2017年高考一轮复习名师伴我行之课时作业28.doc

课时作业(二)Section ⅢGrammar & Writing Ⅰ.单句语法填空1．Jack said ________ he was repairing his bike.2．Tom asked ________ my son was going to be a football match at 7：00 p．m.3．He told us that there ________(be)going to be a basketball match at 10：00 a．m.4．He asked ____________________ was the matter.5．The nurse told the children that the sun ________(rise)in the east.6．He asked me when I ________(will)meet Tom the next day.7．Mom called me yesterday，asking me ________ I was getting along well with my English study this term.8．My mother asked me ________ I had finished my homework.9．After the examination，my teacher told me that failure ________(be) the mother of success.10．Tom told his aunt that he ________(have)just been asked what was doing with the time when he was in the country.答案：1.that 2.whether/if 3.was 4.what5．rises 6.would7.whether8.whether/if9.is10．hadⅡ.阅读理解One of the most important things in the world is friendship.In order to have friends you have to be a friend.But how can you be a good friend at school?Listen—Listen when they are talking.Don't say anything unlessthey ask you a question.Sometimes it's not necessary for you to have anything to say；they just need someone to talk to about their feelings.Help them—if your friend is ever in need of something, be there to help them.You should try to put them first，but make sure you don't do everything they want you to do.Try to take an extra pencil or pen with you to classes in case they forget one.Have a little extra money in your pocket in case they forget something they need.Be there for them—Be there for your friends to help make them feel better in hard times.Marilyn Monroe, a famous US actor，once said，“I often make mistakes.Sometimes I am out of control, but if you can't stay with me at my worst，you are sure not to deserve to be with me at my best.“Always remember this! If you don't want to stay with your friends when they're in hard times, then you don't deserve to be with them when they're having a good time!________—Try to make plans with your friends.Go shopping, go for ice cream, have a party, go to a movie and so on.Take time to know each other even better by doing something you both enjoy.By planning things together，you both can have a good time.And you'll remember these things when you're all old!1．While your friend is talking to you about his or her feelings，you should________.A．give him or her some adviceB．just listen unless askedC．calm him or her downD．share your feelings as well2．What can we learn from Marilyn Monroe's words?A．Life without a friend is death.B．A friend is easier lost than foundC．A friend in need is a friend indeed.D．A man is known by his friends.3．Which of the following can be put in the blank of the last paragraph?A．Make plansB．Enjoy yourselfC．Understand your friendsD．Play with your friends4．The passage is mainly about ________.A．how to find a good friendB．how to help friends in troubleC．how to be a good friendD．how to make more friends答案：1.B解析：由句中“Don't say anything unless they ask you a question”可知。

课后限时集训(二十八)(时间：40分钟分值：85分)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．有学者认为《海国图志》为以后的变法思潮的勃兴提供了重要的事实依据和思想材料，但它并没有要中国学习西方制度的意思。

此观点表明《海国图志》( )A．缺少近代化色彩B．未突破传统政治局限C．不够系统和完善D．继承了封建科技思想B[据材料《海国图志》“并没有要中国学习西方制度的意思”，可知《海国图志》未突破传统政治局限，向西方学习仅停留在“器物”层面，故B项正确。

]2．(2019·某某一模)19世纪中叶以后，当西学在日本成为全民族注意的中心时，在中国却被限制在通商口岸X围之内和办理“洋务”的官员之中，大多数的士大夫仍然生活在传统的精神世界里。

这说明近代中国( )A．求新求变的思想意识不足B．缺乏维新变法的社会基础C．士大夫固守传统文化模式D．自强求富运动的成效不大A[由材料可知，19世纪中叶后关注西学的只有很少一部分人，大多数士大夫的思想没有太大的改变，因此可看出，当时社会求新求变的思想意识不足，故选A项；“传统的精神世界”指思想，而“维新变法的社会基础”是阶级X畴，排除B项；“大多数的”说明也有一部分士大夫具有新思想，排除C项；题干信息不能体现洋务运动的成效，排除D项。

] 3．冯桂芬指出：“以中国之伦常名教为原本，辅以诸国富强之术。

”同时代的郭嵩焘认为：“泰西富强，具有本末，所置一切机器，恃以利用致远，则末中之末也。

”这些思想( ) A．主X学习西方的政治制度B．为社会变革提供了理论支持C．反映了“中体西用”的主XD．具有强烈的维护旧体制意图B[根据题干材料可知冯桂芬主X学习西方诸国先进的技术，郭嵩焘主X学习西方各国的制度，这些思想都为社会变革提供了理论支持，故B项正确，A项错误；材料中仅冯桂芬的思想体现了“中体西用”，C项错误；材料中郭嵩焘主X学习西方各国的制度，D项错误。

]4．(2019·某某二模)康有为曾说，在此沉族破家、肝脑原野的危难关头，“与其分灭于外，惨为亡国之戮囚，孰若付权于民，犹得守府而安荣”。

中国特色社会主义道路的开辟与发展注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用樟皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．“作为距离香港最近的城市，它最早成为中国开放的特区，与新中国改革开放的步伐共舞，短短的十几年时间，它已从一个小渔村迅速发展成中国最年轻的城市之一……”这个城市应该是A．广州B．上海C．深圳D．珠海2．中共十一届三中全会召开以后，经济体制改革逐步展开。

以下有关经济体制改革的表述，不正确的是A．在坚持社会主义制度的前提下进行改革B．对生产关系中不适应生产力发展的环节进行改革C．方式是在城市和农村全面推行家庭联产承包责任制D．目的是解放社会生产力，不断发展国民经济3．下面是1978-1999年中国各类所有制经济在工业总产值中的比重变化表（单位：%）这表明我国A．非公有制经济成为国民经济重要组成部分B．国有制企业已失去国民经济主导地位C．社会主义市场经济体制已经基本确立D．开始确立以公有制为主体的基本经济制度4．1993年航空航天部被撤销，国家设立了航空工业总公司、航天工业总公司；轻工业部和纺织工业部被改为中国轻工总会、中国纺织总会；1998年国家计划委员会更名为国家发展计划委员会。

这表明当时中国（）A．单一所有制经济被打破B．宏观调控体系已经完善C．政府对经济的干预减少D．市场经济体制基本建立5．之所以说十一届三中全会是建国以来党的历史上具有深远意义的伟大转折，其依据是A．新时期党的基本路线己经形成B．邓小平等第二代领导核心形成C．党和国家工作的重心转移到经济建设D．果断停止了“以阶级斗争为纲”的方针6．1986年，国务院批复：“当前，特别要注意有计划地建设和改造浦东地区，要尽快修建黄浦江大桥及隧道等工程，在浦东发展金融、贸易、科技、高教和商业服务设施，建设新居住区，使浦东新区成为现代化新区。

2.4二次函数一、单项选择题1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( )A ．[－4，0]B ．(－∞，0]C ．(－∞，－5]D ．(－∞，4]2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝－x 2－x －1B ．f(x)＝－x 2＋x －1C ．f(x)＝x 2－x －1D ．f(x)＝x 2－x ＋13．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 34．(2020·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1B ．2C ．m －1D ．m5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)6．设abc ＞0，则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )7．(2021·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－3二、填空题与解答题8．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．9．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．10．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．11．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．12．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．13．(2020·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是________．15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．16．(2021·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．317．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.2.4二次函数 参考答案1．答案 C2．答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边．∵函数在[1，＋∞)上是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3.4．答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C.5．答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]．6．答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b 2a＞0，函数f(x)的图象与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.7．答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，故h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以a ≥－⎝⎛⎭⎫12＋2即a ≥－52. 8．答案 9或25解析 y ＝8⎝⎛⎭⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162＝0， ∴m ＝9或25.9．(1)答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k ≥8或k ≤－16. (2)答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b 2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b 2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．10．答案 [0，1]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 11．答案 ①(－∞，15) ②(－∞，3)解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3.12．答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 13．答案 [5，＋∞)解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上的最大值为f(a)，由图象对称性知a ≥5.14．答案 [0，4]解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是[0，4]．15．答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1](2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1. 由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数． 则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1.即k 的取值范围是(－∞，1)．16．答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2（x ≤0），2（x>0）.又f(x)＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．17．答案 (1)a ＝－1＋22(2)证明见解析 解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0，则Δ＝1－4a>0，则0<a<14.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.则⎝⎛⎭⎫－1a 2－4a＝4，即4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，∴Δ＝(b －1)2－4a>0.设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1(a>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.此时，Δ＝(b －1)2－4a.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a>－1.。

课时作业(二十八)A [第28讲 等比数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身 1．[2011·深圳一模] 设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12 2．[2011·泉州质检] 等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－63．[2011·沈阳二模] 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72 4．[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.能力提升 5．[2011·厦门质检] 已知等比数列{a n }中，a 3＝2，其前n 项的积T n ＝a 1a 2…a n ，则T 5等于( )A ．8B ．10C ．16D ．32 6．[2011·开封二模] 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n7．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定 8．[2011·合肥三模] 已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝( )A ．9或116 B.19或16 C.19或116D ．9或16 9．[2011·皖北协作区联考] 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝________.10．[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.11．[2011·莱芜模拟] 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a2＋…＋1a 5＝________.12．(13分)[2011·济南二模] 设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .难点突破13．(12分)[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课时作业(二十八)A【基础热身】1．D [解析] 由已知，数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，其前n 项和为S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12，故选D . 2．A [解析] 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36a 2＝12，故选A .3．A [解析] 在等比数列{a n }中，S 4＝a 1(1－24)1－2＝15a 1，a 3＝a 1·22＝4a 1，则S 4a 3＝154，故选A .4．2 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2， 又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 【能力提升】5．D [解析] 由a 3＝2，得T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝25＝32，故选D . 6．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 5＝a 1＋4d ，a 13＝a 1＋12d ， 由a 1，a 5，a 13成等比数列，得a 25＝a 1a 13， 即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋12d)， 化简，得4d 2－a 1d ＝0， ∵a 1＝2，d ≠0，∴d ＝12，S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n 4，故选A . 7．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列、数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6.由于等差数列{a n }的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.8．D [解析] 由已知得a 23＝1，所以a 3＝1或a 3＝－1，设公比为q ，则有a 3q 2＋a 3q ＝12，当a 3＝1时，解得q ＝13或q ＝－14，此时a 1＝9或16； 当a 3＝－1时，－1q 2＋－1q ＝12无解，故选D .9．5 [解析] 由已知条件8a 2－a 5＝0，得8a 1q ＝a 1q 4，即q 3＝8，即q ＝2.又S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q，则S 4S 2＝1＋q 2＝5.10．－2 2n －1－12 [解析] 由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.11．31 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，得 a 1(1＋q ＋…＋q 4)＝3116，由a 3＝14，得a 1q 2＝14，则a 21q 4＝116， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q ＋…＋1q 4＝a 1(1＋q ＋…＋q 4)a 21q 4＝31. 12．[解答] (1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2. 又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2， ∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为一等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)①，S n ＝23(b n －1)②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是一等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2， 即b n ＝(－2)n .∴S n ＝23[(－2)n －1]．【难点突破】13．[思路] 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，综合运算求解能力和创新思维能力．[解答] (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ∈N *.(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k1＋tan (k ＋1)·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1. 所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .。

课时作业28 免疫调节一、选择题(每小题5分，共60分)1．人体健康与免疫息息相关。

下列关于免疫的说法正确的是( A )A．接种疫苗所获得的免疫力不能遗传给后代B．感染病菌后发烧或发炎不属于免疫反应C．皮肤和黏膜对病菌的防御功能由后天获得D．免疫系统不会清除自身的衰老或异常细胞解析：本题主要考查免疫系统的组成和功能。

接种疫苗不会改变人体的遗传物质，所以不能遗传给后代，A正确；感染病菌后的发炎现象是机体免疫的一种表现，B错误；皮肤和黏膜属于人体的第一道防线，是生来就具有的非特异性免疫，C错误；免疫系统可清除自身衰老或异常的细胞，从而维持人体内环境的稳定，D错误。

2．吞噬细胞对细菌抗原的吞噬、加工处理和呈递过程如图所示。

下列叙述正确的是( B )A．吞噬细胞特异性地吞噬细菌抗原B．溶酶体参与抗原的加工处理过程C．加工处理后的抗原可直接呈递给B淋巴细胞D．抗原加工处理和呈递过程只存在于体液免疫解析：本题主要考查特异性免疫的原理和过程。

吞噬细胞不能特异性识别和处理抗原，A 错误；吞噬细胞加工和处理抗原需借助溶酶体中的水解酶来完成，B正确；吞噬细胞将加工处理后的抗原直接呈递给T淋巴细胞，C错误；体液免疫和细胞免疫过程中均存在吞噬细胞对抗原的加工处理和呈递过程，D错误。

3．关于人体非特异性免疫的叙述，正确的是( A )A．非特异性免疫是能够遗传的B．过敏反应是由非特异性免疫异常引起的C．机体能够通过非特异性免疫产生记忆细胞D．非特异性免疫只对一种特定的病原体起作用解析：非特异性免疫是先天的、生来就有的，因而是可以遗传的，A正确；过敏反应是指已产生免疫的机体，在再次接受相同的抗原时所发生的组织损伤或功能紊乱，属于特异性免疫，B错误；记忆细胞是B细胞、T细胞受抗原刺激后增殖、分化产生的，为特异性免疫，C 错误；特异性免疫针对特定的病原体起作用，D错误。

4．少数人注射青霉素后出现胸闷、气急和呼吸困难等过敏(超敏)反应症状，严重者发生休克。

考点强化练28法拉第电磁感应定律自感1.(多项选择)如图甲所示线圈的匝数n=100匝,横截面积S=50 cm2,线圈总电阻r=10 Ω,沿轴向有匀强磁场,设图示磁场方向为正,磁场的磁感应强度随时间做如图乙所示变化,如此在开始的0.1 s 内()A.磁通量的变化量为0.25 WbB.磁通量的变化率为2.5×10-2 Wb/sC.a、b间电压为0D.在a、b间接一个理想电流表时,电流表的示数为0.25 A2.如下列图,边长为a的导线框abcd处于磁感应强度为B0的匀强磁场中,bc边与磁场右边界重合。

现发生以下两个过程:一是仅让线框以垂直于边界的速度v匀速向右运动;二是仅使磁感应强度随时间均匀变化。

假设导线框在上述两个过程中产生的感应电流大小相等,如此磁感应强度随时间的变化率为()A. B.C. D.3.如下列图,一个菱形的导体线框沿着自己的对角线匀速运动,穿过具有一定宽度的匀强磁场区域,对角线AC的长度为磁场宽度的两倍且与磁场边界垂直。

下面对于线框中感应电流随时间变化的图象(电流以ABCD顺序流向为正方向,从C点进入磁场开始计时)正确的答案是()4.(2017台州联考)(多项选择)涡流检测是工业上无损检测的方法之一。

如下列图,线圈中通以一定频率的正弦式交变电流,靠近待测工件时,工件内会产生涡流,同时线圈中的电流受涡流影响也会发生变化,如下说法正确的答案是()A.涡流的磁场总是要阻碍穿过工件磁通量的变化B.涡流的频率等于通入线圈的交变电流频率C.通电线圈和待测工件间存在周期性变化的作用力D.待测工件可以是塑料或橡胶制品5.如下列图,a、b两个闭合正方形线圈用同样的导线制成,匝数均为10匝,边长l a=3l b,图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,且磁感应强度随时间均匀增大,不考虑线圈之间的相互影响,如此()A.两线圈内产生顺时针方向的感应电流B.a、b线圈中感应电动势之比为9∶1C.a、b线圈中感应电流之比为3∶4D.a、b线圈中电功率之比为3∶16.如下列图,金属棒ab置于水平放置的金属导体框架cdef上,棒ab与框架接触良好。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合运算[复习要点] 1.了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．知识点一集合的基本概念1．集合中元素的性质：________、________、________.2．元素与集合的关系(1)属于，记为________；(2)不属于，记为________．3．常见数集的符号4.答案：1.确定性无序性互异性2．(1)∈(2)∉3．N N*或N＋Z Q R4．(1)列举法(2)描述法(3)图示法知识点二集合间的基本关系少有一个元素不是A 中的元素空集空集是________的子集，是________的真子集∅⊆A ∅B (B ≠∅)答案：相同 A ⊆B B ⊆A A ⊆B 或B ⊇A A B 或BA 任何集合 任何非空集合知识点三 集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 ________________若全集为U ，则集合A 的补集为________图形 表示意义{x |________}{x |______}{x |＝________}答案：A ∪B A ∩B ∁U A x ∈A ，或x ∈B x ∈A ，且x ∈B x ∈U ，且x ∉A链/接/教/材1．[必修1·P11·A 组T1改编]若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P答案：D2．[必修1·P12·A 组T6改编]已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( ) A ．[－1,4] B ．(0,3] C ．(－1,0]∪(1,4] D ．[－1,0]∪(1,4] 答案：A3．[必修1·P12·B 组T3改编]设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |0<x <2} 答案：B 易/错/问/题 1．忽视元素的互异性(1)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． (2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________.答案：(1)－32 (2)0或32．集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合子集的个数．(1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．(2)集合A ＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A 有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．(1)答案：5 解析：因为A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.(2)答案：28 28－1 28－1 28－2 解析：因为集合A 中有8个元素，所以集合A 有28个子集、28－1个真子集、28－1个非空子集、28－2个非空真子集．通/性/通/法1．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．(1)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集的个数为________． (2)若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.(1)答案：4 解析：A ∩B ＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．(2)答案：{x |－3＜x ＜2} 解析：在数轴上画出表示集合A ，B 的两个区间，观察可知A ∩B ＝{x |－3＜x ＜2}． 2．集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算．(1)[2021湖南湘潭模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |<1}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则集合∁U (M ∪N )＝( ) A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)[2021皖北协作区联考]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(1)答案：A(2)答案：D 解析：因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.题型集合的含义与表示角度Ⅰ.用描述法表示集合试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合A ＝{6x －5∈Z |}x ∈N *，则集合A 用列举法表示为_______________． 思考：已知集合A ＝{x ∈N *⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x －5∈Z ，则A 中的元素分别是________． [答案] {－2，－3，－6,6,3,2,1} [解析] 集合中的元素为6x －5的取值，当x ＝2,3,4,6,7,8,11时，6x －5的值为－2，－3，－6,6,3,2,1，共有7个取值，集合A 用列举法表示为{－2，－3，－6,6,3,2,1}．思考：2,3,4,6,7,8,11 2．[2021湖北天门调研]集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M 与N 没有相同的元素[答案] B [解析] 由题可知， 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝14(2k ＋1)，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝14(k ＋2)，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又知奇数均为整数，而整数不一定为奇数，所以M N ，故选B.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数． [易错警示] 要注意检验集合中元素的互异性． 角度Ⅱ.元素的互异性与参数的求值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 021＋b 2 021为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[答案] C [解析] 只有b ＝0，a 2＝1⇒a ＝－1(a ＝1不满足互异性)，从而b ＝0，且a ＝－1，有a 2 021＋b 2 021＝－1.4．[2021山东百师联盟测试三]已知集合P ＝{－1,2a ＋1，a 2－1}，若0∈P ，则实数a 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，－1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－1 [答案] C [解析] 当2a ＋1＝0时，a ＝－12，满足题意；当a 2－1＝0时，a ＝±1，经检验，a ＝1满足题意，故a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.5．已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，则a ＝________. [答案] －1 [解析] 因为A ∩B ＝{－3}， 所以只可能a －3＝－3或a －2＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1.当a ＝0时，A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2,1}，此时A ∩B ＝{1，－3}，不合题意．当a ＝－1时，A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，此时A ∩B ＝{－3}，符合题意，故a ＝－1.解/题/感/悟(小题示，大智慧)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．题型集合的基本关系角度Ⅰ.子集、真子集关系的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝p 2＋16，p ∈Z ，试分析集合M ，N ，P之间的关系．[解] 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z .关于集合N ：当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13，m ∈Z ； 当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )， 则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m ＋12－13，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ， 从而得M N .关于集合P ：当p ＝2m (m ∈Z )时， 则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ； 当p ＝2m －1(m ∈Z )时， 则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13，m ∈Z ， 从而得N ＝P . 综上可知，M N ＝P .角度Ⅱ.子集、真子集的个数问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)2．[2021山东省实验中学期中]设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 组成的集合的子集个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．8[答案] D [解析] A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}，因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，结合题意可知B ＝∅或{3}或{5}，对应实数a 的值分别为0，13，15，其组成有3个元素的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15，所以所求子集个数是23＝8，故选D. 3．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D角度Ⅲ.根据集合间的关系求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[多选]设集合P ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x 2＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －6，集合T ＝{x |mx ＋1＝0}，若T ⊆P ，则实数m 的取值可以是( ) A ．12 B ．－12 C ．0D ．13[答案] BCD [解析] 由2x 2＋2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －6，得2x 2＋2x ＝2x ＋6，∴x 2＋2x ＝x ＋6，即x 2＋x －6＝0， 解得x ＝－3或x ＝2， ∴集合P ＝{2，－3}． 若m ＝0，则T ＝∅，∴T ⊆P . 若m ≠0，则T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m .由T ⊆P ，得－1m ＝2或－1m ＝－3， ∴m ＝－12或m ＝13.综上，实数m 的取值是13，－12，0. 故选BCD.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)根据两集合的关系求参数的方法(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． [易错警示] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．题型集合的运算角度Ⅰ.交集、并集、补集的综合运算试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020全国卷Ⅲ，理]已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C [解析] 本题考查集合的表示方法，集合的交集运算，集合中元素的个数．依题意A ∩B 的元素是直线x ＋y ＝8上满足x ，y ∈N *且y ≥x 的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．故选C.2．[多选][2021山东济宁一中一模]若集合A ＝{x |sin x ＝1}，B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π4＋k π2，k ∈Z ，则正确的结论有( )A ．A ∪B ＝B B ．∁R B ⊆∁R AC ．A ∩B ＝∅D ．∁R A ⊆∁R B[答案] AB [解析] 本题考查集合的包含关系与补集关系． 由A ＝{x |sin 2x ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π4，k ∈Z， 又B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π4＋k π2，k ∈Z ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 显然集合{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }⊆{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }， 所以A ⊆B ，则A ∪B ＝B 成立，所以选项A 正确； 且∁R B ⊆∁R A 成立，所以选项B 正确，选项D 不正确； A ∩B ＝A ，所以选项C 不正确．故选AB.角度Ⅱ.根据集合的运算求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．[2021湖北名校学术联盟联考]已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．2或3D ．3或1[答案] A [解析] ∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.4．[2021豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B.角度Ⅲ.补集思想在解题中的应用试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0}，B ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}，C ＝{x |x 2＋2ax ＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案] {a |a ≤－2或a ≥－1} [解析] 假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a <2，解得－2<a <－1，∴a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集．故实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)运用补集思想求参数取值范围的步骤第一步：把已知的条件否定，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数的取值范围； 第三步：求反面问题对应的参数的取值集合的补集． 角度Ⅳ.集合的新定义问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．[2021名师原创]对集合A ，B ，记A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，定义A △B ＝(A －B )∪(B －A )为A ，B 的对称差集．若A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，y ，|x |}，且A △B ＝∅，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1y 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 020＋1y 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 021＋1y 2 021＝________.[答案] －2 [解析] 依题意及Venn 图知，图中左侧阴影部分为A －B ，右侧阴影部分为B －A ，两阴影部分合起来就是A △B ，因为A △B ＝∅，所以A ＝B ，根据集合中元素的互异性，且结合集合B 知x ≠0，y ≠0，因为0∈B ，且A ＝B ，所以0∈A ，故只有lg(xy )＝0， 从而xy ＝1，而1＝xy ∈A ，由A ＝B 得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，|x |＝1或⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝1，其中x ＝y ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以x ＝y ＝－1，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1y 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 020＋1y 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 021＋1y 2 021＝－2＋2－2＋…＋2－2＝－2. 7．[2021四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．210[答案] B [解析] 本题考查集合的新定义问题．集合A 的含有3个元素的子集共有C 36＝20个，所以k ＝20.在集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中，最大元素为3的集合有C 22＝1个；最大元素为4的集合有C 23＝3个；最大元素为5的集合有C 24＝6个；最大元素为6的集合有C 25＝10个，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.8．[多选]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案]ABD[解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S ＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝∅，M＝∅，故A选项正确；对于B选项，若S＝∅，则M＝N，故B选项正确；对于C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N⊆M，故C选项错误；对于D选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而(∁U M)∪(∁U N)＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD.图1图2方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)解决集合新定义问题的方法1．紧扣新定义分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解答新定义型集合问题的关键．2．用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解答时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．提醒完成限时跟踪检测(一)第二节充分条件与必要条件，全称量词与存在量词[复习要点] 1.理解充分条件与必要条件的意义．2．理解全称量词与存在量词的含义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一命题的概念概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断______的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类________命题、________命题答案：真假真假知识点二充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的________条件p⇒q且q pp是q的________条件p q且q⇒pp是q的________条件p⇔qp是q的________条件p q且q p 答案：充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要知识点三全称量词和存在量词1．全称量词：所有的，任意一个，任给一个，用符号“________”表示；存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“________”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：___________________________________.3．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：_________________________________________.答案：1.∀∃ 2.∀x∈M，p(x) 3.∃x0∈M，p(x0)知识点四含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)________________∃x0∈M，p(x0)________________答案：∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)链/接/教/材1．[选修2－1·P12·A组T3]设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D2．[选修2－1·P30·A组T6]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_____________________________________________.答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等3．[选修2－1·P27·A组T3改编]命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0答案：B4．[选修2－1·P24·例3改编]命题：“∃x∈R，x2－ax＋1<0”的否定为________．答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥0易/错/问/题1．命题中的易错点：命题的否定与否命题区分不当．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1答案：C2．充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．[多选]设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x<1 B．x>1C．x>－1 D．x>3答案：BC3．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 核/心/素/养逻辑推理——充要条件关系中的核心素养充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．[2021河北保定模拟]已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[－1,2]D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 答案：C 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件， 即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集． 设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝－a 2＋a ＋6>0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <3，－1≤a ≤2，所以－1≤a ≤2.题型充分条件与必要条件角度Ⅰ.充分条件与必要条件的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020北京卷]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 本题考查充分条件、必要条件的判断，以及诱导公式的应用．充分性：若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则α＝2n π＋β，则sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则α＝(2n ＋1)π－β＝2n π＋(π－β)，则sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β，所以充分性成立．必要性：若sin α＝sin β，则α＝2n π＋β或α＝2n π＋π－β(n ∈Z )，即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z )，所以必要性成立．故选C.2．[多选][2021海南华侨中学段测]“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0<a <1B ．0≤a ≤1C ．0<a <12D ．a ≥0[答案] BD [解析] 本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件的判断．关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1.A 选项，“0<a <1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的充要条件；B 选项，“0≤a ≤1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；C 选项，“0<a <12”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件； D 选项，“a ≥0”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对 ∀x ∈R 恒成立”的必要不充分条件．故选BD. 3．[2019北京卷]设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因为模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →|·|AC →|cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．因为以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)充分条件与必要条件的判定方法1．定义法①若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题常转化为其逆否命题来判断．如①命题“綈q⇒綈p”转化为命题“p⇒q”；②命题“綈p⇒綈q”转化为命题“q⇒p”；③命题“綈p⇔綈q”转化为命题“q⇔p”．3．集合法设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A B，则p是q的充分不必要条件；⑤若A B，则p是q的必要不充分条件；⑥若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．角度Ⅱ.探究充分条件、必要条件及充要条件试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[多选]“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是()A．2≤m<3 B．12≤m≤3C．1≤m<3 D．2≤m≤5 2[答案]BC[解析]本题考查必要不充分条件的探求．函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，由已知可得充要条件是1<m <3，由选项判断，命题成立的必要不充分条件可以是12≤m ≤3或1≤m <3.故选BC.角度Ⅲ.由充分条件、必要条件求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[多选]设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，则f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立的必要不充分条件是( )A ．m ∈[0，＋∞)B ．m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C ．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，5D ．m ∈[5，＋∞)[答案] AB [解析] 易知f (x )＝C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝52x 3，故f (x )≤mx ⇔m ≥52x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2， ∴m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2max ＝5.∴m ∈[5，＋∞)满足条件，即所求区间应真包含区间[5，＋∞)．故选AB.6．已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 32≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [8，＋∞) [解析] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m ， 所以綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 由p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 32≤4，解得－3≤x ≤9，所以綈p ：B ＝{x |x >9或x <－3}． 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－3，1＋m ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－3，1＋m >9，即m ≥8或m >8，所以m ≥8.7．[2021湖南浏阳三校联考]设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 由p 得(x －3a )(x －a )<0， 当a <0时，3a <x <a .由q 得(x －3)(x ＋2)≤0或(x ＋4)·(x －2)>0， 则－2≤x ≤3或x <－4或x >2， 则x <－4或x ≥－2.∴綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． 设A ＝(3a ，a )，B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 可知A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2， 即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1．根据充分、必要条件求解参数范围的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． [提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．题型全称量词与存在量词角度Ⅰ.全(特)称命题的否定试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021湖南怀化模拟]命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定形式是( )A ．∀x ∈N *，x 2∉N *且x 2<xB ．∀x ∈N *，x 2∉N *或x 2<xC ．∃x 0∈N *，x 20∉N *且x 20<x 0 D ．∃x 0∈N *，x 20∉N *或x 20<x 0[答案] D [解析] 本题考查存在量词命题的否定．由题意可得命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定为“∃x 0∈N *，x 20∉N *或x 20<x 0”，故选D.2．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2[答案] D [解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知选D.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)全称命题与特称命题的否定1．改写量词确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． 2．否定结论对原命题的结论进行否定． 3．“双量词”命题的否定叙述“对于∀t ∈D 1，∃x 0∈D 2，满足条件p (t ，x 0)”其否定叙述为“∃t 0∈D 1，对于∀x ∈D 2，满足条件綈p (t 0，x )”，如本例2中出现的形式．角度Ⅱ.全(特)称命题的真假判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[答案] D [解析] 对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝log 1212＝log 1313>log 1312成立，即log 1212>log 1312，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上的图象(如图1)可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与对数函数y ＝log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的图象(如图2)可以判断p 4是真命题．综上可知，真命题为p 2，p 4，故选D.4．下列各命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R,1－x 2<0 B ．∀x ∈N ，x 2≥1 C ．∃x 0∈Z ，x 30<1D ．∃x 0∈Q ，x 20＝2[答案] C [解析] 分别对选项中的不等式求解，依次判断是否正确即可．对于选项A,1－x 2<0，即x >1或 x <－1，故A 不正确；对于选项B ，当x ＝0时，x 2＝0<1，故B 不正确；对于选项D ，x ＝±2为无理数，故D 不正确；对于选项C ，当x ＝0时，x 3＝0<1，故C 为真命题，故选C.5．[多选]已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则下列命题正确的是( ) A ．∀k ∈R ，l 与C 相交 B ．∃k ∈R ，l 与C 相切 C ．∀r >0，l 与C 相交D ．∃r >0，l 与C 相切[答案] AC [解析] 直线l ：y ＝k (x －1)经过定点(1,0)， 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为(1,0)，半径为r ， ∴直线l 经过圆C 的圆心，∴∀k ∈R ，l 与C 相交，∀r >0，l 与C 相交．∴AC 正确．解/题/感/悟(小提示，大智慧)由于全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，原命题与其否定的真假相对，因此涉及特称命题为假命题时，常转化为全称命题为真命题后求解．全称命题为真，常转化为恒成立问题，特称命题为真，常转化为有解问题．角度Ⅲ.根据全(特)称命题的真假求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 [解析] f (x )＝x 2－2x ，在x ∈[－1,2]内的值域为[－1,3]，g (x )＝ax ＋2(a >0)在x ∈[－1,2]内的值域为[－a ＋2,2a ＋2]．由条件可知：[－a ＋2,2a ＋2]⊆[－1,3]．从而：⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，∴0<a ≤12. 7．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ [解析] 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意得f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.8．[2021河南安阳调研]已知p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，q ：∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] {a |a ≤－2或a ＝1} [解析] 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2.又x ∈[1,2]，∴x 2∈[1,4]，∴a ≤1，∴若命题p 是真命题，则a ≤1；要使命题q 为真命题，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.∵命题“p 且q ”是真命题，∴p ，q 同时为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a ≥1或a ≤－2，解得a ≤－2或a ＝1，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ＝1}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)根据全(特)称命题真假求参数的取值范围时，常采用分离参数法(1)∀x ∈D ，不等式p (a ，x )≥0恒成立，分离出参数a 后转化为a ≥f (x )[或a ≤f (x )]恒成立，进而转化为a ≥f (x )max [或a ≤f (x )min ]．(2)∃x ∈D ，不等式p (a ，x )≥0有解，求参数，也常分离参数后，化为a ≥f (x )[或a ≤f (x )]有解问题，从而转化为a ≥f (x )min [或a ≤f (x )max ]．(3)形如：“对∀x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”，问题转化为两值域间的包含关系：{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．(4)形如：“对∀x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1)<g (x 2)成立”，问题转化为两函数最值间的关系：f (x )max <g (x )max . 提醒 完成限时跟踪检测(二)。