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步步高选择性必修1PPT第五章 微专题2 导数应用的经典题型突破

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2022-2023学年高二数学 苏教版2019 选择性必修第一册 5.1导数的概念 课件 (20张)

2022-2023学年高二数学 苏教版2019 选择性必修第一册 5.1导数的概念 课件 (20张)

当堂检测
5．已知函数 f (x) x2 a ln x 的图象在(1, f (1)) 处的切线经过坐标原点，则实数a 的值等于___________． 【答案】 1
【详解】因为 f x x2 aln x ，所以 f x 2x a ，所以 f 1 2 a ，又 f 1 1 ，
x
所以 y f x 在1, f 1 处的切线方程为： y 1 2 ax 1 ，
m 又切线过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝ 1(m＋e)．
m 再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1. 故点 A 的坐标为(e,1)．
讲授新课
【方法技巧】 求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出 切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
D．2
【答案】A
【详解】因为 lim
f 3 x f 3 x
2 lim
f 3 x f 3 x 2 f (3) 2 ,
△x0
x
△x0
2x
所以 f (3) 1,故选:A.
当堂检测
4．若 f x x2 ，则 f x 在 x 1 处的切线的斜率为______．
【答案】2 【详解】由题意知， f (x) 2x ，得 f (1) 2 ， 所以曲线在 x 1 处的切线斜率为 2.故答案为：2.
讲授新课 知识点四 两曲线的公切线问题
【例 4】已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋1在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值为________． 4
[解析] 由 f(x)＝x3＋ax＋1，得 f′(x)＝3x2＋a. 4
∵f′(0)＝a，f(0)＝1， 4
∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－1＝ax. 4

苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.1.2瞬时变化率——导数PPT

苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.1.2瞬时变化率——导数PPT
【解析】 在 3s 到(3＋Δt)s 的时间内，该质点的平均速度为 v ＝ΔΔSt ＝ 3＋Δt2＋1Δ0t－32＋10＝(6＋Δt)m/s，
当 Δt 无限趋近于 0 时， v 无限趋近于 6，即 v＝6 m/s， 所以当 t＝3s 时该质点的瞬时速度为 6 m/s.
例 2 自由落体运动的位移 S(m)与时间 t(s)的关系为 S＝12gt2(g 是常数)． (1) 分别求当 t＝0.1 s，t＝2 s 时的瞬时速度； (2) 求当 t＝t0 s 时的瞬时速度． 【解析】 (1) 在 0.1s 到(0.1＋Δt)s 的时间内，平均速度为 v ＝ΔΔSt ＝ 12g0.1＋ΔΔtt2－12g·0.12＝0.1g＋12gΔtm/s. 当 Δt 无限趋近于 0 时， v 无限趋近于 0.1g m/s， 所以当 t＝0.1s 时的瞬时速度为 0.1g m/s. 同理可得当 t＝2s 时的瞬时速度为 2g m/s.
应的平均速度为－பைடு நூலகம்Δt－6，则该质点在 t＝1 时的瞬时速度是( )
A. －3
B. 3
C. 6
D. －6
【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在 t＝1 时的瞬时速 度为 Δt 无限趋近于 0 时的平均速度，所以 v＝－6.
【答案】 D
3. (多选)为满足人民对美好生活的向 往，环保部门要求相关企业加强污水治理， 排放未达标的企业要限期整改．设企业的污 水排放量 W 与时间 t 的关系为 W＝f(t)，用－ fbb－－afa的大小评价在[a，b]这段时间内企 业污水治理能力的强弱．已知在整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与 时间的关系如下图所示．则下列结论中正确的是( )
(2) 在 t0 到 t0＋Δt 的时间内，平均速度为 v ＝ΔΔSt ＝ 21gt0＋ΔΔtt2－12g·t20＝ t0g＋12gΔtm/s，

苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第五章 导数及其应用 5.1.2 第2课时 导数

苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第五章 导数及其应用 5.1.2 第2课时 导数

重难探究•能力素养全提升
探究点一 求切线的方程
【例 1】 已知曲线
1 3 4
y= x + .
3
3
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解 (1)∵P(2,4)在曲线
1 3 4
y=3x +3上,
∴曲线在点 P(2,4)处切线的斜率为
1
k= lim 3
4 1
(2)函数f(x)的导函数f'(x)在[a,b]上是增函数,若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b,
则有f'(a)<f'(x1)<f'(x2)<f'(b),根据导数的几何意义,可知函数y=f(x)的切线斜
率在[a,b]内单调递增,观察图象,只有A选项符合.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数在某点处的导数及其几何意义;
5
1
∴f(1)+f'(1)= + =3.
2
2
1
y=2x+2,得
1
5
1
f(1)=2×1+2=2,f'(1)=2.
本 课 结 束
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值
Δ
Δ
(0 + Δ)-(0 )
=
无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处
Δ
并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率),记作
f(x +x)-f(x 0 )
f'(x0)
. f'(x0)= 0

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 精品教学课件

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 精品教学课件

类型 2 分步乘法计数原理 【例 2】 某大学食堂备有 6 种荤菜，5 种素菜，3 种汤．现要 配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？
[思路点拨]
[解] 完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一 个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不 同的套餐品种共有 6×5×3＝90 种．
20
55
(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任
学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[解] (1)从每个班选 1 名学生任学生会主席，共有 3 类不同的方 案：
第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法； 第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法； 第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选 1 名学生任学生会主 席，共有 50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)分三步： 第一步，选 1 名医生，有 3 种选法； 第二步，选 1 名护士，有 5 种选法； 第三步，选 1 名麻醉师，有 2 种选法． 根据分步乘法计数原理知，共有 3×5×2＝30(种)选法．
当堂达标·夯基础
1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若 干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都 可以单独完成这件事．
1．分类加法计数原理 (1)定义：完成一件事，可以有 n 类办法，在第 1 类办法中有 _m__1种__方__法__，在第 2 类办法中有_m_2_种__方__法__，……在第 n 类办法中有 _m__n种__方__法__，那么，完成这件事共有 N＝_m_1_＋__m_2_＋__…__＋__m_n_种方法．(也 称“加法原理”)

高二数学苏教版选择性必修第一册第五章导数及其应用章末复习课件

高二数学苏教版选择性必修第一册第五章导数及其应用章末复习课件

数学运用
变式练习
求函数 y＝x－2cosx；的极值 解：y′＝1＋2sinx，令 y′＝0， 得 x＝－π6＋2kπ或 x＝76π＋2kπ，k∈Z. 当 x∈ －56π＋2kπ，－π6＋2kπ ，k∈Z 时，函数单调递减； 当 x∈ －π6＋2kπ，76π＋2kπ ，k∈Z 时，函数单调递增； 则当 x＝－π6＋2kπ时，函数取得极小值－π6＋2kπ－ 3，k∈Z； 当 x＝76π＋2kπ时，函数取得极大值76π＋2kπ＋ 3，k∈Z.
令 f′(x)>0，即 x－3>0，得 x>3；
令 f′(x)<0，得 x<2 或 2<x<3，
所以 f(x)在区间(－∞，2)和(2,3)上单调递减，
在区间(3，＋∞)上单调递增，
所以函数 f(x)的单调减区间为(－∞，2)和(2,3)，
单调增区间为(3，＋∞)．
数学运用
例 3.求下列函数的单调区间． (3) f(x)＝－x3＋3x2.
解：(3) 函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－3x2＋6x. 令 f′(x)>0，得 0<x<2； 令 f′(x)<0，得 x<0 或 x>2， 所以 f(x)在区间(0,2)上单调递增， 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减， 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,2)， 单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
g(1) ＝－b－5， g(4)＝－b－2＋2ln2. 4
因为方程 g(x)＝0 在[1, 4]上恰有两个不相等的实数根，
g1≥0， 所以 g2＜0，
g4≥0，
解得 ln2－2＜b≤－54，
即实数 b 的取值范围是 ln2－2，

步步高大一轮复习讲义物理高考必考题型突破五PPT学习教案

步步高大一轮复习讲义物理高考必考题型突破五PPT学习教案
图7
第9页/共18页
A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳重力势能共减少了14mgl C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功 D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力
所做功之和
第10页/共18页
解析 绳的拉力对物块做负功，所以物块的机械能减少，
故选项A错误；软绳减少的重力势能ΔEp＝mg(
第12页/共18页
突破练习
1．质量相等的两木块A、B用一轻弹簧连接，静置于水平
地面上，如图8甲所示．现用一竖直向上的力F拉动木块
A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图乙所示．在
木块A开始运动到木块B将要离开地面的过程中，弹簧
始终处于弹性限度内，下述判断正确的是
()
图8
第13页/共18页
A．力F大小一直不变 B．弹簧的弹性势能一直增大 C．木块A的动能和重力势能之和先增大后减小 D．A、B两木块和轻弹簧组成的系统的机械能一直增大 解析 由题意知：弹簧对A的弹力kx先向上，又向下；kx 向上时，由牛顿第二定律得：F－G＋kx＝ma，x逐渐减 小，则F逐渐增大；kx向下时：F－G－kx＝ma，x逐渐增 大，则F也逐渐增大；弹簧弹性势能取决于其形变，故 弹性势能先减小后增大．A、B项错．对A木块：Ek＋Ep 一直增大，C项错．因为F对整个系统做正功，故整个系 统的机械能增大，D项对．
步步高大一轮复习讲义物理高考必考题 型突破五PPT课件
会计学
1
题型点评 1.动能定理是高考必考内容之一，每年每个省市的高考题 中都有对动能定理的考查.在试题中，动能定理往往与其他 知识的考查相结合. 2.动能定理的应用范围较广，在力学、电磁学中均可考查. 动能定理侧重于在曲线运动中的应用，或求解在运动中有 变力做功的问题，或求运动物体的初速度或末速度.

上教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用课件

上教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用课件
本课件主要参考了上海教育出版社的高中数学选择性必修第二册，导数这一章节是上教版新教材与二期课改沪教版老教材的一个较大区别，2023年高考是上海高考第一年将导数加入考试内容，具体的考试形式与难度也是百家争鸣，许多师生各抒己见，2022年以及之前的一二模卷高考卷也没有相关内容，这也给教学带来了困难，而对于外省的导数试题的选取需要持谨慎的态度，毕竟上海高考本身就十分有自己的特色。

由于导数是微积分(高等数学)体系中的重要内容，对数学物理等学科的后继学习有重要的作用，但限于课时无法详细地讲解前因后果，以至于学生对导数的认知停留在“背诵表格默写公式”。

微分学的核心思想是化曲为直，无论是高中涉及的一元函数微分或者是将来的多元函数微分，只是将曲线变成了曲面，甚至是超曲面。

在时间以及其他条件允许的情况下，可以适当地补充一些诸如定积分，微分方程的初步内容。

将微积分适当下放到高中其实一直以来也是一个值得探讨的话题，放与不放都有一定的道理。

从自身读本科的经历来看，并没有因为高中没学过导数而感觉数学分析的学习困难。

同时对于应试而言，有些时候使用计算器会直接得到答案。

欢迎各位老师同学提出意见，课件会在修改以后上传下载链接。

新教材高中数学第5章导数及其应用单调性课件苏教版选择性必修第一册ppt


1．已知 f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题， 则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题， 则 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． 2．解答本题注意：可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递 减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a， b)的任何子区间内都不恒等于 0．
类型 2 利用导数求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2e－x．
[思路探究] 先求定义域，再对原函数求导，结合导数 f′(x)的正 负确定函数的单调区间．
[解] (1)f(x)＝3x2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1＝2
综上所述，当 k≤0 时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当 k＞0 时，f(x)的单调递减区间为0，1k，单调递增区间为 1k，＋∞．
类型 4 已知函数的单调性求参数的范围 【例 4】 已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围． [解] 由已知得 f′(x)＝3x2－a， 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立，因为 3x2≥0，所以只需 a≤0．
－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令 f′(x)＝0，由于 e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用 x1，
x2 分割定义域，得下表：

苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5.1.2瞬时变化率——导数PPT


所以当Δx→0时，2a＋Δx→2a，
即 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(2a＋Δx)＝2a，
故f(x)在x＝a处的导数为2a，即f′(a)＝2a.
根据 f′(x0)的几何意义及求解过程，体会极限的思想，求得函数 f(x) 在 x＝x0 处的导数．
已知f(x)＝2x2－x，求f(x)在x＝2处的导数． 【解析】 因为ΔΔyx＝f2＋ΔΔxx－f2＝22＋Δx2－2＋ΔΔx x－2×22－2＝
示相应的函数的改变量．都求的是函数在某一点处的瞬时变化率．
2. 导数的定义．
思考 2►►►
结合上述三个问题探求函数 f(x)在 x＝x0 处的导数． 【解析】 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无 限趋近于 0 时，比值ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于一个常数 A，则称 f(x) 在 x＝x0 处可导，并称常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)．
例 4 (1) 若曲线 y＝x2＋2ax 与直线 y＝2x－4 相切，求 a 的值；
(2) 通过某导体的电量(单位：C)q＝2t2＋3t，求当 t＝5 s 时的电流强度(单 位：A)．
【解析】 (1) 因为 ΔΔyx＝x＋Δx2＋2axΔ＋xΔx－x2＋2ax ＝2x＋2a＋Δx，
所以当Δx→0时，ΔΔyx→2x＋2a，
所以当 Δt→0 时，ΔΔqt →4t＋3，
即lim Δt→0
ΔΔqt ＝Δlit→m0
(4t＋3＋2Δt)＝4t＋3，
即 q′＝4t＋3，
故当 t＝5 s 时，电流强度为 23 A.
检测反馈
1. 若函数 f(x)的图象在 x＝2 处的切线方程是 y＝－x－1，则 f(2)＋f′(2)

苏教版选择性必修第一册5.1第二课时 导数在实际中的应用 课件(共54张PPT)

苏教版选择性必修第一册5.1第二课时导数在实际中的应用课件（共54张PPT）(共54张PPT)第5章导数及其应用第二课时导数在实际中的应用课标要求能审清题意，正确建立函数关系式，应用导数解决实际问题.素养要求1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养学生的数学建模素养.2.通过利用导数解决问题，提升学生的数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU问题导学预习教材必备知识探究11.思考求实际问题的最大(小)值时，如何确定出函数的定义域？提示除使函数解析式有意义外，还要从问题的实际意义出发，根据实际问题确定出函数的定义域.2.填空(1)导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的______问题，从而可用导数来解决.(2)用导数解决实际生活问题的基本思路最值温馨提醒利用导数解优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解题中要特别注意以下几点：(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义.B解得x＝9或x＝－9(舍去).当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减.因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值.故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).题型一面积、体积的最值问题(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.1.解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的意义，利用导数求解函数的最值.2.解决导数在实际应用时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.思维升华训练 1 传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.假设定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm且以每秒1 cm等速率缩小，而长度以每秒20 cm等速率增长.已知定海神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm，且在这段变形过程中，当底面半径为10 cm时其体积最大.假设孙悟空将定海神针体积缩到最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.4解析设原来定海神针的长度为a cm，t秒时定海神针的体积为V(t)，则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8.所以V′(t)＝[－2(12－t)·(a＋20t)＋(12－t)2·20]π.因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以10＝12－t，解得t＝2，此时V′(2)＝0，解得a＝60，所以V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，其中0≤t≤8，V′(t)＝60π(12－t)(2－t)，当t∈(0，2)时，V′(t)>0，当t∈(2，8)时，V′(t)0.2.某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x－35，则该生产厂家获取的最大年利润为()A.16万元B.18万元C.19万元D.21万元C解析由题意，y′＝－3x2＋27，当00，函数单调递增；当x>3时，y′0，当x>8时，y′0.∈当v＝20时，f(x)最小，即当总费用最低时，海轮的航速为20 n mile/h.8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________.9.如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2.设∈AOC＝x rad.(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2)试问∈AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值.10.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x).解设若商品每件降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21].(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x 0 (0，2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21f′(x) －0 ＋0 －f(x) 9 072 ↘ 8 664 ↗ 11 664 ↘ 0所以当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.11.若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为() A2π解析如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则V′(h)＝π(3－3h2).令V′(h)＝0，解得h＝1(h＝－1舍去)，当h∈(0，1)时，V′(h)>0，V(h)单调递增；1(2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值.x (0，80) 80 (80，120)f′(x) －0 ＋f(x) ↘ 极小值11.25 ↗所以，当x＝80时，y取得极小值也是最小值11.25.故当汽车的行驶速度为80 km/h时，耗油量最少为11.25 L.14.中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27 m的峡谷拐入宽为8 m的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E，F的连线恰好经过拐角内侧顶点O(点E，O，F在同一水平面内)，设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为θ，则EF的长为________________(用θ表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过________m.解析如图所示，过点O分别作OA∈AE，OB∈BF，垂足分别为A，B，则∈OEA＝∈BOF＝θ.本课结束。

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∵u(x)＝x＋2 1x≤2 2 x·1x＝1，当且仅当 x＝1 时取等号. ∴a≥1. ∴当a≥1时，函数f(x)单调递增. ∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)可知：①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ②当a≥1时，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ③当0<a<1时，由ax2－2x＋a＝0，
解 f′(x)＝6x2＋6ax＋3b， 因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值， 所以f′(1)＝0，f′(2)＝0， 即624＋＋6a1＋ 2a3＋b＝ 3b0＝，0， 解得ab＝＝－4. 3，
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.
解 由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2). 当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0. 所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c， 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2恒成立， 所以9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9. 因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
解得 x＝1－
a1－a2或 x＝1＋
1－a2 a.
∴函数 f(x)在0，1－
a1－a2，1＋
a1－a2，＋∞上单调递增，
在1－
a1－a2，1＋
a1－a2上单调递减.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
当 0<a<1 时 f(x)在0，1－
a1－a2，1＋
a1－a2，＋∞上单调递增，
解 f′(x)＝a＋xa2－2x＝ax2－x22x＋a(x>0). ①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； ②当a>0时，令g(x)＝ax2－2x＋a， ∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数， ∴g(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴a≥x22＋x 1在区间[1，＋∞)上恒成立. 令 u(x)＝x22＋x 1，x∈[1，＋∞).
π 4
C.
6f
π6>2f
π 4 B.Fra bibliotek3fπ6>f
π 3
√D.
3f
π6<f
π 3
解析 由f′(x)sin x>f(x)cos x，得f′(x)sin x－f(x)cos x>0，
构造函数 g(x)＝sfinxx，
则
g′(x)＝f′xsinsixn－2xfxcos
x .
当 x∈0，π2时，g′(x)>0，
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不 存在，请说明理由.
解 假设存在实数a，使f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝2a－1x＝2axx－1，x∈(0，e]，
①当a≤0时，因为x∈(0，e]， 所以f′(x)<0，f(x)在(0，e]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(e)＝2ae－ln(2e)＝3，解得 a＝4＋2len 2(舍去)； ②当 0<21a<e，即 a>21e时， f(x)在0，21a上单调递减，在21a，e上单调递增，
反思 感悟
解决不等式恒成立问题，有两种求解方法.一种是转化为求最值，另 一种是分离参数. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
四、利用导数研究不等式问题
例 4 (1)已知定义在0，π2上的函数 f(x)，f′(x)是它的导函数，且 sin x ·f′(x)>cos x·f(x)恒成立，则
A.
2f
π6>f
即函数 g(x)在0，π2上单调递增，
反思 感悟
(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值 的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负. (3)将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值 是最大值，最小的那个值是最小值.
三、利用导数研究恒成立问题
例3 设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值. (1)求a，b的值；
第五章 一元函数的导数及其应用
利用导数研究函数的单调性和极值(最值)是高考的常见题型，常将 导数与函数、方程、不等式等知识交汇命题，难度偏向中高档.
一、利用导数研究函数的单调性问题
例 1 已知函数 f(x)＝ax－ax－2ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围；
在1－
a1－a2，1＋
a1－a2上单调递减，
当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
反思 感悟
利用导数研究函数的单调性应注意以下几点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.
二、利用导数研究函数的极值与最值问题
例2 已知函数f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数， a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；
解 当a＝1时，f(x)＝2x－ln(2x)，
f′(x)＝2－1x＝2x－x 1，x∈(0，e]，
当 0<x<12时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减； 当12<x<e 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增. 所以 f(x)的极小值为 f 12＝1， 故 f(x)的单调递减区间为0，12，单调递增区间为12，e， f(x)的极小值为 f 12＝1，无极大值.
所以 f(x)min＝f 21a＝1－ln 1a＝3，解得 a＝e2，满足条件； ③当21a≥e，即 0<a≤21e时，f′(x)<0，f(x)在(0，e]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(e)＝2ae－ln(2e)＝3，解得 a＝4＋2len 2(舍去). 综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)的最小值为3.