[K12学习]八年级数学上册 5.7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》拓展素材 (新版)北师大版

5．7用二元一次方程组确定一次函数表达式【学习目标】掌握利用二元一次方程组和待定系数法确定一次函数的表达式．【学习重点】利用二元一次方程组确定一次函数表达式．【学习难点】利用二元一次方程组解决一次函数的实际问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题前面，我们已经学了利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解．相反的，能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢？【说明】用学生熟悉的知识为引子导入本节课，同时采用逆向思维启发学生思考，激发他们探求知识的强烈欲望．自学互研生成能力知识模块利用二元一次方程组确定一次函数表达式.用二元一次方程组确定一次函数表达式．问题1A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数，1h后乙距离A地80km；2h后甲距离A地30km.经过多长时间两人将相遇？你是怎样做的？与同伴进行交流．【说明】以实际问题为背景，引例分组探索，进一步加强函数与方程的关系，让学生在用多种方法解决问题的思考和比较中体会作图象方法与代数方法各自的特点，为讲解用待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫．同时理解知识之间有着广泛的联系．【归纳结论】在上面的问题中，用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确获得问题的结果．为了获得准确的结果，一般采用代数法．先独立完成下面问题2的学习与探究，然后再与教材第127页例题的规范解答对照自评．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间． 问题2 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg )的一次函数．已知李明带了60kg 的行李，交了行李费5元；张华带了90kg 的行李，交了行李费10元．(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？【说明】 通过例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体做法，让他们深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法．使学生有知识迁移的基础．【归纳结论】 像上面问题2这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法叫做待定系数法．仿例：“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地．下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？(2)求出AB 段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？解：(1)设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx.∵当x ＝1.5时，y ＝90，∴1.5k ＝90，∴k ＝60，∴y ＝60x(0≤x ≤1.5)，∴当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，∴行驶半小时时，他们离家30千米；(2)设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x ＋b.∵A(1.5，90)、B(2.5，170)在AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧90＝1.5k′＋b ，170＝2.5k′＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝80，b ＝－30， ∴y ＝80x －30(1.5≤x ≤2.5)；(3)当x ＝2时，y ＝80×2－30＝130，∴170－130＝40.∴他们出发2小时时，离目的地还有40千米．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块利用二元一次方程组确定一次函数表达式检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

《用二元一次方程组确定一次函数表达式》说课稿各位老师大家好，我是龙门的禹文红！今天我说课的内容是《用二元一次方程组确定一次函数表达式》.我将从确定目标、教法学法、教学过程、教学反思四个方面来展开说课；一、确定目标（一）教材分析本节课是北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》中第七节，用二元一次方程组确定一次函数的表达式.课程课标要求：会利用待定系数法确定一次函数表达式，本节课内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了二元一次方程组的解与相应的一次函数图象交点坐标的关系，并会用图象法解方程组，本节课研究如何利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识.因此，我把本节课的教学重点定为：如何利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.（2）学情分析1.学生已有的基础学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第四章也学习了一些根据函数表达式中k的实际意义来一次函数表达式的基本方法，学生已经经历了在平面直角坐标系中通过图象法解二元一次方程组的解的活动，同时学生具备一定合作交流的能力.2.学生面临的问题数形结合方面难以用清晰的语言描述；具体问题情境中使用方程法、函数法、图象法的意识不强.因此我把本节课的难点定为：从函数的视角理解并解决实际问题.基于此分析，我把学习目标定为：(3) 学习目标1. 通过“回顾与思考”进一步理解二元一次方程组与一次函数之间的关系；2. 通过“方法提炼”，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式；二、教法学法依据本课实际，引导学生用任务驱动，自主探究、合作交流的学习模式，充分发挥学生的主动性、合作性和创造性，以达到自主学习、自主发展的目标.三、教学过程本节课教学过程具体设置了以下五个环节:第一环节:复习引入（请看视频）复习二元一次方程组的解法及二元一次方程组与一次函数的联系，通过回忆旧知，为新的学习做知识储备.第二环节:合作探究为引导学生完成用二元一次方程组确定一次函数表达式的学习，我将第二环节由浅入深地设计了共探、提升、比较三个小活动；在共探活动中，通过相遇问题，学生能在多种方法解决问题的思考和比较中体会图象法与代数法各自的特点，进而理解用待定系数法确定一次函数的解析式.（请看视频）通过自主探究的分组活动，学生深刻理解图象法直观、形象，但缺乏准确性，代数法虽然准确，但不够形象、直观,通过“用图象的方法求出的结果准确吗?”自然过渡到本节课的主要内容.在例1的讲解中，学生通过比较，发现通过待定系数法确定一次函数表达式的方法较为便捷，紧接着，趁热打铁，我们一起进入提升小活动，（图片）以汽车客运站的行李收费问题为实例，让学生掌握用待定系数法确定一次函数表达式.在比较小活动中，使学生有意识的比较两个利用二元一次方程组确定一次函数表达式的题目的异同，使学生体会到由特殊到一般的思想.（请看视频）第三环节:总结归纳事不宜迟，在刚刚的三道例题的引领下，顺势引导学生用自己的语言总结出待定系数法的一般步骤；（请看视频）第四环节:强化训练（请看视频）我按照难易程度设置了两道习题，在处理完习题以后，再次让学生用简捷的语言总结待定系数法的一般步骤，目的在于学生对待定系数法的深化.第五环节:课堂小结（图片）让学生对本节课的内容作归纳与整理，梳理知识体系，提炼思维方法，同时有利于培养学生的总结能力和语言表达能力4、教学反思本节课从生活中的实际问题出发，让学生感受到数学来源于生活，并应用于生活，通过对相遇问题的自主学习后，再让学生带着问题去合作交流，之后请小组展示，即锻炼了学生的语言表达能力，也增强了学数学的自信心，最后由学生对本节课的收获作归纳总结，本节课体现了学生的主体地位.但在实际操作过程中，没有合理把握时间，导致当堂练习时间较少，以后我会多加注意.感谢大家的聆听，敬请批评指正！。

7 用二元一次方程组确定一次函数表达式1．二元一次方程与一次函数的关系若k ，b 表示常数且k ≠0，则y －kx ＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y ＝kx ＋b ，将x ，y 看作自变量、因变量，则y ＝kx ＋b 是一次函数．事实上，以方程y －kx ＝b 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相同．【例1】 (1)方程x ＋y ＝5的解有多少个？写出其中的几个．(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5－x 的图象上吗？(3)在一次函数y ＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合x ＋y ＝5吗？(4)以方程x ＋y ＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同吗？分析：方程x ＋y ＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同，二者是相同的．解：(1)有无数个．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4；⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3；⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5. (2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y ＝5－x 的图象上．(3)适合．(4)相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2；(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x ，纵坐标是y .【例2】 用作图象的方法解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3， ①x ＋2y ＝－3. ② 分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解：由①，得y ＝x －3；由②，得y ＝－12x －32. 在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝x －3的图象l 1和一次函数y ＝－12x －32的图象l 2，如图所示．观察图象，得l 1和l 2交点的坐标为M (1，－2)．故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3，x ＋2y ＝－3的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：(1)写出函数表达式：一次函数y ＝kx ＋b ；(2)把已知条件代入，得到关于k ，b 的方程组；(3)解方程组，求出k ，b 的值，写出其表达式．【例3】 已知一次函数y ＝ax ＋2与y ＝kx ＋b 的图象如图所示，且方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1点B 坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A 的坐标，再代入表达式，求出字母a ，k ，b 的值．解：∵方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴交点A 的坐标为(2,1)．∴点A 在函数y ＝ax ＋2的图象上，2a ＋2＝1.∴a ＝－12. ∵点A (2,1)，点B (0，－1)在函数y ＝kx ＋b 图象上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝1，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1. ∴两个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋2，y ＝x －1.析规律 方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．4．用待定系数法求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”． 具体的说明如下：一设：设出一次函数表达式的一般形式y ＝kx ＋b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k ，b 的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出k ，b 的值；四还原：将已求得的k ，b 的值再代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．析规律 求与坐标轴的交点坐标 解答这类问题要切记，函数图象与x 轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y 轴的交点的横坐标是0.【例4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于000(1)求这个一次函数的解析式(不要求写出x 的取值范围)；(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？ 解：(1)设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5 000k ＋b ＝28 500，8 000k ＋b ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝52，b ＝16 000.所以所求的函数关系式为y ＝52x ＋16 000. (2)将y ＝48 000代入y ＝52x ＋16 000中，得 48 000＝52x ＋16 000. 解得x ＝12 800.所以能印该读物12 800册．5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3，x ＋y ＝5有唯一一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.函数y ＝x －3和y ＝5－x 的图象是两条相交的直线，只有一个交点．(2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，3x ＋3y ＝5无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y ＝5－x 和y ＝13(5－3x )的图象是两条平行直线，无交点．(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝4有无数组解．函数y ＝2－x 和y ＝12(4－2x )的图象是同一条直线． 【例5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B 在汽车A 后出发)，试回答下列问题：(1)图中l 1，l 2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？(2)写出汽车A 和汽车B 的路程与时间的函数关系式，汽车A 和汽车B 的速度各是多少？(3)图中交点是什么意思？分析：图中l 1，l 2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l 1经过点(0,0)和(3,100)，直线l 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．解：(1)l 1表示A 车的路程与时间的关系，l 2表示B 车的路程与时间的关系．(2)汽车A 的函数关系式是s ＝1003t ， 汽车B 的函数关系式是s ＝100t －200；汽车A 的速度是1003km/h ，汽车B 的速度是100 km/h. (3)汽车A 出发3 h(或汽车B 出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.。