6月23日-2021年九年级中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练 函数(无答案)

2021年中考数学考前最后冲刺高频考点必刷微专题（函数的图像与性质综合）（总分：100分时间：100分钟）一．选择题（30分）。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项1. 若一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)的图象经过第一、二、四象限，则k，b应满足的条件是( )A.k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜02.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以3 cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA­AC方向运动到点C停止．若△BPQ的面积为y(cm2)，运动时间x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )3. 直线l与直线m的图象关于y轴对称，若直线m的表达式为y＝3x－2，则直线l的表达式为( )A．y＝－3x－2 B．y＝－3x＋2C．y＝3x＋2 D．y＝－13x－24. 若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是( )5. 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上．当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( )A ．(3，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43C ．⎝⎛⎭⎪⎫3，53 D ．(3，2)6. 如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(－3，4)，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x(x <0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( )A ．－12B ．－27C ．－32D ．－367. 如图，直线y ＝x ＋2与双曲线y ＝m －3x 在第二象限内有两个交点，则m 的取值范围在数轴上可表示为( )8.如图，点A ，B 在反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象上，点A 的横坐标是2，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，AC ，BD 相交于点E ，S 矩形ODEC ＝13 k ，则点B 的纵坐标是( )A ．23B ．32C ．23 kD ．32k 9. 已知抛物线y ＝a (x －3)2＋254过点C (0，4)，顶点为M ，与x 轴交于A ，B 两点．如图所示，以AB 为直径作圆，记作⊙D ，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②点C 在⊙D 外；③在抛物线上存在一点E ，能使四边形ADEC 为平行四边形；④直线CM 与⊙D 相切．其中正确的是( )A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 10. 抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n 的图象如图所示， 下列判断：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③5a －c ＝0； ④当x ＜12或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（32分）.11. 若函数y＝m＋2x的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，则函数y＝(1＋m)x＋m2＋3的图象不经过第象限.12. 无论a取何值时，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，那么4m－2n＋3的值是________．13. 如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝23，点D为AC与反比例函数y＝kx的图象的交点，若直线BD将△ABC的面积分成1∶2的两部分，则k的值为________．14.图所示是反比例函数y＝k1x和y＝k2x(k1＜k2)在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若S△AOB＝2，则k2－k1的值为________．15. 如图，点A在双曲线y＝3x(x>0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为________．16.如图，抛物线y＝14x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ.则线段OQ的最大值是 .17. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有 .18. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝33x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝33x上，依次进行下去，若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(3，1)，则点A8的横坐标是________．三．解答题（38分）.19.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋4与y＝－12x＋b的图象都经过A(－2，0)，且分别与y轴交于点B和点C.(1)填空：k＝________，b＝________；(2)设点D在直线y＝－12x＋b上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．20.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(－6，n).(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)连接AO，OB，求△AOB的面积；(3)结合图象直接写出不等式组mx≤kx＋b＜0的解集．21.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行优质西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与售价x(元/千克)的函数关系如图所示．请根据以上的信息，解答下列问题：(1)求出y与x的函数解析式；(2)求当天西瓜售价为8元/千克时的销售额．22.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4).(1)求该二次函数的解析式及顶点坐标；(2)点C(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝－1时，求n的值；②当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．。

备战2021年九年级中考数学考点训练——函数专题：一次函数综合（五）1．如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠BAO＝，AB＝15．（1）求直线AB的解析式；（2）点C在BO上，∠CAO＝∠ABO，点P在OA的延长线上，设P点纵坐标为m，△PAC的面积为S，求出S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在x轴负半轴上，∠DPO＝2∠CPO，CE⊥PD于E，CE 交PO于F，若PF＝OD+4，求P点坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），直线l：y＝+5过点D并与折线O﹣A﹣B交于点E，设△ODE的面积为S，回答下列问题：探究：（1）当直线l过点A时，k的值是；延伸：（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，线段C′B′与线段OA交于点H，线段O′A′与线段CB交于点G，得到菱形DHEG．直接写出菱形DHEG面积的最大值：，此时k＝；拓展：（3）在点D运动的过程中，直接写出S与k的函数关系式；当k＝时，（2）中菱形DHEG的面积与S相等．3．如图1，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）直接写出点C的坐标，并求出直线AC的函数关系式；（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求△AOP的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求出点A、点B的坐标；（2）求△COB的面积；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别于l1、l2交于点M、N，且点M在点N 的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用多少小时？（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．6．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．7．如图，直线l1的表达式为y＝ax+2，且l1与y轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（0，﹣1），两直线交于点C（m，），（1）求直线l1、l2的表达式．（2）点D坐标为．（3）求△BCD的面积．（4）若有过点C的直线CE把△BCD的面积分为2：1两部分，请直接写出符合条件的直线CE的表达式．8．如图①，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，OA＝9，OC＝8．（1）连接OB，则OB将长方形面积分成相等的两部分，则直线OB的函数关系式为．（2）如图②，点D在边OA上，点E在边BC上，且OD＝BE，连接DE，此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．（3）如图③，点D在边OA上，且OD＝1．将∠OAB沿DF折叠，折痕交长方形OABC 的边于点F，点A落在点A′处，若直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，求直线DF的函数关系式．9．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k ＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求出k的值；（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．10．在平面直角坐标系中，OA＝AB＝10，点A（6，8）在正比例函数上，点B的坐标为（12，0），联结AB．（1）求该正比例函数的解析式（2）若点Q在直线AO上运动，且△OBQ的面积为6，求点Q的坐标；（3）若点Q在线段AO上由点A向点O运动，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由B向O运动，点C是线段AB的中点，两点同时运动，同时停止，设运动时间为t 秒，联结PQ，在运动过程中，△OPQ与△BPC是否会全等？如果全等，请求点Q运动的速度，如果不全等，请说明理由？参考答案1．解：（1）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝15，∴tan∠BAO＝＝，∴可以假设OB＝4k，OA＝3k，则AB＝5k，∴5k＝15，∴k＝3，∴OA＝9，OB＝12，∴A（0，9），B（12，0），设直线AB的解析式为y＝mx+n，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+9．（2）如图2中，在x轴的负半轴上取一点T，使得OT＝OC，连接AT．∵AO⊥CT，OT＝OC，∴AT＝AC，∴∠ACT＝∠ATC＝∠CBA+∠BAC，∠CAO＝∠TAO，∵∠CAO＝∠CBA，∴∠CAT＝∠CBA，∵∠BAT＝∠CAT+∠CAB，∴∠BAT＝∠ATB，∴BA＝BT＝15，∴OC＝OT＝15﹣12＝3，∴S＝•PA•OC＝•（m﹣9）×3＝m﹣（m＞3）．（3）如图3中，在AF上截取FJ，使得FJ＝OD，作JT∥x轴交CE的延长线于T．∵TJ∥x轴，∴∠TLF＝90°，∵CE⊥PD，∴∠PEF＝90°，∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠FTJ＝90°，∴∠OPD＝∠JTF，∵∠DOP＝∠FJT＝90°，OD＝JF，∴△DOP≌△FJT（ASA），∴PJ＝OP，∠OPD＝∠ATF，构造正方形PRSO，连接PS，则点T在线段SR时上，作∠SCT的角平分线交PS于I，过点I作IM⊥RS于M，IN⊥OS于N，IW⊥CT于W．∵TJ∥CS，∴∠JTF＝∠TCS，∴∠TCS＝∠OPD，∵∠OPD＝2∠CPO，∠TCS＝2∠NCI，∴∠ICN＝∠OPC，∵四边形PRSO是正方形，∴∠OPS＝∠OSP＝45°，∵∠CPI＝∠OPS+∠CPO＝45°+∠CPO，∠CIP＝∠CSP+∠ICS＝45°+∠ICN，∴∠CPI＝∠CIP，∴CP＝CI，∵∠JNC＝∠COP＝90°，∴△INC≌△COP（AAS），∴IN＝OC＝3，CN＝OP＝RS，∵I是△TSC的内心，∴IM＝IW＝IN＝3，∵∠IMT＝∠IWT＝90°，∠MTI＝∠WTI，TI＝TI，∴△ITM≌△ITW（AAS），∴TM＝TW，设TM＝TW＝n，同法可证CW＝CN，∵PF＝OD+4＝FJ+PJ，∴PJ＝RT＝4，∴OP＝RS＝OS＝n+7，∴CN＝OS＝n+7，SC＝10+n，TC＝2n+7，在Rt△CST中，则有（n+3）2+（10+n）2＝（2n+7）2，解得n＝5或﹣6（舍弃），∴OP＝12，∴P（0，12）．2．解：（1）把A（6，0）代入：y＝+5，得到0＝+5，∴k＝﹣．故答案为：﹣．（2）如图2中，观察图象可知，当点H与原点O重合时，菱形DHEG的面积最大，此时G与O′重合．由题意F（0，5），C（0，2），∴OC＝2，OF＝5，CF＝3，∵EF垂直平分线段OO′，∴FO＝FO′＝5，∵∠FCO′＝90°，∴CO′＝＝4，设OD＝DO′＝x，在Rt△CDO中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，∴CD＝4﹣＝，∴D（，2），菱形DHEG的面积的最大值＝2×＝5，把D（，2）代入y＝+5，得到2＝+5，∴k＝﹣．故答案为：5，﹣．（3）如图3中，当﹣≤k＜0时，连接OD．对于直线y＝+5，令y＝0，得到x＝﹣5k，∴E（﹣5k，0），∴S＝×（﹣5k）×2＝﹣5k．如图4中，当﹣2＜k＜﹣时，E（6，+5），设直线EF交x轴于P．S＝S△DOP﹣S△EOP＝﹣5k﹣×（﹣5k）×（+5）＝k+15，综上所述，S＝．如图5中，当（2）中菱形DHEG的面积与S相等时，OH＝HE＝DH，设CD＝m．∴∠ODE＝90°，∴DF2＝32+m2，OD2＝22+m2，∵DF2+OD2＝OF2，∴32+m2+22+m2＝52，∴m2＝6，∵m＞0，∴m＝，∴D（，2），把D（，2）代入y＝+5，得到2＝+5，∴k＝﹣．故答案为：﹣．3．解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），故答案为：（0，2），（1，0）；（2）如图1中，过点C作CM⊥x轴于M，∴∠AOB＝∠BMC＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBM＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBM，在△AOB和△BMC中，，∴△AOB≌△BMC（AAS），∴BM＝OA＝2，CM＝OB＝1，∴OM＝3，∴点C的坐标为（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意可得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，故答案为：（3，1）；（3）如图2中，∵点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，∴点P在y＝﹣x上，∴，∴∴点P（﹣3，3），过点P作PN⊥y轴于点N，∴PN＝3，∴S△OAP＝•OA•PN＝×2×3＝3．4．解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，∴B（0，3），令y＝0，得到x＝6，∴A（6，0）．∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）．（2）联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2），△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3．（3）存在．设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝．②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝y N＝3﹣×＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝．综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．5．解：（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，∴用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；（2）设线段AB的函数表达式为E1＝k1t+b1，将（0，20），（2，100）代入E1＝k1t+b1，可得，∴线段AB的函数表达式为：E1＝40t+20；设线段AC的函数表达式为E2＝k2t+b2，将（0，20），（6，100）代入E2＝k2t+b2，可得，∴线段AC的函数表达式为：E2＝t+20；（3）根据题意，得×（6﹣2﹣a）＝10a，解得a＝．答：a的值为．6．解：（1）对于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称．∴C（6，0）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图2，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，设M（x，0），则P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．7．解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，∵直线l2经过点A（4，0），B（0，﹣1），∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝x﹣1，∵两直线交于点C（m，），∴﹣＝m﹣1，解得m＝，∴C（，﹣），把C的坐标代入y＝ax+2得，﹣＝a+2，解得a＝﹣2，∴直线l1的表达式为y＝﹣2x+2；（2）把x＝0代入y＝﹣2x+2，可得：y＝2，所以点D的坐标为（0，2），故答案为：（0，2）；（3）∵B（0，﹣1），D（0，2），C（，﹣），∴BD＝3，∴S△BCD＝＝2；（4）当过点C的直线CE把△BCD的面积分为2：1两部分时，则DE：EB＝2：1或DE：EB＝1：2，∵B（0，﹣1），D（0，2），∴当DE：EB＝2：1时，则点E的坐标为（0，0）当DE：EB＝1：2时，则E的坐标为（0，1），设直线CE的解析式为y＝cx或y＝cx+1，把（，﹣）代入y＝cx得﹣＝c，解得c＝﹣把（，﹣）代入y＝cx+1得﹣＝c+1，解得c＝﹣∴直线CE的表达式为：y＝﹣x或y＝﹣x+1．8．解：（1）∵OA＝9，OC＝8，故点B的坐标为（9，8），设直线OB的表达式为y＝kx，将点B的坐标代入上式得：8＝9k，解得k＝，故直线OB的表达式为y＝x，故答案为y＝x；（2）∵四边形OABC为矩形，则OA＝BC，∵OD＝BE，故CE＝AD，S梯形ODEC＝（CE+OD）×OC＝（BE+AD）×OC＝S梯形ABED，故线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分；（3）∵直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，则较小部分的面积为×OA•OC＝＝24．①当直线DA′与BC边相交时，如图1，过点D作DN⊥BC于点N，延长DA′交BC于点H，设AF＝a＝A′F，则BF＝8﹣a，由题意得：S梯形ODHC＝×OC×（OD+HN）＝×8×（1+HC）＝24，解得HC＝5，则HN＝HC﹣CN＝HC﹣OD＝5﹣1＝4，则BH＝BC﹣CH＝9﹣5＝4，在Rt△HND中，DH＝＝＝4，则A′H＝DH﹣OA′＝DH﹣OA ＝4﹣8，在Rt△HFB和Rt△HFA′中，HF2＝BF2+BH2＝A′F2+A′H2，即42+（8﹣a）2＝a2+（4﹣8）2，解得a＝4﹣4，故点F的坐标为（9，4﹣4），由点F、D的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣；②当直线DA′与AB边相交时，如图2，同理可得，点F的坐标为（9，），由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣，综上，直线FD的表达式为y＝x﹣或y＝x﹣．9．解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝；（3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，则直线OF的表达式为y＝x，当y＝2a时，y＝x＝2a，解得x＝，故点E（，2a），由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝×（2a）2＝a2，即×DE•EF＝×（2a﹣m）×（﹣a）＝a2，解得m 1＝3a﹣a，m2＝3a+ a，第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得k＝．则函数的表达式为y＝x＝（3﹣）x或y＝x＝x．10．解：（1）设正比例函数的解析式y＝kx，把A（6，8）代入得：8＝6k．解得：k＝，∴该正比例函数的解析式为y＝x；（2）设点Q（a，a），∵△OBQ的面积为6，∴×12×|a|＝6，∴a＝或﹣，∴点Q（，1）或（﹣，﹣1）；（3）∵AO＝AB＝10，点C是线段AB的中点，∴BC＝5．∴∠QOP＝∠CBP．若△OPQ与△BPC全等，则有OP＝BC＝5，OQ＝BP或OQ＝BC＝5，OP＝PB．①当OP＝BC＝5，OQ＝BP时，∵OP＝5，∴12﹣2t＝5．解得：t＝．∵OP＝5，∴OQ＝BP＝7．∴AQ＝3．∴v＝3．解得；v＝．∴点Q运动的速度为个单位/秒．②当OQ＝BC＝5，OP＝PB＝6时，由OP＝PB＝OB＝6可知：2t＝6，解得：t＝3．∵OQ＝5，∴AQ＝OA﹣OQ＝10﹣5＝5．∴3v＝5．解得：v＝．∴点Q运动的速度为个单位/秒．综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，△OPQ与△BPC全等．。

2021年中考数学复习微专题《一元二次方程根与系数的关系》经典题型靶向专题提升练习一．选择题。

1. 关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为( )A.m=-2B.m=3C.m=3或m=-2D.m=-3或m=22. 若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=03.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2 019的值是( )A.2 023B.2 021C.2 020D.2 0194. 若方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=( )A.-4B.3C.-43D.435.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m+n的值是( )A.-10B.10C.-6D.26. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则( )A.b>0，ac≤0B.b=0C.b<0，ac≥0D.b=0，ac≤0二．填空题。

7.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=________.8.设a,b是方程x2+x-2 019=0的两个实数根,则(a-1)(b-1)的值为.9. 已知x1，x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则b a的值是.10. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1，x2，且x12- x1x2=0，则a的值是.11. 设x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2=________，m=________.12. 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1，x2，且有x 1-x1x2+x2=1-a，则a的值是.三．解答题。

2021年 中考真题必刷题《第三专题：函数》 一、 填空 题1. (2020.年锦州)如图，直线y 1=-x+a 与y 2=bx -4相交于点P ，已知点P 的坐标为（1，-3），则关于x 的不等式-x+a<bx -4的解集是________2.（2020.年丹东）一次函数y=-2x+b,且b>0，则它的图象不经过第____象限。

3.（2020.年丹东）如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，点C 在反比例函数6yx的图象上，点D 在反比例函数ky x的图象上，若sin ∠CAB=cos ∠OCB=45，则k=_____。

4.（2020.年沈阳）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在△OAB 中，AO=AB,AC ⊥OB 于点C,点A 在反比例函数y (k 0)kx的图象上，若OB=4，AC=3则k 的值为______5.（2020.年锦州）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在反比例函数y=(x 0)kx图象上，点B 在y 轴上，点C ，点D 在x 轴上，AD 与y 轴交于点E ，若S △BCE =3，则k 的值为_____6. （2020.年锦州）如图矩形OABC 的顶点A,C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 在第一象限，AB=1。

将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转600得到线段OP ，连接AP ，反比例函数y (k 0)kx的图象经过P ,B 两点，则K 的值为________.7. （2020.年抚顺）如图，在△ABC 中，AB=AC,点A 在反比例函数(k 0,x 0)k yx 的图象上，点B ，C 在X 轴上，OC=15OB ，延长AC 交y轴于点D ，连接BD ，若△BCD 的面积等于1，则k 的值为______8.(2020.年大连)，平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 与D 在函数y=(x 0)kx的图象上，AC ⊥x 轴，垂足为C ，点B 的坐标为（0，2），则k 的值为_______.9.（2020.年大连）如图，矩形ABCD 中，AB=6,AD=8,点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，设DE=x ，BF=y ，当0≤x ≤8时，y 关于x 的函数解析式为________。

2021年九年级中考数学复习专题-【二次函数】高频考点专项复习（一）一．选择题1．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小2．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1 3．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣54．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y 随x的增大而增大，说法正确的是（）A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2 5．对于抛物线y＝ax2+2ax，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根7．已知函数y1＝ax2﹣2ax+c（a＞0），y2＝﹣ax2+2ax+c，当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．48．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜89．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如表：x﹣2 ﹣1 0.5 1.5y 5 0 ﹣3.75 ﹣3.75 下列结论正确的是（）A．abc＜0B．4a+2b+c＞0C．若x＜﹣1或x＞3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝310．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x11．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．如果抛物线y＝x2+（b+3）x+2c的顶点为（b，c），那么该抛物线的顶点坐标是．14．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．15．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x0 1 2 3y7 5 7 13 则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．三．解答题19．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．21．某水果批发商销售每箱进价为40元的水果，市场调研发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，每箱价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）直接写出平均每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）的关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）的关系式；（3）求当每箱水果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？22．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．23．已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出P的坐标；（3）若直线l经过点C、M两点，且与x轴交于点E，判断△AEC的面积与△BCM 的面积是否相等？请说明理由．24．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON 上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON 的长．参考答案一．选择题1．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，∴顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、B、C说法正确；D说法错误．故选：D．2．解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．3．解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，∴平移后解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3+1．即y＝﹣2（x﹣2）2﹣2；故选：B．4．解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误；∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，∴该函数的对称轴为直线x＝，∴0＜＜，∴当x＜时，y随x的增大而增大，故选项B错误；∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；∴若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤，故选项D错误；故选：C．5．解：当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，函数的对称轴为：x＝﹣1，顶点纵坐标为：0﹣＝﹣a＜0，故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，故选：C．6．解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，故选：D．7．解：由题意得：当0≤x≤2时，函数y1在对称轴x＝1时取得最小值，即y1＝a﹣2a+c ＝2①，函数y1在x＝2时，取得最大值，即y1＝4a﹣4a+c＝3②，联立①②并解得：，故y2＝﹣ax2+2ax+c＝﹣x2+2x+3，当0≤x≤2时，y2在对称轴处取得最大值，∴当x＝1时，y＝4，故最大值是4，故选：D．8．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t只有一个交点，∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，当x＝1时，y＝0；当x＝5时，y＝8；当x＝2时，y＝﹣1；∴t的取值范围是0≤t＜8或t＝﹣1．故选：A．9．解：∵x＝0.5，y＝﹣3.75；x＝1.5，y＝﹣3.75，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵设y＝a（x+1）（x﹣3），把（﹣2，5）代入得5＝a×（﹣2+1）（﹣2﹣3），解得a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴abc＞0，所以A选项错误；4a+2b+c＝4﹣4﹣3＝﹣3＜0，所以B选项错误；∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴x＜﹣1或x＞3时，y＞0，所以C选项正确；方程ax2+bx+c＝5表示为x2﹣2x﹣3＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以D选项错误．故选：C．10．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．11．解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，∵图象与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0解得a＜4；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣2，∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．故选：C．12．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，∴b+2a＝5a，而抛物线的开口向下，∴a＜0，∴b+2a＜0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＜﹣，y随x的增大而增大，所以③正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：根据顶点公式：b＝﹣，解得：b＝﹣1，c＝＝，解得：c＝1．所以抛物线的顶点坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）．14．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．15．解：由题意可得：y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．故答案为：﹣3＜x＜0．17．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∵x＝3时，y＝13，∴x＝﹣1时，y＝13，∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，故答案为91．18．解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，且A、B关于直线x＝2对称，过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，∵△ABE为等腰直角三角形，∴AD＝BD＝2，∴AB＝4，DE＝AB＝2，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，∴A（0，﹣4），E（2，﹣6），把A、E的坐标代入y＝a（x﹣2）2+c得：，解得：a＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）19．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．20．解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），∴4+4b+1＝﹣2，解得b＝﹣；（2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；（3）∵点A（m，m）和B（n，n），∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，由，消去y得x2﹣2bx+1＝x，整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，∴或，解得b＞或b＜﹣，由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，∴m、n同号，∵|m|＞2，|n|＜2，∴当m＞n＞0时，m+n＞，∴2b+1＞，解得b＞当0＞m＞n时，m+n＜﹣，∴2b+1＜﹣，解得b＜﹣，综上，b的取值范围为b＞或b＜﹣．21．解：（1）由题意得：y＝90﹣3（x﹣50）＝90﹣3x+150＝﹣3x+240，故答案为：y＝﹣3x+240；（2）由题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600，∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）的关系式为w＝﹣3x2+360x ﹣9600；（3）∵w＝﹣3x2+360x﹣9600，二次项系数﹣3＜0，∴当x＝﹣＝60时，w取得最大值，∴当每箱水果的销售价为60元时，可以获得最大利润．22．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴对称轴为直线x＝2；（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点D（5，3），∴BD＝6，∵点C（2，0），点B（﹣1，3），∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，如图，连接BO，∵BD∥OC，∴∠DBE＝∠BCO，∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，∴∠OBC＝∠BDE，∴△OBC∽△EDB，∴，∴＝，∴BE＝2，设点E（x，﹣x+2），∴2＝，∴x＝1或x＝﹣2（舍去），∴点E（1，1）；（3）当OA为边时，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴OA＝MN＝4，OA∥MN，∴点N横坐标为6或﹣2，∴点N的纵坐标为，∴平行四边形的面积＝4×＝，当OA为对角线，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN与OA互相平分，∴，∴N x＝2，∴点N（2，﹣），∴平行四边形的面积＝4×＝，综上所述：平行四边形的面积为或．23．解：（1）把C（0，﹣3）代入得解析式得C＝﹣3，又因为抛物线过A（﹣1，0），B（3，0），将其代入解析式，得．解得a＝1，b＝﹣2．即抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4）；（2）根据题意知，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，如图，连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，∵PA+PC＝PB+PC＝BC，∴此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；（3）△AEC的面积与△BCM的面积相等．理由如下：∵M（1，﹣4），设直线CM的解析式为y＝px+q，把M（1，﹣4），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线CM的解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝3，则E（﹣3，0），∴S△ACE＝×（﹣1+3）×3＝3，S△BCM＝×（﹣2+4）×3＝3，∴△AEC的面积与△BCM的面积相等．24．解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3），∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，∵PG∥OC，∴＝＝，∴当p＝时，的值有最大值，∴点P（，）；（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM ＝135°，连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，设点H（x，y），∵点A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，∴点F（2，3），CF∥x轴，∴CF∥PM，∴HK⊥CF，HK⊥PM，∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，∴∠QHM＝∠HFE，又∵FH＝HM，∴△FHE≌△HMQ（AAS），∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，∴y﹣2＝x﹣2，∴x＝y，∵FH2＝HE2+EF2，∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，∴y＝2+5，∴QM＝2+5﹣3＝2+2，∴点M的坐标（4+7，2），∵MN⊥x轴，∴ON＝7+4，当点M在点F的左侧，同理可求ON＝3+4，综上所述：线段ON的长为7+4或3+4．。

2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题三一、选择题1．（3分）（2020•呼和浩特）关于二次函数y =14x 2﹣6x +a +27，下列说法错误的是（ ）A ．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a ＝﹣5B ．当x ＝12时，y 有最小值a ﹣9C ．x ＝2对应的函数值比最小值大7D ．当a ＜0时，图象与x 轴有两个不同的交点【解答】解：A 、将二次函数y =14x 2−6x +a +27=14(x −12)2+a −9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：y =14(x −10)2+a +1，若过点（4，5），则5=14(4−10)2+a +1，解得：a ＝﹣5，故选项正确；B 、∵y =14(x −12)2+a −9，开口向上，∴当x ＝12 时，y 有最小值a ﹣9，故选项正确；C 、当x ＝2时，y ＝a +16，最小值为a ﹣9，a +16﹣（a ﹣9）＝25，即x ＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D 、△=(−6)2−4×14×(a +27)=9−a ，当a ＜0时，9﹣a ＞0，即方程14x 2−6x +a +27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C ．2．（3分）（2020•湖北 恩施州）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE ＝1，F 为对角线AC 上一动点，则△BFE 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与点D 关于AC 对称，∴BF ＝DF ，∴△BFE 的周长＝BF +EF +BE ＝DE +BE ，此时△BEF 的周长最小，∵正方形ABCD 的边长为4，∴AD ＝AB ＝4，∠DAB ＝90°，∵点E 在AB 上且BE ＝1，∴AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=5，∴△BFE 的周长＝5+1＝6，故选：B ．3．（4分）（2020•山东 淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180=5π2，故选：C ．二、填空题4．（4分）（2020•山东 淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 210 个．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x ﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x ﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n ﹣x ）个服务驿站的货包共（n ﹣x ）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号 在第x 服务驿站启程时快递货车货包总数1n ﹣1 2（n ﹣1）﹣1+（n ﹣2）＝2（n ﹣2） 32（n ﹣2）﹣2+（n ﹣3）＝3（n ﹣3） 43（n ﹣3）﹣3+（n ﹣4）＝4（n ﹣4） 54（n ﹣4）﹣4+（n ﹣5）＝5（n ﹣5） …… n由上表可得y ＝x （n ﹣x ）．当n ＝29时，y ＝x （29﹣x ）＝﹣x 2+29x ＝﹣（x ﹣14.5）2+210.25，当x ＝14或15时，y 取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．5．（3分）（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MCOB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN ，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．三、解答题6．（10分）（2020•湖北 恩施州）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．（1）求A 、B 两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个，且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A 品牌足球m 个，总费用为W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元，根据题意，得900x =720x−20，解得：x ＝100，经检验x ＝100是原方程的解，x ﹣20＝80，答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元；（2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球，则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)， 解不等式组得：60≤m ≤65，所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65，即该队共有6种购买方案，当m ＝60时，W 最小，m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．7．（12分）（2020•贵州 毕节）（2020•毕节市）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（1）每个甲种书柜的进价是多少元？（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，∴每个甲种书柜的进价为1.2x 元，∴54001.2x =6300x −6，解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原分式方程的解，答：每个甲种书柜的进价为360元．（2）设甲书柜的数量为y 个，∴乙书柜的数量为（60﹣y ）个，由题意可知：60﹣y ≤2y ，∴20≤y ＜60，设购进书柜所需费用为z 元，∴z ＝360y +300（60﹣y ）∴z ＝60y +18000，∴当y ＝20时，z 有最小值，最小值为19200元，答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．8．（12分）（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （2，3），C （2，1），直线y ＝x +m 经过点A ，抛物线y ＝ax 2+bx +1恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．（1）判断点B 是否在直线y ＝x +m 上，并说明理由；（2）求a ，b 的值；（3）平移抛物线y ＝ax 2+bx +1，使其顶点仍在直线y ＝x +m 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【解答】解：（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下：∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2），∴2＝1+m ，解得m ＝1，∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1， 解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上，∴p 24+q =p 2+1，∴q =−p 24+p 2+1，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54， ∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．9．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得： {12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150， ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝﹣5x +150；（2）根据题意得：w ＝（x ﹣10）（﹣5x +150）＝﹣5（x ﹣20）2+500，∵a ＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大，∵10≤x ≤15且x 为整数，∴当x ＝15时，w 有最大值，即：w ＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．10．（12分）（2020•呼和浩特）已知某厂以t 小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t ≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t +5t+1）元．（1）某人将每小时获得的利润设为y 元，发现t ＝1时，y ＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；令y ＝60（﹣3t +5t +1），当t ＝1时，y ＝180，∵当0.1＜t ≤1时，5t 随t 的增大而减小，﹣3t 也随t 的增大而减小， ∴﹣3t +5t 的值随t 的增大而减小，∴y ＝60（﹣3t +5t +1）随t 的增大而减小，∴当t ＝1时，y 取最小，∴他的结论正确．（2）由题意得：60（﹣3t +5t +1）×2＝1800，整理得：﹣3t 2﹣14t +5＝0，解得：t 1=13，t 2＝﹣5（舍），即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷13=24千克．∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；（3）设利润为L ，生产680千克该产品获得的利润为：L ＝680t ×60（﹣3t +5t+1）， 整理得：L ＝40800（﹣3t 2+t +5），∴当t =16时，L 最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．11．（8分）（2020•四川 广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A ，B 两种树苗，第一次购进A 种树苗30棵，B 种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A 种树苗24棵，B 种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A ，B 两种树苗各自的单价均不变）（1）A ，B 两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A ，B 两种树苗共42棵，总费用为W 元，购买A 种树苗t 棵，B 种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍．求W 与t 的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．【解答】解：（1）设A 种树苗每棵的价格x 元，B 种树苗每棵的价格y 元，根据题意得： {30x +15y =135024x +10y =1060， 解得{x =40y =10，答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，∴42﹣t≤2t，解得：t≥14，∵t是正整数，∴t最小值＝14，设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，∵k＞0，∴W随t的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．12．（10分）（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y 轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−√2，0），直线BC的解析式为y=−√23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移√2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−√23（x+√2）②，联立①②并解得：x＝4√2，故点D（4√2，−10 3），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2√23x+2，当x＝3√2时，y BC=−√23x+2＝﹣2，即点H（3√2，﹣2），故BH＝2，设点E（x，−13x2+2√23x+2），则点F（x，−√23x+2），则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD =12×EF ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH =12×（−13x 2+2√23x +2+√23x ﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x 2+3x +4√2， ∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）；（3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83， 点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83；①当AE 是平行四边形的边时， 点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ）， 即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56， 故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156， 故点N 的坐标（−√22，156）；综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题三答案一、 1．【解答】解：A 、将二次函数y =14x 2−6x +a +27=14(x −12)2+a −9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后， 表达式为：y =14(x −10)2+a +1， 若过点（4，5），则5=14(4−10)2+a +1，解得：a ＝﹣5，故选项正确； B 、∵y =14(x −12)2+a −9，开口向上， ∴当x ＝12 时，y 有最小值a ﹣9，故选项正确；C 、当x ＝2时，y ＝a +16，最小值为a ﹣9，a +16﹣（a ﹣9）＝25，即x ＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D 、△=(−6)2−4×14×(a +27)=9−a ，当a ＜0时，9﹣a ＞0，即方程14x 2−6x +a +27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，故选项正确， 故选：C ． 2．【解答】解：如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴点B 与点D 关于AC 对称， ∴BF ＝DF ，∴△BFE 的周长＝BF +EF +BE ＝DE +BE ，此时△BEF 的周长最小， ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴AD ＝AB ＝4，∠DAB ＝90°， ∵点E 在AB 上且BE ＝1， ∴AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=5， ∴△BFE 的周长＝5+1＝6， 故选：B ．3．【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长 =90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2， 故选：C ． 二、填空题 4．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x ﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x ﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n ﹣x ）个服务驿站的货包共（n ﹣x ）个． 根据题意，完成下表：服务驿站序号 在第x 服务驿站启程时快递货车货包总数1 n ﹣12 （n ﹣1）﹣1+（n ﹣2）＝2（n ﹣2） 32（n ﹣2）﹣2+（n ﹣3）＝3（n ﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．5．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MCOB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN ，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值5×（1）＝2， 故答案为2． 三、 6．【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元， 根据题意，得900x=720x−20，解得：x ＝100，经检验x ＝100是原方程的解， x ﹣20＝80，答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元； （2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球， 则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)， 解不等式组得：60≤m ≤65，所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65， 即该队共有6种购买方案， 当m ＝60时，W 最小，m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元． 7．【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元， ∴每个甲种书柜的进价为1.2x 元， ∴54001.2x=6300x−6，解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原分式方程的解， 答：每个甲种书柜的进价为360元． （2）设甲书柜的数量为y 个， ∴乙书柜的数量为（60﹣y ）个， 由题意可知：60﹣y ≤2y ， ∴20≤y ＜60，设购进书柜所需费用为z 元， ∴z ＝360y +300（60﹣y ） ∴z ＝60y +18000， ∴当y ＝20时，z 有最小值，最小值为19200元，答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少． 8．【解答】解：（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下： ∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2）， ∴2＝1+m ，解得m ＝1， ∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3， ∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1，解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上， ∴p 24+q =p2+1，∴q =−p 24+p2+1， ∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54，∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．9．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得： {12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150，∴y 与x 之间的函数关系为y ＝﹣5x +150；（2）根据题意得：w ＝（x ﹣10）（﹣5x +150）＝﹣5（x ﹣20）2+500， ∵a ＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值， ∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大， ∵10≤x ≤15且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值，即：w ＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元． 10．【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 令y ＝60（﹣3t +5t +1），当t ＝1时，y ＝180，∵当0.1＜t ≤1时，5t 随t 的增大而减小，﹣3t 也随t 的增大而减小，∴﹣3t +5t 的值随t 的增大而减小， ∴y ＝60（﹣3t +5t +1）随t 的增大而减小，∴当t ＝1时，y 取最小， ∴他的结论正确．（2）由题意得：60（﹣3t +5t+1）×2＝1800， 整理得：﹣3t 2﹣14t +5＝0， 解得：t 1=13，t 2＝﹣5（舍），即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷13=24千克．∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；（3）设利润为L ，生产680千克该产品获得的利润为：L ＝680t ×60（﹣3t +5t +1）， 整理得：L ＝40800（﹣3t 2+t +5），∴当t =16时，L 最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．11．【解答】解：（1）设A 种树苗每棵的价格x 元，B 种树苗每棵的价格y 元，根据题意得： {30x +15y =135024x +10y =1060， 解得{x =40y =10，答：A 种树苗每棵的价格40元，B 种树苗每棵的价格10元； （2）设A 种树苗的数量为t 棵，则B 种树苗的数量为（42﹣t ）棵， ∵B 种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍， ∴42﹣t ≤2t ， 解得：t ≥14， ∵t 是正整数， ∴t 最小值＝14，设购买树苗总费用为W ＝40t +10（42﹣t ）＝30t +420， ∵k ＞0，∴W 随t 的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．12．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−√23（x+√2）②，联立①②并解得：x＝4√2，故点D（4√2，−10 3），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2√23x+2，当x＝3√2时，y BC=−√23x+2＝﹣2，即点H（3√2，﹣2），故BH＝2，设点E（x，−13x2+2√23x+2），则点F（x，−√23x+2），则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（x D﹣x C）×BH=12×（−13x2+2√23x+2+√23x﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x2+3x+4√2，∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）；（3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83，点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83； ①当AE 是平行四边形的边时， 点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ），即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56， 故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156，故点N 的坐标（−√22，156）； 综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．。

2021年中考数学复习《中考压轴题：二次函数应用题》经典题型靶向提升练习（四）1．某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：产品B的利润y2（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．（1）请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1＝，y2＝；（2）如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B 的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？（3）在（2）问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？2．如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线形，拱高6m，跨度为20m，相邻两立柱间的距离均为5m．（1）建立适当的直角坐标系，求这条抛物线的表达式．（2）求立柱EF的长．（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与桥拱的距离不小于0.3m），行车道最宽可铺设多少米？3．某电器公司推出一款智能空调扇，经市场调研发现，该产品的月销售量y（台）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，已知该产品的成本是每台1500元．（1）求出y关于x的函数解析式．（2）设月销售利润为ω（元），求ω关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少，（3）公司开展了技术创新，以降低成本，预计在今后的销售中，月销售量与销售单价仍存在（1）中的函数关系，若想实现当销售单价为1900元时，月销售利润不低于114000元的销售目标，则该产品的成本单价应不超过多少元？4．在长、宽均为45米的十字路口，现遇到红灯，有10辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每两辆车间隔为2.5米，每辆车长5米，每辆车的速度v（米/秒）关于时间t （秒）的函数（如图1）所示，当绿灯亮起，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间t（秒）的函数解析式为s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如图2所示当前车启动后，后面一辆车在1秒后也启动．（1）求a的值；（2）当t＞4时，求第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式；（3）当t＞4时，求第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距；（第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦）（4）绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．5．【问题实验】如图①，在地面BD上有两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点到地面的距离；（2）如图②，因实际需要，需用一根立柱MN撑起绳子．①若在离AB为4米的位置处用立柱MN撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；②将立柱MN来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为y＝x2﹣mx+3，当抛物线最低点到地面距离为0.5米时，求m的值．【问题抽象】如图③，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣mx +3（x ＜0）的图象记为M 1，函数y ＝﹣mx +3（x ≥0）的图象记为M 2，其中m 是常数，图象M 1、M 2合起来得到的图象记为M ．设M 在﹣3≤x ≤2上的最低点纵坐标为y 0，当﹣6≤y 0≤2时，直接写出m 的取值范围．6．一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米．（1）按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由；（3）假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？7．某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB ＝xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）矩形空地的面积能否为164m2，若能，求x的值；不能，请说明理由．8．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，直接写出此时销售单价的取值范围．9．如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym．（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围；（2）求菜园面积S的最大值；（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为．10．为做好扶贫帮扶工作，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给被帮扶对象，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李师傅按照政策投资销售本市生产的一品牌牛奶．已知这种品牌牛奶的成本价为每箱12元，出厂价为每箱16元，每天销售y（箱）与销售单价x（元）之间满足如图所示函数的关系．（1）求y与x之间的一次函数关系式（2）如果李师傅想要每天获得的利润是216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？（3）设李师傅每天获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案＝kx，1．解：（1）由题意设y1∵点P（2，4）在该函数的图象上，∴4＝2k，∴k＝2，＝2x；∴y1＝ax2，设y2∵点Q（2，3），∴3＝4a，∴a＝，∴y 2＝x 2．故答案为：2x ；x 2；（2）设投资A 产品x 万元，则投资B 产品（9﹣x ）万元，由题意得：，∴3≤x ≤6，∴该工厂能获得的利润为：y 1+y 2＝2x +（9﹣x ）2＝x 2﹣x +＝+，∴当x ＝3时，y 1+y 2取得最大值，最大值是+＝33（万元）．∴投资A 产品3万元，投资B 产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元；（3）由（2）知，3≤x ≤6，y 1+y 2＝+≥18，∴≥18﹣＝，∴≥，∴x ﹣≥或x ﹣≤﹣，∴x ≥9或x ≤，∵3≤x≤6，∴当投资A产品不少于3万元且不超过6万元时，工厂获得的利润不低于18万元．2．解：（1）建立直角坐标系，如图所示：设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，由图可知抛物线过点（﹣10，0）、（10，0）和（0，6），∴解得：．∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+6．（2）根据题意，可知点F在抛物线上，且F的横坐标为5，将x＝5代入抛物线解析式，得y＝﹣×52+6＝4.5．∴EF＝8﹣4.5＝3.5．∴立柱EF的长为3.5m．（3）设行车道宽为2xm，则车顶与桥拱的距离为（﹣x2+6﹣3）m．根据题意可得﹣x2+6﹣3≥0.3解得﹣3≤x≤3，结合实际，可知0＜x≤3，3×2＝6，∴行车道最宽可铺设6米．3．解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（1800，200）、（2000，180）分别代入，可得：，解得：，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣0.1x+380（1500＜x≤3800）；（2）由题意得：ω＝（x﹣1500）y＝（x﹣1500）（﹣0.1x+380）＝﹣0.1x2+530x﹣570000＝﹣0.1（x﹣2650）2+132250，∵﹣0.1＜0，∴当x＝2650时，ω有最大值132250，∴ω关于x的函数解析式为ω＝﹣0.1x2+530x﹣570000（1500＜x≤3800），当销售单价定为2650元时，月销售利润最大，最大月销售利润是132250元；（3）当x＝1900时，y ＝﹣0.1x +380＝﹣0.1×1900+380＝190，设该产品的成本单价为m 元，由题意得：（1900﹣m ）×190≥114000，解得：m ≤1300．∴该产品的成本单价应不超过1300元．4．解：（1）∵s ＝a （t ﹣1）2（1≤t ≤4）过（4，22.5），∴9a ＝22.5，解得：a ＝；（2）由图1可知，当t ＝4时，v ＝15，t ＞4时，s ＝22.5+（t ﹣4）×15＝15t ﹣37.5， ∴当t ＞4时，第一辆车的车头与交通白线的距离s （米）关于时间（秒）的函数解析式为s ＝15t ﹣37.5；（3）当t ＞4时，v 1＝v 2＝15，45﹣22.5＝22.5，∴t ＝4++＝4++＝（秒），∴s 2＝15×（﹣1）﹣37.5﹣（2.5+5）＝27.5（米），∴最大间距是45﹣27.5＝17.5（米）．∴当t ＞4时，第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距是17.5米；（4）间隔为10×5+9×2.5+s ，由题意得：s +9×2.5+15（t ﹣13）≥10×5+9×2.5+s ，解得：t ≥．∴绿灯持续时间至少要设置秒才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．5．解：【问题实验】（1）∵y ＝x 2﹣x +3＝（x ﹣5）2+，∴抛物线的顶点坐标为（5，），∴绳子最低点到地面的距离为米；（2）①由题意可知，立柱左侧的抛物线的顶点坐标为（3，1.8），∴设y ＝a （x ﹣3）2+1.8∵抛物线y ＝x 2﹣x +3与y 轴的交点A 的坐标为（0，3），∴把（0，3）代入，得3＝a （0﹣3）2+1.8，∴，∴，∴当x ＝4时，．∴．②∵抛物线y ＝x 2﹣mx +3对称轴为x ＝m ，∴把（m ，0.5）代入中，得：，∴，（舍）．【问题抽象】由题意知：抛物线M 1、M 2均过定点（0，3），当m ≥0时，M 1的最低点为（0，3），此时，抛物线M 的最低点在M 2上．当x ≥0时，M 2：y ＝﹣mx +3的对称轴是x ＝2m ，①当2m≥2时，即m≥1时，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，＝×22﹣2m+3＝4﹣2m，∴当x＝2时，y最小，此时y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤4﹣2m≤2，解得1≤m≤5；②当0≤2m＜2时，即0≤m＜1时，∵x的范围是0≤x≤2，＝×（2m）2﹣m×2m+3＝﹣m2+3，∴当x＝2m时y最小，此时y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤﹣m2+3≤2，解得：1≤m≤3，∵0≤m＜1∴此种情况的m的值不存在；当m＜0时，M2的最低点为（0，3），此时，抛物线M的最低点在M上，当x＜0时，对1：y＝﹣mx+3，其对称轴是直线x＝m．于M1③当m≤﹣3时，∵当﹣3≤x＜0时，y随x的增大而增大，＝×（﹣3）2+3m+3＝3m+，∴当x＝﹣3时，y最小，此时y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤3m+≤2时，解得：﹣≤m≤﹣，∵m≤﹣3，∴m的范围是：﹣≤m≤﹣3；④当﹣3＜m＜0时，∵x的范围是﹣3≤x＜0，＝m2﹣m2+3＝﹣m2+3，∴当x＝m时，y最小，此时，y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤﹣m2+3，≤2时，解得：﹣3≤m≤﹣，∵﹣3＜m＜0，∴﹣3＜m≤﹣，综上所述，m的取值范围是：﹣≤m≤﹣或1≤m≤5．6．解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（4，4），球出手时的坐标为（0，），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入得：16a+4＝，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+4，∴当x＝8时，y＝﹣（8﹣4）2+4＝≠3，∴小明的这次投篮未能命中篮圈中心；（3）∵出手的角度和力度都不变，∴设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4+m）2+4，将（8，3）代入得：3＝﹣（8﹣4+m）2+4，∴（4+m）2＝9，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣7，∵向前走7米，位于篮圈正下方，故舍去．∴小明应该向前走1米才能命中篮圈中心．7．解：（1）AB＝xm，则BC＝（36﹣2x）m，由题意：y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36，∵0＜BC≤18，即0＜36﹣2x≤18，解得9≤x＜18，即y＝﹣2x2+36（9≤x＜18）；（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，解得x＝10或8．∵9≤x＜18，故x＝10；（3）不能，理由：由题意：﹣2x2+36x＝164，即x2﹣18x+82＝0，即（x﹣9）2＝﹣1＜0，故此方程无解，故矩形空地的面积不能为164m2．8．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故函数有最大值，∴当x＝55时，w有最大值，此时，w＝1250，故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1250元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：40≤x≤70，故销售单价x的取值范围为40≤x≤70．9．解：（1）由题意得：y＝60﹣2x，∵墙长为28m，篱笆长为60m，∴0＜y≤28，∴0＜60﹣2x≤28，∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，∴16≤x＜30，∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；（2）∵y＝60﹣2x，∴S＝xy＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，∵a＝﹣2＜0∴开口向下，∵对称轴为x＝15，∴当16≤x＜30时，S随x增大而减小．∴当x＝16时，S有最大值，最大值为448m2；（3）由题意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，∴S种＝S﹣S路＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，∵种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤x＜30，∴﹣≤16，∴3a+60≤64，∴3a≤4，∴a≤，又∵a＞0，∴0＜a≤．10．解：（1）设y＝kx+b，根据题意，得：，解得，∴y＝﹣3x+90；（2）根据题意，得：（x﹣12）（﹣3x+90）＝216，解得：x1＝24，x2＝18，当x＝24时，y＝﹣3×24+90＝18，此时政府承担的总差价为18×（16﹣12）＝72（元）；当x＝18时，y＝﹣3×18+90＝36，此时政府承担的总差价为36×（16﹣12）＝144（元）；答：政府每天为他承担的总差价最少为72元；（3）w＝（x﹣12）（﹣3x+90）＝﹣3x2+126x﹣1080＝﹣3（x﹣21）2+243，∴当x＝21时，w取得最大值243，答：当销售单价为21元时，每天可获得最大利润，最大利润是243元．。

2021年中考数学专题复习《二次函数的几何应用》高频考点靶向提升练习一．选择题.1. 如图，△ABC 和DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动，在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A . B.C. D.2.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是（ ）A ．abc<0B ．4ac －b 2>0C ．c －a>0D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y≥c3. 设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（ ）A ．若4h =，则0a <B ．若5h =，则0a >C ．若6h =，则0a <D ．若7h =，则0a >4.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1），（3,1），（3，3），（1,3），若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A.391≤≤a B.191≤≤a C.331≤≤a D.131≤≤a5. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交y 轴于点A ，交过点A 且平行于x 轴的直线于另一点B ，交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的右边），对称轴为直线x ＝52，连接AC ，AD ，BC ．若点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，下列结论中错误的是（ ）A ．点B 坐标为（5，4） B ．AB ＝ADC ．a ＝16-D ．OC•OD＝166. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2，抛物线与x 轴的一个交点在点(－4， 0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a －b ＝0;②c≤3a;③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根;④b 2＋2b> 4ac ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ①ac ＜0；②b 2－4ac ＞0；③2a －b ＝0；④a －b ＋c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二．填空题.9. 在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，将抛物线21y x bx =++的图象向上平移n （n 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴没有交点，则n的最小值为 ．O 1yx310. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为(1，2)，则△ABC 的面积可以等于2；③M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是抛物线上两点(x 1＜x 2)，若x 1＋x 2＞2，则y 1＜y 2；④若抛物线经过点(3，－1)，则方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0的两根为－1，3．其中正确结论的序号为______．11.二次函数y=ax 2—3ax+3的图像过点A （6,0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为 ．12. 抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣ 3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是 ．13. 如图所示，已知二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，22-=a .其中正确的有 .14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有 .三．解答题.15. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC =35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．16. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；N 使得∠CMN ＝90°，且△CMNAB 相交于A ，B 两点，其中A PAB 面积的最大值； ()1110b x c a +≠，平移后的抛在平面直角坐标系中是否存E 的坐标；若不18. 如图，在平面直角坐标系中，函数223(0)=-++>的图像交x轴于点A、B，交yy ax ax a a轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK.（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；（3）HE与GK有怎么的位置关系？请说明理由.19. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C (1，0)．(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长;(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问:抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．。

2021中考复习 数学考点专项训练——专题一：一次函数1．函数y ＝1x －2中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠2 D ．x ≠－22．直线y kx =过点(,)A m n ，(34)B m n -+，，则k 的值是（ ）A ．43B ．43-C ．34D ．34- 3．一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（ ）A ．y=-2x+3B ．y=-3x+2C ．y=3x-2D ．y=12x-3 4．下列一次函数，其图象过第一、三、四象限的是（ ）A ．y ＝2x +3B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝﹣2x ﹣3D ．y ＝﹣2x +35.在平面直角坐标系xoy 中，点M(a,1)在一次函数y=-x+3的图象上，则点N(2a-1,a)所在的象限是（ ）A.一象限B. 二象限C. 四象限D.不能确定6．已知函数y= -x+m 与y= mx- 4的图象的交点在x 轴的负半轴上那么m 的值为 （ ）．A ．±2B ．±4C ．2D ． -27.直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足( )A 、k>0, b<0;B 、k>0,b>0;C 、k<0, b<0;D 、k<0, b>0.8．下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x(4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个9.直线y=kx+b 在平面直角坐标系中的位置如图（1）,则k 、b 的值分别为 （ ）A k=-2,b=2B k=2,b=-2C k=2,b=2D k=-2,b=-210.李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟,为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）11．已知一次函数y ＝kx +b 的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜y ＜0B ．﹣4＜y ＜0C ．y ＜﹣2D ．y ＜﹣412．小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S （千米）与离校的时间t （分钟）之的关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．13.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= .14．已知函数8)3(--=k x k y 是正比例函数，则k=________.15.一次函数y =(m +2)x +1若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是___________.16．已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．17．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．18.一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .19.正比例函数y＝mx经过点P（m，9），y随x的增大而减小，则m＝__．20．若一次函数y=kx+b交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）21.如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb= ．22.一次函数y= －4x+12的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是，图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .23．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220x yx y--=⎧⎨-+=⎩的解是________．24．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．25．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则点B3的坐标是，点B n的坐标是．26．如图，直线1:2l y x =+与直线2 :l y kx b =+相交于点(),4P m ，则方程组2y x y kx b=+⎧⎨=+⎩的解是____．27．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3…分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则点B 3的坐标是 ，点B n 的坐标是 ．18.已知雅美服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，•现计划用这两种布料生产M 、N 两种型号的时装共80套．已知做一套M 型号的时装需用A 种布料1.•1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N 型号的时装需用A 种布料0.6米，B 种布料0.•9米，可获利45元．设生产M 型号的时装套数为x ，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y 元．①求y （元）与x （套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②当M 型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？19.A市和B市分别有库存的某联合收割机12台和6台，现决定开往C市10台和D市8台，已知从A市开往C市、D市的油料费分别为每台400元和800元，从B市开往C市和D市的油料费分别为每台300元和500元．（1）设B市运往C市的联合收割机为x台，求运费w关于x的函数关系式．（2）若总运费不超过9000元，问有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费．30．成都和西安两地之间的铁路交通设有高铁列车和普快列车两种车次，某天一辆普快从西安出发匀速．．驶向西安，两车与成都的距离．．驶向成都，同时另一辆高铁从成都出发匀速,S S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如图所示．12（1）西安与成都的距离为______千米，普通快车到达成都所用时间为_______小时；S与t之间的关系式；（2）求高铁从成都到西安的距离2（3）在成都、西安两地之间有一条隧道，高铁经过这条隧道时，两车相距74千米，求西安与这条隧道之间的距离．31.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图.请你根据图象解决下列问题：⑴谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？⑵分别求出甲、乙两人的行驶速度；⑶在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终点)？请你根据图中的情形，分别求出关于行驶时间x与行程y之间的函数关系式,根据图象回答:①两人相遇；②甲在乙的前面；③甲在乙后面.32．已知直线l1的函数解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点A，直线l2经过点B，D，直线l1，l2交于点C．（1）求点A的坐标；（2）求直线l2的解析式；（3）求S△ABC的面积．。

2021年中考数学复习《中考压轴题：二次函数应用题》经典题型靶向提升练习（二）1．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了29m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个矩形养鸡舍，门MN宽1m，如图所示．（1）若要建的矩形养鸡舍面积为100m2，求AB的长；（2）该鸡舍的最大面积可以达到m2．2．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．3．为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？4．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？5．在精准对口扶贫活动中，甲单位将经营状况良好的某种专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的乙户，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙户的一家人每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从甲单位提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件14元；月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的关系如图所示；维持的正常运转每月需工资外的各种开支2000元．（1）写出月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式．（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除一家人最低生活费后的月利润余额最大？（3）乙户依靠该店，最早可望在多少个月内脱贫？6．新冠疫情发生以来，中国蓬勃发展的消费市场、数字经济成为经济发展新的增长点，短视频和直播带货等新零售的快速崛起，让中国互联网经济持续火爆．吕梁某乡镇农贸公司以“吕梁有好礼，金秋消费季”为主题，开展直播带货活动，销售当地的一种特色农产品．公司在直播带货销售期间发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若该农产品的成本价为10元/千克，该农贸公司每天销售该特产的利润为W元，求：当销售单价x为多少元/千克时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？7．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高的距离为8m．点C离路面AA1（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？8．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．9．如图，用一根长是20cm的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边长为xcm，它的面积为ycm2．（1）写出y与x之间的关系式；（2）用表格表示当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值；（3）从上面的表格中，你看出什么规律？（写出一条即可）（4）从表格中可以发现怎样围，得到的长方形的面积最大？最大是多少？10．商店购进一批单价为20元的T恤，经试销发现，每天销售件数y（件）与销售价格x （元/件）满足如图的一次函数关系．（1）求y与x之间函数关系式（不要求写出x取值范围）；（2）在不考虑积压等因素情况下，销售价格定为多少时，每天获得利润W最大？参考答案1．解：（1）设AB ＝xm ，则BC ＝（29+1﹣2x ）m ＝（30﹣x ）m ， 根据题意得：x （30﹣2x ）＝100， 解之得：x 1＝5，x 2＝10，当x ＝5时，BC ＝20＞15 （舍去）， 当x ＝10时，BC ＝10＜15，符合题意； 答：AB 的长为10m ；（2）设AB ＝xm ，鸡舍的面积为Sm 2，∴S ＝x （30﹣2x ）＝﹣2x 2+30x ＝﹣2（x 2﹣15x +﹣）＝﹣2（x ﹣）2+；∴该鸡舍的最大面积可以达到m 2．2．解：（1）如图②中，A （4，0），C （0，4），设抛物线解析式为y ＝ax 2+k ， 由题意，得，解得：，∴抛物线表达式为．（2）2+＝2.2，当x ＝2.2时，y ＝﹣×2.22+4＝2.79， 当y ＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m ）． 答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m ．3．解：（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将（30，100）、（45，70）代入，得解得故函数关系式为y＝﹣2x+160．答：该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣2x+160．（2）由题意，得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，又30≤x≤60，∴当x＝55时，w取得最大值，最大值为1250元．答：销售单价定为55元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．4．解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（Ⅱ）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．5．（1）由图象可知，月销售量Q（百件）与销售单价P（元）是一次函数关系，设Q＝Px+b，则代入（20，10）（30，5），可得，解得：P＝﹣，b＝20，∴月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式为Q＝﹣P+20；（2）设月利润为W，则有W＝100 Q（P﹣14）﹣（2000+3600）＝100（﹣P+20）（x﹣14）﹣（2000+3600）＝﹣50P2+2700P﹣33600，当P＝﹣＝27时，W有最大值；∴当销售单价为27元时，月利润余额最大；（3）设x年内可脱贫，由（2）知当P＝27时，W有最大值为2850，当月利润为2850元时，需要2850×12x≥50000+58000，解得：x≥3，3年＝37月，∴乙户依靠该店，最早可望在38月内脱贫．6．解：（1）设y＝kx+b（k≠0），将（14，640），（30，320）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；（2）由题意得：W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，则对称轴是x＝28，∵﹣20＜0，∴当销售单价x为28元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为6480元．7．解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：64a+8＝6，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．（2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8，得y＝7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．8．解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴当h＝10cm时，s2有最大值400cm2，∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；（2）∵s2＝4h（20﹣h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20；（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2，∴当h＝cm时，s max＝20+m＝20+16，∴m＝16cm，此时h＝＝18cm．∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．9．解：（1）∵长方形的一边长为xcm，周长是20cm，∴长方形的另一边长为（20﹣2x）＝（10﹣x）cm，∴y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，∴y与x之间的关系式为y＝﹣x2+10x；（2）当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值如下表所示：x 1 2 3 4 5 6 789y9 16 21 24 25 24 21 16 9 （3）看出的规律为：面积先增加，再减少；（4）当长和宽相等为正方形时，即当x＝5cm时，面积最大，最大面积是25cm2．10．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（40，300），（55，150）分别代入得：，解得：，∴y与x之间函数关系式为y＝﹣10x+700；（2）由题意得：W＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣10x+700）＝﹣10x2+900x﹣14000＝﹣10（x﹣45）2+6250，∵﹣10＜0，∴当x＝45时，W有最大值6250元．∴在不考虑积压等因素情况下，销售价格定为45元时，每天获得利润W最大．。