长治市宏志中学2020-2021学年高二模拟数学(理)试卷-含答案

山西省长治市实验中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 半径为R的⊙O中内接一个正方形，现在向圆内任掷一个小豆，则小豆落在正方形内的概率是（）A． B． C． D．1-参考答案：A2. 已知复数z满足，则z的虚部为（）A．4 B．4i C．－2 D．－2i参考答案：A3. 已知，则A．B．C．D．参考答案：C略4. 下列各式中，最小值等于2的是 ( )A． B． C. D．参考答案：D5. 下列赋值语句中错误的是 ( )．A．N＝N＋1 B．K＝K*K C．C＝A(B＋D) D．C＝A/B参考答案：C略6. 如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于( )(A) (B) (C) (D)参考答案：D略7. 抛物线x2=4y关于直线x+y=0的对称曲线的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质；反函数．【分析】由题意可得：抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线方程为（﹣y）2=4（﹣x），进而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：由题意可得：抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线方程为：（﹣y）2=4（﹣x），即y2=﹣4x，其中p=2所以抛物线的焦点坐标为（﹣1，0）．故选B．8. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式分别求解，能求出结果．【解答】解：∵柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，∴基本事件总数n==15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，∴取出的鞋不成对的概率是：1﹣=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，∴取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有： =6，∴取出的鞋都是同一只脚的概率是p==；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，∴取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D错误．故选：D．9. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于( )A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m参考答案：C10. 设a＞b＞1，，给出下列三个结论：[www.z#zste&*p~.c@om]①＞；② ＜；③ ，其中所有的正确结论的序号是（） *国^出~版网#]A．① B.① ② C.②③ D.① ②③参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC为等边三角形，则与的夹角为_______．参考答案：略12. 有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为4π，已知球的半径R=3，则此圆锥的体积为．参考答案：或【考点】球内接多面体．【分析】求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：由πr2=4π得圆锥底面半径为r=2，如图设OO1=x，则，圆锥的高或所以，圆锥的体积为或．故答案为或．【点评】本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的高是关键．13. 四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．参考答案：，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大；当AC⊥CD，AB⊥BD时，该四面体表面积取最大值．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：S max==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值S max==1+．故答案为：，．【点评】本题考查四面体的体积的最大值和表面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14. 已知函数，其导函数为，则参考答案：2略15. 已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是___________。

2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．i为虚数单位，复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点到点（﹣，）的距离为（）A．B．1C．D．2．已知函数f（x）＝log2（x2﹣2x）的定义域为A，B＝{x|﹣2＜x≤2），则A∪B＝（）A．R B．{x|x≤2}C．{x|x≥﹣2}D．{x|﹣2≤x≤2} 3．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cos（2α+π）＝（）A．B．﹣C．﹣D．4．随着经济的发展，城市空气质量也越来越引起了人民的关注，如图是我国某大城市2018年1月至8月份的空气质量检测结果，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面说法错误的是（）A．6月的空气质量最差B．8月是空气质量最好的一个月C．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了D．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个5．2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有（）A．24B．36C．48D．726．如图是某几何体的三视图，则它的表面积可能的值为（）A．++9B．+2+11C．++8D．2+2+11 7．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形．如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若向正方形内随机的抛10000颗小米粒（大小忽略不计），则落在阴影部分的小米粒大约为（）A．3750B．2500C．1875D．12508．已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝，则a2019＝（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝3，∠BAC ＝120°，AA1＝8，则球O的表面积为（）A．25πB．πC．100πD．π10．设F为抛物线C：x2＝3y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交于C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．已知f（x）＝（e x﹣a）（eax+1），若f（x）≥0（x∈R）恒成立，则满足条件的a的个数有（）A．1B．2C．3D．412．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足＝．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．二、填空题：本题共4小题，毎题5分，共计20分．请把正确答案填写在答题纸相应的位置上．13．已知，是相互垂直的两个单位向量，且＝3+2，＝λ+，若（﹣）⊥，则λ＝．14．的展开式中x2的系数是．（数字作答）15．若实数x，y满足|x﹣3|+|y﹣2|≤1，则的最小值是．16．定义R在上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（x+1），并且图象关于x＝1对称；当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．若数列{a n}满足a n＝f（log2（64+n））（n∈N+）；若n ≤50时，当S n＝a1+a2+…+a n取的最大值时，n＝．三、解答题：本题共5小题，共计70分．17．在△ABC中，点D是边BC上的一点且满足BD•sin B＝CD•sin C，DC＝2BD＝2．（1）求的值．（2）若AD＝2，求△ABC的面积．18．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：（1）得60分的概率；（2）所得分数ξ的分布列和数学期望．19．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为．（1）求半球的半径．（2）求平面SAD与平面SBC所成的二面角的余弦值．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝aln（1﹣x）（a≠0），g（x）＝x2﹣1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）若h（x）＝f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：x1•f（x1）＞x2•f（x2）．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线C：ρ•sin2θ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+2|﹣|2x|的最大值m．（1）求m的值．（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求+的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．1．i为虚数单位，复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点到点（﹣，）的距离为（）A．B．1C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出的坐标，再由两点间的距离公式求解．解：∵z＝＝，∴，在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），到点（﹣，）的距离为．故选：D．2．已知函数f（x）＝log2（x2﹣2x）的定义域为A，B＝{x|﹣2＜x≤2），则A∪B＝（）A．R B．{x|x≤2}C．{x|x≥﹣2}D．{x|﹣2≤x≤2}【分析】求出集合A，再求出并集．解：A＝{x|x＜0或者x＞2}，所以A∪B＝R，故选：A．3．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cos（2α+π）＝（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴cosα＝＝﹣，则cos（2α+π）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝1﹣2×＝﹣，故选：B．4．随着经济的发展，城市空气质量也越来越引起了人民的关注，如图是我国某大城市2018年1月至8月份的空气质量检测结果，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面说法错误的是（）A．6月的空气质量最差B．8月是空气质量最好的一个月C．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了D．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个【分析】根据图象，逐一判断即可．解：选项A中，5月份空气质量合格的天数只有13天，空气质量最差，所以错误，B选项8月份空气质量合格天数为30天，是最好的一个月，正确，C选项第一季度合格天数比重为，同理第二季度比重0.626，故正确，D选项1月至8月空气质量超过20天的月份为1，2，6，7，8，故正确，故选：A．5．2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有（）A．24B．36C．48D．72【分析】先分组，再分配，即可求出．解：先把4人分成3组，然后把3组全排列有C42A33＝36种．故选：B．6．如图是某几何体的三视图，则它的表面积可能的值为（）A．++9B．+2+11C．++8D．2+2+11【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，结合图中数据计算它的表面积．解：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，且侧棱PA⊥底面ABCD，CD＝2，PA＝2，PD＝，PC＝3；由余弦定理得cos∠PCD＝＝＝，所以sin∠PCD＝＝；所以S△PCD＝PC•CD•sin∠PCD＝×3×2×＝；S△PAB＝PA•AB＝×2×2＝2；S△PAD＝PA•AD＝×2×3＝3；S△PDC＝PB•BC＝××1＝；S梯形ABCD＝×（1+3）×2＝4；所以该四棱锥的表面积为S＝+2+3++4＝++9．故选：A．7．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形．如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若向正方形内随机的抛10000颗小米粒（大小忽略不计），则落在阴影部分的小米粒大约为（）A．3750B．2500C．1875D．1250【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可求出对应的概率进而得到结论．解：设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为2，则等腰直角三角形的边长为＝，对应每个小等腰三角形的面积S＝××＝，则阴影部分的面积之和为3×＝，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为＝，∴向正方形内随机的抛10000颗小米粒（大小忽略不计），则落在阴影部分的小米粒大约为10000×＝1875，故选：C．8．已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝，则a2019＝（）A．B．C．D．【分析】a n+1＝⇒﹣＝⇒数列{}是以首项为＝，公差为的等差数列，从而可得答案．解：∵a n+1＝，∴＝＝+，即﹣＝，又a1＝，∴数列{}是以首项为＝，公差为的等差数列，∴＝+（2019﹣1）×＝，a2019＝．故选：A．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝3，∠BAC ＝120°，AA1＝8，则球O的表面积为（）A．25πB．πC．100πD．π【分析】由△ABC中，AB＝3，AC＝3，∠BAC＝120°，可得△ABC的外接圆的半径r ＝3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AA1＝8，利用勾股定理即可得出球O的半径R．解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝3，∠BAC＝120°，∴△ABC的外接圆的半径r＝3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AA1＝8，则球O的半径R＝＝5．∴球O的表面积＝4πR2＝100π．故选：C．10．设F为抛物线C：x2＝3y的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交于C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，即可求解．解：可得焦点F（0，），过F且倾斜角为60°的直线y＝把直线方程代入x2＝3y，可得，∴．则△OAB的面积为S＝|OF|•|x1﹣x2|＝．故选：A．11．已知f（x）＝（e x﹣a）（eax+1），若f（x）≥0（x∈R）恒成立，则满足条件的a的个数有（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据f（x）≥0（x∈R）恒成立，分a＞0，a＝0和a＜0三种情况求出满足条件的a的个数．解：∵f（x）＝（e x﹣a）（eax+1），f（x）≥0（x∈R）恒成立，∴（e x﹣a）（eax+1）≥0在R上恒成立．当a＜0时，e x﹣a＞0恒成立，而eax+1≥0在R不成立，∴a≥0，当a＝0时，f（x）＝e x≥0成立；当a＞0时，由f（x）≥0恒成立，有或，由e x﹣a＝0，得x＝lna；由eax+1，得x＝，设，则，∴g（a）在上单调递减，在上单调递增，∴＝，∴方程有一个解，即有一个a值使得f（x）≥0恒成立，∴满足条件的a的解有2个．故选：B．12．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足＝．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】设|AF1|＝k，|BF1|＝7k，根据双曲线定义|AF2|＝k+2a，|BF2|＝7k+2a，得：（k+2a）2＝（2c）2+k2﹣2•2c•k cos60°．（k+7a）2＝（7k）2+（2c）2﹣2•2c•7k cos120°，①﹣②可得e．解：设|AF1|＝k，|BF1|＝7k，根据双曲线定义|AF2|＝k+2a，|BF2|＝7k+2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得：（k+2a）2＝（2c）2+k2﹣2•2c•k cos60°．在△bF1F2中，由余弦定理可得：（k+7a）2＝（7k）2+（2c）2﹣2•2c•7k cos120°，①﹣②可得，解得e＝．故选：D．二、填空题：本题共4小题，毎题5分，共计20分．请把正确答案填写在答题纸相应的位置上．13．已知，是相互垂直的两个单位向量，且＝3+2，＝λ+，若（﹣）⊥，则λ＝．【分析】先求出＝（3﹣λ，1），再由（﹣）⊥，能求出实数λ．解：∵，是相互垂直的两个单位向量，且＝3+2，＝λ+，∴＝（3，2），＝（λ，1），＝（3﹣λ，1），∵（﹣）⊥，∴）＝9﹣3λ+2＝0，解得λ＝．故答案为：．14．的展开式中x2的系数是﹣1080．（数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出分子第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x2项的系数．解：（2﹣3x）5的展开式的通项为T r+1＝25﹣r（﹣3）r x r＝（﹣3）r25﹣r x r，令r＝3，故展开式中x2项的系数是：（﹣3）322＝﹣1080；故答案为：﹣1080．15．若实数x，y满足|x﹣3|+|y﹣2|≤1，则的最小值是．【分析】作出绝对值的不等式所满足的可行域，再由的几何意义，即该区域内的点与坐标原点连线的斜率求解．解：不等式|x﹣3|+|y﹣2|≤1可表示为如图所示的平面区域．为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x＝3，y＝1时，取得最小值．故答案为：．16．定义R在上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（x+1），并且图象关于x＝1对称；当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．若数列{a n}满足a n＝f（log2（64+n））（n∈N+）；若n ≤50时，当S n＝a1+a2+…+a n取的最大值时，n＝26．【分析】f（x﹣1）＝﹣f（x+1），可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．可得函数f（x）是周期为4的函数、当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．f（）＝0．由周期性和对称性可得：x∈（6，）时，f（x）＞0．x∈（，）时，f（x）＜0．f（）＝f（）＝0．又6＜log2（64+n）＜log2114＜7．进而得出结论．解：∵f（x﹣1）＝﹣f（x+1），∴f（x）＝﹣f（x+2），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．可得函数f（x）是周期为4的函数、当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．f（）＝﹣3＝0．由周期性和对称性可得：x∈（6，）时，f（x）＞0．x∈（，）时，f（x）＜0．f（）＝f（）＝0．又6＜log2（64+n）＜log2114＜7．而6＜log2（64+n）＜＝，可得：64＜64+n＜64≈90.496．∴n≤26时，a n＞0．当27≤n≤50时，＜log2（64+n）＜log2114＜7．a n＜0．∴n＝26．故答案为：26．三、解答题：本题共5小题，共计70分．17．在△ABC中，点D是边BC上的一点且满足BD•sin B＝CD•sin C，DC＝2BD＝2．（1）求的值．（2）若AD＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）根据条件即可得出，然后根据正弦定理即可得出；（2）可画出图形，根据DC＝2BD＝2，AD＝2，AC＝2AB，及cos∠ADB＝﹣cos∠ADC及余弦定理即可得出，从而可解出AB＝2，AC＝4，然后根据余弦定理即可求出，进而得出，从而可求出△ABC的面积．解：（1）∵BD•sin B＝CD•sin C，且DC＝2BD，∴，∴根据正弦定理得，；（2）如图，DC＝2BD＝2，AD＝2，AC＝2AB，则：＝，＝，且cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，∴6﹣AB2＝﹣（6﹣2AB2），解得AB＝2，AC＝4，∴，∴，∴＝．18．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：（1）得60分的概率；（2）所得分数ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，由P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，能求出得60分的概率．（2）ξ可能的取值为40，45，50，55，60，分别求出P（ξ＝40），P（ξ＝45），P（ξ＝50），P（ξ＝55）和P（ξ＝60），由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，∴P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，∴得60分的概率为p＝．…（2）ξ可能的取值为40，45，50，55，60…P（ξ＝40）＝；…P（ξ＝45）＝…P（ξ＝50）＝×××+C12×××；…P（ξ＝55）＝C12×××＝…P（ξ＝60）＝，∴ξ的分布列：ξ4045505560 P（ξ）…Eξ＝40×+（45+50）×+55×+60×＝…19．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为．（1）求半球的半径．（2）求平面SAD与平面SBC所成的二面角的余弦值．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接SO，所以SO⊥平面ABCD，由体积公式求出球的半径r；（2）以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面SAD 和平面SBC的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论．解：（1）连接AC，BD交于点O，连接SO，因为S﹣ABCD为正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD，设求的半径为r，则，，得r＝；（2）以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（r，0，0），B（0，r，0）C（﹣r，0，0），D（0，﹣r，0），S（0，0，r），，，设平面SAD的法向量为，由，得，设平面SBC的法向量，由，得，由cos＜＞＝，故平面SAD与平面SBC所成的二面角余弦值为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得A，B的坐标，设P（x0，y0），由直线的斜率公式和平行线的性质，可得k ON •k OM＝k AP•k BP＝﹣，讨论直线l的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理可得所求定值．解：（1）由2a＝4，e＝＝，解得a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，则椭圆的方程为+＝1；（2）由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），可得+＝1，即x02+2y02＝8，则k AP•k BP＝•＝＝＝﹣，则k ON•k OM＝k AP•k BP ＝﹣，①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，联立椭圆方程可得y＝±，由k ON•k OM＝﹣，可得﹣＝﹣，解得m＝±2，则S△MNO＝×2×2＝2；②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线y＝kx+n和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，k ON•k OM＝＝k2++＝﹣，可得n2＝2+4k2，|MN|＝•＝•＝•＝，点（0，0）到直线l的距离为d＝＝，则S△OMN＝d•|MN|＝2，所以△OMN的面积为定值2．21．已知函数f（x）＝aln（1﹣x）（a≠0），g（x）＝x2﹣1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）若h（x）＝f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：x1•f（x1）＞x2•f（x2）．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）结合极值存在条件可得，﹣2x2+2x﹣a＝0在x＜1时有2个不同实根x1，x2，结合二次方程根的条件可得△＝4﹣8a＞0，，要证明x1•f（x1）＞x2•f（x2），即证明，代入后结合函数性质即可证明．【解答】解；（1），f（0）＝0，f′（0）＝﹣a，故f（x）在（0，f（0））处的切线方程y＝﹣ax；（2）∵h（x）＝aln（1﹣x）+x2﹣1，x＜1，由题意可得，＝＝0在x＜1时有2个不同的实数根，即﹣2x2+2x﹣a＝0在x＜1时有2个不同实根x1，x2，所以△＝4﹣8a＞0，即0＜a＜，，∴，所以要证明x1•f（x1）＞x2•f（x2），即证明，∵＝＝+，＝2x1ln（1﹣x1）﹣（1+x1），同理＝2x2ln（1﹣x2）﹣（1+x2），∵﹣＝2x1ln（1﹣x1）﹣（1+x1）﹣2x2ln（1﹣x2）+（1+x2）＝2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2）+x2﹣x1，＝2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令m（x）＝2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x，∴﹣2[ln（1﹣x）]＝＞0在（）上恒成立，故m（x）在（）上单调递增，m（x）＞m（）＝0，故﹣＞0，即x1•f（x1）＞x2•f（x2）．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线C：ρ•sin2θ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果．解：（1）曲线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），当时，直线的直角坐标方程为x＝1．当时，直线的直角坐标方程为y＝tanα（x﹣1）．曲线C：ρ•sin2θ＝4cosθ．转换为直角坐标方程为y2＝4x．（2）把参数方程为，代入y2＝4x，得到sin2αt2﹣4cosαt﹣4＝0，所以，，所以|AB|＝|t2﹣t1|＝，整理得，所以（0＜α＜π），所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+2|﹣|2x|的最大值m．（1）求m的值．（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求+的最小值．【分析】（1）利用绝对值不等式性质求出即可；（2）构建不等式，利用柯西不等式求出即可．解：（1）f（x）＝|2x+2|﹣|2x|≤|2x|+2﹣|2x|≤2，故m＝2；（2），由a+b＝m＝2，正实数a，b，由柯西不等式（+）（b+1+a+1）≥（a+b）2＝4，当且仅当a＝b时，成立，所以+≥1，故最小值为1。

2020-2021学年山西省长治二中高二(下)第一次月考数学试卷(理科) 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知f(3)=2，f′(x)=−2，则limx→36−3f(x)x−3=()A. −4B. 6C. 8D. 不存在2.已知函数则下列结论正确的()A. 在上恰有一个零点B. 在上恰有两个零点C. 在上恰有一个零点D. 在上恰有两个零点3.曲线f(x)=2x在x=0处的切线方程为()A. y=x−1B. y=x+1C. y=(x−1)ln2D. y=xln2+14.函数的图象大致是()A. B.C. D.5.已知x∈(0,1)则f(x)=x,g(x)=1x,ℎ(x)=x2的大小为()A. f(x)<g(x)<ℎ(x)B. g(x)<f(x)<ℎ(x)C. ℎ(x)<f(x)<g(x)D. ℎ(x)<g(x)<f(x)6.执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=()A. 1B. 1+C. 1++++D. 1++++7.如图，函数y =f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y =−x +8，则f(5)+f′(5)=( )A. 12 B. 1 C. 2 D. 08.已知a >b >0，且|lga|=|lgb|，则函数f(x)=a x +x −b 的零点落在区间( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)9.若实数、、、满足，则的最小值为( )A.B.C.D.10. 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )A. 3B. 5C. 6D. 1011. 3、已知( )A.B.C.D. 012. 函数f(x)=x 3+3x 2−1在x =( )处取得极小值．A. 3B. 2C. 0D. −2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最小值为______．14. 用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数______(用数字作答)． 15. 计算∫√9−x 232−32dx =______．16. ∀x ∈[0,34π]，sinx −cosx −ax +1≥0恒成立，则实数a 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 求下列函数的导数．(1)y =(2x 2+3)(3x −1)； (2)f(x)=1−sinx x；(3)y =ln √1+2x ．18. 已知函数f(x)=lnx +x +ax (a ∈R)．(1)若函数f(x)在x =1处的切线与直线y =a 2x +1平行，求a 的值；(2)若函数g(x)=xf(x)−(a +1)x 2−x 有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 2>x 1>0，求证：x1e >(ex 2)2(e 为自然对数的底数)．19. (1)求由曲线y =x 2+2与y =3x ，x =0，x =2所围成的平面图形的面积(画出图形)． (2)已知a ，b 是正实数，求证：√b √a ≥√a +√b ．20. 定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中D 称为f(x)的上界．已知函数f(x)=1+a ⋅(12)x +(14)x ． (1)当a =1时，求函数f(x)在(−∞,+∞)上的值域，并判断函数f(x)在(−∞,0)上是否有上界，请说明理由．(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； (3)试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明．21. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+ax +a ．(1)若曲线y =f(x)在点(0,a)处的切线l 与曲线x 2+y 2=12相切，求a 的值； (2)若函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．22. 已知函数y =x 3+3ax 2+3bx +c 在x =2处有极值，且其图象在x =1处切线斜率为−3 (1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．参考答案及解析1.答案：B解析：利用导数的定义，进行变形，即可得出结论．本题考查导数的定义，考查学生的计算能力，正确变形是关键．解：∵f(3)=2，f′(x)=−2，∴limx→36−3f(x)x−3=−3limx→3f(x)−f(3)x−3=−3f′(x)=6，故选：B．2.答案：C解析：解析：试题分析：根据函数零点存在定理，，所以，A，B错误。

2020年山西省长治市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x−5<0},B={−1,0,1,2,3,5},则A∩B=()A. {−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}2.已知复数z=2+i，则z⋅z=()A. √3B. √5C. 3D. 53.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是()A. 6，4，8B. 6，6，6C. 5，6，7D. 4，6，8．4.设命题p:所有正方形都是平行四边形，则¬p为()A. 所有正方形都不是平行四边形B. 有的平行四边形不是正方形C. 有的正方形不是平行四边形D. 不是正方形的四边形不是平行四边形5.若x，y满足约束条件{x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0，则z=x+y的最大值为()A. 11B. 9C. 10D. 86.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π+4B. 4π+2C. 92π+4D. 112π+47.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图(1)，在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在图(2)的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中有AC12+BD12+CA12+DB12等于()A. 2(AB 2+AD2+AA 12)B. 3(AB 2+AD2+AA 12)C.D. 8. 设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m =1长轴的两个端点，若C 上存在点M满足∠AMB =120∘，则m 的取值范围是( ) A. (0,1]∪[9,+∞) B. (0,√3]∪[9,+∞) C. (0,1]∪[4,+∞) D. (0,√3]∪[4,+∞)9. 函数的最小正周期是，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A. 关于点(π12,0)对称B. 关于直线x =π12对称 C. 关于点(π6,0)对称 D. 关于直线x =π6对称 10. 数列{a n }满足a n+1=(−1)n+1a n +2n −1，则数列{a n }的前48项和为( )A. 1006B. 1176C. 1228D. 2368 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 满足|PF 1|−|PF 2|=2a ，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，且M(0,b)，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±√5xC. y =±2√2xD. y =±√3x12. 设函数f(x)=xe x −a(x +lnx)，若f(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范国是( )A. [0,e]B. [0,1]C. (−∞,e]D. [e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．14. 某高一学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科进行学习，在所选的两科中有生物的概率是 ．15.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗与b⃗ 的夹角为2π，则|a⃗+2b⃗ |=______．316.三棱锥D−ABC中，DC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=DC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(2b−√3c)cosA=√3acosC．(Ⅰ)求A的值；,BC边上的中线AM=√7，求△ABC的面积(Ⅱ)若B=π618.如图，在四棱锥E—ABCD中，BC//AD，AD⊥DC，AD=DC=2BC，AB=AE=ED=BE.F是AE的中点．(1)证明：BF//平面EDC；(2)求BF与平面EBC所成角的正弦．19.已知点M(x0,y0)在圆O:x2+y2=4上运动，且存在一定点N(6,0)，点P(x,y)为线段MN的中点．(1)求点P的轨迹C的方程；⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2)过A(0,1)且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F，是否存在实数k使得OE⃗⃗⃗⃗⃗ =12，并说明理由．OF20.设f(x)=xsinx+cosx，g(x)=x2+4．(1)讨论f(x)在[−π,π]上的单调性；(2)令ℎ(x)=g(x)−4f(x)，试证明ℎ(x)在R上有且仅有三个零点．21.学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响)．(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题得分X 的分布列及数学期望E(X)；(2)本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”，记该同学6个题中得分为x i (x 1<x 2<x 3<x 4<x 5)的题目个数为a i ，a i ∈N(i =1,2，3，4，5)，∑a i =65i=1.计算事件“a 1+a 4+a 5=4”的概率．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为(−2,0)，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)求PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|2x −1|．(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)记函数f(x)的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a +b +c =m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A={x|−1<x<5}，B={−1,0，1，2，3，5}，∴A∩B={0,1，2，3}．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．直接由z⋅z−=|z|2求解．解：∵z=2+i，∴z⋅z−=|z|2=(√22+12)2=5．故选D．3.答案：A解析：本题主要考查分层抽样，属于基础题．根据分层抽样的定义计算即可．解：学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是18×39=6,18×29=4,18×49=8．故选A．4.答案：C解析：解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p，有的正方形不是平行四边形．故选：C．找出条件和结论，否定条件和结论．本题考查命题的否定，为基础题．5.答案：B解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0作出可行域，化目标函数z=x+y为y=−x+z，由图可知，当直线y=−x+z过A时，目标函数有最大值，由件{x−2y+3≥0x−5≤0，可得A(5,4)，z的最大值为z=5+4=9．故选B．6.答案：C。

2020-2021学年山西省长治市第二中学校高二上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．如图所示的组合体，其结构特征是（）A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体【答案】D【解析】由已知图形，结合棱柱定义，即可得出结论.【详解】根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.故选:D.【点睛】本题考查几何体的识别，掌握定义是解题的关键，属于基础题.2．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内；B．三条平行直线共面；C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；D．空间三点确定一个平面.【答案】C【解析】用立体几何中的公理及公理的推论对每个选项进行判别，可得到答案.【详解】对A：根据立体几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.显然，A中的直线AB在平面α内，故A不正确；对B：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故B不正确；对C：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故C正确；对D：根据立体几何公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点，不一定确定一个平面.故D不正确；综上所述，只有C正确.故答案为：C.【点睛】本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理，属于基础题.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．272B．92C．212D．292【答案】B【解析】根据三视图特征，在棱长为3的正方体中截取出符合题意的立体图形，该几何体为三棱锥A BCD-，求出三棱锥的体积即可.【详解】根据三视图特征，在棱长为3的正方体中截取出符合题意的立体图形，该几何体为三棱锥A BCD-，所以11193333322 A BCD BCDV S AC-=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的体积，解题关键是根据三视图画出立体图形，考查学生的空间想象能力与分析解决问题的能力，属于基础题.4．设α、β、γ是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出//αβ的有（ ）①l α⊥，l β⊥ ②//l α，l β// ③//αγ，//βγ ④αγβγ⊥⊥， A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【解析】根据线面垂直的性质，面面平行的判断定理及性质，以及空间中平面间的位置关系，即可得出结论. 【详解】①垂直于同一条直线的两个平面平行；因为l α⊥，l β⊥，所以//αβ；故①正确； ②因为//l α，l β//，所以α与β可能平行或相交；故②错；③平行于同一个平面的两个平面平行；因为//αγ，//βγ，所以//αβ；故③正确； ④因为αγβγ⊥⊥，，则α与β可能平行或相交；故④错； 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断面面平行，熟记面面平行的判定定理及性质，以及线面垂直的性质即可，属于常考题型.5．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直C ．在平面α内D ．无法确定【答案】D【解析】作出正方体1111ABCD A B C D -，以平面ABCD 为平面α，对直线l 分别为AB 、1AA 、11A B 、1AB 进行分类讨论，可得出结论.【详解】 如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，以平面ABCD 为平面α. ①以直线AB 为直线l ，则l AD ⊥，l BC ⊥，此时l α⊂；②以直线11A B 为直线l ，//l AB ，AB AD ⊥，则l AD ⊥，同理可得l BC ⊥，此时//l α； ③以直线1AA 为直线l ，则l AD ⊥，l BC ⊥，此时l α⊥； ④以直线1AB 为直线l ，AD ⊥平面11AA B B ，l ⊂平面11AA B B ，则l AD ⊥，同理可得l BC ⊥，此时直线l 与平面α斜交. 因此，直线l 与平面α的位置关系不确定. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判断，属于基础题.6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．22+B ．122C ．222+ D ．12【答案】A【解析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解. 【详解】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(121)2222S =++⨯=+. 故选：A. 【点睛】本题考查斜二测直观图的特点，属于基础题.7．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,AD C D 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A ．直线1,EF OD 是异面直线，且1EF OD =B ．直线11,OD B B 是异面直线且11OD B B ≠C ．直线1,EF OD 是相交直线，且1EF OD = D ．直线11,OD B B 是相交直线且11OD B B =【答案】C【解析】根据题意画出图像，再判断EF 和1OD 的位置关系和长度，1OD 和1B B 的位置关系和长度即可得到答案. 【详解】根据题意画出图像如图所示，由图像易知，1OD 和1B B 在矩形11BB D D 上，1OD 和1B B 是相交直线，且11OD B B ≠，故选项B 、D 错误；O 为正方形ABCD 的中心，E 为AD 的中点，所以//OE CD ，且12OE CD =， 又点F 为11C D 的中点，所以1//D F CD ，且112D F CD =， 所以1//OE D F ，且1OE D F =，四边形1OED F 是平行四边形， 则EF 和1OD 是1OED F 的两条对角线， 所以EF 和1OD 是相交直线，且1EF OD =； 故选项A 错误，C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查空间两直线的位置关系，考查学生数形结合的能力，属于基础题. 8．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案． 【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下： 观察可知截面不可能出现直角三角形. 故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．9．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法不一定正确的是（ ） A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等边三角形C ．三角形PAB 面积的最大值为2D ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为6π 【答案】B【解析】直接利用勾股定理的应用求出圆锥的高，进一步判定三角形的形状和直线与平面的夹角． 【详解】解：圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3， 如图所示：所以圆锥的高为()22231h =-=．故选项A 一定正确；由于A 和B 为底面圆周上两个动点，由于满足P A ＝PB ，所以△P AB 为等腰三角形，故选项B 不一定正确．由于122sin 2PABSAPB =⨯⨯⨯∠， 当sin 1APB ∠=时，即22AB =（因为直径长为23，22AB =必能取到）时，三角形P AB 面积的最大值为2．故选项C 一定正确；直线P A 与圆锥底面所成角为直线P A 和AO 所成的角，即∠P AO ， 在△APO 中，1sin 2PO PAO AP ∠==， 所以6PAO π∠=，故选项D 一定正确．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥的性质的应用，直线与平面所成角的求解，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．()6223++ B ．()6225++C ．10D ．12【答案】B【解析】作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积. 【详解】由三视图得知该几何体的直观图如下图所示：由直观图可知，底面ABCD 是边长为2的正方形，其面积为224=；侧面PCD 是等腰三角形，且底边长2CD =，底边上的高为2，其面积为12222⨯⨯=， 且22125PC PD ==+=；侧面PAD 是直角三角形，且PDA ∠为直角，5PD =，2AD =，其面积为12552⨯⨯=，PBC PAD ∆≅∆，PBC ∆的面积为5； 侧面积PAB 为等腰三角形，底边长2AB =，223PA PB PD AD ==+=，底边上的高为22222AD h PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其面积为1222222⨯⨯=. 因此，该几何体的表面积为()4255226225++++=++，故选B.【点睛】本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A ．线段BM 的长度是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB 平面A 1DE 【答案】C【解析】取CD 中点N ，连接MN ，BN ，利用线面平行的判定定理和性质定理可以证明MB 平面A 1DE 恒成立，从而判定D 正确；利用三角形MNB 中的边角定值分析可得BM 是定值，从而判定A 、B 正确；根据排除法，或者利用面面垂直的判定定理与性质，证明OC 与DE 不垂直.从而判定C 不正确.【详解】解：取CD 中点N ，连接MN ，BN ，则MN DA 1，BN DE ，所以平面MBN 平面A 1DE ，所以MB 平面A 1DE ，故D 正确； 由∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值， 由余弦定理可得2222?·MB MN NB MN NB cos MNB =+-∠， 所以MB 是定值，故A 正确；因为B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，故B 正确； 连接AN,EN,设AN,DE 交点为F ,连接1A F ，易知ADNE 为正方形，,BD AN ∴⊥ 又在折叠过程中1A F DE ⊥始终不变，∴直线DE ⊥平面1A AN ,∴平面1A AN ⊥平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理可得A 1在平面ABCD 中的射影O 在线段AN 上， A 1C 在平面ABCD 中的射影为OC ，由于CFD ∠是直角，所以OC 与DE 不垂直，∴DE ⊥A 1C 不可能，可得C 不正确.故选：C.【点睛】本题考查线面、面面垂直、平行关系的判定与应用，属中高档题，难度较大.12．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是 （ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．83π 【答案】B【解析】根据已知条件得P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面，再根据球的面积公式求解即可. 【详解】解：∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ，又∵ 点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，AP ⊂平面AEF ，平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ，连接1A P ，∴ AP ⊥1A P ，∴ P 在以1AA 为直径的球上，且P 在三棱柱111ABC A B C -内部， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面， 又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面，占球面的16， ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何面面垂直的性质定理，考查空间想象能力，是中档题.二、填空题13．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为______. 【答案】3π 【解析】由已知正四棱锥的底面边长为2，可以求出底面正方形对角线的一半，再利用高为3，从而可以求出它的侧棱与底面所成角. 【详解】如图正四棱锥P ABCD -中，2AB =，3PO =PO ⊥底面ABCD ，所以2AC =，1AO =，PAO ∠即为侧棱PA 与底面ABCD 所成角， 在APO △中，3tan 1PO PAO AO ∠==， 所以3PAO π∠=.故答案为：3π【点睛】本题主要考查了求线面角，以及正四棱锥的性质，属于中档题. 14．如图所示，在圆锥SO 中，AB CD ，为底面圆的两条直径，ABCD O =，且AB CD ⊥,2SO OB ==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.2【解析】由于SA 与PD 是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线SA 与PD 所成角，由此连接OP 再利用中位线的性质得到异面直线SA 与PD 所成角为OPD ∠ ,并求出其正切值．【详解】连接PO ，则PO SA ，OPD ∴∠即为异面直线SA 与PD 所成的角，又SO CD ⊥，AB CD ⊥，SOAB O =，CD 平面SAB ，CD OP ∴⊥，即DO OP ⊥，OPD ∴为直角三角形， tan 22OD OPD OP ∴∠===【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线．15．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为_______． 【答案】163π 【解析】画出几何体的图像，通过底面外心的且垂直于底面的垂线以及AB 的垂直平分线，确定球心的位置，计算出球的半径，由此求得球的表面积. 【详解】画出几何体的图像如下图所示，由于,60BC CD BCD =∠=，所以三角形BCD 为等边三角形，设其外心为1O ,则球心是过1O 且垂直于底面BCD 的直线与线段AB 的垂直平分线的交点处，如图所示.其中1131,132O B OO AB ===，故外接球的半径22223413R OB ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，外接球的表面积为216π4π3R =.【点睛】本小题主要考查三棱锥的外接球表面积，考查了外接球如何确定球心的知识，考查了等边三角形的几何性质.要找到一个几何体外接球的球心，先在一个面上找到这个面的外心，球心就在这个外心的正上方，再结合另一个面的外心或者中垂线，由此确定外接球球心所在的位置.属于中档题.16．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且10AB =公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里.【答案】18【解析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，402102A A A SA SA A SA A SA ππ''''=∠⋅∴∠=⋅∴∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2222403050A B SA SB ''=+=+， 上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的HB ，由Rt Rt SA B H SB '△∽△，得22301850SB HB A B ==='. 故答案为：18 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.三、解答题17．（1）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为4π，求球的表面积（2）正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高【答案】（1）S 20π=球（2）侧棱长933；斜高2213【解析】（1）截面圆的半径r =2，球半径R =22125+=，得到球表面积. （2）如图所示：计算433OA =，11233O A =，233OE =，1133O E =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】（1）截面圆的半径r =2，球半径R =22125+=，2S 4R 20ππ==球 （2）正三棱台111-ABC A B C 中，高13OO =，底面边长为112A B =，4AB =， 故3433OA AB ==，11113233O A A B ==， 侧棱长1AA =22429333333+-=（）， 又23OE =，113O E =，斜高1EE =222323321333+-=（）.【点睛】本题考查了球的表面积，三棱台的相关计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 18．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .（1）证明：DE //11B C ； （2）求证：11AC A B ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用线面平行的性质定理可得//BC DE ，从而得到11//B C DE . （2）连接1A C ，可证1AC ⊥平面1A BC ，从而得到11AC A B ⊥. 【详解】（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE .又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE .(2)连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥.又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A .又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥. 在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形. 又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥. 又1BCAC C =,BC ⊂平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥. 【点睛】线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为2π；（3）线面垂直的性质定理； 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ； （2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】（1）因为E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC 又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD 同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O =所以，平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又PA AC A =所以BD ⊥平面PAC又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．20．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点.（1）求证：BD ∥平面1EFC ；（2）若13AA AB =，求直线11A C 与平面1EFC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（226【解析】(1)由点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点，则EF ∥BD ，可得证.(2) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面1EFC 的一个法向量，然后即可求线面角. 【详解】证明：（1）∵点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点，∴EF ∥BD . 又EF ⊂平面1,EFC BD ⊄平面1EFC ，BD ∴∥平面1EFC .（2）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则1111(0,,0),(,1,0),22A F E C1111(,,0),(222FE EC ==-设平面1EFC 的一个法向量为(,,)n x y z = 由10,0n FE n EC ⋅=⋅=可得110221302x y y x x x z ⎧+=⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎪⎩ 令1z =(23,n ∴=-11(1,1,0)AC =- 111112cos ,65AC n A F n AC n⋅∴==⋅ ∴直线1A F 与平面1EFC 所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解，属于中档题.21．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形，0=60ABC ∠，E 为AB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，PC 与平面PAD 所成角的正弦值为4.（1）在棱PD 上求一点F ，使//AF 平面PEC ； （2）求二面角D PE A --的余弦值. 【答案】（1）F 为PD 中点；（243131【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设()0,1,P m ，求出平面PAD 的法向量，由PC 与平面PAD 所成角的正弦值为64m 得值，设PF PD λ=，利用=AF AP PF +可得AF 的坐标，求出平面PEC 的法向量m ，利用0m AF ⋅=，即可求出λ得值，可得F 为PD 中点；（2）分别求出平面PEA 的法向量与平面PED 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）以BD 为x 轴，CA 为y 轴，AC 与BD 的交点为O ，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系.其中：()0,1,0A ，()3,0,0B -，()0,1,0C -，)3,0,0D，()0,1,P m ，31,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,PC m =--.设平面PAD 的法向量(),,n x y z =，()0,0,AP m =，()3,1,0AD =-.所以030mz x y =⎧⎪-=，所以()3,3,0n =所以266cos ,412PC n m -==+⨯2m =，故()0,1,2P 设PF PD λ=，()=0,0,2AP ，()3,1,2PD =--，则()==3,,22AF AP PF λλλ+--.设平面PEC 的法向量为(),,m x y z =，31=,222EP ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2PC =--所以31202220x y zy z⎧++=⎪⎪--=⎩，故()3,1,1m=--.m AF⋅=，所以322=0λλλ-++-，因此1=2λ，所以F为PD中点. （2）平面PEA的法向量()1=3,3,0n-，平面PED的法向量()2=3,9,3n-，124cos,31311293n n==-⨯由二面角D PE A--为锐二面角，因此，二面角D PE A--的余弦值为43131.【点睛】本题主要考查了利用空间向量补全线面平行的条件，以及求二面角，涉及线面角，线面垂直的性质，属于中档题.22．如图，为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F-，底面边长AB a，高1AA h=.（1）若a h=，求异面直线1BD和1CF所成角的余弦值；（2）计算四面体11BCD F的体积（用a、h来表示）；（3）若正六棱柱底面边长a和高h满足：23h a k=（k为定值），则当底面边长a和高h 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？ 【答案】（1）5；（2）2312a h ；（3）4k h =，3a k =.【解析】（1）建立分别以FB 、FE 、1FF 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BD 和1CF 所成角的余弦值；（2）利用空间向量法计算出点1D 到平面1BF C 的距离d ，并计算出1BFC △的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体11BCD F 的体积；（3）计算出正六棱柱的表面积与体积之比的表达式，结合条件23h a k +=可得出21416V k kh S k ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可求得V S 的最大值及其对应的h 与k 的比值，即可得解.【详解】（1）如图，建立分别以FB 、FE 、1FF 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，则点()3,0,0Ba 、)3,,0Ca a 、133,2a a D a ⎫⎪⎪⎝⎭、()10,0,F a ，133,2a a BD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()13,,CF a a a =--，2222113322a a BD CF a a ⋅=-+=，222133222a a BD a a ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15CF a =，所以，2111111cos ,102BD CF BD CFa BD CF ⋅<>===⋅， 所以，异面直线1BD 和1CF （2）易知点),0,0B、),,0Ca 、13,2a D h⎫⎪⎪⎝⎭、()10,0,F h ，()0,,0C a B =，()1,0,BF h =-，1,,22a CD h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BF C 法向量为(),,nx y z =，由100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00ay hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令x h =，则z =，0y =，(),0,3n h a∴=， 所以1D 到平面1BF C的距离102ah h n CD d n-⨯+⨯+⋅===又2214FC a h ，BC a =，2213BF a h ，22211BCBF F C ∴+=，则111122BF C S BC BF =⋅=△ 111211133212D BF C BF C V S d h -=⨯=⨯=△；（3）由题知，正六棱柱的表面积221626sin 606332Shaa ha a ，正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h ， 2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a， 又2h k =，2222122416V hk h h h k kh S kk k -⎛⎫∴==-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4k h =时，V S 有最大值，也即S V 取得最小值，此时4k h =，6a k =. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角、三棱锥的体积，同时也考查了柱体体积与表面积比值的最值的求解，考查了二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.。

山西省长治市宏昌学校2020-2021学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则△ABC的内切圆的半径为（）A．B．1 C．3 D．参考答案：D由及正弦定理得，整理得．∵，∴，∴，又，∴，故．∴，∴．由余弦定理得，即，解得．∴．∵，∴．选D．2. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，则线段的中点对应的复数为（）A． B． C．D．参考答案：D试题分析：中点对应的复数为考点：复数的运算，两个复数的中点3. 已知点是双曲线上的点，且点到双曲线右准线的距离是到两个焦点距离的等差中项，则点横坐标为A． B． C．D．参考答案：C4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线渐近线C上一点，P，Q均位于第一象限，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C5. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）参考答案：A6. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）A.B.C.D.参考答案：D 【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出. 【详解】设扇形的圆心角为，大扇形的半径长为，小扇形的半径长为，则，，.根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为.故选：D.【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7. 平面向量满足，，，下列说法正确的是（ ）A ．B ．与同向C. 与反向 D ．与夹角为参考答案：B8. 设（是虚数单位），则 A ．B ．C ．D ．参考答案：B9. 已知命题：N , ，命题：R , ，则下列命题中为真命题的是 (A)(B) (C) (D)参考答案：A10. 设，则（ ）A.B.C.D.参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点为F ，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为.参考答案：12. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。

2020-2021学年山西省长治市职中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（）A．－8 B．－1 C． 1 D． 8参考答案：D2. 设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β参考答案：C略3. 已知奇函数是定义在R上的减函数，且，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.4. 等差数列{a n}的公差是2，若成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．5. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3参考答案：A6. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（）A． B． C．或D．参考答案：B略7. 设，则的展开式中的常数项为（）A. 20B. －20C. －15D. 15参考答案：B【分析】利用定积分的知识求解出，从而可列出展开式的通项，由求得，代入通项公式求得常数项.【详解】展开式通项公式为：令，解得：，即常数项为：本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.8. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是A．或 B．C．或 D．或参考答案：D略9. 已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：﹣1=．故选：C．10. 已知向量，，且，则x的值为（）A．－14 B．10 C．12 D．14参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线的点到坐标原点的距离的最小值为参考答案：12. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是________．参考答案：13. 已知函数f （x ）=x 3﹣3x+1，则= ．参考答案：﹣【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=x 3﹣3x+1， ∴f′（x ）=3x 2﹣3 ∴f′（）=3×﹣3=﹣，故答案为：14. 若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 ．参考答案：1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【解答】解：“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m 的最小值为：1． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．15. 已知是纯虚数，是实数，则参考答案：略16. 若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________。

山西省长治市县职业中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．21.5分钟 B．分钟C．分钟D．2.15分钟参考答案：C略2. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ￠（x）可能为参考答案：D略3. 计算=A. B. C. D.参考答案：B分析：根据复数乘法法则求结果.详解：选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为4. 已知函数f(x)的导函数为，且满足，则（）A. －eB. eC. 2D. -2参考答案：D试题分析：题中的条件乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了。

对进行求导：=，所以，-1. 考点：本题考查导数的基本概念及求导公式。

点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数进行求导；②的导数不知道是什么。

实际上是一个常数，常数的导数是0.5. 设a，b是方程x2 +( cot θ ) x – cos θ = 0的两个不等实根，那么过点A( a，a2 )和B( b，b 2 )的直线与圆x2 + y2 = 1的位置关系是（）（A）相离（B）相切（C）相交（D）随θ的值而变化参考答案：B6. 双曲线的焦距是（）A．4 B．C．8 D．与m有关参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4﹣m2=16∴c=4 焦距2c=8故选C7. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A.若则B. 若则C. 若则D. 若则参考答案：C8. 若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.参考答案：A9. 已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1参考答案：B【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】由题意可知：点P到直线2x﹣y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，当A，P和F共线时，点P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小，利用点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：由抛物线的方程，焦点F（1，0），准线方程=﹣1，根据题意作图如右图，点P到直线2x﹣y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1；而由抛物线的定义知：丨PB丨=丨PF丨，故点P到直线l：2x﹣y+3=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，而点F（1，0），到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=，P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值+1，故选B．10. 某工厂生产某种零件，零件质量采用电脑自动化控制，某日生产100个零件，记产生出第n个零件时电脑显示的前n个零件的正品率为f（n），则下列关系式不可能成立的是（）A．f（1）＜f（2）＜…＜f（100）B．存在n∈{1，2，…，99}，使得f（n）=2f（n+1）C．存在n∈{1，2，…，98}，使得f（n）＜f（n+1），且f（n+1）=f（n+2）D．f（1）=f（2）=…=f（100）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正项等比数列中，，是数列的前项和，则_____________.参考答案：31略12. 如右图所示的直观图，其表示的平面图形是（A）正三角形（B）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）直角三角形 参考答案： D13. 通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由长方形中“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，（线面关系），我们可以推断长方体中相关的（面体关系）【解答】解：平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有： 由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质， 由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质， 由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由长方形中“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，我们可以推断长方体中“表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为”故答案为：表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为14. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠A 1B 1C 1=90°，且AB=BC=BB 1，E ，F 分别是AB ，CC 1的中点，那么A 1C 与EF 所成的角的余弦值为 ．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题．【分析】先分别以BA 、BC 、BB 1为ox 、oy 、oz 轴，建立空间直角坐标系，规定棱长，再求出A 1C 与EF 直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可． 【解答】解：分别以BA 、BC 、BB 1为ox 、oy 、oz 轴，建立空间直角坐标系 则=．故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 15. 已知正实数满足，则的最小值为__________． 参考答案：16. 设的共轭复数是，若，，则．参考答案：17. 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为__________。

邹平双语学校2021--- -2021学年度11月测评高二年级〔宏志班〕数学试卷〔时间是：30分钟满分是：50分〕一、选择题〔每一小题5分，一共20分〕1．假设是假命题，那么〔〕A.是真命题，是假命题B.、均为假命题C.、至少有一个是假命题D.、至少有一个是真命题2．,是间隔为6的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=6,那么M点的轨迹是〔〕3．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的间隔是，那么双曲线的方程是〔〕A． B． C． D．4．A〔－1，－ 2，6〕，B〔1，2，－6〕O为坐标原点，那么向量的夹角〔〕A．0 B．C．D．二、填空题〔每一小题4分，一共8分〕5．方程表示椭圆，那么的取值范围为___________6．在正方体中，为的中点，那么异面直线和间的间隔___________．三、解答题7、〔10分〕椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，假设|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．8、〔12分〕在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．(1)证明：SO⊥平面ABC；(2)求二面角A—SC—B的余弦值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

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山西省长治市城区职业中学2020-2021学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面α∥平面β，它们之间的距离为，直线，则在β内与直线相距为的直线有 ( )A．1条 B．2条 C．无数条 D．不存在参考答案：B2. 设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2 B．e C．D．ln2参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B3. “”是“，使得是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B4. 下列等于1的积分是（）A．B．C．D．参考答案：C5. 在下列关于点P，直线、与平面、的命题中,正确的是（）A. 若,，则∥B. 若，，，且，则C. 若且,，则D. 若、是异面直线，, ∥, , ∥,则∥.参考答案：D6. 若二面角α﹣L﹣β的大小为，此二面角的张口内有一点P到α、β的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）A．B．2 C．2D．2参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设过P，C，D的平面与l交于Q点，可以证出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α﹣l﹣β的平面角，PQ是P到l的距离．且PQ是△PDC的外接圆的直径，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线l的距离．【解答】解：设过P，C，D的平面与l交于Q点．由于PC⊥平面α，l?平面M，则PC⊥l，同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，∴l⊥面PCQD于Q．又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD∴DQ⊥l，CQ⊥l．∴∠DQC是二面角α﹣l﹣β的平面角．∴∠DQC=60°且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距离．在平面图形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°∴P、C、Q、D四点共圆，也为△PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径．在△PCD中，∵PC=1，PD=2，∠CPD=180°﹣60°=120°，由余弦定理得 CD2=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，CD=在△PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=．∴点P到直线l的距离为故选：A．7. 椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若，则（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D略8. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A．4种B．10种C．18种D．20种参考答案：B略9. 若命题p：?x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．?x∈R，2x2﹣1＜0 B．?x∈R，2x2﹣1≤0C．?x∈R，2x2﹣1≤0D．?x∈R，2x2﹣1＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【专题】计算题．【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：?x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：?x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；10. 在极坐标系中的点化为直角坐标是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据，，可将点化为直角坐标．【详解】由题意得：，则，点化为直角坐标是：本题正确选项：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．参考答案：9【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：912. 如图是y=f（x）的导数的图象，则正确的判断是（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数（2）x=﹣1是f（x）的极小值点（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数（4）x=2是f（x）的极小值点以上正确的序号为．参考答案：（2）（3）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由导数的符号与函数的单调性的关系，导数图象在横轴上方的区间，函数是增函数，反之在下方的区间，函数是减函数，由此在结合极值点的定义，对四个命题逐一进行判断，得出正确命题．【解答】解：（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数，不是真命题，在这个区间上导数图象在x 轴下方，应是减函数；（2）x=﹣1是f（x）的极小值点，此命题正确，由导数图象知，此点左侧函数减，右侧函数增，由极小值定义知，是正确命题；（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数是正确命题，由导数图象知在（2，4）上导数值为负，在（﹣1，2）上导数值为正，故正确；（4）x=2是f（x）的极小值点，此命题不正确，由导数图象知，此点左侧导数值为正，右侧为负，应是极小值．综上正确的序号为（2）（3）故答案为（2）（3）13. 已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，λ），若，则λ的值为．参考答案：﹣14【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用?即可求出．【解答】解：∵，=（﹣1，6，λ﹣3），．∴=﹣2×（﹣1）﹣6×6﹣2（λ﹣3）=0，解得λ=﹣14．故答案为﹣14．14. 设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k= ．参考答案：4【考点】平面的法向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在实数λ使得．∴，解得k=4．故答案为：4．15. 已知函数在(－∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________.参考答案：函数在上单调递增，又函数的对称轴；解得；16. 在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若的面积S=2，则此三角形的外接圆直径是________。