九年级数学 二次函数(11) 二次函数图象及性

考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。

而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项，一次项系数为，常数项为．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣5D ．y ＝（x ﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y ＝2x 2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2（x ﹣3）2+3 B ．y ＝2（x +3）2+3 C ．y ＝2（x ﹣3）2+1D ．y ＝2（x +3）2+24．抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（0，﹣3）D ．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（6，3）．若抛物线y ＝mx 2+2mx +m +3（m 为常数，m ≠0）向右平移a （a ＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB 上，则a 的取值范围为 ．考向二、二次函数的图象特征与最值1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线a bx 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上 a ＞ 二次函数有最小值ab ac 442-；开口向下 a ＜ 二次函数有最大值ab ac 442-；2. 图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立， 利用排除法，得到最后答案。

《二次函数的图像和性质》知识全解课标要求理解二次函数的概念，会根据函数的解析式画出函数的图像，熟练掌握二次函数的图像及性质。

知识结构知识点1：二次函数概念一般地，形如y=ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.函数的名称反映了函数表达式与自变量的关系.知识点2：2()y a x h k =-+及2y ax bx c =++的图像及性质（1）抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：①当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；②对称轴是直线x=h ；③顶点坐标是（h ，k ）.（2）抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点.一般地，二次函数2y ax bx c =++的图像叫做抛物线2y ax bx c =++，我们可以用配方求抛物线2y ax bx c =++=224()24b ac b a x a a-++的顶点与对称轴.因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b x a =-、顶点坐标是24(,)24b ac b a a --. 内容解析在本节中，教材首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.关于二次函数的图像和性质的讨论分为以下几部分.（1）从最简单的二次函数函数2y x =出发，通过描点画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念.（2）讲述二次函数2y ax =的图像的画法，并归纳出这类抛物线的特征.（3）讨论形如2y ax k =+和2()y a x h =-的函数的图像，然后讨论形如2()y a x h k =-+的函数的图像.（4）讨论函数2y ax bx c =++的图像.上述讨论过程如图26-1所示：重点难点本节的重点是二次函数的概念，结合具体情境体会二次函数的概念.本节的难点是二次函数图像及其性质.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律.让学生在自主学习中，通过对多个实例的讨论分析，逐步学会独立分析问题解决问题的能力.在学习过程中要注意联系实际生活的实例，注意二次函数与生活、技术、社会的联系，特别是联系学生身边的生活、现代科技，以激发学生学习的兴趣和提高实践能力.教法导引（1）在二次函数图像的教学中，应让学生充分经历用描点法画函数图像的过程，引导他们从开口方向、开口大小、对称性、最高（低）点等几个方面去认识二次函数的图像，对比各种不同形式及相同形式但所含常数不同时的各种情况，归纳总结出二次函数的性质，从而发现二次函数的性质，更好地理解二次函数的性质.（2）重视从特殊到一般的探索过程,从具体的例子(数值系数的二次函数)研究中注意比较，发现规律,领会方法；（3）注意渗透数学思想方法，在研究图像时注重利用配方法进行化归，在求二次函数的表达式时注意运用待定系数法.学法建议二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验.因此，在学习这一部分知识之前应先复习一下以前所学的一次函数、反比例函数，复习一下这两种函数的概念、图像、性质及应用，以及研究这两种函数的方法.函数图像实现了函数由数到形，由形到数的转化.运用函数的图像来研究函数的性质是学好函数知识的前提.学生亲自动手画函数的图像，感知函数图像与表达式之间的关系，通过观察图像得出函数的性质.学习中，如果能把数与形紧密地结合起来，不仅可以加深对概念的理解、掌握知识之间的内在联系，而且有利于培养观察图形的能力、逻辑思维与抽象思维的能力、以及灵活运用所学知识分析、解决问题的能力.。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点11 二次函数考点总结一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．316＜m≤13C．m＞316D．316＜m＜13【分析】先判断出x＝4时，y≤0，当x＝5时，y＞0，解不等式，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，∵抛物线与x轴交于点A，B．∴抛物线开口向上，∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∵m＞0，∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，∴m≤1 3，当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，∴m＞3 16，∴316＜m≤13，故选：B．2．（2021•开平区一模）如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（）A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a=1t−3，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．【解答】解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），∴a=1 t−3∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴1t−3＞0，∴t﹣3＞0，∴t＞3．故选：A．3．（2021•河北模拟）对于题目，“线段y=−34x+94(−1≤x≤3)与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是a≤−32，乙的结果是a＞32，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分类讨论a＞0，a＜0两种情况，通过数形结合方法，列不等式求解．【解答】解：如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，即{a+2a2＜39a−6a2≥0 a＞0，解得0＜a＜1，当点C 在点A 上方，点D 在点B 下方时也满足题意， {a +2a 2＞39a −6a 2＜0a ＞0， 解得a ＞32，②a ＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0）， 当点C 与点A 重合或在A 上方时满足题意， 即{a +2a 2≥3a ＜0， 解得a ≤−32．综上所述，0＜a ＜1或a ＞32或a ≤−32． 故选：D ．4．（2021•清苑区模拟）对于二次函数y ＝4（x +1）（x ﹣3）下列说法正确的是（ ）A．图象开口向下B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）C．x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣1【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．【解答】解：y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，A、a＝4＞0，则该抛物线的开口向上，故选项A不符合题意，B、与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B不符合题意，C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，D、图象的对称轴是直线x＝1，故选项D不符合题意，故选：C．5．（2021•衡水模拟）若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（）A．（﹣3，4）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（2，4）【分析】根据二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，∴这个函数图象必过点（﹣3，4），故选：A．6．（2021•石家庄一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（）A．3≤t≤4 B．5≤t≤6C．3≤t≤4，t＝6 D．3≤t≤4或5≤t≤6【分析】把A、B的坐标分别代入抛物线解析式得到关于t的方程，解方程求得t的值，即可得到符合题意的t的取值范围．【解答】解：把A（4，2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得2＝﹣（4﹣t）2+t，解得t＝3或t＝6；把B（4，4）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得4＝﹣（4﹣t）2+t，解得t＝4或t＝5；∴当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是3≤t≤4或5≤t≤6，故选：D．7．（2021•邢台模拟）对于题目：“已知A（0，2），B（3，2），抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m ﹣1（m≠0）与线段AB（包含端点A、B）只有一个公共点，求m的取值范围”．甲的结果是﹣3＜m＜0，乙的结果是0＜m＜32，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：当x＝0时，y＝2m﹣1，当x＝3时，y＝9m﹣9（m﹣1）+2m﹣1＝2m+8，∵y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1＝m（x2﹣3x+2）+3x﹣1＝m（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣1，∴该函数和恒过点（2，5）、（1，2），当（1，2）为抛物线顶点时，该抛物线与线段AB一个交点，此时−−3(m−1)2m=1，得m＝3；当抛物线过点A（0，2），则2m﹣1＝2，此时m=32＞0，抛物线开口向上，又∵抛物线恒过点（1，2），∴抛物线与线段AB一个交点时，2m﹣1＜2，得m＜3 2，∴0＜m＜3 2；当抛物线过点B（3，2）时，2m+8＝2，得m＝﹣3＜0，此时抛物线开口向下，又∵抛物线恒过点（1，2），∴抛物线与线段AB一个交点时，2m+8＞2，得m＞﹣3，∴﹣3＜m＜0；由上可得，0＜m＜32或﹣3＜m＜0或m＝3，故选：D．8．（2021•柳南区校级模拟）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝15，则点P的个数为0；乙：若b＝9，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断甲、乙、丙的判断对与错．【解答】解：∵点P（a，b），当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，∵Δ＝36﹣4×15＜0，∴点P的个数为0；当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，∵Δ＝36﹣4×9＝0，∴a有两个相同的值，∴点P的个数为1；当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，∵Δ＝36﹣4×3＞0，∴有两个不相等的值，∴点P 的个数为2； 故甲、乙对，丙错， 故选：C ．9．（2021•商河县一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3与x 轴交于点A 、B ．下列结论正确的有（ ）个．①m 的取值范围是m ＞0；②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；③若线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，则m 的取值范围是13＜m ≤34；④若抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方，在5＜x ＜6这一段位于x 轴上方，则m 的值为316．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点，得出Δ＞0，即可判断①；用配方法将抛物线解析式配成顶点式，即可判断②；先判断出x ＝3时，y ≤0，当x ＝4时，y ＞0，解不等式，即可判断③；先判断出抛物线在﹣4＜x ＜﹣3这一段位于x 轴上方，结合抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方，得出当x ＝﹣3时，y ＝0，即可得出判断④．【解答】解：①∵抛物线y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3与x 轴交于点A 、B ， ∴Δ＝（﹣2m ）2﹣4m （m ﹣3）＞0， ∴m ＞0，故①正确；②∵y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3＝m （x 2﹣2x +1）﹣3＝m （x ﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；③由②知，抛物线的对称轴为直线为x ＝1， ∵线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数， ∴这些整数为﹣1，0，1，2，3， ∵m ＞0，∴当x ＝3时，y ＝9m ﹣6m +m ﹣3≤0， ∴m ≤34，当x ＝4时，y ＝16m ﹣8m +m ﹣3＞0，∴m ＞13，∴13＜m ≤34，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线为x ＝1，且m ＞0，抛物线在5＜x ＜6这一段位于x 轴上方， ∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x ＜﹣3这一段位于x 轴上方， ∵抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方， ∴当x ＝﹣3时，y ＝9m +6m +m ﹣3＝0， ∴m =316，故④正确， 故选：D ．10．（2021•河北模拟）对二次函数y =12x 2+2x +3的性质描述正确的是（ ） A ．该函数图象的对称轴在y 轴左侧 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．函数图象开口朝下D ．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴负半轴 【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．【解答】解：A 、y =12x 2+2x +3对称轴为x ＝﹣2，在y 轴左侧，故A 符合题意；B 、因y =12x 2+2x +3对称轴为x ＝﹣2，x ＜﹣2时y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； C 、a =12＞0，开口向上，故C 不符合题意；D 、x ＝0是y ＝3，即与y 轴交点为（0，3）在y 轴正半轴，故D 不符合题意；故选：A ．二．填空题（共5小题）11．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，已知A （﹣1，m ）和B （5，m ）是抛物线y ＝x 2+bx +1上的两点，b ＝ ﹣4 ；m ＝ 6 ；将抛物线y ＝x 2+bx +1向上平移n （n 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴没有交点，则n 的最小值为 4 ．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，则−b2×1=2，解得b ＝﹣4，再把（﹣1，m ）代入y ＝x 2﹣4x +1中求出m 的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n 个单位后的解析式为y ＝x 2﹣4x +1+n ，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值．【解答】解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即−b2×1=2，解得b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6；抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点，∴△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，解得n＞3，∵n是正整数，∴n的最小值为4．故答案为﹣4，6；4．12．（2021•永德县模拟）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线x＝1 ．【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x=0+22=1．故答案为：直线x＝1．13．（2020•秦皇岛一模）如图，将抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q．（1）点P的坐标为(−3，−92 )；（2）图中阴影部分的面积为272．【分析】（1）抛物线C 1与抛物线y =13x 2的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P 的坐标；（2）图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）∵把抛物线y =12x 2平移得到抛物线m ，且抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），∴抛物线m 的解析式为y =12（x ﹣0）（x +6）=12x 2+3x =12（x +3）2−92． ∴P (−3，−92)． 故答案是：(−3，−92)；（2）把x ＝﹣3代入=12x 2得y =92， ∴Q （﹣3，92），∵图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，S △POQ =12×9×3=272． ∴阴影部分的面积为272．故答案为：272．14．（2021•桥西区模拟）在平面直角坐标系中，函数y ＝x 2﹣4x 的图象为C 1，C 1关于原点对称的函数图象为C 2．①则C 2对应的函数表达式为 y ＝﹣x 2﹣4x ，②直线y ＝a （a 为常数）分别与C 1、C 2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a 的取值范围 ﹣2＜a ＜﹣1 ．【分析】（1）根据关于原点对称的关系，可得C2；（2）根据图象可得答案．【解答】解：（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y ＝﹣x2﹣4x；故答案为y＝﹣x2﹣4x；（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1．故答案为﹣2＜a＜﹣1．15．（2021•石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：min ）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P 与t 的解析式为 P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 3.75分钟 ．【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中，可得函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P ＝at 2+bt +c 中，{9a +3b +c =0.816a +4b +c =0.925a +5b +c =0.6， 解得{a =−0.2b =1.5c =−1.9，所以函数关系式为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t =−b 2a=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故答案为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，3.75分钟． 三．解答题（共3小题）16．（2021•路北区一模）如图，抛物线L ：y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2，直线l ：x ＝2t 与抛物线、x 轴分别相交于Q 、P 两点．（1）t ＝1时，Q 点的坐标为 （2，2） ；（2）当P、Q两点重合时，求t的值；（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．【分析】（1）把t＝1代入x＝2t即可求出直线l的解析式，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得y＝2，即可求出Q点的坐标；（2）由P、Q两点重合，可知直线与抛物线交于x轴，即交点的纵坐标为0，代入抛物线解析式，即可求得t的值；（3）由题意可知，直线与抛物线交于抛物线顶点，即可得到关于t的方程，求解方程得出t的值，代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，即可得出抛物线解析式；（4）根据“可点”的定义，分t＝1，t＝2，1＜t＜2三种情况讨论，即可得出“可点”的个数．【解答】解：（1）当t＝1时，x＝2，∴直线l的解析式为：x＝2，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得：y＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2，∴Q点的坐标为（2，2），故答案为：（2，2）；（2）∵P、Q两点重合，∴直线与抛物线交于x轴，∴交点为（2t，0），∴﹣（2t﹣t）2+t+2＝0，解得：t＝2或t＝﹣1；（3）∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，∴抛物线顶点坐标为（t，t+2），当Q点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点，∴2t＝t，解得：t＝0，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2；（4）∵1≤t≤2时，∴分三种情况讨论，当t＝1时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，解得：x＝1±√3，∴“可点”在x轴上有3个，抛物线上有3个，共有6个，当t＝2时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，令y＝0，则﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x＝0或4，∴“可点”在x轴上有5个，抛物线上有3个，共有8个，当1＜t＜2时，抛物线与x轴的交点在1−√3和4之间，当L过（3，0）时，“可点”在x轴上有4个，抛物线上有3个，共有7个，综上所述，“可点”的个数为6或7或8．17．（2021•开平区一模）如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，（1）当x=√5时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？【分析】（1）设y﹣3.5＝kx2，用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）解析式求函数最大值即可；（3）根据题意球框距离篮球最高点的水平距离是1.5米，把x＝1.5代入（1）中解析式得出y3.05米即可．【解答】解：（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，∵当x=√5时，y＝2.5，∴2.5﹣3.5＝k×（√5）2，解得：k=−1 5，∴y与x的函数解析式为y=−15x2+3.5；（2）∵y=−15x2+3.5，∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；（3）此次投篮成功，理由：把x＝4﹣2.5＝1.5代入y=−15x2+3.5得：y=−15×1.52+3.5＝3.05，∴（1.5，3.05）在抛物线y=−15x2+3.5上，∴此次投篮成功．18．（2021•海港区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a（a≠0）与y轴交于点A，顶点为B．（1）若抛物线过点（1，4），求抛物线解析式．（2）设点A的纵坐标为y A，用含a的代数式表示y A，求出y A的最小值．（3）若a＞0，随着a增大A点上升而B点下降，求a的取值范围．【分析】（1）把（1，4）代入抛物线解析式求解．（2）用含a代数式表示表示y A，并将解析式化为顶点式求解．（3）分别用含a代数式表示y A，y B，并将其化为顶点式求解．【解答】解：（1）把（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a得4＝a﹣2a+a2﹣2a，解得a1＝﹣1，a2＝4．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3或y＝4x2﹣8x+8．（2）把x＝0代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a，即y A=a2−2a=（a﹣1）2﹣1，∴y A的最小值为﹣1．（3）∵y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a＝a（x﹣1）2+a2﹣3a，∴y A=a2−2a=（a﹣1）2﹣1，y B=a2−3a=(a−32)2−94，∴当a＞1时，随着a增大A点上升；当a＜1.5时，随着a增大B点下降．∴当1＜a＜1.5时，随着a增大A点上升而B点下降．。

二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质1.二次函数图像的画法: 五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。

2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值越大，抛物线的开口越小)。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异 ，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

对称轴122x x x +=，在x 轴上截的线段长是||AB a =。

4.二次函数图象的平移① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

二次函数图象及性质一、研究目标与策略明确研究目标及主要的研究方法是提高研究效率的首要条件。

本文旨在帮助读者掌握二次函数的表达式和意义，能够用描点法画出二次函数的图象并从图象上认识二次函数的性质。

读者还将学会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。

重点难点是二次函数的图象及性质。

为了达成研究目标，读者应该学会分析实际问题中的变量与变量问的关系，列出函数关系式，并善于利用二次函数的图象和性质去解决问题。

读者还应该注意把握二次函数图象的特点，如对称轴、开口方向和顶点坐标，并由此发现和认识二次函数的一些性质。

在研究二次函数时，读者应该善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法。

二、研究与应用科学地预才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复。

在研究新知识之前，读者应该检查自己的知识储备。

本文介绍了三种函数：一次函数、正比例函数和反比例函数。

对于一次函数，读者应该了解其图象特殊点，即与x轴交点和与y轴交点。

对于正比例函数和反比例函数，读者应该注意它们与坐标轴的交点和直线经过的象限。

在研究具体实例的过程中，读者还应该体会化归的思想方法，即将未知化为已知，将复杂化为简单。

形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数称为二次函数（quadratic n）。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是对称轴平行于y轴（或是y轴本身）的抛物线。

当二次项系数a相同时，不同函数的图象方向完全相同，只是顶点位置不同。

画二次函数图象的方法有两种。

第一种是描点法，首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧以顶点为中心对称地描点。

画图时应注意抓住轴、点、与轴的交点、与顶点的交点等关键点。

第二种是平移法，即利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)²+k的形式，确定其顶点坐标，然后将抛物线y=ax²平移，使其顶点平移到目标点。

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。

二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。

本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。

一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。

一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。

参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。

2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。

这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴将图像分成两个完全对称的部分。

3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。

对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。

顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。

4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。

零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。

二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。

二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。

对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。

对于开口向下的二次函数，情况相反。

2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。

3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。

4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。