设x1,x2为抽取的2件产品,则(x1,x2)可表示样本点.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},设A=“恰有一件次品”,则A={(1,a),(2,a),(3,a)},因此其概率P=,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a, 2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.6.(2020某某某某一中高三一模)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有如图所示图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是.1个数,记为x1,x2,则(x1,x2)可表示样本点,样本点总数n=4×5=20,设A=“其和等于11”,则A={(9,2),(3,8),(7,4),(5,6)},∴其和等于11的概率P=.7.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是.,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为.8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F ),(E,F)},共15种结果.设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=.能力提升练1.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是()A. B. C. D.(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=.2.(多选题)(2019全国高一课时练习)下列关于各事件发生的概率判断正确的是()A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.3.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是.Ω={(甲、乙),(甲、丙),(甲、丁),(乙、丙),(乙、丁),(丙、丁)},其中“没有女生当选”只包含(甲、乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P=1-P(没有女生当选)=1-.4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=.5.(2020全国高一课时练习)现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为.7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2)}.“A 1和B 1全被选中”有2个样本点(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),“A 1和B 1不全被选中”共有10个样本点,则A 1和A 2不全被选中的概率为.6.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:(1)求这5天发芽数的中位数;(2)求这5天的平均发芽率;(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m ,后面一天发芽的种子数为n ,用(m ,n )的形式列出所有样本点,并求满足“”的概率.因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为×100%=24%.(3)用(x ,y )表示所求试验的样本点,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个样本点.记“”为事件A,则A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3个样本点.所以P(A)=,即事件“”的概率为.素养培优练1.(2020全国高一课时练习)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是.1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个.同理,由1,2,4组成的三位自然数共6个;由1,3,4组成的三位自然数也是6个;由2,3,4组成的三位自然数也是6个.所以共有6+6+6+6=24(个).由1,2,3组成的三位自然数,共6个“有缘数”.由1,3,4组成的三位自然数,共6个“有缘数”.所以三位数为“有缘数”的概率P=.2.(多选题)(2019某某沂水第二中学高二月考)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件A k(3≤k≤8,k∈N*),若事件A k的概率最大,则k的取值可能是()A.4B.5C.6D.7,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(A k)max=P(A5)=P(A6)=.。