特殊三角形与动点问题

专题07 动点中特殊三角形存在性的勾股求解【题型一】等腰三角形存在性（求坐标）【例1－1】（2020·山西太原期中）如图，平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为（0,2），（4,0），连接PQ．（1）若点M是x轴负半轴上的一点，且MQ=PQ，则点M的坐标为________．（2）若点M是y轴上的一点，且MP=MQ，则点M的坐标为________．【答案】（1）（4-0），（2）（0，-3）.【解析】解：（1）如图，MQ=PQ=∴点M的坐标为（4-，0）．（2）如图，设OM =x ，则MP 2=MQ 2，得：（x +2）2=x 2+42，解得：x =3故点M 的坐标为（0，-3）．【变式1－1】（2020·宿迁市期中）如图，已知点B 在数轴负半轴上，O 为原点，点A 在过O 且垂直于数轴的直线上，∠BAO ＝60°，AB ＝4，点C 在数轴上，当ΔABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，点C 表示的数为_________．【答案】4-或【解析】解：∵OA ⊥OB ，∠BAO =60°，AB =4，∴△OAB 为直角三角形，∠ABO =30°，∴OA =12AB =2，OB ==①当AB =AC 时，∵AB =AC ，OA ⊥OB ，∴OC = OB =∴点C 表示的数为：②当AB =BC 时，∵AB =BC =4，∴OC = OB + BC =4，∵点C 在数轴负半轴上，∴点C 表示的数为：4-；故答案为： 4-或【题型二】等腰三角形存在性（求时间）【例2－1】（2020·浙江杭州市期中）在Rt ABC 中，∠C =90°，8cm BC =，6cm AC =，在射线BC 上有一动点D 从点B 出发，以2cm /s 的速度匀速运动，若点D 运动()t s 时以点A ，D ，B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_________s ． 【答案】258，5，8. 【解析】解：①当AD =BD 时，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AD 2=AC 2+CD 2，即BD 2=(8-BD )2+62，解得：BD =254cm ， 则t =BD ÷2=258秒； ②当AB =BD 时，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =10，t =AB ÷2=5 秒.③当AD=AB时，BD=2BC=16，t=BD÷2=8秒故答案为：258，5，8．【变式2－1】（2020·江阴月考）如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．（1）求BD的长；（2）求运动时间t为多少秒时，PQB△为以BP为底的等腰三角形？【答案】见解析．【解析】解：（1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=10.（2）过点Q作QS⊥FE于S，则PS=2t-t=t，在Rt△PSQ中，PQ2=62+t2，当QB=QP时，BQ=8-t，即62+t2=（8-t）2解得：t =74； 运动时间t 为74秒时，△PBQ 为以BP 为底的等腰三角形． 【题型三】等腰三角形存在性（动点往返运动）【例3－1】（2020·四川成都期中）如图，ABC 中，90,8cm,6cm C AC BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿A C B A →→→运动，设运动时间为(0)t t >秒．图1 备用图 备用图（1）若点P 恰好运动到BC 的中点，求t 的值．（2）若△CBP 为等腰三角形，求t 的值．【答案】见解析.【解析】解：在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6由勾股定理得：AB =10cm .（1）点P 的运动路程：AC +0.5BC =8+3=11，运动时间为11÷2=5.5 s . （2）①P 从A →C ，0<t <4时，此时∠C =90°，BC =CP 1=6，AP 1=2，t =1 s .②P 从C →B 时，4≤t ≤7，△CBP 不存在③P 从B →A 时，7＜t ≤12（i ）当BC =CP 2=6时，过C 作CH ⊥AB 于H ，由CH·AB=BC·AC得：CH=24 5由勾股定理得BH=18 5BP2=2BH=36 5t=（8+6+365）÷2=10.6 s.（ii）BC=BP3=6，t=（8+6+6）÷2=10 s.（iii）BP4=CP4，则∠2=∠B，由∠2+∠1=90°，∠B+∠A=90°得：∠1=∠A∴AP4=CP4，∴P4为AB中点，t=（8+6+5）÷2=9.5 s.综上所述，t的值为1s，10.6s，10s，9.5s．【变式3－1】（2020·青神县期中）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）出发3s后，求PB的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【答案】（1）13cm；（2）163秒；（3）11秒或12秒或13.2秒.【解析】解：（1）当t＝3时，则AP＝3，∵AB＝16cm，∴PB＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），（2）由题意，AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝163，出发163秒后△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ ＝AQ ，∴CQ ＝AQ ＝10，∴BC +CQ ＝22，∴t ＝22÷2＝11秒． ②当CQ ＝BC 时，如图所示，则BC +CQ ＝24，∴t ＝24÷2＝12秒． ③当BC ＝BQ 时，如图所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE =485， 由勾股定理得：CE =365， ∴CQ ＝2CE ＝14.4，∴BC +CQ ＝26.4，∴t ＝26.4÷2＝13.2秒． 综上所述，当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．【题型四】等腰三角形存在性（多动点）【例4－1】（2020·嵊州市期中）如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，且4BC CD cm ==，1AB cm =，点P 以每秒0.5cm 的速度从点B 开始沿射线BC 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向终点D 运动．设运动时间为t 秒．（1）当2t=时，BP=______cm，CP=______cm．（2）如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得ABP△与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？（注：只求一种情况即可，并写出求解过程）（3）如图②，是否存在点P，使得ADP△是以AP为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）1，3；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）t=2时，BP=1cm，∵BC=4cm，∴PC=BC－BP=3cm故答案为1，3．（2）①当BP=PC=2，AB=CQ=1时，△ABP≌△QCPt=2÷0.5=4 sV Q=0.25 cm/s.②当AB=CP=1，CQ=BP=3时，△ABP≌△PCQ，t=3÷0.5=6 s，V Q=0.5cm/s.（3）过点A作AH⊥CD于H，在Rt△ADH中，AH=BC=4，DH=CD-CH=CD-AB=3由勾股定理得AD=5，AD2=25，AP2=AB2+BP2=1+14t2，PD2=CD2+PC2=16+（4-12t）2①当AP=PD时，1+14t2=16+（4-12t）2解得t=31 4②当AP=AD时，1+14t2=25，解得t=．综上所述，满足条件的t的值为31 4．【变式4－1】（2020·浙江诸暨市期中）如图，在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM=10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）a＝2；（2）t＝1，43，79；（3）a＝1或3或6或9．【解析】解：（1）当t＝2时，DB＝6，∵BM＝10，∴DM＝4，∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即4＝2a，∴a＝2；（2）在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，∵AB⊥CD，∴BD＝BC＝6，t＝2；②当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，∵BC＝6，∴BD＝4，t＝43；③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，∵∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，t＝79；综上所述：t＝1，43，79时，△DCA为等腰三角形；（3）△DMQ与△ABC全等，分两种情况：①若△DMQ≌△ABC，则MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，∵BM＝10，∴BD＝2或BD＝18，∴t＝23或t＝6，∴a＝9或a＝1；②若△DMQ≌△CBA，∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，∴BD＝4或16，∴t＝43或83，∴a＝6或3，综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝1或3或6或9．【题型五】直角三角形存在性（求坐标）【例5－1】（2020·上海奉贤区期末）已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），则直角顶点是_________．【答案】A.【解析】解：∵A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），∴AB 2=（4-1）2+（3-2）2=10，BC 2=（3-4）2+（-4-3）2=50，AC 2=（3-1）2+（-4-2）2=40， ∴BC 2=AB 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠A =90°，即该直角三角形的直角顶点为A ．故答案为A ．【例5－2】（2020·浙江开化县期中）如图，在ABC 中，6AB BC ==，点O 为BC 中点，点P 是射线AO 上的一个动点，且 60AOC ∠=︒．要使得BCP 为直角三角形，CP 的长为 ________．【答案】3或【解析】解：①当∠CPB =90°时，P 在线段AO 延长线时，∵点O 为BC 中点，∴AO =BO ，∴PO =BO ，∵∠AOC =60°，∴∠BOP =60°，∴△BOP 为等边三角形，∵AB =BC =6，∴BP =3，PC =.②当∠BPC =90°时，P 在线段AO 上，∵点O 为BC 中点，∴AO =BO ，∵∠CPB =90°，∴PO =BO =CO ，∵∠AOC =60°，∴△COP 为等边三角形，∴CP =CO =3.②当∠CBP =90°时，∵∠AOC =∠BOP =60°，∴∠BPO =30°，∴BP =在Rt △CBP 中，由勾股定理得：CP故答案为：3或【变式5－1】如图，平面直角坐标系中，点()0,3A 和()4,0B ；（1）在x 轴上求点C ，使得BA BC =，请求出点C 的坐标；（2）在y 轴上求点D ，使得90ABD ∠=︒，请求出点D 的坐标．【答案】（1）（-1，0）或（9，0）；（2）（0，-163）． 【解析】解：（1）由题意得：OA =3，OB =4，∠AOB =90 º，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =5 ，△ABC 1是等腰三角形，AB =BC 1=5，OC 1=BC 1-OB =5-4=1，则C 1坐标为（-1，0）， △ABC 2是等腰三角形，AB =BC 2=5，OC 2=BC 2+OB =5+4=9，则C 1坐标为（9，0），则C 点坐标为（-1，0）或（9，0）.（2）设OD =x ，∠BOD =90º，在Rt △BOD 中，BD 2=OB 2+OD 2=16+x 2，由∠ABD =90°，AD =3+x ，由勾股定理得AD 2=AB 2+BD 2，即（x +3）2=25+16+x 2，解得x =163 则D 点的坐标为（0，-163）．【题型六】直角三角形存在性（求时间）【例6－1】（2019·河南平顶山月考）如图，AOB 90∠=，线段18OA m =，6OB m =，一机器人Q 在点B 处.（1）若BC AC =，求线段BC 的长.（2）在（1）的条件下，若机器人Q 从点B 出发,以3/min m 的速度沿着OBC ∆的三条边逆时针走一圈后回到点B ，设行走的时间为min t ，则当t 为何值时，OBQ ∆是以Q 点为直角顶点的直角三角形？【答案】（1）10m （2）6.8.【解析】解：(1) 设BC =x∵BC =AC∴OC =OA -CA =OA -BC =18-x在Rt △OBC 中由勾股定理得：62+（18-x ）2=x 2解得x =10即BC =10m .(2) 当BQ ⊥BC 时符合条件此时QC =3t -(OB +OC )=3t -(6+8)=3t -14，BQ =BC -QC =24-3t在Rt △OQC 中，由勾股定理得：OQ 2=OC 2-CQ 2=82-（3t -14）2，在Rt △OQB 中，由勾股定理得：OQ 2=OB 2-BQ 2=62-（24-3t ）2故82-（3t -14）2=62-（24-3t ）2解得：t =6.8则当t =6.8s 时，△OBQ 是以Q 点为直角顶点的直角三角形.【例6－2】（2020·达州市期中）如图1，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点O 重合，AC =4，BC =3，如图2，向右匀速移动Rt △ABC ，在移动的过程中Rt △ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为2个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．①若△OAB 为等腰三角形，求t 的值；②Rt △ABC 在移动的过程中，能否使△OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由．【答案】（1）t =2或t =12；（2）t =98.【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，AB ， 由题意得，OC =2t ，当BO =BA 时，OC =CA ，即t =2，当AB =AO 时，2t =5-4=1，即t =12，当OB =OA t +4，解得，t =-716（舍）， 综上所述，当t =4或t =1时，△OAB 为等腰三角形；（2）△OAB 为直角三角形时，∠OBA =90°，则(2t )2+32+52=（2t +4）2，解得：t =98， 当t =98时，△OAB 为直角三角形． 【变式6－1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=25，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，AC•BD=AB•BC，∴BD=12，CD=9，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=252，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t =15，解得：t =152（秒）； ③BD =BC 时，过点B 作BF ⊥AC 于F ，同理可得：CF =9，则CD =2CF =18，∴2t =18，解得：t =9（秒）；综上所述，当t 为254或152或9秒时，△CBD 是等腰三角形． 【变式6－2】（2020·福建泉州月考）如图，ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，若动点P 从点C 开始，以每秒2个单位的速度按C A B C →→→的路径运动一周．设出发的时间为t 秒．（1）若t =2秒时，求△ABP 的周长．（2）若△BPC 是直角三角形，请直接写出时间t 的取值范围．（3）是否存在某一时刻t ，使得△BPC 为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：CP =2t ，t =2时，CP =4，∵AC =8，BC =6，∴AP =4，在Rt △BCP 中，BP =∵AB =10，∴△APB 的周长为：AP +AB +BP =（2）当∠BCP=90°时，点P在AC上，当点P与A重合时，t=4s∴t的取值范围为0≤t≤4；当∠CPB=90°时，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，∴CP·AB=AC·BC，∴CP=245，在Rt△APC中，由勾股定理得：AP=325，∴t=（8+325）÷2=365，综上所述：当△BPC为直角三角形时，0＜t≤4或t=365；（3）存在.①当CP=CB时，∵BC=6，∴CP=6，∴2t=6，解得：t=3s；②当CB=BP时，∵BC=6，∴BP=6，∵AB=10，∴AP=4，∴2t=12，∴t=6s；③当CP=PB时，如图所示：∴∠PCB=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠PCB+∠ACP=90°，∴∠A=∠ACP，∴AP=PC，∴AP=PB，∵AB=10，∴AP=5，∴2t=13，∴13=2t s；综上所述：当t=3s或6s或132s时，使得△PCB为等腰三角形．。

2020中考数学压轴专题二次函数动点成特殊三角形问题（含答案）1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)134；【解法提示】∵二次函数y＝－13x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，∴b c=b c=--+⎧⎪⎨-++⎪⎩33016403，解得b=c=⎧⎪⎨⎪⎩134，(2)可能是，理由如下：∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠P AQ<90°，∠PQA<90°，∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，如解图①，设PQ与y轴交于点D，第1题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°，∴∠DQO＝∠DCP，∴tan ∠DQO ＝AP PQ ＝tan ∠DCP ＝AO CO ＝34， ∵AP ＝t,∴PQ ＝43t ， 由勾股定理得：AQ 2＝AP 2＋PQ 2，即(t ＋3)2＝t 2＋(43t )2， 解得t ＝92或t ＝－ 98(舍去)， 根据题意，点Q 在线段OB 上，∴0≤t ≤4，∴不存在这样的t 值满足题意，即△APQ 不可能是直角三角形；（3）假设存在点M 使得△PMQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，过P 作PE ⊥x 轴于E ，过M 作MN ⊥PE 交PE 的延长线于点N ，第1题解图②∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，∴∠PMN ＝∠QPE ，在△PMN 和△QPE 中，∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩PMN=QPE PNM=PEQ MP=PQ ，∴△PMN ≌△QPE (AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO AC ＝35， sin ∠CAO ＝OC AC ＝45， ∴AE ＝35t ，PE ＝45t ， ∴MN ＝45t ，EN ＝EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t －35t －45t ＝3－ 25t ， ∴x M ＝x E －MN ＝35t －3－45t ＝－15t －3， ∴点M 的坐标为(－15t －3，25t －3)，在x 轴下方， ∵点M 在抛物线上，∴－13(－15t －3)2－13(15t ＋3)＋4＝25t －3， 整理得t 2＋65t ＝225，解得t ＝－65＋52052或t ＝－65－52052(舍)， 综上，存在满足条件的点M ，此时运动时间t 为－65＋52052秒．2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第2题图解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)，∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； (2)如解图，连接MA ，第2题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M (－1，2);(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将C 、A 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧36＋6b ＋c ＝0c ＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6；(2)当y ＝0时，则有：x 2－5x －6＝0，即(x ＋1)(x －6)＝0，∴解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)，∴B (－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝2＝49，AC 2＝(6－0)2＋2＝72，AB 2＝(－1－0)2＋2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂线交抛物线于点P ，第3题解图直线MP 与抛物线必有两个满足条件的交点P ，∵A (0，－6)，C (6，0)，∴点M 的坐标为(3，－3)，且OA =OC ，∴直线MP 过点O ，设直线MP 的解析式为y ＝kx ，将点M (3，－3)代入得，k ＝－1，即直线MP 的解析式为y ＝－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x y ＝x 2－5x －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－10y 1＝10－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋10y 2＝－2－10， ∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连接AC ，BC .(1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图 解：(1)∵直线y＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，∴A (5，0)，B (0，10)，设过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，把点A (5，0)和C (8，4)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b ＝064a ＋8b ＝4， 解得⎩⎨⎧a ＝16b ＝－56， ∴抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ； ∵A (5，0)，B (0，10)，C (8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(2)如解图，连接AP ，AQ ，当P ，Q 运动t 秒，即OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，第4题解图在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝OA P A ＝QA， ∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝103， ∵t <5，∴当运动时间为103秒时，P A ＝QA ； (3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52， 设点M 的坐标为( 52，b )， 利用点的坐标可求得AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝(52)2＋(b －10)2， MA 2＝(52)2＋b 2， ∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB ＝MA 时，即125＝(52)2＋b 2， 解得b ＝±5192， 即点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)；②当AB ＝BM 时，即125＝(52)2＋(b －10)2，解得b ＝10±5192，即点M 的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192)；③当MB ＝MA 时，即(52)2＋(b －10)2＝(52)2＋b 2，解得b ＝5，此时点A 、M 、B 共线，故这样的点M 不存在．综上所述，存在点M ，使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192)． 5. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，3)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x ＋m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE ＋EF 的最大值；(3)点D 为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第5题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∵△CEF∽△GEP∴EF＝22CF＝22(3－m), PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第5题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．6.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN的值最小，求出此时点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线经过点C (0，4)，A (4，0)，∴c=a a c=⎧⎨-+⎩41680，解得a=c=⎧-⎪⎨⎪⎩124， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92可得抛物线的顶点坐标为N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，－4)，连接C′N 交x 轴于点K ，则K 点即为所求点，第6题解图①设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把N ，C′两点坐标代入可得：k b=b=⎧+⎪⎨⎪-⎩924，解得k=b=⎧⎪⎨⎪-⎩1724， ∴直线C′N 的解析式为y ＝172x －4， 令y ＝0，解得x ＝817，∴点K的坐标为(817，0)；(3)存在．要使△ODF是等腰三角形，需分以下三种情况讨论：①DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DF A＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°.此时，点F的坐标为(2，2)；由－12x2＋x＋4＝2得，x1＝1＋5，x2＝1－ 5.此时，点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)；②FO＝FD，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M.第6题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3， ∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3得，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.此时，点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)； ③OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为2 2. 而OF ＝OD ＝2<22，∴在AC 上不存在点F 使得OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或 (1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．7. 如图①，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8与x 轴交于点A (－6，0)，点B (点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC .(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)连接AC 交直线l 于点D ，则在点P 运动过程中，当点D 为EP 中点时，求S △ADP ∶S △CDE ；(3)如图②，当EC ∥x 轴时，点P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G ，使△AEG 是以AE 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，说明理由．第7题图解：(1)∵点A (－6，0)在抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8上，∴0＝－13×(－6)2＋(－6b )＋8，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋8，令x ＝0，得y ＝8， ∴C (0，8);(2)设点E (t ，－13t 2－23t ＋8)，∴P (t ，0)，∵点D 为EP 的中点，∴DP ＝DE ，D (t ，－16t 2－13t ＋4)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (－6，0)，C (0，8)，代入得：k b=b=-+⎧⎨⎩608，解得k=b=⎧⎪⎨⎪⎩438，∴直线AC 的解析式为y ＝43x ＋8，∵点D 在直线AC 上， ∴43t ＋8＝－16t 2－13t ＋4， 解得t 1＝－6(舍去)，t 2＝－4， ∴P (－4，0)， ∴AP ＝2，OP ＝4，∴S △ADP S △CDE ＝1212g g DP APDE OP ＝AP OP ＝12； (3)存在．如解图①，连接EG ，AG ，过点G 作GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，第7题解图①∵EC ∥x 轴， ∴EP ＝CO ＝8，把y ＝8代入y ＝－13x 2－23x ＋8，则8＝－13x 2－23x ＋8，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2， ∴P (－2，0)， ∴AP ＝AO －PO ＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG ＝90°时， ∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°， ∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠MEG ＝∠EAP ， 又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°， ∴△EMG ∽△APE ， ∴EM AP ＝MG EP， 设点G (m ，－13m 2－23m ＋8)(m ＞0)，则GN ＝MP ＝－13m 2－23m ＋8，∴EM ＝EP －MP ＝8－(－13m 2－23m ＋8)＝13m 2＋23m ，MG ＝PN ＝PO ＋ON ＝2＋m ， ∴13m 2＋23m 4＝2＋m 8，∴m ＝－2(舍去)或m ＝32，∴G (32，254)；(ⅱ)如解图②，当∠EAG ＝90°时，第7题解图②∵∠NAG ＋∠EAP ＝90°， ∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠NAG ＝∠AEP ， ∵∠APE ＝∠GNA ＝90°， ∴△GNA ∽△APE ， ∴GN AP ＝ANEP， 设点G (n ，－13n 2－23n ＋8)(n ＞4)，∴GN ＝13n 2＋23n －8，AN ＝AO ＋ON ＝6＋n ，∴2128 334+-n n＝68+n，∴n＝－6(舍去)或n＝112，∴G(112，－234)，综上，符合条件的G点的坐标为(32，254)或(112，－234)．8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ是等腰三角形．第8题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，∴将A 、D 两点的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8； (2)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)．设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，∵点D (6，－8)在直线l 上，代入得6k ＝－8，解得k ＝－43， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x ， ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，即点E 的坐标为(3，－4)； (3)需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图①，第8题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5，E （3，-4）在直线ME 上，∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝13， ∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5， 令y ＝0，解得x ＝15，∴点H 的坐标为(15，0)．又∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815， ∴m ＝－83；②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②，第8题解图②∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8， ∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，又∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB .设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8，E （3，-4）在直线CE 上，∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43， ∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0， ∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB .∴OP OC ＝OB ON， ∴－m 8＝86，解得m ＝－323. 综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形． 9. 如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，过点B 作直线BC ⊥x 轴，交直线y ＝－2x 于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D 的坐标，并判断顶点D 是否在直线y ＝－2x 上；(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在这样的点P (点A 除外)，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎨⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1； (2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1， 抛物线的顶点D 的坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a)， ∴x D ＝－－232×13＝1， y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43， ∴D (1，－43)． 把x ＝1代入y ＝－2x 中得y ＝－2，∵－43≠－2， ∴顶点D 不在直线y ＝－2x 上；(3)存在．理由如下：如解图，过点C 作x 轴的平行线，与该抛物线交于点P 1，P 2，连接BP 1，BP 2.第9题解图∵直线BC ⊥x 轴，∴△P 1BC 、△P 2BC 都是直角三角形．把x ＝－1代入y ＝－2x 中得：y ＝－2×(－1)＝2，∴C (－1，2)．∴把y ＝2代入y ＝13x 2－23x －1中得13x 2－23x －1＝2， 解得x 1＝10＋1，x 2＝－10＋1.∴P 1(10＋1，2)，P 2(－10＋1，2)．10. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第10题图解：(1)将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得， ⎩⎪⎨⎪⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55； (3)存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)． 【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32， ∴点D 的坐标为(32，0)． ∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52. ∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝52，此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)； 当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第10题解图∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4，∴点P 的坐标为(32，4)． 综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．。

三角形动点问题的解题技巧三角形动点问题是初中数学中一个比较常见的问题，也是学生在学习初中数学时需要重点掌握的一类问题。

本文将从解题技巧方面为大家详细讲解三角形动点问题的解题方法。

第一步：明确问题在学习数学时，我们首先需要明确问题，理解题目的含义。

对于三角形动点问题而言，我们需要明确以下几个方面：1、动点的定义。

动点是指在平面直角坐标系中，随着某个规律移动的点。

2、三角形的定义。

三角形是由三条线段组成，并将其首尾两端连接而成的一个几何图形。

3、三角形的性质。

在解题时，我们需要掌握并运用三角形的性质，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

4、问题的要求。

在题目中，我们需要明确所给的问句，例如求三角形的面积、周长等等。

第二步：确定动点的运动轨迹对于三角形动点问题而言，我们需要确定动点的运动轨迹，以便后续运用三角形的性质进行求解。

通常情况下，动点的运动轨迹有以下几种类型：1、直线运动轨迹。

当动点在平面直角坐标系中做直线运动时，我们可以根据勾股定理求出两点之间的距离，进而运用相似三角形的性质求出三角形的各项参数。

2、圆形运动轨迹。

当动点在平面直角坐标系中做圆形运动时，我们可以根据相似三角形的性质求解三角形的各项参数。

此外，我们也可以将圆形运动看作是一种周期性运动，利用周期函数的性质快速求解出三角形各项参数。

3、抛物线运动轨迹。

当动点在平面直角坐标系中做抛物线运动时，我们可以根据抛物线的性质，例如焦距、顶点等，求解出三角形的各项参数。

第三步：利用三角形的性质求解在确定了动点的运动轨迹后，我们需要运用三角形的性质对问题进行求解。

例如，在求三角形的面积时，我们可以利用海伦公式或三角形的高乘以底的公式进行计算。

在求三角形的周长时，我们可以利用三角形的边长之和进行计算。

此外，在解决三角形动点问题的过程中，我们还需要注意以下几点：1、注意单位。

在计算三角形的各项参数时，我们需要注意单位的换算，尤其是在混用不同的国际单位和中文单位时更需要引起注意。

2020中考数学 二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题（含答案）1. 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（1）由抛物线22y ax bx =++过点(3,0)A -，(1,0)B ， 则0932,0 2.a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴二次函数的关系表达式为224233y x x =--+．（2）点1(2,1)Q -，2(1,1)Q --，3(2,3)Q ，4(3,1)Q ．2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(0,2)A ，点(1,0)C -，如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点作轴，垂足为，∵ ； ∴；又∵；，∴ ∴，； ∴点的坐标为(3,1)-；（2）抛物线经过点(3,1)B -，则得到，解得， ∴抛物线解析式为； （3）方法一：①若以为直角边，点为直角顶点；则可以设直线交抛物线于点，由题意，直线的解析式为：1122y x =--，解得舍 ∴1(1,1)P -． 过点作轴于点，在中，∴，∴为等腰直角三角形．②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，交抛物线于点，由题意，直线AF 的解析式为212,2.11222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得114,4.x y =-⎧⎨=⎩（舍）222,1.x y =⎧⎨=⎩ 过点2P 作2P N y ⊥轴于点N ，在2Rt AP △中，2AP =yxA (0,2)C (-1,0)BOB BD x ⊥D 90,BCD ACO ∠+∠=︒90ACO OAC ∠+∠=︒BCD CAO ∠=∠90BDC COA ∠=∠=︒CB AC =BCD CAO △≌△1BD OC ==2CD OA ==B 22y ax ax =+-1932a a =--12a =211222y x x =+-AC C BC 211222y x x =+-1P BC 211,2211 2.22y x y x x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+-⎪⎩113,1.x y =-⎧⎨=⎩221,1x y =⎧⎨=-⎩1P 1PM x ⊥M 1Rt PMC △1CP =1CP AC =1ACP △AF BC ∥211222y x x =+-2P 12,2y x =-+2AP AC ∴=. 2ACP ∴△为等腰直角三角形.综上所述，在抛物线上存在点使是以为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形1ACP △，过点作，∵1=，，；∴1MPC DBC △≌△ ∴==2，∴==1，可求得点1(1,1)P -；经检验点1(1,1)P -在抛物线使得1ACP △是等腰直角三角形；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，且使得，得到等腰直角三角形2A C P △，过点作，同理可证2AP N △≌CAO △；∴==2，==1，可求得点(2, 1)经检验点(2, 1)也在抛物线上，使得2ACP △也是等腰直角三角形．3. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形．（1）当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴1(3,0)K -，2(1,0)K ．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒， 分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为3K ，4K ，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =分别与抛物线解析式联立，12(1,1)(2,1).P P -ACP △AC BC 1P 1PC BC =1P 1PM x ⊥轴CP BC 1MCP BCD ∠=∠190PMC BDC ∠=∠=︒CM CD 1PM BD 211222y x x =+-2AP CA ⊥2AP AC =2P 2P N y ⊥轴2NP OA AN OC 2P 2P 211222y x x =+-可得3K坐标为⎝⎭，4K坐标为⎝⎭． （2）当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，． 综上所述，所求的点K 坐标为1(3,0)K -，2(1,0)K ，3K ⎝⎭，4K ⎝⎭. 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标．NN备用图（1）21212y x x =-+-；（2）M的坐标是(12)-、(12)+、(4,1)-、(2,3)-、(2,7)--．5. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）．（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C ．①当AC =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（0t >），同时将直线:3l y x =沿y 轴正方向平移t 个单位．平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B ．当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得''A B P △为以''A B 为直角边的等腰直角三角形?（1）证明：令，则．22=(2)8(2)a a a -+=+△． ∵，∴．∴>0△． ∴方程有两个不相等的实数根．∴抛物线与x 轴有两个交点．（2）①令，则，解方程，得． ∵A 在B 左侧，且，∴抛物线与x 轴的两个交点为(,0)A a -，(2,0)B ．∵抛物线与y 轴的交点为，∴(0,2)C a -． ∴．在中，，．可得．∵，∴． ∴抛物线的解析式为．②依题意，可得直线的解析式为，'(2,0)A t -，'(2,0)B t +，．∵为以为直角边的等腰直角三角形，∴当时，点的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --．∴．解得或．当时，点的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-．∴．解得或（不合题意，舍去）．综上所述，或．0y =2(2)20x a x a +--=0a >20a +>2(2)20x a x a +--=0y =2(2)20x a x a +--=122x x a ==-，0a >C 2AO a CO a ==，Rt AOC△222AO CO +=22(2)20a a +=2a =±0a >2a =24y x =-l '3y x t =+4A B AB ''==A B P ''△A B ''90PA B ''∠=°P 3(2)4t t -+=52t =12t =90PB A ''∠=°P 3(2)4t t ++=52t =-12t =-52t =12t =6. 如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ． （1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明MDE △是等腰三角形；（2）MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．（1）抛物线解析式为2424455y x x =-+-，令0y =，即24244055x x -+-=，解得1x =或5x =，∴A (1, 0)，B (5, 0)．如答图1所示，分别延长AD 与EM ，交于点F ． ∵AD ⊥PC ，BE ⊥PC ，∴AD ∥BE ， ∴∠MAF =∠MBE ．在AMF △与BME △中， MAF MBE MA MB AMF BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)AMF BME △≌△，备用图∴ME MF =，即点M 为Rt EDF △斜边EF 的中点， ∴MD ME =，即MDE △是等腰三角形． （2）答：能．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，∴对称轴是直线3x =，M (3, 0)； 令0x =，得4y =-，∴(0,4)C -．MDE △为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE ⊥EM ，由DE ⊥BE ，可知点E 、M 、B 在一条直线上， 而点B 、M 在x 轴上，因此点E 必然在x 轴上，由DE ⊥BE ，可知点E 只能与点O 重合，即直线PC 与y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在；②若DE ⊥DM ，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM ⊥DM ，如答图2所示： 设直线PC 与对称轴交于点N ，∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ，∴∠EMN =∠DMA ． 在ADM △与NEM △中，135EMN DMA EM DM ADM NEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ADM NEM △≌△， ∴MN MA =．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，故对称轴是直线3x =，∴M (3, 0)，2MN MA ==，∴N (3, 2)．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点N (3, 2)，(0,4)C -在抛物线上， ∴324k b b +=⎧⎨=-⎩，解得2k =，4b =-，∴24y x =-．将24y x =-代入抛物线解析式得：242424455x x x -=-+-，解得：0x =或72x =，当0x =时，交点为点C ；当72x =时，243y x =-=．∴7,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为7,32⎛⎫⎪⎝⎭．（3）答：能．如答题3所示，设对称轴与直线PC 交于点N ．与（2）同理，可知若MDE △为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ． ∵MD ⊥ME ，MA ⊥MN ，∴∠DMN =∠EMB ． 在DMN △与EMB △中， 45DMN EMB MD MB MDN MEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)DMN EMB △≌△， ∴MN MB =． ∴(3,2)N -．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点(3,2)N -，(0,4)C -在抛物线上，∴324k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得23k =，4b =-，∴243y x =-．将243y x =-代入抛物线解析式得：2242444355x x x -=-+-，解得：0x =或316x =，当0x =时，交点为点C ；当316x =时，25439y x =-=-，∴315,69P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为315,69⎛⎫- ⎪⎝⎭．7. 在如图的直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． （1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，在ACD △和BAO △中，由已知有90CAD BAO ∠+∠=︒， 而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =，∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==，∴点C 的坐标为(3,1)-（2）①∵抛物线2122y x ax =-++经过点(3,1)C -，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.②i ）当A 为直角顶点时，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==， 则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形，如果点1P 在抛物线上，则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴， ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,∴可求得1P 的坐标为(1,1)-，经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件；ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==，得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △，作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为(2,1)--，经检验2P 点在抛物线上，因此存在点2P 满足条件． 同理可得点3P 的坐标为(2,3)-，经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点1(1,1)P -，2(2,1)P --两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．8. 如图，一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线243y x bx c =++的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得PMN △是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）∵一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点， ∴(1,0)A -、(0,4)C -把(1,0)A -、(0,4)C -代入243y x bx c =++得∴，解得 xyCAB O4034b c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩834b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ （2）设M 、N 的纵坐标为a ，由B 和C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：443y x =-，则4,4a M a --⎛⎫⎪⎝⎭，312,4a N a +⎛⎫⎪⎝⎭， ①当90PMN ∠=︒，4MN a =+，PM a =-，因为PMN △是等腰直角三角形，则4a a -=+，则2a =-，即P 点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90PNM ∠=︒，PN MN =，同上，2a =-，即P 点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；③当90MPN ∠=︒，作MN 的中点Q ，连接PQ ，则PQ a =-，又PM PN =， ∴PQ MN ⊥，则2MN PQ =，即：42a a +=-，解得：34a =-，即P 点的坐标为(23, 0)．248433y x x =--9. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联． （1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其顶点C 在y 轴上？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =时，2211212y x x =-++=-++=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上，∴抛物线①、②有关联； （2）点C 是y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中的B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF CAH △≌△，∴，，点的坐标为(2,1c c +-，当点在抛物线211:(1)28C yx =+-上时，211(21)28c c -=++-，解得：．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中点，过点作轴的垂线，垂足为，同理可得：点的坐标为(2,1)c c --+，当点在抛物线211:(1)28C y x =+-上Oyx1CF AH ==2BF CH c ==+B B 1c ='B 'B y D 'B 'B时，211(21)28c c +=--+-，解得：．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中点的坐标分别为：1(0,1)C，2(0,3C +，3(0,3C -.10. 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．存在符合条件的P 点，由(0,3)C ，(1,0)M -，∴CM①当CM CP =时，1(1,6)P -；②当MC MP =时，2(P-，4(1,P -；③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线，由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为1(1,6)P -，2(1,P -，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，4(1,P -．11. 已知：Rt ABC △的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上．（1）请直接写出A 、B 的坐标：A 、B ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）如图，点D 的坐标为(2,0)，点(,)P mn 是该抛物线上的一个动点（其中0m >，0n >），连接DP 交BC 于点E ． 3c =+3c =-C①当BDE △是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP ，CDP △是否有最大面积？若有，求出CDP △的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（）由，易知，2()CO OA OB OA AB OA =⋅=⋅-， 2()OC OA AB OA =-，可求， ∴(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C可设解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点(00)C ，代入，可求． ∴．（2）①，， 提示：直线的解析式为设(,)E x y ，利用勾股定理和点(,)E x y 在直线BC 上，可得两个方程组分别可求和． ②过作x 轴的垂线，交于，易求的解析式为，且，故故，当时，，．x1OA =4OB =12a =-213222y x x =-++1132E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24855E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34E ⎛-⎝BC 122y x =-+()22212222y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩()22212242y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩2E 3E D PC M PC 22n y x m -=+2422n M m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()()12CDP CDM DMP P C M D S S S x x y y =+=--△△△11242222P M n x y m m n m -⎛⎫=⋅=+=+- ⎪⎝⎭2132222m m m ⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭21522m m =-+52m =25=8CDP S 最大值△52128P ⎛⎫⎪⎝⎭，12. 已知抛物线2()y a x m n =-+与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D . 若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线. 如图，若抛物线2()y a x m n =-+的伴随直线是2(0)y x b b =-+>，且伴随四边形ABCD 是矩形．（1）用含b 的代数式表示m ，n 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PBD △是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式）；若不存在，请说明理由．（1）如图，作BE x ⊥轴，由题意可得(0,)A b ，,)(0b C - ∵抛物线的顶点(,)B m n 在2(0)y x b b =-+>上， ∴2n m b =-+，(,2)B m m b -+在矩形ABCD 中，OC OB =，∴22OC OB = 即：222(2)b m m b =+-+ ∴(54)0m m b -=∴10m =(舍去)，245m b =∴325n m b b =-+=-∴45m b =，35n b =-；（2）存在，有4个点：47,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，49,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，416,515b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，413,55b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得BCQ △为直角三角形？存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示： 由(1,4)D -，(0,3)C 可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为(1,4)-由(3,0)B -，(0,3)C 易得，2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得 2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍） 可得2Q 坐标为(2,5)-；设23(,23)Q a a a --+，所以22(1)(2)1BQ CQ k k a a ⋅=-+--=-，解得3Q，4Q 综上所述，Q 的坐标为1Q (1,4)-，2Q (2,5)-3Q ，4Q .14. 抛物线333842y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）当直线l 过点(4,0)E ，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式.y CABxO（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为(4,0)20A B -、（，）. （2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即两个点M ；以AB 为直径的圆如果与直线l 相交，那么就有两个点M ； 如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了. 连结GM ，那么GM ⊥l ， 在Rt EGM △中，3GM =，3GE =，∴4EM = 在1Rt EM A △中，AE =8，113tan 4M A M EA AE ∠==，∴16M A =∴点1M 的坐标为(4,6)-，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+根据对称性，直线l 还可以为334y x =+.15. 如图，经过x 轴上(1,0)A -、(3,0)B 两点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交y轴的正半轴于点C ，设抛物线的顶点为D ．（1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标；（2）若90BCD =︒，请确定抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q ，使BDQ △为直角三角形?如果能，请求出Q 点坐标；如果不能，请说明理由．（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-. 则2223)(1)4(x a x a y a x --=--=.则点D 的坐标为(1,4)D a -，点C 的坐标为(0,3)C a -.（2）过点D 作轴于，如图1所示，则有.∴.∴. ∴，（舍去）.∴.抛物线的解析式为.DE y ⊥E DEC COB △∽△DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++（3）①如图2，若为，作轴于，轴于.可证. 有， 点坐标2(,23)k k k -++，. 化简得，即(3)(23)0k k -+=.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. ②如图3，若为.延长交轴于，可证明.即. 则. 得，点的坐标为. DM 所在的直线方程为.则与的解为（舍），，得交点的坐标为.③若90BQD ∠=︒，容易证明此种情况不成立所以满足题意的点另有两个：.图2图2图1DBQ ∠90︒QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ =Q 242323k k k =---22390k k --=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BDQ ∠90︒DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM =12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，。

三角形中的动点问题在三角形中，我们考虑一个特殊的问题：如何确定一个动点在三角形内移动时与三角形的边界交点的轨迹？首先，我们需要了解一些三角形的基本知识。

三角形由三条边和三个顶点构成。

我们可以使用三边之间的关系来解决这个问题。

假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点，而a、b、c分别为对应的边长。

此外，我们有一个动点P在三角形内移动。

首先，让我们考虑动点P在边AB上移动时与三角形的边界交点的情况。

如果我们将边AB延长成为直线，那么动点P的轨迹将是这条直线上距离A点一定距离的所有点。

同样，如果动点P在边AC和BC上移动时，其轨迹也可以由类似的思路得到。

接下来，我们考虑动点P在三角形内部的情况。

假设我们将边AB、BC、CA延长成为直线，它们会相交于一个点，我们将其称为无穷远点O。

那么，动点P在三角形内部移动时，其轨迹可以被视为无穷远点O到动点P的连线所夹的角度组成的轨迹。

综上所述，当动点P在三角形内移动时，与三角形边界的交点的轨迹可以分为三条线段和一条角度。

这一结论在三角形的一般情况下成立。

通过解决三角形中的动点问题，我们可以深入了解三角形的性质和几何知识。

这个问题也可以拓展到更复杂的几何图形中，从而引发更多有趣的研究和探索。

总结起来，三角形中的动点问题是一个有趣且具有挑战性的几何问题。

通过分析三角形的边界和动点的位置关系，我们可以得出动点与三角形边界交点的轨迹，并进一步探索几何图形的性质。

这个问题不仅有助于加深我们对三角形的理解，还能培养我们的几何思维能力。

中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。

特殊三角形的动点问题的解题思路特殊三角形的动点问题是一个在几何学中常见的问题类型，通常涉及到平面几何中的点、线、圆等几何元素的运动和位置关系。

解决这类问题需要运用几何知识、代数方法和分析技巧。

以下是解决特殊三角形的动点问题的一般解题思路：1. 确定动点的运动轨迹，首先需要确定动点的运动轨迹，也就是动点随着某个条件（如角度、长度等）的变化而移动的路径。

通常可以通过观察和分析问题中给出的条件和要求，推导出动点的运动规律，从而确定其轨迹的方程或性质。

2. 利用几何性质建立条件方程，根据问题中给出的条件，利用三角形的性质、相似性、共线性等几何关系，建立动点位置的条件方程。

这些条件方程可以是关于角度、边长、面积等几何量的方程，也可以是关于坐标的方程。

3. 运用代数方法解方程，将建立的条件方程转化为代数方程，并利用代数方法求解。

这可能涉及到解方程组、代数运算、三角函数等技巧，需要灵活运用代数知识进行推导和计算。

4. 分析特殊情况和极限情况，在解决特殊三角形的动点问题时，常常需要分析特殊情况或极限情况，从而得出一般性的结论。

通过对特殊情况的分析和极限情况的讨论，可以更深入地理解动点的运动规律和几何性质。

5. 检验和讨论解的合理性，最后需要对所得的解进行检验，看是否符合问题的要求和几何性质。

同时也可以讨论解的合理性，探讨解的存在性、唯一性以及可能的变化情况。

总的来说，解决特殊三角形的动点问题需要综合运用几何知识、代数方法和分析技巧，通过建立条件方程、求解代数方程和分析特殊情况，得出动点的运动规律和位置特性。

希望以上解题思路能够帮助你更好地解决特殊三角形的动点问题。

一、动点产生的相似三角形问题1、 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =． 由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。

三角形与动点问题在数学的世界里，三角形一直是一个重要且基础的几何图形，而当三角形与动点结合起来时，就形成了一类充满挑战和趣味的问题。

这类问题常常出现在中学数学的学习中，不仅考验着我们对三角形知识的掌握程度，还锻炼着我们的思维能力和空间想象力。

让我们先来了解一下什么是动点。

动点，顾名思义，就是在平面或空间中不断运动的点。

在三角形中，动点的位置可能会随着时间、条件或者其他因素的变化而改变，从而导致三角形的形状、大小或者某些性质也随之发生变化。

比如，在一个直角三角形中，有一个动点在斜边或者直角边上运动。

那么，随着这个动点的移动，三角形的周长、面积或者某些角度的大小可能会发生改变。

我们需要根据已知条件，找出这些变化中的规律，从而解决相关的问题。

为了更好地理解三角形与动点问题，我们来看一个具体的例子。

假设有一个等腰三角形 ABC，AB ＝ AC ＝ 5，BC ＝ 6。

点 P 从点B 出发，沿着 BC 边以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，与此同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CA 边以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动。

当点 P 到达点 C 时，两点均停止运动。

设运动时间为 t 秒。

首先，我们需要分析在运动过程中，三角形的哪些量会发生变化。

很明显，BP 的长度会随着时间 t 的增加而增加，CP 的长度则会相应减少。

同时，CQ 的长度也会随着时间增加。

那么，我们可以先表示出 BP ＝ t，CP ＝ 6 t，CQ ＝ 2t。

接下来，考虑三角形的面积。

由于三角形 ABC 的面积是固定的，但是随着动点 P 和 Q 的运动，三角形 BPQ 的面积会发生变化。

三角形 BPQ 的面积可以用 BP 乘以三角形 BPQ 在 BP 边上的高再除以 2 来计算。

而这个高可以通过三角形的相似关系求得。

通过相似三角形的性质，我们可以得到三角形 BPQ 在 BP 边上的高为 4 ／ 5 t。

所以三角形 BPQ 的面积 S ＝ 1 ／ 2 t 4 ／ 5 t ＝ 2 ／ 5 t²。