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浙江省瓯海区三溪中学高一数学《正弦函数、余弦函数的性质》课件(4)

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正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x

1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt

1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt

归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 ,4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？

《正弦余弦函数》PPT课件全文

《正弦余弦函数》PPT课件全文
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数.一般地，y=Asinωx是奇函数， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？

正弦函数、余弦函数的性质( 数学 优秀课件

正弦函数、余弦函数的性质( 数学 优秀课件
解析：利用周期函数的定义，找到T，使得 思考：这些函数的周期跟解析式中哪些量有 f(x+T)=f(x) 关系？有什么关系？
课后思考
• 用几何画板y=Asin(wx+ψ)图像.gsp作 y=Asin(wx+ψ)的图像，探究该类函数的周 期。 • 试着发现：A、w、ψ分别决定了图像的什 么？
小结
正弦函数的性质：
sin(x 2k ) sin x
正弦函数的周期：2k (k z且k 0) 最小正周期： 2
性质3：单调性
在一个周期上（如[ ,
2
3
2
] ）考虑：
[

, ] 2 2
在
x

2
，sinx= 值。
x

2
或x
，sinx=-1，为最小
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
主讲人：黄凡
复习回顾
①正弦函数、余弦函数的图像是什么？
（物理中简谐运动的图像） （一波未平，一波又起—波涛汹涌）
②我们是如何得到正弦函数的图像的？ 几何画图法—单位圆中的正弦线 五点作图法—五个关键点确定形状
引入新课
• 一次函数与图像 • 指数函数与图像 • 对数函数与图像
利用周期性，不难得到：
正弦函数在每一个闭区间[ 2 2k , 2 2k ]( k z ) 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一 3 [ 2 k , 2k ]( k z ) 上都是减 个闭区间 2 2 函数，其值从1减小到-1.
3 正弦函数当且仅当 2 2k (k z)
• 1、周期性（最小正周期为 2 ） • 2、奇偶性（奇函数） • 3、单调性
余弦函数的性质：

正弦函数、余弦函数的性质 课件

正弦函数、余弦函数的性质 课件

类型二 三角函数奇偶性的判断
【典例】1.(沧州高一检测)函数f(x)= 的奇偶性为 ( )
sin2x2
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.判断函数f(x)=sin (3 x 3) 的奇偶性.
42
【审题路线图】1.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称 ⇒f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称⇒f(-x)与f(x)的 关系.
2
是偶函数,故选C.
2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=π,
所以 f( 5 π)＝f( 5 π－2π)＝f(－π )，
3
3
3
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以 f( 5 π)＝f(－π )＝f( π )＝sin π＝ 3 .
3
33
32
【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变,结果如何?
类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用
【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的
2
是( )
A.y=sin4x
C.y＝sin(4x＋π ) 2
B.y=cos 1 x
4
D.y＝cos( 1 x－π ) 42
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若
f(x)的最小正周期为π,且当x∈ [0，] 时,f(x)=sinx,
4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= ________. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6
5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是 ________函数.(填写奇或偶)

正弦函数、余弦函数的性质 课件

正弦函数、余弦函数的性质 课件

(3)∵0≤x≤π2，∴－π4≤3x－π4≤54π，－ 22≤sin3x－π4≤1. ∴当 sin3x－π4＝1 时，ymin＝－2；当 sin3x－π4＝－ 22时，ymax ＝ 2.
(1)求三角函数的值域或最大值、最小值问 题主要是利用sin x与cos x的有界性，以及复合函数的有关性 质．
正弦函数、余弦函数的性质
函数y＝sin x，y＝cos x的性质
函数 定义域 值域 奇偶性 周期性
y＝sin x R
[－1,1] 奇函数 最小正周期为2π
y＝cos x R
[－1,1] 偶函数 最小正周期为2π
函数
y＝sin x
y＝cos x
单 增区间 2kπ－π2，2kπ＋π2
调
(k∈Z)
性 减区间 2kπ＋π2，2kπ＋32π
4．已知函数f(x)＝1＋cos x，画出f(x)的图象，并解答下列 问题：
(1)求f(x)的值域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的周期； (4)求f(x)的单调区间．
【解析】f(x)的图象如图所示．
(1)∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2，即0≤f(x)≤2，f(x) 的值域为[0,2]．
(2)求函数最值或值域时，一定要注单调性
已知函数 f(x)＝2sin－3x＋π4： (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 f(x)≥ 2时，求 x 的取值范围．
【思路分析】首先把x的系数变为正，再利用整体代换．
【规范解答】f(x)＝－2sin3x－π4. (1)由 2kπ＋π2≤3x－π4≤2kπ＋32π，得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋71π2(k ∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间为[23kπ＋π4，23kπ＋71π2] (k∈Z)．

正弦函数、余弦函数的性质 课件

3、函数y 2sin( x), x R的最小正周期是4，
3
求的值。
课堂小结
1、周期函数的定义
注：①注意定义中“每一个值”的要求
② 周期函数的周期不唯一
③周期函数不一定存在最小正周期
④如果不作特别说明，教科书中提到的周 期，一般是指最小正周期。
2、正弦、余弦函数的最小正周期为2 3、求函数周期常用的方法是（１）公式法：
余弦函数y=cosx(x∈R)是周期函数，2kπ(k∈Z且
k≠0)都是它的周期。最小正周期是2π。
今后提到的三角函数的周期，如果不加特别 说明,一般是指它的最小正周期。
（1）对于函数y sin x, x R是否有sin( ) sin 成立？
42
4
如果成立，能否说 是y sin x的周期?
正弦函数、余弦函数的性质
今天星期几？ 7天后星期几？ 14天后呢？ 100天后呢？
世界上有许多事物都呈现“周而复始”的 变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆. 这种现象在数学上称为周期性，在函数领域 里，周期性是函数的一个重要性质.
y
1、三角函数线的“周而复始”变化
P
1
2、三角函数图像的“周而复始”变化 o M1 x
f(x+T) ＝f(x)
Sin(x+2kπ)=sinx (k z)
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就
叫做f(x)的最小正周期。
正弦函数、余弦函数的周期性
正弦函数y=sinx(x∈R)是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它的周期。最小正周期是2π。
函数
y y
Asin(x ), x R
的周期

高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件


上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：

+ ( ∈ ) 时取得最大值1，


当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；

①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +




+ ，所以自变量增加 ，函数值




+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.


单调性


−
−



−



同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

正弦函数_余弦函数的性质 ppt课件

(1)y cosx1, xR;
(2)y 3sin2x, xR.
解（：2）令t=2x,因为使函{t数|ty 3si2nkt,t, k RZ取}最大值的t的集合是
由 2xt2k2 得 xk
2
4
所以使函数 y3sin2x,x R 取最大值的x的集合是
{x|xk,kZ}
4 同理，使函数 y3sin2x,x R取最小值的x的集合是
3 5
2
2 3
2
P' 2
y 1P
O 3 2
2
2
1
5 3 x
2
对称轴：x L5,3,1,1,3L
2 2 222
xk,kZ
2
对称中心： L ( , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( , 0 ) , ( 2 , 0 ) L
(k,0) k Z
ppt课件
27
余弦函数的图象 y
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都p是pt课件指的最小正周期。 5
正弦函数 ys ixn(xR)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： s ix n2 (k)s ixn
即 f(x2k)f(x)
☺正弦函数ys ixn(xR ppt课)是件 周期函数，周期是 2k6
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x
12
y
D.x0
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册


y=sinx
1
9 2
7 2
5 2
3 2
2
o
-1
2 3
4 x
正弦曲线
-2
-
余弦曲线
-2
-
y y sinx , x R
1
x
o
2 3
4
-1 y1
定义域：R
y cosx , x R 值域：[-1,1]
o
2
3
x
-1
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应该抓住哪些关键点？
y
1
o
2
3 2
2 x
-1
五个关键点:
3 5 11 2
6
3
2
36
6
3
2
3
6
-1
y
1
x
o1
o
632
2 5 36
7 4 3 5 11 2
6
3
23
6
-1
y
1
x
o1
o
632
2 5 36
7 4 3 5 11 2
6
3
23
6
-1
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx， x[0,2]
2
1 画出 y＝sin x 的图象和直线 y＝ .
2
1
1
可知 sin x≥ 的解集为 y＝sin x 图象与直线 y＝ 的交点及上方部分的集合，即
2
2
π
5π
函数定义域为{x| ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}．
6
6
02
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训练 2、函数 f ( x ) sin(2 x θ )是偶函数 ,则θ的 一个值是 ( B ). π π π A. θ π B. θ C. θ D. θ 2 4 8 3、若 f ( x ) sin x a cos x的图象关于 π a 3 直线 x 对称,则a _____ . 6 π
小结与作业 : 正弦、余弦函数的奇偶 性和对称性
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
π ( 2) y cos x的图象关于点( kπ ,0)中心 2 对称,关于直线 x kπ( k Z )轴对称.
例1、判断下列函数的奇偶 性 5 (1) f ( x ) 2 sin(2 x π ) 2 偶,非奇非偶奇 , ( 2) f ( x ) 2 sin x 1 2 ( 3) f ( x ) lg(sinx 1 sin x )
π 例2、函数 y sin(2 x ) 3 kπ π x (k Z ) 的对称轴是 __ __________ 2 12 __, kπ π ( ,0)(k Z ) 对称中心是 __________ 2 6 _____.
f ( 0) f ( ) 3 4、若 f ( x ) cos(2 x φ)的图象关于 5π π 点( ,0)中心对称 ,则φ _____ . kπ , k Z φ 3 6 π f( )0 3
y
1
3 5 2
Hale Waihona Puke 2 3 2

2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
2、对称性
3 5 2
2 3
2
y
1


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
(1) y sin x的图象关于点( kπ ,0)中心对称, π 关于直线 x kπ ( k Z )轴对称. 2y
例2、证明 f ( x ) sin x cos x 的一个 π 周期是 . 2
变式 : 讨论下列函数的周期性 (1) y sin x cos x (2)y sinx
1、求下列函数的周期 sin x (1) y e ( 2) y lncos x
二、新课 1、奇偶性 在x R上 sin( x ) sin x , cos( x ) cos x y sin x是奇函数, y cos x是偶函数. y sin x关于原点对称, y cos x关于y轴对称.