特殊三角形中的动点问题

等腰三角形的动点问题数学题就像一场找不到终点的旅行。

你从一个点出发，沿着复杂的路径走，最后不知道自己到底走到了哪里。

今天我们就来聊聊等腰三角形的动点问题。

这个题目听上去挺深奥的，实际上它的背后藏着不少有趣的小秘密，只要你敢跟我一起去探索，保准你能一笑而过，轻松搞定。

咱们得弄清楚什么叫“等腰三角形”。

说白了，就是两个边长一样的三角形，像什么呢？就像一把弯弯的弓，或者是你吃过的那种蘋果派，上下两侧都是对称的。

你看着它，觉得它仿佛能站得稳，能做个大跳跃，不管你怎么摆弄它，左右两边始终如一，这就叫做等腰。

是不是感觉有点像朋友之间的默契，心有灵犀一点通，彼此不言而喻？但如果把问题复杂化一点，假设这个等腰三角形的某个点可以自由移动，这个点能左右自如地跑，那么问题就来了。

动点的位置会随着它的运动而变化。

你是不是已经开始脑补自己在画图纸，手握圆规，试图画出那条完美的弧线？嘿，别急，咱们先来一步步搞清楚。

想象一下，你站在等腰三角形的底边上，而底边的两端分别叫做点A和点B。

你就在这条底边上找了个地方，选个地方蹲下来。

你的任务是让你蹲的地方能够移动，往左往右，一下子又到了点C。

那你猜猜，点C移动之后，会发生什么？是不是整个三角形看起来有点“变形”？对，就是这么神奇！你想，底边上某个点的每一次变动，都能影响这个等腰三角形的形状，像是给这个三角形施了魔法一样，它的对称性也会随之发生微妙的变化。

是不是觉得有点复杂了？别急，听我慢慢给你道来。

动点在底边上跑，大家最关心的应该是它的位置对三角形对称性的影响。

你看，如果点C在底边上偏左，那三角形的“腰”就会相应变得不对称；但如果它正好站在底边的正中间呢？哇塞，这时候你会发现，整个三角形变得更加对称了。

嗯，就像有些情侣，你知道他们总是能巧妙地让彼此的步伐同步，简直是天作之合。

再往下想，等腰三角形的动点究竟能跑到哪里？有没有什么规律？是不是动点的每一步都能让你摸到点窍门？嗯，真是的，这问题不简单啊！不过说实话，如果你仔细观察，就会发现它其实有点像一个自我约束的个体。

浅谈三角形中的动点问题动点问题是一类灵活、有难度的数学问题，也是近些年来各市中考中常出现的考点。

本文将以湘教版八年级全等三角形中一道习题为例，对变化出来的一系列动点问题从如下几个方面进行探讨和阐述。

一．本文选题背景1、知识背景：本题用到的知识点是：全等三角形；2、思维方法背景：转化思想；二．选择母题的目的：动点问题历来是中考的压轴考点；要让学生解决复杂的动点问题， 必须让学生在初二就形成动态问题的思考方式，遵循由易到难的原则，故选择这道题作为母题；三、原题已知：如图，△ABC 是等边三角形、点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为边作△ADE ，△ADE 是等边三角形，连接CE ；求证：BD=CE题目分析：从数量上来看，BE 与CE 是应该相等的；证明边相等，可以考虑全等三角形的判定定理来证明△BAD ≌△EAC ，然后利用全等三角形的性质来说明边相等.证明：∵ △ABC 、△ADE 是等边三角形 ∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°；又∵∠DAC=∠DAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠EAC∴ △BAD ≌△EAC ∴ BD=CE四、拓展与变式变式1：“正三角形”改为等腰三角形，是否△BAD ≌△EAC 成立那么BD 与CE 的结论成立吗？探究BC=DC+CE 是否成立.题目：在△ABC 中，AB=AC,点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合），AD 为一边作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC ，连接CE.求证：BD=CE ，并直接判断结论BC=DC+CE 是否成立；证明： ∵∠DAE=∠BAC∴DAE-DAC BAC-DAC ∠∠=∠∠ 即EAC BAD ∠=∠又∵AB=AC ，AD=AE∴△BAD ≌△EAC∴CE=BD ∵BC=DC+BD ∴BC=DC+CEC AB F DC B F D变式2：将变式1的条件“点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合）”修改为“点D 在边CB 的延长线上或者在边BC 的延长线上”，是否△BAD ≌△EAC 成立？并探究“BC 、DC 、CE ”的数量关系。

等腰三角形动点最值问题解题技巧简介等腰三角形是数学中常见的一种三角形形状，其具有许多有趣的几何性质。

在这篇文档中，我们将讨论如何解决等腰三角形动点最值问题。

通过使用解题技巧和公式推导，我们可以轻松找到等腰三角形的各个动点的最值。

基本定义1.等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。

我们可以通过连接底边中点和顶点，形成一个高。

由于等腰三角形具有对称性，底边中点和顶点之间的连线与底边垂直相交，划分出两个等腰直角三角形。

2.动点在几何学中，动点是指在平面上移动的点。

通过改变动点的位置，我们可以观察到某些几何量的变化情况。

在等腰三角形中，我们可以考虑顶点和底边上的某个点作为动点。

动点最值问题解题步骤步骤一：建立坐标系为了简化问题的分析和计算，我们可以将等腰三角形放在坐标系中。

通过选取合适的坐标轴和原点，我们可以方便地描述动点的位置。

步骤二：确定动点位置根据问题描述，确定我们所关注的是等腰三角形的哪个动点。

例如，我们可以考虑探索顶点和底边上的某个点的变化。

步骤三：建立几何关系通过观察等腰三角形的几何性质，我们可以建立动点与其他几何元素之间的相互关系。

这可以通过直线、角度、距离等几何关系来描述。

步骤四：建立动点与几何量的关系式利用步骤三中建立的几何关系，我们可以将动点的位置表示为其他几何量的函数。

这个函数可以是一个方程、一个不等式或一个定义域。

步骤五：求解最值通过求解动点位置的函数，我们可以得到动点所在位置的最值。

这可能是一个最大值、最小值或其他特定值。

步骤六：验证解的合理性最后，我们需要验证我们得到的最值是否合理，并根据实际情况进行解释。

这可以通过对几何性质和约束条件的分析来完成。

例题分析例题：在等腰三角形A BC中，AB=A C=6c m，B C=8c m。

动点P在边B C 上，求B P+PC的最小值。

解题步骤：步骤一：建立坐标系。

选择顶点A为坐标原点，建立x轴和y轴。

步骤二：确定动点位置。

在边BC上选择点P作为动点。

三角形动点问题的解题技巧三角形动点问题是初中数学中一个比较常见的问题，也是学生在学习初中数学时需要重点掌握的一类问题。

本文将从解题技巧方面为大家详细讲解三角形动点问题的解题方法。

第一步：明确问题在学习数学时，我们首先需要明确问题，理解题目的含义。

对于三角形动点问题而言，我们需要明确以下几个方面：1、动点的定义。

动点是指在平面直角坐标系中，随着某个规律移动的点。

2、三角形的定义。

三角形是由三条线段组成，并将其首尾两端连接而成的一个几何图形。

3、三角形的性质。

在解题时，我们需要掌握并运用三角形的性质，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

4、问题的要求。

在题目中，我们需要明确所给的问句，例如求三角形的面积、周长等等。

第二步：确定动点的运动轨迹对于三角形动点问题而言，我们需要确定动点的运动轨迹，以便后续运用三角形的性质进行求解。

通常情况下，动点的运动轨迹有以下几种类型：1、直线运动轨迹。

当动点在平面直角坐标系中做直线运动时，我们可以根据勾股定理求出两点之间的距离，进而运用相似三角形的性质求出三角形的各项参数。

2、圆形运动轨迹。

当动点在平面直角坐标系中做圆形运动时，我们可以根据相似三角形的性质求解三角形的各项参数。

此外，我们也可以将圆形运动看作是一种周期性运动，利用周期函数的性质快速求解出三角形各项参数。

3、抛物线运动轨迹。

当动点在平面直角坐标系中做抛物线运动时，我们可以根据抛物线的性质，例如焦距、顶点等，求解出三角形的各项参数。

第三步：利用三角形的性质求解在确定了动点的运动轨迹后，我们需要运用三角形的性质对问题进行求解。

例如，在求三角形的面积时，我们可以利用海伦公式或三角形的高乘以底的公式进行计算。

在求三角形的周长时，我们可以利用三角形的边长之和进行计算。

此外，在解决三角形动点问题的过程中，我们还需要注意以下几点：1、注意单位。

在计算三角形的各项参数时，我们需要注意单位的换算，尤其是在混用不同的国际单位和中文单位时更需要引起注意。

三角形中的动点问题在三角形中，我们考虑一个特殊的问题：如何确定一个动点在三角形内移动时与三角形的边界交点的轨迹？首先，我们需要了解一些三角形的基本知识。

三角形由三条边和三个顶点构成。

我们可以使用三边之间的关系来解决这个问题。

假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点，而a、b、c分别为对应的边长。

此外，我们有一个动点P在三角形内移动。

首先，让我们考虑动点P在边AB上移动时与三角形的边界交点的情况。

如果我们将边AB延长成为直线，那么动点P的轨迹将是这条直线上距离A点一定距离的所有点。

同样，如果动点P在边AC和BC上移动时，其轨迹也可以由类似的思路得到。

接下来，我们考虑动点P在三角形内部的情况。

假设我们将边AB、BC、CA延长成为直线，它们会相交于一个点，我们将其称为无穷远点O。

那么，动点P在三角形内部移动时，其轨迹可以被视为无穷远点O到动点P的连线所夹的角度组成的轨迹。

综上所述，当动点P在三角形内移动时，与三角形边界的交点的轨迹可以分为三条线段和一条角度。

这一结论在三角形的一般情况下成立。

通过解决三角形中的动点问题，我们可以深入了解三角形的性质和几何知识。

这个问题也可以拓展到更复杂的几何图形中，从而引发更多有趣的研究和探索。

总结起来，三角形中的动点问题是一个有趣且具有挑战性的几何问题。

通过分析三角形的边界和动点的位置关系，我们可以得出动点与三角形边界交点的轨迹，并进一步探索几何图形的性质。

这个问题不仅有助于加深我们对三角形的理解，还能培养我们的几何思维能力。

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。

xA OQP By 动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1（20XX 年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3）ABC OEFA B C O D 图（1） A BOE FC 图（2） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xyM CDP QOA B xyM CD PQOAB 3.如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3）B图（1）B图（2）2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的运动．面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

特殊三角形的动点问题的解题思路特殊三角形的动点问题是一个在几何学中常见的问题类型，通常涉及到平面几何中的点、线、圆等几何元素的运动和位置关系。

解决这类问题需要运用几何知识、代数方法和分析技巧。

以下是解决特殊三角形的动点问题的一般解题思路：1. 确定动点的运动轨迹，首先需要确定动点的运动轨迹，也就是动点随着某个条件（如角度、长度等）的变化而移动的路径。

通常可以通过观察和分析问题中给出的条件和要求，推导出动点的运动规律，从而确定其轨迹的方程或性质。

2. 利用几何性质建立条件方程，根据问题中给出的条件，利用三角形的性质、相似性、共线性等几何关系，建立动点位置的条件方程。

这些条件方程可以是关于角度、边长、面积等几何量的方程，也可以是关于坐标的方程。

3. 运用代数方法解方程，将建立的条件方程转化为代数方程，并利用代数方法求解。

这可能涉及到解方程组、代数运算、三角函数等技巧，需要灵活运用代数知识进行推导和计算。

4. 分析特殊情况和极限情况，在解决特殊三角形的动点问题时，常常需要分析特殊情况或极限情况，从而得出一般性的结论。

通过对特殊情况的分析和极限情况的讨论，可以更深入地理解动点的运动规律和几何性质。

5. 检验和讨论解的合理性，最后需要对所得的解进行检验，看是否符合问题的要求和几何性质。

同时也可以讨论解的合理性，探讨解的存在性、唯一性以及可能的变化情况。

总的来说，解决特殊三角形的动点问题需要综合运用几何知识、代数方法和分析技巧，通过建立条件方程、求解代数方程和分析特殊情况，得出动点的运动规律和位置特性。

希望以上解题思路能够帮助你更好地解决特殊三角形的动点问题。

三角形与动点问题在数学的世界里，三角形一直是一个重要且基础的几何图形，而当三角形与动点结合起来时，就形成了一类充满挑战和趣味的问题。

这类问题常常出现在中学数学的学习中，不仅考验着我们对三角形知识的掌握程度，还锻炼着我们的思维能力和空间想象力。

让我们先来了解一下什么是动点。

动点，顾名思义，就是在平面或空间中不断运动的点。

在三角形中，动点的位置可能会随着时间、条件或者其他因素的变化而改变，从而导致三角形的形状、大小或者某些性质也随之发生变化。

比如，在一个直角三角形中，有一个动点在斜边或者直角边上运动。

那么，随着这个动点的移动，三角形的周长、面积或者某些角度的大小可能会发生改变。

我们需要根据已知条件，找出这些变化中的规律，从而解决相关的问题。

为了更好地理解三角形与动点问题，我们来看一个具体的例子。

假设有一个等腰三角形 ABC，AB ＝ AC ＝ 5，BC ＝ 6。

点 P 从点B 出发，沿着 BC 边以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，与此同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CA 边以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动。

当点 P 到达点 C 时，两点均停止运动。

设运动时间为 t 秒。

首先，我们需要分析在运动过程中，三角形的哪些量会发生变化。

很明显，BP 的长度会随着时间 t 的增加而增加，CP 的长度则会相应减少。

同时，CQ 的长度也会随着时间增加。

那么，我们可以先表示出 BP ＝ t，CP ＝ 6 t，CQ ＝ 2t。

接下来，考虑三角形的面积。

由于三角形 ABC 的面积是固定的，但是随着动点 P 和 Q 的运动，三角形 BPQ 的面积会发生变化。

三角形 BPQ 的面积可以用 BP 乘以三角形 BPQ 在 BP 边上的高再除以 2 来计算。

而这个高可以通过三角形的相似关系求得。

通过相似三角形的性质，我们可以得到三角形 BPQ 在 BP 边上的高为 4 ／ 5 t。

所以三角形 BPQ 的面积 S ＝ 1 ／ 2 t 4 ／ 5 t ＝ 2 ／ 5 t²。

初一三角形动点问题解题思路《初一三角形动点问题解题思路》嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠初一三角形动点问题的解题思路，这可是个很有趣又有点小挑战的事儿呢。

先说说三角形动点问题是啥样的吧。

就好比三角形里有个小点儿，这个点儿就像个调皮的小虫子，在三角形的边上或者里面动来动去的。

那我们为啥要研究它呢？这就像我们想知道这个小虫子在三角形这个小世界里的各种情况一样。

当我们遇到这种问题的时候，可不能慌神儿。

首先呢，我们得把已知条件都找出来。

比如说，三角形的三条边的长度啊，角的大小啊，还有那个动点的运动速度、运动方向这些，就像我们要了解小虫子的速度和它打算往哪儿爬似的。

我给你们举个例子哈。

有一个三角形ABC，AB = 5厘米，AC = 4厘米，角A是60度。

这时候有个动点P在AB边上，从A点向B点以每秒1厘米的速度运动。

那这些数字和信息就是我们的宝贝，得牢牢抓住。

然后呢，我们要想到用一些特殊的点或者时刻来分析。

就像这个动点P运动到AB 中点的时候，会发生什么呢？这时候可能三角形的一些性质就会变得很特别。

比如说，中线的性质可能就派上用场了。

这就好比我们知道小虫子爬到三角形某条边的中间位置了，这个位置周围的情况肯定和其他地方有点不一样。

我们还得考虑三角形的各种性质。

三角形的内角和是180度，这是个超级重要的事儿。

就像一个魔法数字一样，不管三角形怎么变，这个内角和永远不变。

还有等腰三角形两腰相等，等边三角形三边相等、三角都是60度这些性质。

如果这个动点让三角形变成了等腰三角形或者等边三角形，那我们就可以根据这些性质列出方程来求解。

比如说，还是那个动点P在AB上运动，什么时候三角形ACP会变成等腰三角形呢？这时候我们就得根据等腰三角形的性质来想办法了。

如果AC = AP，那我们就可以列个方程了。

因为AP的长度可以用动点运动的时间t来表示，AP = t厘米，AC = 4厘米，所以t = 4的时候，三角形ACP就是等腰三角形了。

聚智堂教育学科教师辅导讲义ECABD【答案】B【思路分析】由于D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），所以0<x<2，通过画图进行分析，画出的图形如图，在点D由A向B移动过程中，AE的长首先在减小如图1-图2所示，当运动到AB的中点时CE的长度达到最小值，当点D再向B移动过程中，CE的值开始增大，离点B越近CE的值越大，DE与AC越接近平行状态。

所以此函数图象函数y先随x的增大而减小，然后y先随x的增大而增大，此题选B。

3,平面直角坐标系中，已知点O（0,0）、A（0,2）、B（1,0.），点P是反比例函数1y=x图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（D)A.1个B.2个C. 3个D.4个【答案】D【思路分析】在△OPQ和△OAB中，∠PQO=∠AOB=90°，如果∠POQ=∠ABO或∠POQ=∠BAO时，两个三角形相似，此时直线PQ分别有2个交点，共有4个交点，即相应的点P共有4个.4，（2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（ A ）A ．B ．C ．D ．解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：过点P 作PM ⊥AB 于点M ，则PM=APsin ∠A=1213t ， 此时y=12EF ×PM=3013t ，为一次函数；②点P 在DC 上运动，y=12EF ×DE=30；③点P 在BC 上运动，过点P 作PN ⊥AB 于点N ，则PN=BPsin ∠B=1213（AD+CD+BC-t ）=12(31)13t -， 则y=12EF ×PN=30(31)13t -，为一次函数． 综上可得选项A 的图象符合． 故选A ． 5，（2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ A ）A ．B ．C ．D ．解：①当直线l 经过BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．6，（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ A ）A． B．C．D．7，如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t 的大致图象应为（ A ）A．B．C．D．8，（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ A ）A．B．C．D．,9，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为（ D ）A．2 B．2.5或3.5C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.51．D10．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ D ）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变11，如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（ B ）A．B．C．D．12，如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ B ）A．2 B．3 C．4 D．513,如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ B ）14,如图所示，在矩形ABCD 中，垂直于对角线BD 的直线l ，从点B 开始沿着线段BD 匀速平移到D ．设直线l 被矩形所截线段EF 的长度为y ，运动时间为t ，则y 关于t 的函数的大致图象是（ A ）15，,如图（1），在R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿B →C →A 运动，设S △DPB =y ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图像如图（2）所示，则△ABC 的面积为（ B ）A . 4B . 6C . 12D . 14【思路分析】通过图（2）可以看出，当点P 运动到点C 时，点P 运动的路程为4，即BC=4；当点P运动到点A 时，点P 运动的路程为7，即AC=3，则S △ABC =21AC ×BC=616,如图，在△ABC 中，AB =20㎝，AC =12㎝，点P 从点B 出发以每秒3㎝的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2㎝的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是等腰三角形时，运动的时间是 （ D ） A ． 2.5 B ．3秒 C ．3.5秒 D ．4秒QCBPA17．（2013•丽水）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC ﹣CB 运动，到点B 停止，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示，当点P 运动5秒时，PD 的长是（ B ）A ． 1.5cmB ． 1.2cmC ． 1.8cmD ． 2cmA ．OytB ．OytC ．OytD ．Oyt（第14题）第8题图分析：根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=5时BP的值，利用sin∠B的值，可求出PD．解答：解：由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：，此时AC+CP=5，故BP=AC+BC﹣AC﹣CP=2，∵sin∠B==，∴PD=BPsin∠B=2×==1.2cm．故选B．18．（2013•莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（B）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．解答：解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．①当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．故选B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y 的变化情况．19，如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是_（2011，2）_________．【答案】（2011，2）【思路分析】从点的坐标可以看出横坐标正好是运动的次数，所以第2011次运动后点的横坐标就是2011，纵坐标的数是1，0，2，0，1，02，0，……四个一循环，所以2011÷4=502……3，因此第2011次点的纵坐标是2，故点的坐标为（2011，2）．20，如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 4 。

特殊三角形中动点运动练习卷班级_________学号_________姓名__________1:如图，线段AB 的一个端点A 在直线a 上，以AD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a 上，这样的等腰三角形能画多少个?2:如图，已知△ABC 中，∠BAC=90 º，AB=6cm ，BC=10cm ，动点P 沿射线CA 上运动，速度是为每秒1cm, 设出发的时间为t 秒,(1)求能使△BCP 成为等腰三角形的运动时间t(2) 求能使△BCP 成为直角三角形的运动时间ta a P a3如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？4:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm。

动点P从点C出发，按C →B→A的路径，以1cm/秒的速度运动。

设运动时间为t秒。

当t为何值时，△ACP是等腰三角形？一元一次不等式单元测试卷班级_________学号_________姓名__________１．若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是 ( )A ．a －1＜b －1B ．3a ＞3b C ．－a ＜－b D ．ac 2＜bc 2 ２．不等式2x≤6的解集为 ( ) A ．x≥3 B ．x≤3 C ．x≥31 D ．x≤31 ３．不等式x≥2的解集在数轴上表示为 ( )４.下列不等式变形正确的是（ ）(A)由a ＞b ，得a －2＜b －2 (B)由a ＞b ，得－2a ＜－2b(C)由a ＞b ，得a ＞b (D)由a ＞b ，得a 2＞b25. 下列各式中，是一元一次不等式的是 ( )A ．x ≥ 5xB ．2x>1-x 2C ．x+2y<1D ．2x+1≤3x 6．不等式2x －7<5－2x 的正整数解有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7. 设a>b ，用不等号填空：（1）1a -_____1b - （2）a b -_____0 （3）5a -_____5b - （4）28a+_____28b + 8、用不等式表示下列关系：（1）x 的3倍与8的和比y 的2倍小： ；（2）a 的2倍与－5的和是非负数 ；9. 按下列要求，写出仍能成立的不等式,并写出依据：（1）50x +<，两边都加上（－5），得__________ _______；依据 ；（2）718x -≥，两边都除以78-，得____________ _______；依据 ； 10 若不等式(a －1)x ＞a －1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是 。

等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。

比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。

像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。

比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。

假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。

想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。

要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。

在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。

像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。

初二三角形动点问题的解题技巧
在初二数学中，三角形动点问题是比较常见的一类题型。

这类题目通常会给出一个三角形，以及一个或多个动点，要求我们根据题目给出的条件求出动点的位置或移动路径等。

下面介绍几种常见的解题技巧：
1. 利用相似三角形
在三角形动点问题中，经常会用到相似三角形的性质。

我们可以通过观察图形，找到一些相似的三角形，从而得到一些等式或比例关系，从而解出未知量。

2. 利用平移、旋转和对称
三角形动点问题中，有时可以通过平移、旋转和对称等变换来简化问题。

例如，我们可以将动点按照某种规律进行平移或旋转，从而找到一些特殊的位置，进而求出答案。

3. 利用向量
三角形动点问题中，向量的应用也非常常见。

我们可以通过向量运算，求出动点在某个位置的坐标，或者求出动点的移动向量等。

4. 利用解析几何
对于一些复杂的三角形动点问题，我们可以利用解析几何的方法进行求解。

通过建立坐标系和方程，我们可以求出动点的坐标，从而解出问题。

总之，在解决三角形动点问题时，我们需要善于发现规律，灵活运用各种工具和方法，才能高效地求解问题。

2、三角形中的动点问题例1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点。

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？例2.如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E 。

（1）试说明EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。

分析：（1）根据CE 平分∠ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理OC=OF ，可得EO=FO 。

（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（3）利用已知条件及正方形的性质解答。

A Q D B练习1、在直角三角形ABC 中，BC=6，AC=8，点D 在线段AC 上从C 向A 运动。

若设CD=x ，△ABD 的面积为y 。

（1）请写出y 与x 的关系式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？此时点D 在什么位置？（3）当△ABD 的面积是△ABC 的面积的一半时，点D 在什么位置？2、直线643+-=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止。

BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

【最新整理，下载后即可编辑】1、如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？(3)当t为何值时，△PBQ是△ABC面积的1/3？(4)（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；3、如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；4、如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D．点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．当x= 时，PQ⊥AC，x= 时，PQ⊥AB；5、如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s 的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？6、如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm2．（1）当点P、Q在运动的过程中，t为何值时，△PCQ是直角三角形？（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的7/16？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．7、如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？9、如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A 点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M 与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒．（直接写出答案）10、已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C 运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动．（1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米2？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？（2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2？试说明理由．11、如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P 同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD=S△ABC/12？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。