福建省泉州市台商投资区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期末数学试卷一．选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值等于（）A．B．C．D．2．（4分）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．53．（4分）下列说法中不正确的是（）A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件C．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件D．一组数据6，7，8，9，10 的方差是34．（4分）函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≤1D．k≤1且k≠0 5．（4分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（）A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm26．（4分）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数B．只有中位数C．只有众数D．中位数和众数7．（4分）如图，⊙O的半径为10，若OP＝8，则经过点P的弦长可能是（）A．10B．6C．19D．228．（4分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．129．（4分）已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（）A．2B．0C．﹣6D．﹣910．（4分）如图：已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+2上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3图象的顶点坐标为．12．（4分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是．13．（4分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为_______米．14．（4分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过A（0，4），B（4，4），C（6，2）三个网格点，已知点D为x轴正半轴上的一点，若直线CD与该圆弧相切，则点D的坐标为．15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（4，0）．已知：抛物线y＝x2﹣2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取（写出所有正确结论的序号）．①n＝1；②n＝2；③n≤﹣8；④﹣8≤n＜﹣3；⑤﹣8≤n≤﹣316．（4分）如图：⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，（1）求∠C的度数是．（2）求△ABC的最大面积是．三．解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，点B 的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一点，直线BP与y轴交于点C．（1）求a的值．（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标．（3）连接AP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积为S．当1＜m＜时，直接写出S 的取值范围．19．（8分）如图：现有一架长4m的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．（1）当梯子与地面夹角为60°时，求这架梯子底端A与墙角C的距离；（2）若将梯子底端沿CA方向滑动1m到点A′处，此时能否安全使用这架梯子？如果能，请说明理由．如果不能，也请说明理由．20．（8分）作图题：如图：在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，（1）用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求△CDE内切圆半径r的值．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连接AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE＝∠EAB．（1）试说明E为的中点；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C＝，求AD的值．22．（10分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料平均价格（元/瓶）0234（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．23．（10分）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，求证BD＝AD；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．24．（12分）已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．25．（14分）已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC 交y轴于D点，连接BC．（1）当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值；（2）当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E 点，求证：M为BE的中点；（3）若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x 轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式．2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．【分析】根据余弦的定义，角的邻边与斜边的比值，就可以求出．【解答】解：cos A＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查对三角函数的定义的记忆．2．【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．【点评】本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．【分析】根据事件发生的可能性大小、方差公式判断即可．【解答】解：A、想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；C、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；D、数据6，7，8，9，10 的平均数＝（6+7+8+9+10）＝6，方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，本选项说法不正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】分为两种情况：①当k≠0时，求出Δ＝b2﹣4ac＝﹣16k+16≥0的解集即可；②当k＝0时，得到一次函数y＝﹣4x+4，与x轴有交点；即可得到答案【解答】解：①当k≠0时，kx2﹣4x+4＝0，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k×4＝﹣16k+16≥0，k≤1；②当k＝0时，y＝﹣4x+4，与x轴有交点．综上所述，k的取值范围是k≤1．故选：C．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．5．【分析】由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE 和△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ADE的面积．【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，即＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，相似比为，故S△ADE：S△ABC＝1：4，即四边形BCED的面积＝S△ABC＝3cm2，∴S△ABC＝4cm2，∴△ADE的面积＝1cm2．故选：A．【点评】本题主要考查对相似三角形性质及三角形的中位线定理的理解．6．【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，追加后5个数据的中位数是5，众数为5，∵数据追加后平均数会变大，∴集中趋势相同的只有中位数和众数，故选：D．【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．7．【分析】过点P作弦CE⊥OP，连接OC，根据勾股定理求出CP，根据垂径定理求出CE，判断即可．【解答】解：过点P作弦CE⊥OP，连接OC，由勾股定理得，CP＝＝6，则CE＝2CP＝12，∴过点P的最短的弦长为12，∵⊙O的半径为10，∴⊙O的直径为20，即过点P的最长的弦长为20，∴12＜点P的弦长＜20，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．8．【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．9．【分析】求得抛物线的对称轴，开口向下，在对称轴左边函数y随x的增大而减小，在对称轴的右边函数y随x的增大而增大，即可判断．【解答】解：∵y＝ax2+4ax+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣＝﹣2，开口向下，∴在对称轴的右边函数y随x的增大而减小，∵3＞﹣2，∴﹣2＜m＜3，∵A（3，n）关于对称轴的对称点为（﹣7，n），在对称轴的左边函数y随x的增大而增大，∴﹣7＜m＜﹣2，故m不可能为﹣9，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断函数的增减性；利用抛物线上点的横坐标大小比较纵坐标的大小．10．【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．【解答】解：如图，①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），③若∠C为直角，则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线的交点上．在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），当y＝0时x＝6，即点P（6，0），则PQ＝＝4，过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F，则∠EFP＝∠QOP＝90°，∵∠EPF＝∠QPO，∴△EFP∽△QOP，∴＝，即，解得：EF＝4.5，∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线恰好有两个交点．所以直线上有一点C满足∠ACB＝90°．综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为4，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．【分析】根据二次函数顶点式求解．【解答】解：∵二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．12．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．13．【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴水平距离为7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14．【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心M的坐标，设D（x，0），则可表示出MC、DC和MD的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标．【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为M，作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心M（2，0），设D（x，0），由题意可知MD2＝（x﹣2）2，MC2＝（6﹣2）2+（2﹣0）2＝20，CD2＝（x﹣6）2+22＝x2﹣12x+40，∵CD与圆相切，∴MC⊥CD，∴MC2+DC2＝MD2，即20+x2﹣12x+40＝（x﹣2）2，解得x＝7，∴D（7，0），故答案为：（7，0）．【点评】本题主要考查垂径定理和切线的性质，利用点的坐标确定出圆心坐标是解题的关键．15．【分析】当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，于是得到结论．【解答】解：二次函数关于直线x＝1对称，x轴上的（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称．要满足一个交点的话，这个交点的横坐标只能3＜x≤4．由题意：，解得﹣8≤n＜﹣3．若二次函数的顶点在AB上时，Δ＝4﹣4n＝0，∴n＝1，故答案为：①④．【点评】本题考查了函数图象与系数的关系，利用图象与x轴的交点在线段AB上得出不等式组是解题关键．16．【分析】（1）连接OA、OB，如图1，由OA＝OB＝AB＝1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得∠APB＝∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C ＝60°；（2）因为AB＝1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB＝60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如图2，于是当点C优弧AB 的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．【解答】解：（1）连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°；（2）∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质；记住等边三角形的面积公式．三．解答题（本大题共9小题，共86分）17．【分析】分别进行绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值，最后合并即可．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+＝﹣1．【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．18．【分析】（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，列方程求a的值；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥CO，由平行线分线段成比例定理求出点D的坐标，即得到点P的横坐标，再由二次函数的关系式求出点P的纵坐标；（3）过点P作PD⊥x轴于点D，用含m的代数式表示点P的坐标，由二次函数的关系式可以求出点A、B的坐标及线段AB的长，将△ABP的面积即S用含m的代数表示即得到S关于m的二次函数，再由二次函数的性质求出S的取值范围．【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得9a+12﹣3＝0，解得a＝﹣1．（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，∵CO⊥OB，∴PD∥CO．∴．∵P是BC的中点，∴＝1，∴＝1，∴OD＝BD＝OB＝．∴D（，0），∴点P的横坐标为；由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝时，，∴点P的坐标为（）．（3）如图2，作PD⊥x轴于点D，则P（m，﹣m2+4m﹣3），当y＝0时，由﹣x2+4x﹣3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2；∵点P在第一象限的抛物线上，PD＝﹣m2+4m﹣3，∵S＝S△ABP＝AB•PD，∴S＝×2（﹣m2+4m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3，∵S＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，且1＜m＜，∴当m＝2时，S最大＝1，若m＝1，则S＝0，∴S的取值范围是0＜S≤1．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行线分线段成比例定理、解一元二次方程等知识与方法，解第（3）题的关键是过点P作x轴的垂线，将点P的纵坐标用二次函数的关系式来表示，从而得出S关于m的函数关系式，再由二次函数的性质求出S的取值范围．19．【分析】（1）根据锐角三角函数关系求出AC的长即可；（2）利用锐角三角函数关系得出α的余弦值，进而得出α度数，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝90°，AB＝4m，∴cos∠BAC＝，∴AC＝AB•cos60°＝4×＝2（m），即这架梯子底端A与墙角C的距离为2m；（2）不能够安全地使用这个梯子，理由：根据题意得：A'C＝1m+2m＝3m，即梯子的底端距离墙面3m，∴cosα＝＝0.75，∴∠α≈41°，∵梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．∴此时不能够安全地使用这个梯子．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．20．【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；（2）根据勾股定理求出AE，CE的长，然后利用三角形内切圆的性质列式计算即可．【解答】解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，点E即为所求；（2）由（1）可得：BC＝BE＝AD＝10，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝8，∴DE＝10﹣8＝2，在△CDE中，∠D＝90°，CD＝AB＝6，DE＝2，∴CE＝＝2，∵△CDE内切圆半径为r，∴2﹣r+6﹣r＝2，∴r＝4﹣．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．21．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABE＝∠EAD，＝，证明结论；（2）连接OE交AD于H，根据垂径定理得到AH＝DH＝AD，根据余弦的定义求出OA、OH，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠AFE+∠EAD＝90°，∵∠AFE＝∠EAB，∴∠ABE＝∠EAD，∴＝，∴点E是的中点；（2）解：如图，连接OE交AD于H，∵点E是的中点，∴OH⊥AD，∴AH＝DH＝AD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠AOH＝∠C，∴cos∠AOH＝＝，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣1，∴＝，解得：x＝，∴OH＝﹣1＝，∴AH＝＝＝2，∴AD＝2AH＝4．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；（2）根据加权平均数的定义计算可得；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）这个班级的学生人数为15÷30%＝50（人），选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），补全图形如下：（2）＝2.2（元），答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；（3）画树状图如下：由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，所以恰好抽到2名班长的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°，如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题；（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT （AAS）可得结论．【解答】解：（1）∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB，如图1中，过点D作DT⊥BC于点T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD；（2）如图2中，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于点T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝3，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝（3）2﹣x2，解得：x＝3，∴PE＝HE＝3，∴AP＝PH＝CH＝BH＝6，BE＝9，在Rt△ABQ中，∵BQ＝3，AQ＝6+3＝9，∴AB＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝10．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．【分析】（1）令得，再由△ABC为等腰直角三角形得．解出c即可；（2）设B点坐标为，由OC＝2OB得直线BC的解析式．再由得，，再由D为OA的中点得直线MC的解析式为，再和抛物线联立即可求得或，即可证得M为BE的中点；（3）过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，由△MBC的内心在直线x＝m上可证△BMG ∽△CMH，．由此可得得x1+x2＝﹣2m，从而直线l1的解析式为x＝﹣m．再求直线MA的解析式，将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，即可证得证P点在一条新抛物线上．【解答】（1）解：令，解得．∴．∵△ABC为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OA＝c，∴．解得c1＝0（舍去），c2＝2，∴c＝2；（2）证明：如图，设B点坐标为，∵OC＝2OB，∴，设直线BC的解析式为y＝kx，将点B代入，得，∴∴．将点代入，得，整理得，∴（正值已舍），∴，．∵D为OA的中点，∴D点坐标为，则直线MC的解析式可设为，将点代入，解得，∴直线MC的解析式为，由，得，解得或，∴，即M为BE的中点；（3）证明：如图，过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，∵△MBC的内心在直线x＝m上，∴∠BMG＝∠CMH，∴△BMG∽△CMH．∴，则有，得x1+x2＝﹣2m，∴直线l1的解析式为x＝﹣m．设直线MA的解析式为y＝k2x﹣c，将代入，得，解得，∴直线MA的解析式为．将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，∴P点在新抛物线上．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法、求两函数交点坐标、内心的概念、相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是求得或以及过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，构造△BMG∽△CMH．。

泉州台商投资区2023－2024学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（答案）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.D3.D4.B5.A6.B7.D8.A9.B 10.B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.x ≥412.-213.-114.16:2515.124x y x =--(0<x ≤2,范围没写不扣分）16.1.5三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（8分）()011-11=-+ (6)分2=-……………………………2分18.（8分）解：原式()()111a a a a a +-+=÷……………………………2分()()111a a a a a +=⋅+-……………………………2分11a =-……………………………2分当1a =+时，原式==……………………………2分19.（8分）解：22410x x +-=2241x x +=2122x x +=……………………………2分212112x x ++=+∴()2312x +=，……………………………2分∴612x +=±，……………………………2分解得：x 1=612-+或x 2=612--．……………………………2分20.（8分）解：（1）如图所示：△A 'B 'C '即为所求；……………………………5分（2）P '的坐标为：（，）．……………………………3分21.（8分）解：（1）点D 的位置如图所示：……………………………4分（2）∵11,22AD AB AB AC ===，且∠A=∠A，……………………………4分∴△ABD∽△ACB．22.（10分）（1）证明：()22(3)42(1)0m m m ∆=+-+=+≥ ，……………5分∴方程总有两个实数根．（2）2(3)20x m x m -+++= ，()()210x m x ∴---=，12x m ∴=+，21x =．……………………………2分方程两个根的绝对值相等，21m ∴+=±．……………………………2分3m ∴=-或1-．……………………………1分23.（10分）（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，由题意得，()21001144x +=，……………………………3分解得20%x =或 2.2x =-（舍去），∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；……………………………1分（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m 元，由题意得()()30600104010000m m ---=⎡⎤⎣⎦，……………………………3分整理得213040000m m -+=，解得50m =或80m =，……………………………2分∵尽可能让顾客得到实惠，∴50m =，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．……………………………1分24.（12分）解：（1）BC=10；……………………………2分（2）如图②，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 为平行四边形，∴BG=AD=3，∴GC=10−3=7，由题意得，当M 、N 运动t 秒后，CN=2t ，CM=10−3t ，∵AB ∥DG ，MN ∥AB ，∴DG ∥MN ，∴∠NMC=∠DGC ，又∵∠C=∠C ，∴△MNC~△GDC ，……………………………2分∴CN CM CD CG =,∴210357t t -=，解得t=5029；……………………………2分（3）第一种情况：当NC=MC 时，如图③，此时2t=10−3t ，∴t=2；……………………………2分第二种情况：当MN=NC 时，如图④，作NE ⊥MC 于E ，DH ⊥BC 于H ，∵∠C=∠C ，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC~△DHC ，∴NC EC DC HC =，即：()31120325-t t =，解得：t=5027；……………………………2分第三种情况：当MN=MC 时，如图⑤，作DH ⊥BC 于H ，MF ⊥CN 于F ，则FC=12NC t =，∵∠C=∠C ，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC~△DHC ，∴FC MC HC DC =，即：10353t t -=，解得：t=157；……………………………2分综上所述，当t=2、t=5027或t=157时，△MNC 为等腰三角形．25.（12分）解：（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：∠APO=∠B=90°．……………………………2分∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC ．……………………………2分∵∠D=∠C ，∠APD=∠POC ．∴△OCP ∽△PDA ；②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，△OCP ∽△PDA ；12∴====OC OP CP PD PA DA ……………………………1分∴PD=2OC ，PA=2OP ，DA=2CP ．∵AD=8，∴CP=4；∵BC=AD=8．设OP=x ，则OB=x ，CO=8-x ．在Rt △PCO 中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x ，CO=8-x ，∴x 2=（8-x ）2+42解得：x=5．……………………………2分∴AB=AP=2OP=10．∴边AB 的长为10．……………………………1分（2）结论：线段EF 的长度不发生变化，E F =……………………………1分理由：如图2中，作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，∵AP=AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB=∠ABP=∠MQP ．∴MP=MQ ，∵BN=PM ，∴BN=QM ．∵MP=MQ ，ME ⊥PQ ，∴EQ 12=PQ ……………………………2分∵MQ ∥AN ，∴∠QMF=∠BNF ，在△MFQ 和△NFB 中，QFM NFB QMF BNF MQ BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MFQ ≌△NFB （AAS ），∴QF=FB ，……………………………2分∴QF 12=QB ∴111,2EF 22=+=+=EQ QF PQ QB PB 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴B P ==∴12EF ==PB ……………………………1分∴当点M 、N 在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为。

福建省泉州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题一、单选题1x 的取值范围是（ ）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≤-D ．2x <- 2．若34b a =，则a b a b -+的值是（ ） A ．17- B ．17 C ．7- D ．73．下列说法正确的是（ ）A ．抛一枚质地均匀的硬币8次，其中正面朝上的有5次，所以正面朝上的概率为58B ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等4）A B C D 5．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）．A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB 的长为10米，梯子与地面形成的夹角为41BAC ∠=︒，则墙的高度BC 为（ ）A ．10cos41︒米B ．10sin 41︒米C ．10cos 41︒米 D ．10sin 41︒米 7．如果把方程2650x x ++=变形为()2x a b +=的形式，那么以a b ，长为直角边的 Rt ABC △中cos B 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．348．已知m n 、为一元二次方程2290x x +-=的两个根，则2m m n +-的值为（ ） A ．7- B ．0 C ．7 D ．119．如图所示，ABC V 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12BCD 10．如图，以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ．若A D O A =，则ABC V 与DEF V 的周长之比为（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:2二、填空题11=．12．一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共20枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了300次，其中有120次取到黑棋子，由此估计盒子中有枚黑棋子.13．在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:2:3AD AB =，4AE =，2CE =，3DE =，那么BC 的长是．14．如图，AB CD EF ∥∥，如果2AD =， 1.5DF =， 1.8CE =，那么BE 的长是．15．如图，在Rt ABC △中，90,3ACB BC ∠=︒=，点D 为斜边AB 上的一点，连接CD ，将BCD △沿CD 翻折，使点B 落在点E 处，点F 为直角边AC 上一点，连接DF ，将ADF △沿DF 翻折，点A 恰好与点E 重合．若52DC =，则AF =．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且11OB =，160ODB ∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323,A A B L ，按此规律进行下去，则点2024A 的横坐标是．三、解答题171+18．解方程：22580x --=（）． 19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，<AC BC ，8BC =，点O 为边AB 中点．(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在BC 上作一点D ，使得BD AC CD =+；（不写作法，保留作图痕迹．）(2)在（1）的条件下，连接OD ，若OD =Rt ABC △的面积为．20．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？21．一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是2，3，5，8．这些小球除标有的数字不同外其他都相同．(1)从这个袋子里随机摸出一个小球（摸出后不放回），摸出标有数字“3”的小球的概率是________；下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是________．(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请利用画树状图或列表的方法，求这个两位数是奇数的概率．22．如图1，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接DE ．将D C E△绕点C 逆时针旋转得到D CE ''△（如图2），连接BE '，AD '．(1)求证：AD C BE C ''∽V V ；(2)已知2AC =，4BC =，分别延长BE '，AD '交于点F ．①若3AF =，求BF 的长；②连接FC ，若65FC =，直接写出12AF BF -的值． 23．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD ，首先在斜坡CD 的底端C 测得高楼顶端A 的仰角是60︒，然后沿斜坡CD 向上走到D 处，再测得高楼顶端A 的仰角是37︒，已知斜坡CD 的坡比是1:6i =，斜坡CD 的底端C 到高楼AB 底端B 的距离是B C E 、、三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：(1)求高楼AB 的高度；(2)求点D 离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 1.73≈）24．已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得2212120x x x x --=成立?若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．25．如图1，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点P 是对角线BD 上任意一点，连接AP ，过A 点作AE AP ⊥，且12AP AE =，连接BE ．(1)证明：DAP BAE V V ∽．(2)四边形AEBP 可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形AEBP 的面积，如果不可能，请说朋理由；(3)如图2，作A Q P E ⊥，垂足为Q ，当点P 从点D 运动到点B 时，直接写出点Q 运动的距离．。