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数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是数学中一种非常重要的思维方法，它将几何形状与数字运算结合起来，通过运算得到几何问题的解答。
在初中数学中，数形结合思想有广泛的应用，例如在平面图形的面积和体积计算、几何证明、图形的变换等方面。
数形结合思想在平面图形的面积和体积计算中有着广泛的应用。
在计算三角形的面积时，我们可以通过计算底边与高的乘积的一半来得到结果。
这里的底边和高可以通过图形的数值信息来确定，利用数形结合的思想，我们能够快速准确地计算出三角形的面积。
同样地，在计算矩形的面积时，我们也可以通过计算长和宽的乘积来得到结果。
在计算圆的面积和周长时，我们可以通过数学公式πr²和2πr来得到相应的结果。
通过数形结合思想，我们能够将几何问题转化为数值问题，并通过数学运算来解决。
数形结合思想在几何证明中也有重要的应用。
在几何证明过程中，我们往往需要找出几何图形之间的等价关系或相似关系，通过相似性和等式等几何定理来进行证明。
利用数形结合思想，我们可以将图形的数学属性与几何问题相结合，通过证明数学等式或不等式的真实性，间接证明了几何命题的真实性。
当我们需要证明两个三角形全等时，我们可以通过证明两个三角形的对应边长相等和对应角相等，从而得出结论。
数形结合思想为我们提供了一种具体的证明思路和方法，使得几何证明更加简便明了。
数形结合思想在图形的变换中也有着重要的应用。
在图形的旋转变换中，我们可以通过坐标系中点的旋转公式来确定旋转后的点的坐标，从而画出旋转后的图形。
这里，数形结合思想将旋转变换与坐标变换相结合，通过数学运算得到了几何图形的变换结果。
同样地，在图形的平移变换和对称变换中，数形结合思想也起到了重要的作用。
通过数学运算，我们可以确定平移后和对称后的图形的位置和形状，从而得到变换的结果。
数形结合思想在初中数学中扮演着非常重要的角色。
它将几何图形与数学运算相结合，通过数值计算和数学证明来解决几何问题。
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。
二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。
教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。
2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。
通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。
教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。
3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。
教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。
教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。
2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。
数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。
3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。
通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。
2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想在初中数学解题中的应用随着初中数学的学习深入，数形结合思想越来越常见，并且逐渐成为解决数学问题的有效手段。
数形结合思想是将形状和数字联系起来，通过形状图像的分析和变换来解决数学问题，是一种将抽象概念和具体形象联系起来的思维方式。
在初中数学中，数形结合思想主要应用于几何和代数两个方面。
一、几何中的数形结合思想数形结合思想在几何中的应用主要表现在以下几个方面：1. 图像分析几何图形的面积、周长、体积、直角三角形、相似三角形等属性都可以通过数学公式计算，但是有时候难以进行计算。
这时候我们可以用数形结合的思想，将图形分解、组合、移动等，达到更直观、简单的计算目的。
例如，在计算圆外接正方形面积时，可以通过将正方形分成四个小三角形，再根据勾股定理求得三角形斜边长度，从而得到正方形的面积。
2. 变形布置有些几何问题可以通过变形和布置图形来解决，这就需要运用到数形结合思想。
例如，解决平行线的问题时，可以用相似三角形的方法运用相似比的原理解决问题。
将两平行线画在一起，可以使问题变形、更易解决。
3. 对立统一对立统一思想来源于辩证唯物主义哲学，指事物内部存在着对立面，双方相互依存、相互制约、相互转化的关系。
在几何中，数形结合的方法也逐渐适用上了。
例如，解决平行线与垂直线的问题时，可以用对立统一的思想。
将两个直线画在一起，构成一个直角三角形，从而用勾股定理解决问题。
有些代数问题非常抽象、难于理解，这时候可以用数形结合，将代数式子转化为图形形式，更加直观、生动。
例如，在解决二元一次方程组问题时，可以用平行四边形的形式画出两个式子的系数，然后通过转化将二元一次方程组转化为求解平行四边形的两条边长的问题。
2. 求根定理有时候，变形或替换一些解析式一定可以得到根。
例如，在求解x2-5x+6=0的根时，可以把解析式表示为一个面积式，然后由提供的信息可以判断出是求一个右角三角形的面积，从而可以得到根的值。
和几何中的图像分析类似，代数式子也可以通过图像分析的方式解决一些问题。
和圆有关的数形结合的问题1.圆的周长和面积如何计算？圆的周长（C）可以通过公式2πr计算，其中r是圆的半径，π是圆周率（约等于3.14）。
圆的面积（A）可以通过公式πr²计算，其中r是圆的半径。
2.如何通过数学表达式描述一个圆？数学上，一个圆可以通过一下两种方式进行描述：圆心和半径：可以使用坐标形式表示(xa)²+(yb)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
直径：可以使用坐标形式表示x²+y²=(2r)²。
3.如何利用圆的性质解决问题？圆的性质可以帮助解决各种数形结合的问题，一些常见的性质包括：弧长和扇形面积的计算：根据圆的周长和面积公式，可以计算弧长和扇形的面积。
切线和切点：圆上一点的切线与半径垂直。
切点就是切线与圆的交点。
弦：圆上两点间的线段称为弦。
弦的中点恰好在圆的半径上。
弧度：弧度是表示角度大小的单位，在圆中以弧长比半径定义。
黄金比例：圆的内切正五边形和正五边形可以构成黄金比例。
4.如何解决与圆相关的问题？解决与圆相关的问题，可以参考以下步骤：1.了解问题并确定所求解的内容，清楚问题要求。
2.如果问题中给出了圆的属性，确定所给属性的值。
3.根据所给的属性，使用公式计算所需的结果。
4.如果问题中给出的是图形的关系，运用圆的性质进行推导和分析。
5.根据问题的要求，将计算得到的结果进行解释和应用。
6.最后，检查计算过程和结果是否符合实际情况，回答问题。
通过以上步骤，可以较好地解决与圆相关的数形结合问题，并得到准确的答案。
除了以上的问题回答，还可以根据具体的问题进行回答，比如计算圆的切线长度、求解圆与直线的交点等等。
请具体提供你想要解决的问题，我会给予进一步的解答。
数形结合在数学中的应用数形结合是指将数学中的符号、公式、运算与几何中的图形、形状、空间相结合，以增强对于数学概念和原理的理解和应用。
数形结合在数学中的应用非常广泛，以下是一些具体例子。
1. 三角函数中的图像三角函数是数学中非常重要的概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
通过将这些函数与图像相结合，我们可以更好地理解它们的性质和特点。
例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，可以被看作是在单位圆上旋转的一个点的纵坐标。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是起始位置不同。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如正弦函数的周期为2π、余弦函数的最大值为1等。
同时，通过研究这些图形的对称性、周期性，我们也能够更深刻地理解三角函数的性质。
2. 空间几何中的向量向量是空间几何中的重要概念，它可以表示任意一个有大小和方向的量。
通过将向量与图形相结合，我们可以更好地理解向量的性质和应用。
例如，在二维平面中，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的长度，箭头的方向表示向量的方向。
在三维空间中，向量变成了一个有长度和方向的线段。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如两个向量的点积、向量的模长等。
3. 几何中的圆与数学中的弧度圆是几何中的重要概念，它有着许多特殊的性质。
通过将圆与数学中的弧度相结合，我们可以更好地理解圆的性质和应用。
弧度是一个角度的度量单位，它可以用弧长除以半径来计算。
通过将弧度与圆相结合，我们可以得到圆的周长公式，而圆的面积公式也可以通过数学推导得到。
4. 数学中的图形变换图形变换是数学中非常重要的概念，它包括平移、旋转、缩放、翻转等。
通过将图形变换与几何中的图形相结合，我们可以更好地理解图形变换的性质和应用。
例如，在平面几何中，我们可以用矩阵来表示一个图形的平移、旋转和缩放。
通过观察这些矩阵的特点，我们可以得到一些图形变换的性质，例如平移变换不改变图形的大小和形状、旋转变换不改变图形的面积等。
数学学习与研究2014.16【摘要】随着教育体制与课程改革的深入,现代化的素质教育正在逐渐取代应试教育.中学的数学教学方法与模式也变得丰富多样,尤其在多媒体网络技术的推动下,教学效果更是大幅提升,学生对教学内容的理解与领悟也更加深刻.在初中数学教学中,常用的一种教学思想就是“数形结合”思想,通过借助图形加深学生对数学知识点的理解与掌握.本文从初中数学教学课程出发,探讨数形结合思想的具体运用.【关键词】初中;数学教学;数形结合;应用随着社会经济的不断进步,教育思想与教育理念也在不断提高,人们对传统教育模式提出了诸多意见,并给予素质教育以高度重视.并且在教学过程中,教师也在不断地创新教学方法,锻炼学生对于所学知识的应用能力,提高学生的素质与创造力.在初中的数学教学中,很多知识都与实际生活相关,但由于数学的逻辑性与抽象性较强,而且在传统填鸭式教学模式下,使得学生难以理解其中的知识点.数形结合思想可以很好地解决这一问题,使学生可以通过图形加深对知识点的理解程度,并且提高学生的学习兴趣.在多媒体网络技术加入到教学过程中后,这一思想得到了充分应用.一、初中数学教学中引入数形结合思想将数轴应用到教学过程中,是数形结合思想引入到初中数学教学的开端,这也是学生第一次接触到数形结合思想.数轴使学生认识到了正负数与零在其上的位置关系,同时也理解了绝对值的含义.在中学的数学教学中,如果老师只用讲的形式来对正负数以及绝对值进行讲解,学生是很难通过抽象思维理解其概念含义的,这时数轴就派上了用场,将正负数与零标记在数轴上,学生可以清楚地了解其概念与含义,这对学生是极有帮助的.二、初中数学教学中开展数形结合思想在初中的数学教学过程中,方程与解方程是比较难的一个知识点,这时候老师就应该开展数形结合思想对有关方程的知识点进行讲解,结合图形,把题目简单化,使学生可以很好地理解知识点,以最快的速度解开方程式.路程问题、追击问题以及浓度问题都是初中数学中的常见题型,学生对此无法做到抽象想象的解答,所以需要借助画图的方式来解答问题,这就是初中数学中数形结合思想的一种运用.三、初中数学教学中升华数形结合思想除了方程问题外,函数也是初中数学中较为难学的知识点之一,这也是数形结合思想进行升华的课程知识点.在进行函数学习时,老师应该教育学生将数与形结合起来,这样学生才能清楚地明白函数的概念以及数量关系,才能利于学生解决涉及这一知识点的问题.函数是将关系式中所有成立的点标注在数轴上,形成函数图像,这样能使学生更直观地理解函数的性质与特性,以及因变量与自变量间的数量关系.比如在初中的“三角函数”这一知识点的学习中,会引申出解析三角形的内容,在这一内容中使用数形结合思想,通过三角函数的有关图形可以轻松地解决三角形问题,这也正是数形结合思想升华的体现.四、初中数学教学中数形结合思想的具体应用在学生从小学步入初中时,总会或多或少地掌握一些图形的简单知识,而且会使用一些简单的数学工具,如尺子、三角板、量角器以及圆规等,这些都是数学教学中需要用到的工具,也是数形结合思想应用的必备物件.在日常生活中也会看到一些图形,如篮球、跑道线等,将这些图形应用于数学教学中,也就有了数形结合.在初中数学课程中,学生会接触到统计学最基本的知识点,通常会在坐标系中将各个数据进行对应的标注,为了计算出这些数据的众数、平均数与中位数,还有数据波动产生的方差与标准差,就得利用数形结合思想,通过利用数轴与坐标轴等图形解决统计问题,这样可以使学生直观地了解数据的情况以及它们之间的关系.在解决二次方程这一问题时,学生通常会运用图像与函数相结合的方式来解决,这样更能够将二次方程明了地展现出来,也让学生更深入地了解二次方程解的由来.在初中数学教学中,不是只有上述方面可以使用数形结合思想,圆以及各种几何问题等都可以将这一思想引入,这样学生就可以直观地看到数形关系,加深对知识点的理解与问题的解答.数形结合是中学教师必须要掌握的数学思想之一,而且也是为学生提供帮助的一种学习办法,因此,这一思想的深化应用体现了我国教学质量与水平的不断进步.五、总结随着我国教育体制与课程改革的深入,初中数学教学的方法与模式也在逐渐丰富多样化,尤其是在多媒体网络技术应用与教学环节中,教学模式与教学效果更加凸显.把抽象的数字和直观的图形充分结合的数形结合思想,把形象思维与抽象逻辑思维整合起来,充分发挥数形的特点与其之间的转换,做到优势互补.在数学教学中应用数形结合思想,可以把较为复杂的问题简单化,明晰解题思路,同时在学习的过程中,这一思想也能够激发学生对数学的兴趣.要想在初中数学教学中提高数形结合思想的应用能力,老师要对学生进行悉心的引导,使学生能够理解、运用、掌握这一思想,培养学生的学习兴趣,提升教学质量与水平.【参考文献】[1]王宝明.初中数学教学中数形结合思想的应用[J ].学园,2014,12(1):121,132.[2]许秀红.初中数学教学中数形结合思想的运用实践[J ].中学教学参考,2013,12(12):20.[3]陈士统.浅析数形结合思想在初中数学中的应用[J ].考试周刊,2012,12(8):77-78.初中数学教学中数形结合思想的应用◎徐红(江西省鄱阳县团林乡中心学校333100). All Rights Reserved.。
初中数学教学中数形结合思想的应用
在数学教学中，数形结合思想广泛应用于数学知识的教学之中。
数形结合思想是指通
过图形的形式来帮助学生理解数学中的概念和性质，以此来提高学生的数学思维能力和创
造能力。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于多个领域，下面将分别说明。
数学中的几何学是通过直观的图形来描述和研究空间和形状的科学。
在初中阶段的几
何学学习中，利用数形结合思想是帮助学生理解和记忆几何知识的一个重要方法。
比如，
学习圆的面积和周长时，可以通过图形的形式帮助学生理解和记忆相关概念。
在画圆的过
程中，学生可以从图形中得到面积和周长的直观感受，并将其转化为计算公式。
在初中阶段学习方程时，解题是一个重要的环节。
通过数形结合思想将方程的解转化
为图形，能够帮助学生更好地理解和解决问题。
比如，在一元一次方程的解中，可以通过
图形的形式帮助学生理解解的含义和求解方法。
再比如，在二元一次方程中，可以利用图
形解法帮助学生理解解的几何意义和约束条件。
在初中数学中学习函数时，通过函数图像的形式可以更好地理解函数的性质和特点。
通过数形结合思想，可以将函数的图像与函数的函数公式相结合，从而帮助学生更好地掌
握函数的内容。
比如，在学习一元一次函数的图像中，可以通过画出直线来帮助学生直观
地了解其性质。
而在学习二次函数的图像中，可以通过求解抛物线的拐点、对称轴等性质，从而更好地了解其特点。
圆中的数学思想1．数形结合思想例1 {}()M x y y x b ==+，|，{}2()9N x y y x ==-，|，假设M N φ≠，求b 的取值范围． 分析：由于此题所给圆不是整圆，而仅是圆的一局部，所以应用数形结合处理． 解：集合M 是斜率为1，在y 轴上截距为b 的一束平行线，集合N 是以原点为圆心，半径为3的圆在x 轴上方的局部〔包括与x 轴的交点〕．由题意作出图形，如上图，当直线y x b =+过(30)A ，时，3b =-．当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得32b =． 32b =±∴，由图形易知0b >，故32b =．332b -∴≤≤． 评注：在涉及到半圆或圆的一局部的题目时，应用数形结合处理较简单．2．转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解决的问题通过变换转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 例2 求圆22(2)(3)4x y -++=上的点到直线20x y -+=的最小、最大距离．分析：由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最小〔大〕距离为圆心到直线的距离减去〔加上〕半径．解：由圆的方程22(2)(3)4x y -++=易知圆心坐标为(23)-，，半径2r =． 而(23)-，到直线20x y -+=的距离为2327222++=． 故圆上的点到直线的最大距离为7222+，最小距离为7222-． 评注：但凡涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题.3．方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，到达解决问题的目的.例3 过点(30)，的直线l 与圆22630x y x y ++-+=相交于P Q ，两点，且OP OQ ⊥〔其中O 为原点〕，求直线l 的方程．分析：因为OP OQ ⊥，假设设1122()()P x y Q x y ，，，，那么12121y y x x =-·，由P Q ，在圆及直线上，可借助方程求解．解：设直线l 的方程为30(0)x ay a +-=≠，那么点1122()()P x y Q x y ，，，的坐标满足方程组2263030x y x y x ay ⎧++-+=⎨+-=⎩，，消去y ，得2233630x x x x a a --⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭·， 212231891a a x x a -+=+∴． ① 由方程组消去x ，得22(3)(3)630ay y ay y -++--+=，122151y y a =+∴． ② 依题意知OP OQ ⊥，12121y y x x =-∴·，即12120y y x x +=． 由①，②知，222318915011a a a a -++=++， 整理，得2680a a -+=，解得2a =或4a =． ∴所求直线l 的方程为230x y +-=或430x y +-=． 评注：此题巧用根与系数的关系，列出12120y y x x +=，进而求得方程．。
圆与方程章节中数形结合思想的应用
洪贵云
摘要：数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。
理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。
本文从圆的方程教学出发，提炼了一些数形结合在圆的方程解题中的应用技巧，如常见的求轨迹、求距离、求最值等问题。
如能熟练掌握这些方法并教给学生学会使用，必将取得事半功倍的效果。
（一）求范围
例1:设圆上222)5()3(r y x =++-有且仅有两点到直线234=-y x 的距离等于1,则圆的半径r 的取值范围是( )
A 4<r <6
B 64<≤r
C 64≤<r
D 64≤≤r 分析: 方法一 圆心)5,3(-到直线234=-y x 的距离为
5)
3(4215122
2
=-+-+,
而到直线234=-y x 的距离为1的轨迹为734=-y x 或334-=-y x
如图,当圆与直线734=-y x 相交,与直线334-=-y x 相离时,圆上只有两点与直线234=-y x 距离为1，所以4<r <6
方法二 根据四个选项知,只需判断当r =4或6时圆
222)5()3(r y x =++-与直线234=-y x 的距离为1的点的个数,作出草图1.
图1
当r =4时,圆与直线734=-y x 相切,只有一个点符合要求. 当r =6时,圆与直线334-=-y x 相切,与直线734=-y x 相交,圆上有三个点符合要求,故4<r <6
故选A
归纳:（1）以形助数,借助图形的性质,使有关”数”的问题直观形象化,从而探索”数”的规律.比如:研究两曲线的位置关系,借助图形使方程.间关系具体化;过定
x
y
(3,-5)
2
34=-y x 7
34=-y x 334-=-y x 0
点的直线系与某一确定的直线或圆相交时,求直线系斜率的范围;图形可帮助找到斜率的边界取值,从而简化运算;对于一些求最值得问题,可构造出适合题意的图形,解题中把代数问题几何化；（2）以数助形,借助数式的推理,使有关”形”的问题数量化,从而准确揭示”形”的性质.
（二）不等式问题
例2:当),(n m P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时,若不等式0≥++c n m 恒成立,则c 的取值范围是( )
A 1221-≤≤--c B
1212+≤≤-c
C 12--≤c
D 12-≥c
分析:因为),(n m P 在已知圆1)1(22=-+y x 上,且使0≥++c n m 恒成立,即说明圆在不等式0≥++c n m 表示的区域中, 如图2中，c -为直线0=++c y x 在y 轴上的截距, 可求出切线l 的截距为)12(--,所以)12(--≤-c ,即12-≥c
图2
【变式训练】 不等式)0(22
2
>+<-a a x x a 的解集为 }0{a x x ≤< 。
分析：令22x a y -=，它表示以原点为圆心，a 为半径的上半圆，包括端点；令)0(2>+=a a x y ，它表示斜率为2，且y 轴上的截距为a 在的直线。
由图3可知：不等式)0(222>+<-a a x x a 的解集为 }0{a x x ≤< 。
（三）临界值的问题
例3:若直线02=++y ax 与连接点)2,3(),3,2(B A -的线段有交点,则a 的取值范围是_____________
x
y
1
2
a
x
A O A
y
A
)
0,(a A -A )0,(a B A
a
图3
图4
分析:容易发现,直线02=++y ax 过定点)2,0(P ,因此要使直线与线段AB 始终有交点,如图4,当直线绕P 点在直线PB PA ,之间旋转时,直线与连接点
)2,3(),3,2(B A -的线段有交点,而02=++y ax 的斜率为a k -=,当直线由PB 开始
绕点P 逆时针旋转时(不与y 轴重合),到PA 止,当直线与线段AB 始终有交点,此时,斜率的变化为:当直线02=++y ax 的倾斜角为锐角时:PB k k ≥而3
4=
PB k ,即34≥
-a ,所以3
4-≤a ,当直线02=++y ax 的倾斜角为钝角时:25
,25,25,PA ≥-≤--=≤a a k k k PA 所以即而
故答案为:),2
5
[]34,(+∞⋃--∞
[变式训练] 已知圆4:221=+y x c 和圆4)8(:222=-+y x c ,直线b x y +=2
5
在两圆之间穿过,求实数b 的取值范围. 分析：直线在①情况下，根据b x y +=
2
5
与圆4:221=+y x c 相切，点到直线的距离等于半径，即2)1()2
5(
0025
22
==-++-⨯=
r b d 得3±=b ，结合图形5，b 即是直线
与y 轴交点的纵坐标，本题中我们只需要3=b ；直线在②情况下，根据
b x y +=
2
5
与圆4)8(:222=-+y x c 相切，点到直线的距离等于半径，即x
y 0
)
2,0(-P B
A
2)1()2
5(
8025
22
==-++-⨯=
r b d 得5=b 或11=b ，结合图形，我们只需要5=b ，3和
5是两个临界点，结合图形，可知b 的取值范围是)5,3(。
图5
[变式训练]若实数y x ,满足3)2(22=+-y x ，则
x
y
的取值范围为]3,3[- 。
提示：问题可转化为如下几何问题：动点P 在以)0,2(为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OP 的斜率的取值范围。
由图6可知，直线OP 的斜率的取值范围为]3,3[-
（四）方程的根的问题
例5. 若方程2222x x kx k -=-+有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围.
解析：方程
2
222x x k x k -=-+有两个不同的实数根，就是曲线
22y x x =-与直线22y kx k =-+有两个不同的交点. 由22y x x =-得22(1)1(0)x y y -+=≥，所以曲线22y x x =-是以(1,0)为圆心，以1位半径的圆位于x 轴上方的半圆；由22y kx k =-+得2(2)y k x -=-，所以它是过定点(2,2)斜率为k 的直线（如图）
.
x
y
o
4
22=+y x 4
)8(22=-+y x ①
② P
)0,2(B A
O
x
A
y A
3
图6
连接PO ，1PO k =，过点P 作圆的切线PQ ，由
2
|2|11k k -+=+，得3
4
PQ k =
，由图易知，过P 点的直线位于PQ （不包括PQ ）和PO （包含PO ）之间时，与半
圆有两个交点，故得3
14
k <≤.
评析：本题若直接从方程的角度进行求解将非常复杂，但从方程的形式及结构特点，发现与直线和圆有关系，因此将方程问题转化为直线与圆的位置关系问题，显得既直观又简单.
数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。
只有这样，才能不断提高、深化数形结合运用的能力。
