(江苏版)2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.2 函数定义域、值域(测)

§2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中档偏上难度．1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．知识拓展1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二 教材改编2．[P45习题T11]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[P43练习T4]函数y ＝f (x )为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (|a |)＝3，则f (－a )＝________. 答案 3解析 若a ≥0，则f (－a )＝f (a )＝f (|a |)＝3； 若a <0，则f (－a )＝f (|a |)＝3. 故对a ∈R ，总有f (－a )＝3.4．[P45习题T8]若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立， ∴(1－a )x ＝(a －1)x 恒成立， ∴1－a ＝0，∴a ＝1. 题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案 13解析 依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)＝3.∴f (－1)＝3.题型一 判断函数的奇偶性典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．综上可知，对于定义域内任意的x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练(1)(2017·江苏淮安中学质检)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是________．答案 2解析函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数；③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．答案③解析易知f(x)|g(x)|定义域为R，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴f(x)|g(x)|为奇函数．题型二函数的周期性及其应用1．(2017·苏州暑期测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________.答案－1解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，因此f(0)＋f(－1)＝－1.2．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案 6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴周期T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339.思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. (2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x ＞0 解析 ∵当x ＞0时，－x ＜0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x ＞0.命题点2 求参数问题典例 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 命题点3 利用函数的性质解不等式典例 (1)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________． 答案 (－2,1)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x ＞0时，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，易知f (x )在R 上是增函数， 由f (2－x 2)＞f (x )，可得2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，∴－2＜x ＜1.(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1,4)解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0， 解得－1<a <4.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.跟踪训练 (1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________． 答案 f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．函数的性质考点分析 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断典例1 (1)已知函数f (x )＝ax 2＋1x ，其中a ∈R .讨论函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．解 方法一 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝－ax 2－1x，得2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0； 若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝ax 2＋1x ，得2x ＝0，这是不可能的．综上所述，当a ＝0时，f (x )为奇函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．方法二 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当a ＝0时，f (x )＝1x ，f (－x )＝－1x ＝－f (x )，此时f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (－1)＝a －1，f (1)＝a ＋1， 则f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)， 所以f (x )是非奇非偶函数． (2)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x ； ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg1－x1＋x；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0，其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为________． 答案 2解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题： ①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数．其中正确命题的序号是________． 答案 ①②③解析 由f (x )＋f (x ＋2)＝0可得 f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是4，①对；由f (4－x )＝f (x )，可得f (2＋x )＝f (2－x )，f (x )的图象关于直线x ＝2对称，②对；f (4－x )＝f (－x )且f (4－x )＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数，③对． 二、函数性质的综合应用典例2 (1)函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋2 018－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,2 019)解析 由已知函数y ＝x ＋2 018－ax 在[1，＋∞)上是增函数，且y ＞0恒成立．∵y ′＝1＋ax 2，令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)，∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2 018－a ＞0，得a ＜2 019. ∴a 的取值范围是[－1,2 019) .(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，32解析 ∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)，又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴2|a －1|＜2＝122，∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.1．(2017·江苏徐州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0为________函数．(填“奇”或“偶”) 答案 奇解析 f (x )的定义域为R (关于原点对称)．(1)当x ＝0时，－x ＝0，f (－x )＝f (0)＝0，f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )； (2)当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )； (3)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由(1)(2)(3)可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．2．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵f (x )的周期为2，∴f (2)＝0.又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－124＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－2. 3．已知R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x －1，则f (f (－1))＝________. 答案 －1解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f ()f (－1)＝f (－1)＝－1.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝⎛⎭⎫－32，0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2 021)＝－f (－1)＝－2.5．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x ； ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝tan x ； ④f (x )＝cos(x ＋1)． 答案 ④解析 由f (x )＝f (2a －x )，∴y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称(a ≠0)，题中四个函数中，存在对称轴的有②④，而②中f (x )＝x 2的对称轴为x ＝0，不满足题意，故填④.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________． 答案 f (0)＜f (－6.5)＜f (－1)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即f (0)＜f (－6.5)＜f (－1)． 7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0， 解得a ＝－32.8．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝____________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即当x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.9．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2解析 依题意知，函数f (x )为奇函数且周期为2， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0) ＝122－1＋21－1＋20－1 ＝ 2.10．(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )． 于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )． 又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].13．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上，y ＝ln(1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知，f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1＜0⇔13＜x ＜1.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0. 不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0.16．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋2)x －4，x ≥2，(a －2)x ＋4，x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2， 故a 的取值范围为[－2,2]．(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0. 设x >0，则－x <0.∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4. ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －4，x >0，0，x ＝0，(a －2)x ＋4，x <0.。

§2.7 函数的图象考情考向分析 函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) ――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．知识拓展1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ ) 题组二 教材改编2．[P88思考]函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于________对称．答案 原点解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 3．[P71习题T12]函数y ＝21－x 的大致图象为________．(填序号)答案 ①解析 y ＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1为减函数，取x ＝0，则y ＝2，故填①. 4．[P35习题T5]f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3.画出f (x )的图象如图，由图象可知函数的单调递增区间为[3，＋∞)． 题组三 易错自纠5．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个单位长度． 答案 左 下 1解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－lg 10＝lg(x ＋3)－1，∴把y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即得y ＝lg x ＋310的图象．6．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象． 答案 f (－x ＋1)解析 图象向右平移1个单位长度，是将f (－x )中的x 变成x －1.7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.题型一 作函数的图象作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质典例 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)； ②f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)； ③f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)； ④f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)． 答案 ③解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点2 解不等式典例 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 命题点3 求参数的取值范围典例 (1)(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，x 3，－1≤x ≤1，若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 在同一个直角坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图象，则函数f (x )max ＝f (1)＝1，设A (1,1)，B (－1,0)，函数y ＝k (x ＋1)过点B ，则由图可知，要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则0＜k ＜k AB ＝12.(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－1，＋∞) 解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故当f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(2)已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是__________．答案 (－1,0)∪(1，2]解析 由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解题前提． 典例 (1)若函数f (x )＝(2－m )x x 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为________．解析 根据图象可知，函数图象过原点， 即f (0)＝0，∴m ≠0.当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2，函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2>0，∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立， ∴(x 2－m )max <0，∴m >1， 综上所述，1<m <2. 答案 (1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)1．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.按照曲线A ，B ，C ，D 的顺序，则依次与之对应的方程的编号为________． 答案 ④②①③解析 按图象逐个分析，注意x ，y 的取值范围． 2．方程x lg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根．答案 2解析 依题意知x ≠0，且x >－2，原式等价于lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出y ＝lg(x＋2)，y ＝1x(x >－2且x ≠0)的图象，如图所示，故方程有2个不同实数根．3．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是________． 答案 x ＝1解析 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.4．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为________． 答案 2解析 在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．5．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝e－x －1解析 与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移一个单位长度，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x＋1)＝e－x －1.6．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为________． 答案 2解析 作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．7. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝______.答案 2解析 ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.8．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________． 答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 9．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________． 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．10．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________． 答案 6解析 作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.12．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是单调减区间；(1,2]，[3，＋∞)是单调增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．13．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k的取值范围为________________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立， 即f (x )max ≤|k －1|.作出f (x )的图象如图实线部分所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.15．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______． 答案 [－2,1)解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1， 得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1. 16．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．。

专题2。

2 函数单调性与值域班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：1．已知函数f (x)＝错误!，则该函数的单调递增区间为________．【答案】[3，＋∞）2．已知函数f（x)是定义在R上的偶函数, 且在区间[0,＋∞)上单调递增．若实数a满足f(loga)＋f错误!≤2f（1），则a的取值范围是________．2【答案】错误!【解析】因为log错误!a＝－log2a，且f(x)是偶函数，所以f（log2a）＋f(log错误!a)＝2f(log2a）＝2f(|log2a｜）≤2f(1)，即f（｜log2a｜)≤f(1)，又函数在[0，＋∞）上单调递增，所以0≤|log2a|≤1,即－1≤log2a≤1，解得错误!≤a≤2。

3．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x）＝（1⊕x）x－(2⊕x），x∈［－2，2］的最大值等于________．【答案】6【解析】由已知得当－2≤x≤1时，f(x）＝x－2,当1<x≤2时，f(x）＝x3－2。

因为f(x）＝x－2，f（x)＝x3－2在定义域内都为增函数．所以f（x）的最大值为f(2)＝23－2＝6。

4．已知函数f(x)＝错误!是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】错误!【解析】因为函数为递减函数，则错误!解得a≤错误!。

5．定义在[－2，2]上的函数f（x）满足(x1－x2）［f（x1)－f(x2）］>0,x1≠x2，且f(a2－a）〉f（2a－2)，则实数a的取值范围为________．【答案】[0，1）6．函数f（x)＝错误!在区间［a，b]上的最大值是1，最小值是错误!，则a＋b＝________。

【答案】6【解析】易知f（x）在[a，b］上为减函数,所以错误!即错误!所以错误!所以a＋b＝6.7．已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间［1，2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．【答案】（－∞，1]∪[2,＋∞)【解析】函数f(x）＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞,a]和［a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x）在区间［1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞,1]∪［2，＋∞）．8．若函数f（x)＝a x(a>0，a≠1)在［－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x）＝（1－4m)错误!在［0，＋∞)上是增函数，则a＝________.【答案】1 4二、解答题9．已知f（x）＝错误!(x≠a)．（1）若a＝－2，试证明f（x）在（－∞，－2）内单调递增;(2)若a〉0且f(x）在(1,＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2〈－2，则f（x1)－f(x2)＝错误!－错误!＝错误!.因为(x1＋2）（x2＋2）>0，x1－x2〈0,所以f（x1）〈f（x2），所以f(x)在（－∞,－2）上单调递增．(2）任设1〈x1〈x2,则f(x1)－f（x2)＝x1x1－a－错误!＝错误!.因为a〉0，x2－x1〉0,所以要使f（x1)－f(x2)〉0,只需(x1－a)(x2－a)〉0在(1，＋∞)上恒成立,所以a≤1。

专题2.2 函数单调性与值域【考纲解读】【直击教材】1．y ＝x 2－6x ＋5的单调减区间为________． 【答案】(－∞，3]【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]． 2．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.【答案】43．函数f (x )是在区间(－2,3)上的增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________． 【答案】(－7，－2)【解析】由－2＜x ＋5＜3，得－7＜x ＜－2，故y ＝f (x ＋5)的递增区间为(－7，－2)．【知识清单】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的单调性 考点一 函数单调性的判断1．讨论函数f (x )＝xx 2－1在x ∈(－1,1)上的单调性．2．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导数法)：f ′(x )＝axx －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－ax －2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上递增． [谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． [即时应用]1．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，122．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 【解析】令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增． 考点三 函数单调性的应用 角度一：求函数的值域或最值 1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【答案】2【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为 ________(用“>”表示)．【答案】b >a >c角度三：解函数不等式3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是________． 【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.所以－1<x <0或0<x <1.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(2,3]【解析】要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． [通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数最值(五种常用方法)(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． [提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． [演练冲关]1．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，1]【解析】因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．【答案】(－2,1)3．函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 【答案】1 52【解析】因为f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域． 【答案】(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]． 【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1，∵1＋x 2≥1， ∴0<21＋x2≤2.∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【解析】(判别式法)由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．4.分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---， 解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2。

江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练：函数1、函数f(x)=log2(x-1)的定义域为{x|x>1}。

2、设函数f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)=x，当x不属于集合D={x|x=n-1或n，n∈N*}时，f(x)=x2.则方程f(x)-log2x=0的解的个数是1.3、已知函数y=3-2x-x3的定义域是R。

4、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(-∞,0]上为单调增函数。

若f(-1)=-2，则满足f(2x-3)≤2的x的取值范围是[-1,0]。

5、若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)=2(x+x2+a)，当x∈[1,2]；f(x)=-6x+18，当x∈(2,3]。

则f(a+1)的值为-4.6、已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当|x|<1时，f(x)=8x。

则f(-19/3)的值为-16.7、已知函数f(x)=(e4x,x≥1；x+1,x<1)。

若函数y=f(x)的最小值是4，则实数a的取值范围为(-∞,1)。

8、已知函数f(x)=|x+3|+1，当x≤8；f(x)=2lnx，当x>a。

若存在实数a<b<c，满足f(a)=f(b)=f(c)，则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值为2ln8+4.9、已知函数f(x)=x2+abx+a+2b。

若f(0)=4，则f(1)的最大值是5.10、若函数f(x)=fx-3，当x>3；f(x)=1-x，当x≤3.则f(5)=-2.11、已知函数f(x)=ex-e-x+1.若f(2x-1)+f(4-x)>2，则实数x 的取值范围为(0,1)。

12、函数y=lg(4-3x-x2)的定义域为{x|x-3}。

13、已知函数$f(x)=x^2-kx+4$，对于任意$x\in[1,3]$，不等式$f(x)\geq$恒成立，则实数$k$的最大值为多少？14、函数$f(x)$满足$f(x+4)=f(x)(x\in R)$，且在区间$(-2,2]$上，$f(x)=\begin{cases} \cos x。

第2讲 函数的定义域与值域1．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.[答案] {x |x ≥4，且x ≠5}2．若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． [解析] 因为x 有意义，所以x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，所以当x ＝0时，y min ＝－5. [答案] [－5，＋∞) 3．函数y ＝1x 2＋2的值域为________． [解析] 因为x 2＋2≥2，所以0<1x 2＋2≤12. 所以0<y ≤12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y ≤124．(2018·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 014]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．[解析] 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 014]可知，0≤t ≤2 014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 014，解得－1≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 013.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 013]． [答案] [－1，1)∪(1，2 013]6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． [解析] y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 即y max ＝14.[答案] 147．(2018·南昌模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]8．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为________．[解析] 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1，1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.[答案] 89．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．[解析] 由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.[答案] 1010．函数y ＝2x －1－13－4x 的值域为________． [解析] 法一：(换元法)设13－4x ＝t ， 则t ≥0，x ＝13－t24，于是y ＝g (t )＝2·13－t24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，11211. (1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1，1]，求f (x )的定义域．[解] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)因为f (2x)的定义域为[－1，1]， 即－1≤x ≤1，所以12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 12．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＝________，b ＝________．[解析] 因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12，所以其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.[答案] 3232．(2018·徐州质检)已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．[解析] 列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．[答案] 93．已知函数f (x )＝log 13(－|x |＋3)的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．[解析] 由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1，0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0，2]，因为定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，所以符合条件的(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5对．[答案] 54．(2018·常州调研)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是________．[解析] 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若函数f (x )＝ （a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解] 由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立． ①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意；②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9. 综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．[解] (1) f (x )＝－x 2＋2x .(2)由f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f (x )max ＝1，所以4n ≤1，即n ≤14＜1.故f (x )在[m ，n ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． [解] (1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3>0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。

专题2.3 函数奇偶性与周期【考纲解读】【直击教材】1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.【答案】－22．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________. 【答案】－13．定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________． 【答案】4【知识清单】1 函数奇偶性的判断2 函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．3.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【考点深度剖析】函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】判断函数f(x)＝1－x2＋x2－1的奇偶性；【答案】f(x)既是奇函数又是偶函数．【解析】解：∵由221010xx⎧-≥⎨-≤⎩得x＝±1∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．【1-2】判断函数f(x)＝4－x2|x＋3|－3的奇偶性；【答案】f(x)是奇函数．【解析】∵由240|3|30xx⎧-≥⎨+-≠⎩得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．【1-3】判断函数f (x )＝22,0,0x x x x x x ⎧+>⎨-<⎩的奇偶性；【答案】f (x )是偶函数．【1-4】判断函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的奇偶性； 【答案】f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为3{}2，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 【思想方法】1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 考点2 函数奇偶性的应用【2-1】已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 【答案】－1.【解析】(1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.【2-2】设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()()0f x f x x+->的解集为________.\【答案】 (－∞，－2)∪(0,2)．【2-3】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝2x，则f (2 014)－f (2 013)的值为_______. 【答案】14【解析】由题可知函数的周期为4，故f (2 014)－f (2 013)＝f (2)－f (1)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－14，f (1)＝－f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (2 014)－f (2 013)＝－14＋12＝14.【2-4】已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.【答案】-1【解析】由已知必有m2－m ＝3＋m ，即m2－2m －3＝0，∴m ＝3，或m ＝－1；当m ＝3时，函数即f(x)＝x －1，而x ∈[－6,6]，∴f(x)在x ＝0处无意义，故舍去；当m ＝－1时，函数即f(x)＝x3，此时x ∈[－2,2]，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1. 【思想方法】①若函数f (x )为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数f (x )为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．考点二函数的周期性设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．[即时应用]1．若f(x)是R上周期为 5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________. 【解析】由f(x)是R上周期为5的奇函数，知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(3)－f(4)＝－1.【答案】－12．已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为________． 【答案】1 345【解析】因为f (x ＋2)＝－1f x，考点三 函数性质的综合应用 角度一：奇偶性的应用1．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x，则当x >0时，f (x )＝________. 【答案】－2－x【解析】x >0时，－x <0，因为x <0时，f (x )＝2x ，所以当x >0时，f (－x )＝2－x.因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x. 角度二：单调性与奇偶性结合2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 角度三：周期性与奇偶性结合3．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－1,4)【解析】因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1，化简得(a －4)(a ＋1)<0， 解得－1<a <4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________．【答案】f (0)<f (－6.5)<f (－1)[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． [演练冲关]1．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 【答案】－2【解析】因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 018)＝________.【答案】0【解析】设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值．【易错试题常警惕】1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．4.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式. 解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1). 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.。

课时达标检测(五） 函数及其表示[练基础小题——强化运算能力]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．解析：①中的值域不对，②中的定义域错误，④不是函数的图象，由函数的定义可知③正确．答案：③2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋1 4．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立， 即2 x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2-52b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，x ＞1，x ≠2，解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．答案：(1,2)∪(2,10]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3.答案：33．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2. 答案：24．(2018·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x ＜a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4＜a ，且c4＝c2＝30.②联立①②解得c ＝60，a ＝16. 答案：16 605．(2018·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 21－x ，x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．解析：f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)． 答案：5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－348．若函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为________．解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1＋3＝－2b a ，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2)．由3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)9．(2018·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是____________．解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋22，x ∈[－2，－1，－2x ＋12，x ∈[－1，0，x 2，x ∈[0，1]，－12x －12，x ∈1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。