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复变函数与积分变换课件6.3 分式线性映射

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复变函数与积分变换第06章 共形映射

复变函数与积分变换第06章 共形映射

z' (t0 ) 0
则
z平面上 : z z(t ) w平面上 : w f [ z(t )] C
~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
— 过点w0 f ( z0 )，正向取增大方向的曲线 t .
w(t0 ) f ( z0 ) z(t0 ) 0



T'
T
u
x
(1)
即Arg f ( z0 ) Arg w(t0 ) Arg z(t0 )
(1)导数幅角 Argf (z)的几何意义
①Arg f ( z0 )( f ( z0 ) 0)是曲线C 经过w f ( z ) 映射后在点z0的转动角. ~~~~~~~~~
. f ' ( z0 ) 称之为曲线 在z0的伸 缩 率 C
易见, f ( z0 ) 与映射w f ( z )及z0有关, 而与曲线 的形状方向无关, 沿任何曲线作映射f 时, 在同一 点z0处A f ( z0 ) 均不变 伸缩 率不变 性 .
3. 共形映射的概念
定义 设w f ( z )在 z0的 邻 域 内 有 定 义 ， 且 在 z0
~~
设w f ( z )，z D z0 D，w0 f ( z0 )，f ( z0 ) 0
f ( z ) f ( z0 ) z z0 w 又 f ( z0 ) z z z0 w f ( z0 ) z （忽略高阶无穷小） 于是有：z z0 w w0 f ( z0 ) （忽略高阶无穷小）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~

复变函数课件6-2分式线性映射

复变函数课件6-2分式线性映射

够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。

复变函数与积分变换PPT_图文_图文

复变函数与积分变换PPT_图文_图文

x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直

复变函数教程 §6-2 分式线性映射

复变函数教程 §6-2 分式线性映射
§2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2

w

w1

1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图

z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,

复变函数与积分变换课件

复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义

复变函数与积分变换全套精品课件

复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)

复变函数课件6-2分式线性映射

26
思考题
已知映射w 3z 4 , 试将其分解为简单 iz 1
变换的复合.
27
思考题答案
z1
z
i, z2
1 z1
, z3
(3
4i)z2, w
z3
3i.
放映结束，按Esc退出.
28
默比乌斯资料 ◇
August Möbius
Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony
关键: 在几何上如何由 z w1 ?
8
对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以
圆心为起点的一条半直线上, 如果有两点 P与 P 满足关系式
OP OP r 2 , 那末就称这两点为关于这圆周的对称点. 规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
9
作图: 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂
事实上, 设 z rei ,a ei 那末 w rei( ) ,
因此, 把z先转一个角度
再将 z 伸长(缩短)到 倍后, 就得到 w.
(z) (w)
w
z o
7
3. w 1 反演变换 z
此映射可进一步分解为
w1
1 z
,
w w1
欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序:
z z w1 w 关于横轴对称
(1) 考察 w 1 z
因
w
1 z2
，所以除去z
0与z
,映射是共形的.
若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 的交角, 等于它们在映射 w 1 下所映成的通过
z 原点的两条象曲线的交角. 那么映射 w 1在 z 处是共形的.
z
13

复变函数与积分变换课堂PPT课件

完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。

复变函数与积分变换讲义详细讲课文档


3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: zr(co issin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei (rz,Arzg)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
pp
1 )z 1 2 2 i; 2 )z sin ic o s . 55
建立和发展。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
第五页，共21页。
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，
热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复
数领域的推广和发展。
第六页，共21页。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到
yy 12
x 2
i
xy 21 x2
x y 12
x 2
(z 2
0)
2
1
2
1
2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3

复变函数 ppt课件


z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
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w 1 在扩充复平面上除 z 0 外是共形映射。 倒数映射 z
15
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 1 1. 倒数映射 w z 的保形性 章 共 形 映 射
1 倒数映射 w z 在扩充复平面上除 z 0 外是共形映射。 1 同理，映射 z w 在 w 扩充复平面上除 w 0 外是共形映射。 1 z w 在 w 处是共形映射， 由此即得： 特别有，映射
比如 z 平面上两曲线在无穷远点的交角，可定义为
它们在映射 1 下的像曲线在原点的交角。 z 14
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 1 1. 倒数映射 w z 的保形性 章 单值性 规定：当 z 时，w 0 ; 当 z 0 时，w . 共 形 由此，倒数映射在扩充复平面上是双方单值的。 映 解析性 (1) 当 z 且 z 0 时， 射 1 解析，且 dw 1 0 . 函数 w z dz z2 1 (2) 当 z 时， 令 z , 则 w ( ) , 函数 ( ) 在 0 处 解析，且 (0) 1 0 .
π
比如 (1) z 0 w 0 ; (2) z i w 1;
i
2 1 i 1Βιβλιοθήκη 2i ii2
1
12
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 章 某些技术处理和补充说明。 其思想已在§5.2 节中介绍过。 共 形 思想 令 1 , 即 z 1 , 则点 z 对应于点 0 . z 映 (回顾) 射 1 记为 ( ) , (1) 对于函数 f (z ) , 则有 f ( z ) f
1 ( ) 在 0 处 解析，且 (0) a 0 , 函数
因此， 映射 ( ) 在 0 处是共形映射,
且当 0 时， (0) 0 ; 18
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 1 1. 倒数映射 w z 的保形性 章
共形映射来使用。其主要作用是为了能更好地看清倒数 映射的变化过程。
z
1 ; z 1, 即 w z w .

w
11
§6.3 分式线性映射 第 六 章
P43 例6.5
i 2z 2i 2 z 2i 2i 2 1 . 2 2e 2 解 w zi zi zi zi 共 π 1 形 i e 2 z2 2z 3 z1 z4 2 zi 映 z z1 z4 w z3 z2 射 平移 倒数 旋转 相似 平移
§6.3 分式线性映射 第 六 章 共 形 映 射
§6.3 分式线性映射
一、分式线性映射的一般形式
二、分式线性映射的分解
三、保形性
四、保圆性
五、保对称点性 六、唯一决定分式线性映射的条件 七、两个典型区域间的映射
1
§6.3 分式线性映射 第 一、分式线性映射的一般形式 六 章 定义 由分式线性函数 共 形 映 射
i 1 e i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w |z|

它将单位圆内(或外)的点映射到 单位圆外(或内)，且辐角反号。
如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成：
1 , arg w arg z ; z 映射为 w1 , 满足 | w1 | (1) 将 1 |z|
因此就得到了如下定理。
定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 20
§6.3 分式线性映射 第 四、保圆性 六 1 1. 倒数映射 w z 的保圆性 章 1 分析 令 z x i y , w u i v , 由 z w 有 共 1 u v 形 xiy 2 i 2 , 2 2 映 u iv u v u v 射 v u x 2 2 , y 2 2 . (A) u v u v 对于 z 平面上一个任意给定的圆：
倒数映射 w 1 在 z 0 处是共形映射。 z
1 结论 倒数映射 w z 在扩充复平面上是共形映射。
16
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 1. 倒数映射 w 1 的保形性 章 z
w a z b , (a 0) 的保形性 (结论同上, 跳过?) 共 2. 线性映射 形 单值性 规定：当 z 时，w . 映 射 由此，线性映射在扩充复平面上是双方单值的。
w a z b , (a 0) 的保形性 共 2. 线性映射 形 线性映射 w a z b 在扩充复平面上除 z 外是共形映射。 映 射 1 , ( ) , 1, 1, w 当 z 时， z 令 w 则 b a
映射 ( ) 在 0 处是共形映射, 且 (0) 0 ;
1 又映射 w 在 0 处也是共形映射，即得：
线性映射 w a z b 在 z 处是共形映射。
结论 线性映射 w a z b 在扩充复平面上是共形映射。
19
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 1 1. 倒数映射 w z 的保形性 章
w a z b , (a 0) 的保形性 共 2. 线性映射 形 3. 分式线性映射的保形性 映 射 由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合，
§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化， 章
将 w 平面与 z 平面放在同一个平面上。 共 形 1. 平移映射 映 射 w z b , ( b 为复数 )
令 w u iv , z x i y ,
b b1 i b2 ,
a b az b w ( a , b , c , d 为复数且 ) c d cz d
构成的映射，称为分式线性映射； 特别地，若 c 0 , 则称为(整式)线性映射。 注 (1) 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射； (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：
2
§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 az b 章 分析 分式线性函数 w 可改写为： cz d 共 (1) 当 c 0 时， 形 1 a c z bc 映 1 a (c z d ) ad bc w 射 c cz d c cz d
6.3
T R O A B
出发的射线上(如图)， 且
OA OB R 2 , 则称 A 和
B 是关于圆周 C 对称的。
C
自然地，规定圆心 O 与无穷远点 关于该圆周对称。 9
§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 5. 两个特殊的对称映射
w 1 共 (1) 关于单位圆周的对称映射 z 形 i 1 i 映 令 z | z | e , 则有 w | z | e . 射 | w | 1 , arg w arg z ; 即 |z|
(2) 关于实轴的对称映射 w z
i i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w | z | e
z w
z
即 | w | | z | , arg w arg z .
z
10
§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 5. 两个特殊的对称映射
w 1 共 (1) 关于单位圆周的对称映射 z 形 映 (2) 关于实轴的对称映射 w z 射 注意 上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为
因此， 函数 f (z )在无穷远点 z 的性态可由
函数 ( ) 在原点 0 的性态来刻画。 比如 若函数 ( ) 在原点 0 解析，
f 则“认为”函数(z )
z 在无穷远点
也解析。
13
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 章 某些技术处理和补充说明。 其思想已在§5.2 节中介绍过。 共 形 思想 令 1 , 即 z 1 , 则点 z 对应于点 0 . z 映 (回顾) 射 (2) 对于 z 平面上过无穷远点 z 的曲线 C，同样有 曲线 C 在无穷远点 z 的性态可由 像曲线 Γ 在原点 0 的性态来刻画。
解析性 当 z 时，
dw a 0. 函数 w a z b 解析，且 dz
线性映射 w a z b 在扩充复平面上除 z 外是共形映射。
17
§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 1 1. 倒数映射 w z 的保形性 章
w a z b , (a 0) 的保形性 共 2. 线性映射 形 线性映射 w a z b 在扩充复平面上除 z 外是共形映射。 映 射 1 , ( ) , 1, 1, w 当 z 时， z 令 w 则 b a
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。 特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域。
7
§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 4. 反演(或倒数)映射 w 1 z 共 形 映 射
则有 u x b1 , v y b2 . 它将点集(点、 曲线 、 区域等)沿着 向量 b 的方向平移一段距离 | b | . 5
§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 2. 旋转映射 共 形 映 射
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i 0
z , ( 0 为实数 )