2008年华中科技大学考研数学分析真题答案-2

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】5325y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)1dydy t tdt t t dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫===⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C +=+， 即t y C e =将(0)1y =代入知1C =，故t y e +=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 如图，曲线段方程为()y f x =， 函数在区间[0,]a 上有连续导数，则 定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3) 在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD(5) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(6) 设函数f 连续. 若()()2222,uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( ) ()A ()2vf u()B ()2vf u u()C ()vf u()D ()vf u u(7) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(8) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) ()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =(10) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是y =O xvx 2+y 2=u 2 x 2+y 2=1 D uvy(11) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12) 求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. (13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. (14) 矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且248A =-，则λ=_______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16) (本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题 020|0xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .(17)(本题满分9分)计算212arcsin 1x x dx x-⎰(18)(本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =. 对于任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II) 若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 证明行列式()1nA n a =+(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x (III) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； (II) 令()123,,P ααα=，求1P AP -2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 由于()f x '是三次多项式，三次方程()0f x '=的实根不是三个就是一个，故D 正确.(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y ''''''-+-=(4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 0000l n 11l i m ()l i m l i m l i m c s c |1|c s c c o tx x xx xxf x xx x x ++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0l i m ()0x f x -→= 又 1111l n 1l i m ()l i m l i m s i n l i m s i n 1s i n 11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 111ln lim ()lim lim sin sin11x x x xf x x x --+→→→=⋅=--所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.(6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()2F v f u u∂=∂(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(8) 【答案】D 【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f =(10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得01x dydx ==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(12)【答案】(1,6)--【详解】53235y x x =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)--(13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()l n v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2l n 11l n x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)2(l n 21)2z x ∂=-∂(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A = 32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=-三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+ 所以2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t t dt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+ 所以 22(1)x d ye x dx=+(17)【详解】 方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122222000arcsin sin cos 2cos sin ()cos 221x x t t t t tdx tdt t tdt dt t x πππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：212arcsin 1x x dx x -⎰1221(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题O 0.5 2 xD 1D 3 D 2设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+， 即 21y y '=- 由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+， 即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2tt y f x e e -==+(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈ 由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x d x f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a=+ 证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=- 222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P A P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。

1.(36)计算题: (1) n n n n n n)12()1(1lim -+∞→ (2)dxdydz z y x t t z y x t ⎰⎰⎰≤++→+++22222224sin 1lim (3) 求曲线积分⎰+-Ly x ydxxdy 229,其中L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.2.(15)设函数)(x f 在),0[+∞上具有连续的导函数,且)(lim x f x '∞→存在有限,10<<α,是一个常数,证明:)(αx f 在),0[+∞上一致连续.3.(15)设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续且在),(b a 内可导,试证:在),(b a 内存在点ξ,使得)()]()([)()]()([ξξf a g b g g a f b f '-='-.4.(20)证明:函数项级数∑∞=-=1)(n nx ne x f 在),0(+∞上收敛,但不一致收敛,而和函数)(x f 在),0(+∞上可以任意次求导.5.(20)证明:方程)sin(2xy y x =+在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数)(x f y =,并)0(y '计算的值.6.(14)证明:若函数)(x f 在],[b a 上无界,则必存在],[b a 上的某点,使得)(x f 在该点的任何邻域内无界.7.(12)设函数u 在),0[+∞上连续可微且+∞<'+⎰dx x u x u ))()((22,试证:(1)存在),0[+∞中的子列∞=1}{n n x 使得当∞→n 时, +∞→n x 且0)(→n x u(2)存在某常数0>C ,使得2122},0[)))()((()(sup dx x u x u C x u x ⎰∞++∞∈'+≤8.(18)设3R ⊂Ω为有界闭区域,且具有光滑边界+∞<<Ω∂T 0,.(1)设v u ,是Ω上具有连续二阶偏导数的函数,试证:dS n u v dxdydz v u dxdydz u v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∂ΩΩ∂∂+∇∇-=∆,其中222222z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆,u ∇为u 的梯度, n u∂∂为u 沿区域的边界的外法向n的方向导数;(2)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续一阶偏导数,试证:),0[,),,,(),,,(T t dxdydz t z y x t udxdydz t z y x u dt d ∈∀∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;(3)设),,,(t z y x u 在),0[T ⨯Ω上具有连续二阶偏导数且满足3u u tu+∆=∂∂若u 在 ),0[T ⨯Ω上恒为零记2222)()()(z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∇,试证dxdydz u u t E ⎰⎰⎰Ω-∇=)4121()(42在),0[T 上是减函数.1.(30)计算题: (1)1)1()]ln 1cos[sin()sin(lim 0-++→βαx x x x (2) 计算二重积分dxdy y yD⎰⎰sin ,其中D 是由0,1,===x y x y 围成的区域.(3) 求曲线积分⎰-+----C y x dxy dy x 22)2()1(4)2()1(其中C 为平面内任意一条不经过点)2,1(得正向光滑封闭简单曲线2.(12)设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内,若对任意的),(b a c ∈,都有)(lim x f cx →存在,且)(lim x f ax +→和)(lim x f bx +→也存在，则)(x f 在开区间),(b a 内有界.3.(12)证明:含参量反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.4.(20)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可微,且存在0>M ,使得M x x f x f x x 2)()(),1,0(<-'∈∀,证明: (1)xx f )(在]1,0[内一致连续. (2))(lim 0x f x +→存在.5.(20)证明下面结论: (1)若)(x f 在]1,0[上连续,则⎰=∞→10)(lim dx x f x n x . (2)若)(x f 在]1,0[上连续可微,则⎰=∞→1)1()(lim f dx x f x n n n .6.(18)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0 , 00,sin ),(222222222y x y x y x y x y x y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性.7.(20)设函数列)}({x f n 中的每一项函数)(x f n 都是],[b a 上的单调函数,试证明:(1)若∑∞=1)(n n a f 和∑∞=1)(n n b f 都绝对收敛,则∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上一致收敛.(2)若每一项函数)(x f n 的单调性相同,且∑∞=1)(n n a f 和∑∞=1)(n n b f 都收敛，则在上一致收敛.8.(18)设f 连续,证明:(1)证明:⎰⎰⎰⎰--=Vdx x x f dxdydz z f 112)1)(()(π,其中1:222≤++z y x V .(2)记函数dxdydz cz by ax f c b a F V⎰⎰⎰++=)(),,(,其中1:222≤++z y x V ,证明:球面1222=++c b a 为函数),,(c b a F 的等值面,即),,(c b a F 在球面1222=++c b a 上恒为常数,并求出此常数.2010年数学分析1.(30)计算题: (1)设函数)(x f 定义在),(+∞-∞上,满足:1)0()(lim ,cos )()2(0===→f x f x x f x f x ,求)(x f . (2)设⎰=40tan πxdx a nn ,求)(121+∞=+∑n n n a a n的值.(3) 求曲线积分dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰,其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线,方向从z 轴正向看是逆时针的.2.(12)设0,)(>=ααx x f ,证明:当10≤<α时, )(x f 在),0(+∞上一致连续; 当1>α时, )(x f 在),0(+∞上不一致连续.3.(12)证明:含参量x 反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.4.(20)函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于点))(,(c f c (b c a <<),证明:存在),(b a ∈ξ,使得0)(=''x f .5.(20)设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛,且对任意],[b a x ∈存在x 的邻域)(x U ,使得)}({x f n '在],[)(b a x U ⋂上一致有界,证明:(1))}({x f n '在]1,0[上一致有界. (2))}({x f n 在]1,0[上一致收敛.6.(20)设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0, 00),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性. 7.(20)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数,且+∞<⎰+∞dx x f 0)(1,证明: (1)存在数列),2,1)(,0[ =+∞∈n x n 满足:}{n x 严格单调递增,+∞=+∞=∞→∞→)(lim ,lim n n n n x f x . (2)+∞=⎰+∞→dt t f xxx 02)(1lim .8.(16)已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数,记z y x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∆,222222(1)证明:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅-∂∂=∇⋅∇VVSdxdydz f g dS n fgdxdydz f g )()(,其中n 表示S 的外法线方向,S 为球面1222=++z y x .(2)若222z y x f ++=∆,试计算:dxdydz z fzy x z y f z y x y x f z y x xI V)(222222222∂∂+++∂∂+++∂∂++=⎰⎰⎰.。

2008考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题020xt dx te dtx --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭OO O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -. 参考答案 一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x xx x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)z x ∂=-∂本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=Q 3|2|2||A A = 32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)xd ye x dx=+本题的难度值为0.742.(17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524. (19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+， 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a a a a A r ar aaa a =-=O O L OO O OO O OO OO121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++O K O OO OO证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-OO O OO21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a --⨯-⨯-===O O OO O OO O OO OO所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O O M此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +L L为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)Q 11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 如图，曲线段方程为()y f x =， 函数在区间[0,]a 上有连续导数，则 定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3) 在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD()D 有两个跳跃间断点(5) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(6) 设函数f 连续. 若()2222,uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( ) ()A ()2vf u()B ()2vf u u()C ()vf u()D ()vf u u(7) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(8) 设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( )()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) ()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =O xvx 2+y 2=u 2 x 2+y 2=1 D uvy(10) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是y = (11) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12) 求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. (13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. (14) 矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且248A =-，则λ=_______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16) (本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题 020|0xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .(17)(本题满分9分)计算2121dx x-⎰(18)(本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =. 对于任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II) 若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 证明行列式()1nA n a =+(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x (III) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； (II) 令()123,,P ααα=，求1P AP -2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 由于()f x '是三次多项式，三次方程()0f x '=的实根不是三个就是一个，故D 正确.(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y ''''''-+-=(4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 111ln lim ()lim lim sin sin11x x x xf x x x--+→→→=⋅=--所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.(6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f =(10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得01x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒2311351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)--(13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=-三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+(17)【详解】 方法一：由于2211x x-→=+∞-，故2121dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈221222220000sin cos 2cos sin ()cos 221t t t t t dx tdt t tdt dt t xπππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：2121dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰D 1123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+ 即 21y y '=-由分离变量法解得 21ln(1)y y t C -=+， 即 21t y y Ce -=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e -=，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2t t y f x e e -==+(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。

文登考研高质量高水平高信誉2008 年研究生入学考试数学二试题及分析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f ( x ) = x2( x − 1)( x − 2 ) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为[ ]（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析】先求导函数，然后判断. 【详解】 f ′ ( x ) = 2 x ( x − 1)( x − 2 ) + x2( x − 2 ) + x 2 ( x − 1)= 2 x ( 2 x 2 − 3x + 1) = 2 x ( 2 x − 1)( x − 1) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为 3. 故选（D）. 【评注】易看出 f ( x ) 的零点个数为 3，由罗尔定理能得出 f ′ ( x ) 在 ( 0,1) ， (1, 2 ) 两区间内 至少有两个零点，又 x = 0 是 f ( x ) 的二重零点，所以 x = 0 是 f ′ ( x ) 的零点. 故选（D）. 类似例题见文登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 15】. （2）如图，曲线段的方程为 y = f ( x ) ，函数 f ( x ) 在区间[0, a ] 上有连续的导数，则定积分 ∫0 xf ′ ( x )dx 等于a（A）曲边梯形 ABOD 的面积 （B）梯形 ABOD 的面积 （C）曲边三角形 ACD 的面积 （D）三角形 ACD 的面积 [ ] 【分析】 先利用分部积分法变换积分， 然后结合定积分的几何 意义即可看出. 【详解】∫a0xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，a a 0 0 a a 0 0而∫ f ( x )dx 表示曲边梯形 OBAD 的面积，故可知 ∫ ∫b axf ′ ( x )dx 应为曲边三角形ACD 的面积，故选（C）.【评注】定积分f ( x)dx 表示曲线 y = f ( x) 与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形 xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，然后才能解出.a a 0 0位于 x 轴上方的图形面积减去位于 x 轴下方的图形面积的差值. 本题必须先利用 分部积分法∫a0本题考查定积分的几何意义和分部积分法，相关结论见 08 版《数学复习指南》 （理—1—文登考研高质量高水平高信誉工类）P77.知识点精讲一（2） 、四（3） ，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P180 精选习题六 1（5）. （3）在下列微分方程中，以 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为x通解的是 （A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手. 【详解】因为 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为通解，x所以微分方程的特征值为 1, ±2i . 于是特征方程为 ( λ − 1)( λ − 2i )( λ + 2i ) = 0 ，即λ 3 − λ 2 + 4λ − 4 = 0 .故微分方程为 y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 ，故选（D）. 【评注】本题考查微分方程解的结构. 因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对 应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P144【例 5.17】 ，文登强化班讲 义《高等数学》第 7 讲【例 9】【例 10】. ，（4）设函数 f ( x ) =ln x sin x ，则 f ( x ) 有 x −1（A）有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 （B）有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点 （C）有两个无穷间断点 （D）有两个跳跃间断点 【分析】利用间断点的定义. 【详解】 f ( x ) =[]ln x sin x 在 x = 0 ， x = 1 无定义， x −1 ln x sin x = 0 ，所以 x = 0 为可去间断点； x −1而 lim f ( x ) = limx →0 x →0lim f ( x ) = limx →1ln 1 + x − 1 x −1 sin x = lim sin x ， x →1 x →1 x − 1 x −1而 lim +x →1x −1 x −1 sin x = sin1, lim sin x = − sin1 ， x →1− x − 1 x −1—2—文登考研高质量高水平高信誉所以 x = 1 为跳跃间断点，故选（A）. 【评注】首先确定间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断. 第一类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 均存在，则称x → x0 x → x0x = x0 为函数 f ( x) 的第一类间断点. 其中：（1）跳跃型间断点： lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) .x → x0 x → x0（2）可去型间断点： lim− f ( x) = lim+ f ( x) ≠ f ( x0 ) .x → x0 x → x0第二类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 之中至少有一个不x → x0 x → x0存在，则称 x = x0 为函数 f ( x) 的第二类间断点. 其中： （1）无穷型间断点： lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 至少有一个为 ∞ .x → x0 x → x0（2）振荡型间断点： lim f ( x ) 为振荡型，极限不存在.x → x0本题为常规题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P31【例 1.42】 ，文登 强化班讲义《高等数学》第 1 讲【例 4】. （5）设函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界， { xn } 为数列，下列命题正确的是 （A）若 { xn } 收敛，则 f （C） f 若n({ x }) 收敛n n（B）若 { xn } 单调，则 f （D） f 若n({ x }) 收敛n n则 ({ x }) 收敛， { x } 收敛则 ({ x }) 单调， { x } 收敛[]【分析】利用单调有界数列必收敛. 【详解】若{ xn } 单调，而由题设可知函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界，则 f ({ xn }) 单调有界，故收敛，故选（B） 【评注】本题为基础题型. 定理可见各教材和辅导讲义.（6）设函数 f 连续，若 F ( u , v ) =Duv∫∫f ( x2 + y2 ) x2 + y2dxdy ，其中区域 Duv 为图中阴影不分，则∂F = ∂u—3—文登考研高质量高水平高信誉（A） vf u( )2（B） vf ( u )（C）v v f ( u 2 ) （D） f ( u ) u u[]【分析】本题中二重积分的积分域由图形表示，易联想到需变换为极坐标形式，然后再求偏 导. 【详解】 F ( u , v ) = 所以Duv∫∫2 f ( x2 + y 2 ) v u f (r ) u rdr = v ∫ f ( r 2 ) dr ， dxdy = ∫ dθ ∫ 0 1 1 r x2 + y2∂F = vf ( u 2 ) ，故选（A）. ∂u【评注】本题考查了二重积分的坐标变换，变上限积分的求导. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P310【例 12.11】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 10 讲【例 4】. （7）设 A 为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A = O ，则3（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 （C） E − A 可逆， E + A 可逆 【分析】从 A = O 入手.3（B） E − A 不可逆， E + A 可逆 （D） E − A 可逆， E + A 不可逆[]【详解】 A = O ⇒ A + E = E ⇒ ( A + E ) A − A + E = E ，所以 A + E 可逆，3 3 2()A3 = O ⇒ A3 − E = − E ⇒ ( E − A ) ( A2 + A + E ) = E ，所以 E − A 可逆，故选（C）. 【评注】也可这么求解：A 是幂零矩阵， 只有零是其特征值， 所以 ±1 不是其特征值， E − A 和 E + A 都可逆 . 故完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P367【例 2.27】 ，文登强化班讲 义《线性代数》第 2 讲【例 4】.—4—文登考研高质量高水平高信誉（8）设 A = ⎢⎡1 2⎤ ⎥ ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 ⎣2 1⎦（B） ⎢（A） ⎢⎡ −2 1 ⎤ ⎥ ⎣ 1 −2 ⎦⎡ 2 −1⎤ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ ⎡ 1 −2 ⎤ ⎥ ⎣ −2 1 ⎦[ ]（C） ⎢⎡2 1⎤ ⎥ ⎣1 2⎦（D） ⎢【分析】实对称矩阵必可对角化，求出题中每个矩阵的特征值，然后根据实对称矩阵合同的 充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数进行判断. 【详解】因为 A = ⎢⎡1 2⎤ T 为实对称矩阵， A 的特征值为 −1,3 ， x Ax 的正负惯性指数为 1， 2 1⎥ ⎣ ⎦1； ⎢⎡ 2 −1⎤ ⎡2 1⎤ ⎡ −2 1 ⎤ 的特征值为 −1, −3 ； ⎢ 的特征值为 1,3 ； ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 的特征值为 −1, −3 ， ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣1 2⎦⎡ 1 −2 ⎤ ⎢ −2 1 ⎥ 的特征值为 −1,3 ；故选（D）. ⎣ ⎦【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见《数学复习指南》 （理工类）P454【例 6.1】. 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （9）已知函数 f ( x ) 连续，且 lim1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ ⎣ ⎦ = 1 ，则 f 0 = __________. ( ) x2 x →0 e −1 f ( x)()【分析】利用等价无穷小代换及函数 f ( x ) 的连续性即可.1 2 2 x f ( x) 1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ 1 1 ⎣ ⎦ = 1 = lim 2 【详解】 1 = lim = lim f ( x ) = f ( 0 ) ， 2 x2 x →0 x →0 x →0 2 2 x f ( x) e −1 f ( x)()则 f ( 0) = 2 . 【评注】 本题已知极限和函数的连续性，求函数点的值，为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P31【例 1.43】. （10）微分方程 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 的通解是______.【分析】本题变换后可为全微分方程. 【详解】 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 ，即( ydx − xdy ) + x 2e− x dx = 0 ，—5—文登考研高质量高水平高信誉当 x ≠ 0 时，ydx − xdy − x y ⎛ y⎞ + e dx = 0 ⇒ d ⎜ − ⎟ − d ( e− x ) = 0 ⇒ − − e − x = −C 2 x x ⎝ x⎠−x即 y = x C−e(). (−x显然 x = 0, y = 0 满足微分方程，且满足上述解，故所求通解为 y = x C − e 【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P135【例 5.11】. （11）曲线 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 在点 ( 0,1) 的切线方程为__________. 【分析】本题实质上为隐函数方程求导. 【详解】 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 两边对 x 求导得).cos ( xy )( y + xy′ ) +y′ − 1 = 1 ，则 y′ y−x( 0,1)= 1 ，所以切线方程为y − 1 = x ，即 y = x + 1 .【评注】注意隐函数求导时记住 y 是 x 的函数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类） 【例 2.20】 ，精选习题二 1（9）. （12）函数 f ( x ) = ( x − 5 ) x 的拐点坐标为________. 【分析】利用判断拐点的充分条件求解. 【详解】 f ′ ( x ) = ( x − 5 ) x 3 =2 2 35 2 10 − 1 x3 − x 3 ， 3 3f ′′ ( x ) =10 − 1 10 − 4 10 − 4 x 3 + x 3 = x 3 ( x + 1) . 9 9 910 − 1 ⎛ 1 ⎞ x 3 ⎜1 + ⎟ = 0 ，得 x = −1 9 ⎝ x⎠令 f ′′ ( x ) =f ′′ ( x )x =0⎛ 10 − 1 10 − 4 ⎞ =⎜ x 3 + x 3⎟ 9 ⎝9 ⎠x =0不存在.f ′′ ( x ) 经过 x = 0 时不变号，而经过 x = −1 时由负变正，且 f ( −1) = −6故拐点坐标为 −1, f ( −1) ，即 ( −1, −6 ) . 【评注】拐点的判别定理 1 若在点 x0 处有 f ′′( x0 ) = 0（或 f ′′( x0 ) 不存在） ，当 x 经过 x0 时，()—6—文登考研高质量高水平高信誉f ′′( x) 变号，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.拐点的判别定理 2 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有三阶导数，且 f ′′( x0 ) = 0 ，f ′′′( x0 ) ≠ 0 ，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.本题为基础题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P167【例 6.30】.x∂z ⎛ y ⎞y （13）已知 z = ⎜ ⎟ ，则 ∂x ⎝x⎠x ⎛ y⎞ ln ⎜ ⎟ y ⎝ x⎠(1,2 )=【分析】本题求幂指函数的偏导数，应先对数化处理，然后再求偏导.【详解】∂z ∂x(1,2 )=∂e∂x(1,2 )⎧ ⎡ ⎤⎫ y ⎪ x ln ⎛ x ⎞ ⎢ 1 ⎛ y ⎞ x 1 ⎛ y ⎞ ⎥ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ = ⎨e y ⎝ ⎠ ⋅ ⎢ ln ⎜ ⎟ + ⋅ − y ⎜ x2 ⎟⎥ ⎬ ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎪ ⎢y ⎝ x⎠ y ⎪ x ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭(1,2 )=2 ( ln 2 − 1) . 2【评注】多元函数对一个变量求偏导时，需将其他变量看作常数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P236【9.6】 【例 9.10】. （14） 阶矩阵 A 的特征值是 2,3, λ ， 3 其中 λ 未知， 若行列式 2 A = −48 ， λ = 则 【分析】因为 A = 2 ⋅ 3 ⋅ λ ，联合 2 A = −48 可解出. 【详解】 2 A = −48 ⇒ 2 A = 8 ⋅ λ ⋅ 2 ⋅ 3 = −48 ⇒ λ = −1 .3.【评注】本题利用行列式求特征值.. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P446【例 5.25】 ，文登强化班讲义《线 性代数》第 5 讲【例 16】.三、解答题：15～23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） (本题满分 9 分) 求极限 lim⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x ⎣ ⎦ . x →0 x4 ⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x sin x − sin ( sin x ) ⎣ ⎦ = lim x →0 x →0 x4 x3—7—【分析】利用等价无穷小代换和洛必达法则即可. 【详解】 lim文登考研高质量高水平高信誉= limcos x − cos ( sin x ) ⋅ cos x x →0 3x 2cos x ⎡1 − cos ( sin x ) ⎤ ⎣ ⎦ 3x 2= limx →01 2 sin x 1 − cos ( sin x ) 1 = lim = lim 2 2 = . 2 x →0 x →0 3x 3x 6【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P25【例 1.24】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 1 讲【例 17】. （16） (本题满分 10 分)⎧ x = x (t ) ⎪ 设函数 y = y ( x ) 由参数方程 ⎨ 确定，其中 x ( t ) 是初值问题 t2 ⎪ y = ∫0 ln (1 + u ) du ⎩⎧ dx −x d2 y ⎪ − 2te = 0 dt 的解，求 2 . ⎨ dx ⎪ x t =0 = 0 ⎩ ⎧ dx −x ⎪ − 2te = 0 求出 x ( t ) ，然后利用参数方程的求导公式求解. 【分析】先根据 ⎨ dt ⎪ x t =0 = 0 ⎩【详解】由dx − 2te− x = 0 得 e x dx = 2tdt ， 积 分 并 由 条 件 x dtt =0= 0 ， 得 ex = 1 + t 2 ， 即x = ln (1 + t 2 ) .dy 2 dy dt ln (1 + t ) ⋅ 2t = = = (1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ， 2t dx dx dt 1+ t2 d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt= d ⎡(1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ⎤ ⎣ ⎦ dx dt—8—文登考研高质量高水平高信誉2t ln (1 + t 2 ) + 2t = = (1 + t 2 ) ⎡ ln (1 + t 2 ) + 1⎤ . ⎣ ⎦ 2t 1+ t2【评注】本题为一道参数方程求导和一阶微分方程求解的综合题. 求d2 y 时要注意 dx 2d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 . = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P45【例 2.11】 ，文登强化班讲义《高等 数学》第 7 讲【例 15】. （17） (本题满分 9 分) 求积分∫1x 2 arcsin x01 − x2dx .【分析】本题需做变量代换 arcsin x = t . 【详解】由于 lim −x →1x 2 arcsin x1 − x2= +∞ ，故 ∫ ⎡ π⎞ ⎟. ⎣ 2⎠1x 2 arcsin x01 − x2dx 是反常积分.令 arcsin x = t ，有 x = sin t , t ∈ ⎢ 0,∫1x 2 arcsin x01 − x2dx = ∫π2 0t sin 2 t cos tdt cos t1 − cos 2t t2 dt = 2 4 t sin 2t 4π2 0= ∫2t⋅0ππ2 0−1 π ∫02 t ⋅ d sin 2t 4=π216−+1 π 2 sin 2tdt 4 ∫0cos 2t = − 16 8π2π2 0=π216+1 . 4【评注】本题虽然是一道反常积分，但由于无穷间断点在端点，所以可按通常定积分求解. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P80【例 3.27】 ，文登强化班讲义《高等 数学》第 5 讲【例 15】.（18） （本题满分 11 分）—9—文登考研高质量高水平高信誉计算∫∫ max ( xy,1) dxdy ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .D【分析】被积函数为 max ( xy ,1) ，为非初等函数，实质为求分区域积分. 【详解】曲线 xy = 1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2 .∫∫ max ( xy,1) dxdyD= ∫∫ xydxdy + ∫∫ dxdyD1 D2= ∫1 dx ∫1 xydy + ∫ 2 dx ∫ dy + ∫1 dx ∫ x dy2x2212210020=15 19 − ln 2 + 1 + 2 ln 2 = + ln 2 . 4 4【评注】 对分段函数 max { x, y} , min { x, y} 及带绝对值符号的被积式须将积分域 D 作分析 处理. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）第一篇第十章【例 10.4】 ，文登强 化班讲义《高等数学》第十讲【例 12】 （19） (本题满分 11 分) 设 f ( x ) 是区间 [ 0, +∞ ) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f ( 0 ) = 1 . 对任意的t ∈ [ 0, +∞ ) ，直线 x = 0, x = t ，曲线 y = f ( x ) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x ) 的表达式. 【分析】 本题为微分方程的应用题， 需先利用平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转体的体积 和表面积公式列出方程，然后求解. 【详解】旋转体的体积 V = π 条件知∫t0f 2 ( x ) dx ，侧面积 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx ，由题设t0∫t0f 2 ( x ) dx = ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x ，t0上式两端对 t 求导得 f 由分离变量法解得2(t ) = f (t )1 + f ′2 ( t ) ，即 y′ = y 2 − 1 .ln y + y 2 − 1 = t + C1 ，即 y+()y 2 − 1 = Ce t—10—文登考研高质量高水平高信誉将 y ( 0 ) = 1 代入知 C = 1 ，故 y + 于是所求函数为 y = f ( x ) =y 2 − 1 = et ， y =1 t −t (e + e ) ， 21 x −x (e + e ) . 2【评注】由曲线 y = f ( x) > 0 和直线 x = a, x = b 及 x 轴围成的图形 （1） 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vx = π∫bbaf 2 ( x)dx ；侧面积公式为S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx .b a（2） 绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vy = 2π∫axf ( x)dx .类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P176【例 6.45】 ，精选习题六 3(4)，文 登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 3】 【例 4】.（20） (本题满分 11 分) （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续，则至少存在一点ξ ∈ [ a, b ] ，使得∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）若函数 ϕ ( x ) 具有二阶导数，且满足 ϕ ( 2 ) > ϕ (1) ， ϕ ( 2 ) > 一点 ξ ∈ (1,3) 使得 ϕ ′′ (ξ ) < 0 .∫ ϕ ( x )dx ，则至少存在3 2【分析】 （Ⅰ）利用闭区间上连续函数的介值定理； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及拉格朗日中值 定理证明. 【详解】 （Ⅰ）设 M 和 m 分别是 f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值，则有m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ，b a不等式各除以 b − a ，得m≤1 b f ( x ) dx ≤ M ， b − a ∫a根据闭区间上连续函数的介值定理，在 [ a, b ] 至少存在一点η ，使得f (η ) =1 b f ( x ) dx ，两端各乘以 b − a ，即得 b − a ∫a∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知至少存在一点η ∈ [ 2,3] ，使得—11—文登考研高质量高水平高信誉∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η )( 3 − 2 ) = ϕ (η ) .3 2又由 ϕ ( 2 ) >∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η ) 知， 2 < η ≤ 3 .3 2对 ϕ ( x ) 在 [1, 2] 和 [1, 2] 上 分 别 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 并 注 意 到 ϕ (1) < ϕ ( 2 ) ，ϕ (η ) > ϕ ( 2 ) ，得ϕ ′ (ξ1 ) =ϕ ′ (ξ 2 ) =ϕ ( 2 ) − ϕ (1)2 −1> 0 ， 1 < ξ1 < 2 ，ϕ (η ) − ϕ ( 2 ) < 0 ， 2 < ξ2 < η ≤ 3 . η −1在 [ξ1 , ξ 2 ] 上对导函数 ϕ ′ ( x ) 应用拉格朗日中值定理，有ϕ ′′ (ξ ) =ϕ ′ (ξ 2 ) − ϕ ′ (ξ1 ) < 0 ， ξ ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (1,3) . ξ 2 − ξ1【评注】 （Ⅰ）为教材中定理，证明教材中均有； （Ⅱ）中证明 ϕ ′′ (ξ ) < 0 需两次运用拉格朗日中值定理. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P317【例 12.26】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 8 讲§2【例 2】.（21） (本题满分 11 分) 求函数 u = x + y + z 在约束条件 z = x + y 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值.2 2 2 2 2【分析】本题求多元函数的条件最值，利用拉格朗日乘数法求解. 【详解】设 F ( x, y, z; λ , µ ) = x + y + z + λ x + y − z + µ ( x + y + z − 4 ) ，2 2 2 2 2()⎧∂F ⎪ ∂x = 2 x + 2λ x + µ = 0 ⎪ ⎪ ∂F 令⎨ = 2 y + 2λ y + µ = 0 联合 z = x 2 + y 2 ， x + y + z = 4 可解得 ⎪ ∂y ⎪ ∂F = 2z − λ + µ = 0 ⎪ ⎩ ∂x—12—文登考研高质量高水平高信誉⎧ x = −2 ⎧ x = 1 ⎪ ⎪ ⎨ y = −2 ， ⎨ y = 1 ⎪z = 8 ⎪z = 2 ⎩ ⎩而 x +y +z2 2(2)(−2, −2,8 )= 72 ， ( x 2 + y 2 + z 2 )(1,1,2 )=6.故所求的最大值为 72，最小值为 6. 【评注】 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P253【例 9.36】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 8 讲【例 17】.（22） (本题满分 12 分) 设 n 元线性方程组 Ax = b ，其中⎡ 2a 1 ⎢ a 2 2a ⎢ 矩阵 A = ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣0⎤ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ， x = ( x1 , x2 , ⎥ 2a 1 ⎥ a 2 2a ⎥ n×n ⎦ 0n, xn ) ， b = (1, 0,T, 0) ，（Ⅰ）证明行列式 A = ( n + 1) a ； （Ⅱ）当 a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 x1 ； （Ⅲ）当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. 【分析】 （Ⅰ）为 n 阶行列式的求解，可利用递推法； （Ⅱ） （Ⅲ）利用通常的方法.2a 1 a 2 2a【详解】 （Ⅰ） Dn = A =0 00 0 = 2aDn −1 − a 2 Dn − 2 .0 00 02a 1 a 2 2a现用数学归纳法证明.n = 2 时， D2 =2a 1 = 3a 2 = ( 2 + 1) a 2 . 2 a 2ak假设 n ≤ k 时， Dk = ( k + 1) a ， 则 n = k + 1 时，有.Dk +1 = 2aDk − a 2 Dk −1= 2a ( k + 1) a k − a 2 ka k −1 = ( k + 2 ) a k +1 ，综上可得， A = ( n + 1) a .n—13—文登考研高质量高水平高信誉（Ⅱ） A = ( n + 1) a ≠ 0 ，即 a ≠ 0 时，方程组有惟一解，设将 A 的第一列用 b 替换后所n得矩阵为 A1 ，根据克莱姆法则可得A1 Dn −1 na n −1 n . x1 = = = = n n A (n + 1)a (n + 1)a ( n + 1) a（Ⅲ）当 a = 0 时，方程组有无穷多解. 此时⎡0 ⎢0 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣1 0 0 00 0 0 00⎤ ⎧ x2 = 0 0⎥ ⎪x = 0 ⎥ ⎪ ⎥ ，则 Ax = 0 的同解方程组为 ⎨ 3 . ⎥ ⎪ 1⎥ ⎪ xn = 0 ⎩ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0) .T易求得 Ax = 0 的基础解系为 (1, 0,⎡0 1 ⎡0⎤ ⎢ ⎢1 ⎥ ⎢ 0 0 因为 A ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎣0⎦ ⎢ ⎣0 0 从而 Ax = b 的通解为 x = k (1, 0,T0 0 0 0 , 0 ) + ( 0,1,0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ，所以 ⎢ ⎥ 是 Ax = b 的特解， ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣0⎦ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0 ) ，其中 k 为任意常数.T【评注】n 阶方阵的求解见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P346【例 1.18】 ，方程组求解 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）P411【例 4.9】 ，文登强化班讲义《线性代数》第 4 讲【例 4】. （23） (本题满分 10 分) 设 A 为 3 阶矩阵，α1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 −1,1 的特征向量，向量 α 3 满足Aα 3 = α 2 + α 3 ，（Ⅰ）证明： α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，求 P AP .−1【分析】 （Ⅰ）利用线性无关的定义； （Ⅱ）利用题设条件将 A (α1 , α 2 , α 3 ) 变换成矩阵乘积—14—文登考研高质量高水平高信誉⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 的形式，即 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦【详解】 （Ⅰ）由题设可知，向量 α1 , α 2 是属于 A 的特征值 −1,1 的特征向量，则 α1 , α 2 线性 无关， 且 Aα1 = −α1 , Aα 2 = α 2 . 假设存在数 k1 , k2 , k3 ，使得 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0 ， 则等式两边乘以 A ，可得 ①A ( k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ) = k1 Aα1 + k2 Aα 2 + k3 Aα 3 = − k1α1 + k2α 2 + k3 (α 2 + α 3 ) = − k1α1 + ( k2 + k3 ) α 2 + k3α 3 = 0②①－② 2k1α1 − k3α 2 = 0 ，因为 α1 , α 2 是 A 的分别属于不同特征值的特征向量，所以 α1 , α 2 线性无关，从而 k1 = k3 = 0 ，代入①式可得 k2α 2 = 0 ，又由于 α 2 ≠ 0 ，所以 k2 = 0 ， 故 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，则 P = (α1 , α 2 , α 3 ) 可逆.⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 因为 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 ， ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 所以 P AP = 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦−1【评注】抽象的向量线性无关的证明一般用定义. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P380【例 3.5】 【例 3.6】 ，文登强化 班讲义《线性代数》第 3 讲【例 4】【例 14】. ，—15—。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)x Î，21(1,2),2)x Î使12()()0f f x x ¢¢==，所以()f x ¢至少有两个零点. 又()f x ¢中含有因子x ，故0x =也是()f x ¢的零点，的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C【详解】000()()()()()()aaaaa xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx ¢==-=-òòòò其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ò为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()a xf x dx ¢ò为曲边三角形的面积．曲边三角形的面积． 本题的难度值为0.829. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ¢¢¢¢¢¢-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点是函数的间断点 因为因为 0000ln11lim ()limlimlim csc |1|csc cot x x x x x x f x xx x x++++®®®®=×=--20sin lim lim 0cos cos x x x xx xx++®®=-=-= 同理同理 0lim ()0x f x -®= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++®®®®æö=×==ç÷-èø所以所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486. (5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，且{}nx 单调. 所以{()}nf x 单调且有界. 故{()}nf x 一定存在极限. 本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vuuf r rDf u v F u v dudv dvrdr vf r dr u v +===+òòòòò所以所以 ()2F vf u u ¶=¶本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -æö=ç÷-èø， 则()2121421E D l l l l --==---，又()2121421E A l l l l ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值. 又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x ®®®-×==×- 011lim ()(0)122x f x f ®=== 所以所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为xdy y xe dx x--=所以所以 111()dx dx x x x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----éùæöòò=+=×+=-+êúç÷èøëûòò本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--¢-=-=-¢+-，将(0)1y =代入得01x dydx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)--【详解】53235y xx=-Þ23131351010(2)333x y x x x -+¢=-= Þ134343101010(1)999x y xx x --+¢¢=+= 1x =-时，0y ¢¢=；0x =时，y ¢¢不存在不存在在1x =-左右近旁y ¢¢异号，在0x =左右近旁0y ¢¢>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以所以121()ln v v z z u z vy vu u u x u x v xx y -¶¶¶¶¶=×+×=-+׶¶¶¶¶ 2ln 11ln x y vvy u y y u uxy x y x æöæöæö=-+=×-+ç÷ç÷ç÷èøèøèø所以所以 (1,2)2(ln 21)2zx ¶=-¶本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1 【详解】||236A l l =´´= 3|2|2||A A =32648l \ ´=- 1l Þ=- 本题的难度值为0.839. 三、解答题 (15)【详解】【详解】 方法一：43[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x xx x xx x x x ®®--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x ®®®--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x x x o x x x x ®®éù-\ =+=êúëû 本题的难度值为0.823. (16)【详解】【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dx t dxdt t +×===+++ 222222[(1)ln(1)]2ln(1)221d t t d y d dy t t t dtdx t dx dx dx dt t ++++æö===ç÷èø+22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt --=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21xdydy t t dt t t e x dx t dxdt t +×===++=+ 所以所以22(1)xd ye x dx =+本题的难度值为0.742. (17)【详解】【详解】 方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-®=+¥-，故212arcsin 1x x dx x-ò是反常积分. 2)1dx tx ppp-22200sin 244tt t p p 2ppp21dx x -20pp p 221x xòòòD 1D 3 D 2(19)【详解】旋转体的体积2()t V f x dx p =ò，侧面积202()1()tS f x f x dx p ¢=+ò，由题设条件知设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx ¢=+òò上式两端对t 求导得求导得 22()()1()f t f t f t ¢=+， 即 21y y ¢=- 由分离变量法解得由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+， 即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t ye e -=+于是所求函数为于是所求函数为 1()()2xxy f x ee -==+本题的难度值为0.497. (20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即上的最大值与最小值，即()m f x M ££ [,]x a b Î由定积分性质，有由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -££-ò，即，即 ()baf x dx m M b a££-ò由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b h Î，使得，使得 ()()b af x dx f b ah =-ò即()()()baf x dx f b a h =-ò(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]h Î，使，使 32()()(32)()x dx j j h j h =-=ò又由又由 32(2)()()x d x j j j h>=ò，知，知 23h <£ 对()x j 在[1,2][2,]h 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)j j <，()(2)j h j <得1(2)(1)()021jjj x -¢=>- 112x <<2()(2)()02j h j j x h -¢=<- 123x h <<£在12[,]x x 上对导函数()x j ¢应用拉格朗日中值定理，有应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0j x j x j x x x ¢¢-¢¢=<- 12(,)1(1,3),3)x x x ÎÌ 本题的难度值为0.719. (21)【详解】【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z l m l m =++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z l ml m l m l m ¢=++=ì¢=++=ïï¢=-+=íï¢=+-=ï¢=++-=ïî解方程组得111222(,,)1(1,1,1,1,2),(,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6. 方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y l l ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y ll l ¢ì=++++=ï¢=++++=íï¢=+++-=î 解得1122(,)1(1,1,1,1),(),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：222212221213211221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n a r ar a n a nnn a n--+-=×××=++证法二：记||nDA =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n nn n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||nD A =，将其按第一列展开得，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以所以 2211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n nn n a a a n a -=-+×=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ¹，又(1)nA n a =+，故0a ¹． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a a a aa aa aD naa a a a --´-´-===所以所以 11(1)n nD nxD n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为，则方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I) 证法一：假设123,,a a a 线性相关．因为12,a a 分别属于不同特征值的特征向量，故12,a a 线性无关，则3a 可由12,a a 线性表出，不妨设31122l l a a a =+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3a 为0，由323A a a a =+可知20a =，而特征向量都是非0向量，矛盾) 11,A a a =-22A a a =\32321122A l l a a a a a a =+=++，又311221122()A A l l l l a a a a a =+=-+ \112221122l l l l a a a a a -+=++，整理得：11220l a a +=则12,a a 线性相关，矛盾. 所以，123,,a a a 线性无关. 证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k a a a ++= (1) 用A 左乘(1)的两边并由11,A a a =-22A a a =得1123233()0k k k k a a a -+++= (2) (1)—(2)得 113220k k a a -= (3) 因为12,a a 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,a a 线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k a =，又由于20a ¹，所以20k =，故123,,a a a 线性无关. (II) 记123(,,)P a a a =，则P 可逆，可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A a a a a a a ==1223(,,)a a a a =-+123100(,,)01101a a a -æöç÷=ç÷ç÷èø10001101P -æöç÷=ç÷ç÷èø所以所以 1100011001P AP --æöç÷=ç÷ç÷èø. 本题的难度值为0.272. 。