数字信号处理PPT第3章-4(2014)

xk=abs(xk);
stem(n,xk);
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
试问 2 2 x(t) sin( t ) sin( t) 10 11
的周期是多少？
5）利用DFT对连续信号进行频谱分析的
参数选择
(1) 采样频率:
f s 2 f c
fc
－－－－ x a (t ) 的最高频率
对其进行采样，采样频率为1Hz，共采集了
N个点，试问N至少为何值，才能分辨这两
个频率。
1 f1 , 10
1 f2 , 11
1 f f1 f 2 110
又：
fs f N
fs 1 N 110 1 f 110
所以：
n=0:1:109; xn=sin(2*pi*n/10)+sin(2*pi*n/11); xk=fft(xn,110);
N=16 n2=[0:1:15]; xa2=sin(2*pi*n2/8); subplot(2,2,3); plot(n2,xa2) xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); xk2=fft(xa2); xk2=abs(xk2); subplot(2,2,4); stem(n2,xk2); xlabel('k');ylabel('X(k)');
其频谱为：
X N(e ) X (e ) * N (e )
信号时域相乘，则频域相卷。
j
j
j
为了说明时域加窗对连续时间信号 频谱分析的影响，现分析一无限长序列
sin c (n a ) hd (n) (n a)
的频谱：
假设窗函数为：
现在这2个信号相乘，其频谱为：
观测其DFT结果的幅度谱。
解：x(n) xa (nT) sin(2f a nT)
1 sin(2f a n ) sin(2n / 8) fs
2 sin( n) 8
2 所以 x(n)的0＝ 8
N=20 n1=[0:1:19]; xa1=sin(2*pi*n1/8); subplot(2,2,1); plot(n1,xa1) xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1); xk1=abs(xk1); subplot(2,2,2); stem(n1,xk1); xlabel('k');ylabel('X(k)');
从而最小记录点数N应满足：
f s 2 4 10 N 800 f 10
3
取
N 2 2 1024 800
m 10
例2 已知信号
x(t)=0.15sin(2πf1t)+sin(2πf2t)0.1sin(2πf3t)， 其中 , f1=1Hz ， f2=2 Hz ， f3=3Hz 。 x(t) 包
0
1
2
3
4
5
6
7
N=16
2
0
0
5
10
15
4) DFT的分辨率
定义：表示谱分析中能够分辨两个频谱分 量的最小间隔。 数学表达式：
fs f N
N－－x(n)的有效的长度，而不是补零的
长度。
◆ 关于信号的长度有2种情况：
（1）截取的序列的长度要足够长，这样其
傅里叶变换才能代表原信号的频谱；此时 加大N就能提高频谱分辨率。
3.5、利用DFT对连续时间信号进行频谱分析
xa (t )
X a ( j)
采样
x ( n)
X (e j )
截短
xN (n) x(n) RN (n)
DFT
X N (k )
X N (e j )
X N (e j ) 2k / N
利用 DFT 对连续信号进行频谱分析是近
似的，其近似程度与信号带宽，采样频率
（2）截取的序列的长度较短，其傅里叶变 换不足以代表原信号的频谱；此时即使加
大N也不能提高频谱分辨率。
例如：一个周期序列，只采样其1/4长度进 行DFT，即使通过尾部增加零点，加大DFT
的变换区间N，也不能分辨出其是周期序列， 更不能得到周期序列的精确频率。
x(n)=sin(n/16)---1个周期
试确定以下参量最小记录长度、最大取样间
隔 T （即最小取样频率）、在一个记录中的
最少点数N。
解： 由分辨率的要求确定最小长度
1 1 0.1s f 10
从信号的最高频率确定最大可能的取
样间隔T 。 （即最小取样频率fs=1/T）。
按取样定理
f s 2 f max
即
1 1 3 T 0 . 125 10 s 3 2 f max 2 4 10
含三个正弦波，但从时域波形图来看，似乎
是一个正弦信号，很难看到小信号的存在，
因为它被大信号所掩盖。 取 fs=32 Hz 作频
谱分析。
解：先看x(t)的时域波形
t=0:0.001:1; x=0.15* sin(2*pi*t)+sin(2*pi*2*t)0.1*sin(2*pi*3*t);
plot(t,x)
xk=fft(x,32);
xk=abs(xk);
stem(n,xk)
可见小信号成分在时域中很难辨识， 而在频域中却很容易识别。
6)周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号
f a 为信号的频率。 xa (t ) sin(2f a t ) ，
由DFT的选频特性可知，可以得到单
一谱线的DFT结果。
但这是和作DFT时数据的截取长度选
得是否恰当有关， 截取长度N 选得合理， X N (k ) 可完全等于
X a ( j) 的采样。
例如：对连续的单一频 率周期信号 xa (t ) sin(2f at ),
按采样频率 f s 8 f a 采样， 截取长度N分别选N 20和N 16,
解：再看x(n)的频域波形 因
fs=32 Hz，故 ：
2 4 6 x(n) x(nT ) 0.15sin n sin n 0.1sin n 32 32 32
n=0:1:31 x=0.15*
sin(2*pi*n/32)+sin(4*pi*n/32)0.1*sin(6*pi*n/32);
频谱函数 X N(e j ) 进行 N 点等间隔采样。而采
样点之间的频谱函数就不知道了。
减小栅栏效应方法：
在原序列的末端补零，即：增加频域采
样点数，相当于使每根“栅栏”变细，这样
原来漏掉的某些频谱分量有可能被检测出来。
4
2
0 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
N=8
2
0 4
采样时间间隔T应满足：
1 1 T f s 2f c
（2）信号的持续时间

N 1 NT f s f
（3）DFT的点数
fs 1 N T f fT

例 1 有一频谱分析用的 FFT 处理器，其取 样点数必须是2的整数幂， 假定没有采用任 何特殊的数据处理措施，已给条件为： ① 频率分辨率≤10 Hz； ② 信号最高频率≤4kHz。
和截取长度等参数有关。
利用 DFT 对连续信号进行频谱分析
过程中存在的问题以及解决的方法:
基本概念：
一个时间有限的信号其频带宽度为无限；
一个时间无限的信号其频带宽度为有限； 时间有限且其频带宽度也有限的信号 是不存在。
1）混叠现象
我们都知道采样序列的频谱是被采样 模拟信号频谱的周期延拓，只要满足奈奎
X N(e ) X (e ) * N (e )
j
j
j
符合“时域有限，频域无限”的规律。
截断对频谱分析的影响
(1)、频谱泄漏： (2)、谱间干扰：
解决问题的方法 ： （1）选择合适的窗函数：副瓣要小； （2）增加截断的长度N。
3）栅栏效应 N 点 DFT 是在 [0 ， 2π] 区间上对序列的
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
5
10
15Biblioteka 202530
35
x(n)=sin(n/16)---1/4周期
此信号与sin(n/16)有天壤之别
提高频率分辨率的方法： 增加序列的截断长度N
（信号持续时间

加长）
例如：
2 2 已知： x(t) sin( t ) sin( t ) 10 11
即：滤掉信号中幅度很小的高频分量。
这在工程上是允许的。
2） 泄漏（截断效应）
若
x a (t ) 在时域是无限长(其频带宽
度为有限)，则离散后的x(n)也是无限的，
而DFT只适用于有限长序列的计算。
怎么办？
对x(n)进行加窗截断，使之成为有限长序
列
x N (n)
。 即 ：
x N (n) x(n) N (n)
斯特采样定理，就不会发生频谱混叠。
存在的问题：
时域有限长的信号，其频谱为无限宽；
例如：时域是宽度为1的门信号，其频谱为：
S a( ) 2

因此采样频率不满足时域采样定理，因 此会产生频谱混叠现象。 在很多情况下，我们无法预计信号频率。
解决的方法：
在采样前加一个抗混叠滤波器/低通滤波器，