初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题14 多边形的边与角_答案

多边形在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。

下面所说的多边形均指凸多边形。

它的重要性质是：几边形的内角和是，由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。

更加本质的是它的推论：任意多边形的外角和等于。

多边形中通过连结对角线中把多边形就分割为若干个三角形，这就把研究多边形的问题转化为研究三角形的问题，这是一种重要的研究思路，请读者在下面的解题过程中认真体会这种思路。

例1已知多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。

思路设多边数的边数为n，然后通过已知条件列出n的方程，再求出n值。

解设这个多边形的边数为n，根据题意得解之得 n=8答：这个多边形的边数为8说明本题通过设边数为n，然后依题意列出n的方程，再求出n值。

这是运用方程的思想解几何题。

这种思想方法今后还会经常用到。

例2一个多边形的每个内角都等于，求这个多边形的边数。

思路1 利用多边形的内角和定理。

解法1 设这个多边形的边数为n，根据题意得解之得n=10思路2 利用多边形的外角和定理。

解法 2 因为这个多边形的每个内角都等于，所以每个外角都等于，而多边形的外角和是，所以这个多边形的边数是.说明当你们学习了解法1和解法2后，你们心里产生了怎样的想法呢？显然，解法1比较传统，解法2则标新立异，这就启发我们解题时选择恰当的出发点是多么重要。

例3一个多边形除了一个内角之外的所有内角和等于，求这个多边形的边数和这个内角的度数。

思路利用多边形的内角和定理。

解设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为X，根据题意有.又解之得又由n是正整数得n=14说明在解题中要重视对题目隐含条件的发掘和利用。

如本题中的x取值范围是。

n是正整数等。

例4 求证：n边形的内角中，最多有3个锐角。

思路1 用反证法.证法1 假设n边形至少有4个锐角，取出4个锐角之后剩下的角记为，，，则有，得那么，，中至少有一个大于，而这与，，中的每一个都小于180矛盾。

人教版 八年级数学 竞赛专题：多边形的边与角（含答案）【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n 的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【例3】凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？M D EF GH能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角． A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．AB CDA BDEF G第3题AB CD24x第4题第7题A B CD E FG第1题ABCD第2题10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．B 级1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．第1题A BCD EF 第2题1A 1B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A -CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ） A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） A ．12B ．12或13C ．14D ．14或157．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．ABCD第4题OABCD第5题9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，求A 4的周长．10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．参考答案例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为1A 2A 3A(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH都是等腰直角三角形.设GH ＝x ，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴67y +=++，∴3y =∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋3＝32.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜x ＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面. ⑵⑶略. B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x ,y ,z ,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x =y =0,z =1,w =10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略. 8.n =324 9.649提示：从A 1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°;()02180n n-⨯ (2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k 块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。

多边形的边和角一、多边形的边二、多边形的角三、多边形的对角线四、镶嵌五、多边形综合一、多边形的边已知内角和求边数1.【易】（2012年海淀二模）若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是___________．【答案】52.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B3.【易】（2012福建泉州中考）n边形的内角和为900︒，则n=__________．【答案】74.【易】（2012南外初二期末）一个多边形的内角和等于1080︒，则这个多边形为_____边形．【答案】八5.【易】（天津市河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（）A．五边形B．七边形C．九边形D．十边形【答案】C已知一个内角求边数6.【易】（2012师达中学初一下期中）一个多边形的每一个内角都是108︒，它是_______边形．【答案】五7.【易】（丰台区2011学年度第二学期期末练习）若一个正多边形的每个内角等于120︒，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C8.【易】（2009年武昌水果湖第二中学初一下期末）一个多边形的每一个内角都是135︒，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】B9.【易】（2010北京22中初一下期中）若一个正多边形的一个内角是140︒，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B10.【易】（北京市西城区2010年抽样测试）若一个正多边形的一个内角是144︒，则这个多边形的边数为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】C11.【易】（东城2011二模）若一个正多边形的一个内角等于150︒，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D12.【易】（2012年铁二中初一下期中）已知正多边形的每一个内角都是160︒，则正多边形的边数为______．【答案】18已知一个外角求边数13.【易】（2010年朝阳二模）若一个多边形的每一个外角都是36︒，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D14.【易】（2011年莆田中考）若一个正多边形的一个外角等于40︒，则这个多边形是_________边形．【答案】九15.【易】（2011年山西省初中毕业生学业考试）一个正多边形，它的每一个外角都等于45︒，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C16.【易】（北京市东城区2010学年度初三年级综合练习）若一个正多边形的一个外角是60︒，则这个正多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】B17. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个正多边形的每一个外角都等于72︒，则这个多边形的边数是_________． 【答案】518. 【易】（2012初二深圳罗湖统考）如图，小明从点O 出发，每前进10米后向右转20︒，再前进10米又向右转20︒，……，这样一直走下去，当小明第一次回到出发点O 时，他一共走了（ ）米A ．190B ．180C ．170D ．160【答案】B19. 【易】（2010初一下期中）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45︒，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了________米．（n 边形的内角和是()2180n -︒）【答案】8已知内外角关系求边数20. 【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（ ） A ．六边形 B ．五边形 C ．四边形 D ．三角形 【答案】D21. 【易】（2009年怀柔一模）若一个多边形的内角和等于它外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B22. 【易】（巴中市2013年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是_______边形.20°20°O23.【易】(娄度市2013年初中毕业学业考试数学试题卷)（西城2011二模）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为_______．【答案】624.【易】（2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】A25.【易】（2013宣武外国语实验学校第二学期期中考试）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是___________【答案】826.【易】一个多边形的内角和等于十边形的外角和的3倍，则这个多边形是________边形【答案】八27.【易】（天津市红桥区2011七年级第二学期期中考试数学）一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是（）边形．4A．六B．八C．十D．十二【答案】C28.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）已知多边形的内角和为其外角和的5倍，则这个多边形的边数为_________．【答案】1229.【易】（武汉二中广雅中学七年级（下）数学期中）已知一个多边形的每一个内角都相等，且一个内角等于它相邻外角的9倍，则这个多边形的边数是（）A．9 B．12 C．18 D．20【答案】D30.【易】（2012陈经纶中学七年级下期中）一个n边形的内角和比它的外角和的2倍还大180︒，则边数n为_________．【答案】731.【易】（2010年北京师大附中期中）某多边形的内角与外角和共1080︒，则这个多边形的边数为_________【答案】632.【易】（沈阳）若一个多边形的所有内角与某一外角的和为1350︒，那么这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形33.【易】（初一数学下期末复习）若一个多边形的内角和与外角和等于1440︒，则这个多边形的边数是__________．【答案】834.【易】（天津市南开区2010学年度第二学期期中质量检测七年级数学试卷）一个多边形的内角和与外角和的比为5:2，则这个多边形是_________【答案】七边形35.【易】（2012育鸿中学初一下期中）一个多边形的内角和与外角和之比是7:2，则这个多边形是_________边形．【答案】九36.【易】（2010年21中初一下期中）n边形的内角和与外角和之比为4:1，则边数为__________ ．【答案】1037.【易】（2010年房山区初三年级统一练习）如果正n边形的一个外角与和它相邻的内角之比是1:3，那么n的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D38.【易】（2012人大附初一上期中）若一个正多边形的每一个外角都是相邻内角的14，则这个正多边形为（）A．正八边形B．正九边形C．正十边形D．正十二边形【答案】C39.【易】（2012首师大附中初一下期中）一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，则这个多边形是____边形．【答案】十二40.【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570︒，那么这个多边形的边数为________ 【答案】541.【中】（耀华嘉诚2008学年第一学期九年级第二次月考）外角大于内角的正多边形是正_______边形，外角等于内角的正多边形是正_____边形，外角等于内角的23的正多边形是正_________边形．【答案】三，四，五42. 【中】（2012年度初一第二学期期末模拟）一个多边形截去一个角后所形成的多边形的内角和是1260︒，那么原多边形的边数不可能是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】D截去一个角，会有这么几个变化：1、内角增加了一个，那么原来边数是：1260180218︒︒+-=÷2、内角减少了一个，那么原来边数是：12601802110︒︒++=÷3、内角不变，那么原来边数是：126018029︒︒+=÷43. 【中】（2012重庆綦江区三江初一下期中）一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520︒，则原来多边形的边数不可能是（ ） A ．15条 B ．16条 C ．17条 D ．18条 【答案】D截去一个角，会有这么几个变化：1、内角增加了一个，那么原来边数是：25201802115︒︒+-=÷2、内角减少了一个，那么原来边数是：25201802117︒︒++=÷3、内角不变，那么原来边数是：2520180216︒︒+=÷44. 【中】（清华附初一下期中）在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角和为2010度，则这个多边形的边数为_____________． 【答案】14或1545. 【中】（南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个多边形少一个内角的度数和为2300︒． ⑴求它的边数；⑵求少的那个内角的度数． 【答案】⑴ 15⑵ 40︒46. 【中】（沈阳）一个多边形恰有5个钝角，则此多边形的边数最多是______________．【答案】8设这个凸多边形的边数为n ，其中5个内角为钝角，()5n -个内角为直角或锐角．()()2180180590n n ∴-⋅︒⋅︒+-⋅︒＜5 n ∴＜9，取8n =.47. 【中】（天津竞赛题）如果一个凸n 边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n 最多为___________ 【答案】7因为凸n 边形恰有4个内角是钝角，所以这4个内角之和大于360︒，且小于720︒，而另外的()4n -个内角是直角或锐角，则这()4n -个内角之和不大于()490n-⨯︒，且大于0︒，于是，有不等式()()︒+︒-⨯︒︒+-⨯︒＜＜，解得48n n36002180720490＜＜，故边数n最多为7n二、多边形的角多边形内外角和48.【易】（百色市2011年初中毕业暨升学考试）五边形的外角和等于（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒【答案】B49.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）四边形的内角和等于__________．【答案】360︒50.【易】（天津市河西区2010学年度第二学期七年级期中阶段性质量调查数学试卷）如图，已知长边形ABCD，若沿图中虚线减去B∠，则剩下的多边形AEFCD的内角和为______．【答案】540︒51.【易】（2012年北京十二中第二学期期中考试试卷）六边形的内角和是__________【答案】720︒52.【易】（2009年北京55中初一下期中）一个八边形的内角和为________︒．【答案】1080n+时，它的内角和增加（）53.【易】（沈阳）当多边形的边数由n增加到1A．180︒B．270︒C．360︒D．120︒【答案】A54.【易】（2009年北京65中初一下期中）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360度B．外角和增加360度C．对角线增加一条D．内角和增加180度【答案】D55.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）下面各角能成为某多边形的内角的和的是（）A．430︒B．4343︒C．4320︒D．4360︒【答案】C56. 【易】（2010中大附中期末考试）九边形中有一个内角等于120︒，则其它内角的和为___________． 【答案】1140︒57. 【易】（2012年中关村中学初一下期中）一个多边形的每一个内角都是144︒，则它的内角和等于（ ） A ．1260︒ B ．1440︒ C ．1620︒ D ．1800︒【答案】B58. 【易】（2012北大附初一下期中）若一个多边形的每个外角都等于30︒，则它的内角和等于_________． 【答案】1800︒59. 【易】（2012年铁二中初一下期中）(北大附中2013学年度第二学期期末考试初一年级数学试卷)一个多边形的每一个外角都等于40︒，那么这个多边形的内角和为（ ） A ．1260︒ B ．900︒ C ．1620︒ D ．360︒ 【答案】A60. 【易】（2010武汉市新洲区初一下期末）已知多边形的每一个外角都是72︒，则该多边形的内角和是（ ） A ．700︒ B ．720︒ C ．540︒ D ．1080︒ 【答案】C∵多边形的每一个外角都是72︒，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：()52180540-︒=︒×．61. 【易】（2012人大附初一上期中）若从一个多边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，则这个多边形的内角和为___________． 【答案】720︒62. 【易】（2010年湖北武汉华一寄宿学校）从n 边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，则这个n 边形的内角和等于（ ） A ．1260︒ B ．1440︒ C ．1620︒ D ．1800︒ 【答案】A63. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形内角和为________度． 【答案】180064.【易】（2013年福建省泉州市初中毕业、升学考试）九边形的外角和为_________．【答案】360︒65.【中】（天津市河西区2011学年度第二学期七年级期中质量调查）动脑筋完成下表：四边形五边形六边形边形1 2 3四边形五边形六边形n边形多边形内外角66.【易】（2012年铁二中初一下期中）正n边形的每一个内角的度数为________，每一个外角的度数为________．【答案】()1802nn-度，360n度.67.【易】（2011年无锡市中考）正五边形的每一个内角都等于________︒．【答案】10868.【易】（2013年晋江市初中学业升学考试）正六边形的每个内角的度数为______．【答案】120︒69.【易】（2011年广东省初中毕业生学业考试）正八边形的每个内角为（）A．120︒B．135︒C．140︒D．144︒【答案】B70.【易】（2011年上海静安区九年级二模）正五边形每个外角的度数是_________．【答案】72︒71.【易】（2012北京中考）正十边形的每个外角等于（）A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒【答案】B72.【中】（武汉二中广雅中学七年级（下）数学月考（四））n>），锐角最多有（）个一个n边形中（4n-A．3 B．4 C．5 D．()3【答案】A73.【中】（耀华嘉诚2009学年第一学期九年级第二次月考）正多边形的一个中心角与该正多边形的一个外角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．互余或互补【答案】C74.【中】（2010年武珞路中学七年级下期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的度数和为2550︒，则这个内角的度数为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【答案】D75.【中】（2010湖北武汉武昌初一下期末）小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（）A．80︒B．85︒C．95︒D．100︒【答案】C76.【中】（2009武汉二中初一下期中）下列命题中：①如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．②一个多边形的内角中最多只能有3个锐角．③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．④有公共端点，有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C77.【中】（2009⑴ 内角和为2005︒，小明为什么说不可能？ ⑵ 小华求的是几边形的内角和？⑶ 错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？ 【答案】⑴ 因为2005︒不是180︒的整数倍，所以小明说不可能；⑵ 依题意有()21802005x -⋅=， 解得2513180x =． 因而多边形的边数是13，该多边形为十三边形．⑶ 13边形的内角和是()1321801980-=×度，则错把外角当内角的那个外角的度数是2005198025-=︒．78. 【难】（天津竞赛题）如果一个凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为___________ 【答案】720︒综合求角度79. 【易】（2009年浙江省宁波市中考数学试题及答案）如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCD 的外角，且123470∠=∠=∠=∠=︒，则AED ∠的度数是（ ）2431E DC BAA ．110︒B ．108︒C ．105︒D ．100︒ 【答案】D80. 【易】（2013年河北省初中毕业生升学文化课数学试卷）如图11，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将BMN △沿MN 翻折，得FMN △，若MF AD ∥，FN DC ∥，则B ∠=_________．【答案】95︒81. 【易】（2013年湖北省咸宁市中考数学试卷）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l BE ∥，则1∠的度数为（ ） A ．30︒ B ．36︒ C ．38︒ D ．45︒【答案】B82. 【易】（北京市西城区（南区）2012学年度第一学期期末）如图，六边形ABCDEP 是轴对称图形，CP 所在的直线是它的对称轴，若150APC BCP ∠+∠=︒，则APE BCD ∠+∠的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B83. 【易】（南京市2013年初中毕业生学业考试数学试题）P BCDEA150︒300︒210︒330︒如图将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到AB C D '''的位置，旋转角090αα︒︒（＜＜）．若1110∠=︒，则α∠=____________︒．【答案】2084. 【易】（乐山市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图7，在四边形ABCD 中，45A =∠°，直线l 与边AB AD 、分别相交于点M N 、，则12+=∠∠_______.【答案】225︒85. 【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）求下图中x 的值．【答案】60︒86. 【易】（天津市红桥区2011七年级第二学期期中考试数学）用一条宽度相同的足够长的线条，打一个结，如图所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE （五个角、五条边相等），其中BAC ∠的度数为__________度．1C′D′B′DCBAED CBAx °150°120°2x°1287. 【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，AD ，则CAD ∠的度数是__________︒．【答案】3688. 【中】（福建宁德中考）图⑴表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图⑵是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图⑵中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中MPN ∠的度数为___________【答案】36︒89. 【中】（2012育鸿中学初一下期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，180A ADE ∠+∠=︒，78B ∠=︒，60C ∠=︒，求EDC ∠的度数．【答案】42︒90. 【中】（2012年铁二中初一下期中）已知：如图，DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．图（2）图（1）91. 【中】（2012年铁二中初一下期中）如图，四边形ABCD 中，40B ∠=︒，沿直线MN 剪去B ∠，则所得五边形AEFCD 中，12∠+∠=___________．【答案】220︒92. 【中】（2011年南京）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l CD ∥，则1∠=________．【答案】36︒93. 【中】（长春中考题）在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α等于_______度【答案】150︒94. 【难】（希望杯竞赛题）如图，延长凸五边形12345A A A A A 的各边相交得到5个角，即1B ∠，2B ∠，3B ∠，4B ∠，5B ∠，它们的和等于________；若延长凸n 边形()5n ≥的各边相交，则得到的n 个角的和等于_________1EC DBAlα【答案】180︒，()4180n -︒三、 多边形对角线95. 【易】（2012北京十一中学七年级下期中）若一个多边形从任一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（ ）边形 A ．四 B ．五 C ．六 D ．七 【答案】C96. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程． 【答案】2097. 【易】（山西省太原市初中数学竞赛试卷）在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（ ）条对角线． A ．29 B ．32 C ．35 D ．38 【答案】C98. 【易】（北京171初一下期中）若多边形每个角都是150︒，则从此多边形的一个顶点出发的对角线条数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C99. 【中】（2011年四川省广安市中考数学试卷）若凸n 边形的内角和为1260︒，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________. 【答案】6100. 【中】（2011年广东省河源市初中毕业生学业水平考试与高中阶段学校招生考试）凸n边形的对角线的条数记作()4n a n ≥，例如：42a =，那么：①5a =______________；②65a a -=___________；③1n n a a +-=_________．（4n ≥，用n 含的代数式表示） 【答案】5；4；1n -B 5B 4B 3B 2B 1A 5A 4A 3A 2A 1101. 【中】（2011深圳中学初二上期末）已知正n 边形共有3n +条对角线，其周长为x ，对角线长度之和为y ，试求yx的值． 【答案】6n =，y x =四、 平面镶嵌102. 【易】（2012教师进修初一下期中）只用下列正多边形，不能进行平面镶嵌的是（ ） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正六边形 D ．正八边形【答案】D103. 【易】（2012初一下检测）某市为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，政府新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖．现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形 【答案】C104. 【易】（广州）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形 【答案】C105. 【易】（2010中大附中期末考试）在海珠广场修建的工程中，计划采用同一种正多边形地板铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形 中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 【答案】B106. 【易】（2012首师大附中初一下期中）商店出售下列形状的地砖：⑴正方形；⑵长方形；⑶正五边形；⑷正六边形；若只选购其中一种地砖镶嵌地面，则可供选择的地砖共有（ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 【答案】C107. 【易】（武汉二中广雅中学2011下学期期末七年级数学）能与正六边形同时进行平面镶嵌的是（ ） A ．正方形 B ．正八边形 C ．正五边形 D ．正三角形 【答案】D108. 【易】（2012陈经纶中学七年级下期中）如果在一个顶点周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6n n【答案】A109. 【易】（2012学年度第二学期河南省实验中学期中试卷）用两个正三角形与下面的（ ）若干个可以形成平面镶嵌 A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十二边形 【答案】B110. 【易】（2012师达中学初一下期中）用正三角形和正六边形镶嵌平面，若每一个顶点处有2个正三角形，则有________个正六边形． 【答案】2111. 【易】（2012北大附初一下期中） 用边长相等的正三角形和正六边形镶嵌平面，若正三角形的个数为m 个，正六边形的个数为n 个，那么m 、n 满足的关系是________． 【答案】26m n +=112. 【易】（2012育鸿中学初一下期中）一幅美丽的图案，在其顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则第四个为（ ） A ．正三边形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形 【答案】B113. 【易】（2012年中关村中学初一下期中）一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别为正十二边形、正四边形，则另一个为（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】D114. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是______________． 【答案】12115. 【易】（清华附中初一下期中）在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④ 【答案】D116. 【易】（武汉二中初一下期中）装修房子铺地板，有下列规格的地板砖供挑选：①正方形②正三角形③正五边形④正六边形，若所有地砖的边长相等，使用其中的一种或两种规格的地砖，选择方案有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 【答案】B117. 【易】（2010武汉洪山去初一下期末）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】A正八边形的每个内角为：1803608135︒-︒=︒÷，两个正八边形在一个顶点处的内角和为：2135270︒=︒×， 那么另一个多边形的内角度数为：36027090︒-︒=︒， ∵正方形的每个内角和为90︒， ∴另一个是正方形．118. 【易】（2010年初二第二学期综合考试）如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011【答案】C119. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案． 【答案】120. 【易】（浙江省2009年初中毕业生学业考试（丽水市卷））下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（ ）【答案】D121. 【中】（天津市初中毕业生学业考试试卷）如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．ABCD【答案】21122. 【中】（2010年河北省中考题）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B123. 【中】（沈阳初二）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直边（>x y ），下列四个说法：①2249+=x y ，②2-=x y ，③2449+=xy ，④9+=x y ．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B124. 【中】（浙江省2009年初中毕业生学业考试（衢州卷））陈老师要为他家的长方形餐厅（如图）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80cm 的通道，另两边各留出宽度不小于60cm 的通道．那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号是_____________（把符合要求的编号都写上）．x yG FHEDCBA【答案】①②③④125.【中】（漳州中考题）我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是拼铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于________度【答案】120五、多边形综合中心角、边心距、外接/内切圆126.【易】（奉贤区调研测试）如果正多边形的中心角等于30︒，那么它的每个内角为_________度；【答案】150127.【易】（上海普陀区初三下质量调研）中心角是40︒的正多边形的边数是_____________【答案】9128.【易】（2013年天津市初中毕业生学业数学考试试卷）正六边形的边心距与边长之比为（）A3B2C．1:2D2CDEBA（第15题）桌面是边长为80cm的正方形桌面是长、宽分别为100cm和64cm的长方形桌面是半径为45cm的圆桌面的中间是边长为60cm的正方形，两头均为半圆【答案】B129.【中】（肇庆市2011年初中毕业生学业考试数学试题））A．6 B．12 C．D．【答案】B130.【中】（2011年上海金山区初三二模）已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C131.【中】（学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）正六边形的边心距为3，则它的半径长为_________，面积为_________．【答案】，132.【中】（莆田市毕业考试）一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为_________．133.【中】（天津市初中毕业生学业考试试卷）边长为的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a CD．12a【答案】C134.【中】（台州市初中学业水平考试）如图，O的内接多边形周长为3，O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）ABaCD【答案】C圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长．圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间．只有C选项满足条件．135.【中】（2009年安徽省芜湖市中考）小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OBAC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算12AC AB+=______________．（不能用三角函数表达式表示）136.【中】（杭州市各类高中招生文化考试）如图，有一个圆O和两个正六边形1T，2T．1T的6个顶点都在圆周上，2T的6条边都和圆O相切（我们称1T，2T分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．⑴设1T，2T的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求:r a及:r b的值；⑵求正六边形1T，2T的面积比12:S S的值．【答案】⑴连接圆心O和1T的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以:1:1r a=；连接圆心O和2T相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以:2r b=；B门。

专题14 多边形的边与角例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为，则（n －2）×180°＝＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH 都是等腰直角三角形.设GH ＝，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴6722y +=++3y =∵MN ＝QP ，∴＝3＋，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋＋332.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为,y ,,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得=y=0,=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.649提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原图形周长的43倍.10.(1)108°;120°; ()02180nn-⨯(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得 n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。

第三节 多边形的边和角一、课标导航。

二、核心纲要1.多边形的有关概念 (1)多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． (2)多边形的内角和外角：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的 延长线组成的角叫做多边形的外角．(3)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． (4)正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．(5)凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫做凸多边形，否则称为凹多边形．注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形．2．多边形的内角和n 边形的内角和公式：.180)2(⋅-n 3．多边形的外角和 n 边形的外角和等于.360注：多边形的外角和与边数无关． 4．多边形的对角线的条数 多边形的对角线的条数为：).3(2)3(≥-n n n 5．镶嵌(1)定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起， 这类问题叫做平面镶嵌．(2)镶嵌的条件：拼在同一顶点的几个多边形的内角和恰好为.360注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形．（其中三角形和四边形是任意的）②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形， 本节重点讲解：一个条件（镶嵌的条件），两个概念（多边形的有关概念和镶嵌），两个定理（多边形的内角和及外角和定理）.三、全能突破基 础 演 练1．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( )． A.四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形2．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加 180”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加 180”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是 360”．你认为正确的是( ) A.甲和丁 B ．乙和丙 C ．丙和丁 D ．以上都不对3．小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正六边形 B ．正三角形、正五边形、正八边形 C ．正六边形、正五边形 D ．正八边形、正三角形4．如图11-3—1所示，在锐角△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，且BD ，CE 交于点F ，若=∠A,52 则BFC ∠的度数是( )．108.A 128.B 138.C 158.D5．如图11-3-2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )．2.πA 3.πB 4.πC π2.D6．如图11-3 -3所示，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a ，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则=α7．如图11-3 -4所示，求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．8．(1)已知，P AOB ,65=∠是平面上的任意一点，过点P 作,,OB PF OA PE ⊥⊥垂足分别为点E 、F 求∠EPF 的度数．(2)探究AOB EPF ∠∠与有什么关系？（直接写出结论）(3)通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？9．在四边形ABCD 中，,90=∠=∠D B(1)如图ll-3-5(a)所示，AE 、CF 分别是DCB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明． (2)如图ll-3-5(b)所示，AE 、CF 分别是HCB GAD ∠∠和的角平分线，直接写出AE 与CF 的位置关系； (3)如图ll-3-5(c)所示，AE 、CF 分别是ECB BAD ∠∠和的角平分线，判断AE 与CF 的位置关系，并证明．能 力 提 升10.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )． A ．O B ．1 C ．3 D ．511.小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图ll-3-6(a)所示）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图ll-3-6(b)所示），他在△ABC 内先画了一个等边△DEF，然后打算剪掉三个角(如四边形AMDN)，可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，么MDN 的度数应为( )．o A 100. 110.B 120.C 130.D12．已知：如图11-3 -7所示，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠I H G F E D C B A13.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，K 边形共有K 条对角线，则nK m )(-=14．(1) 一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为,2750这个多边形的边数为 ，除去的这个内角的度数为(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是则原来多边形的边数是 (3)一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为,500那么这个多边形的边数是15.遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针方向旋转角)1800(<<αα被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则α为16.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC 中，AB 、BC 是两腰，所以.BCA BAC ∠=∠利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点0，它们所夹的锐角为⋅321,,ααα如图11-3 -8所示：=1α =2α =3α当正多边形的边数是他（n>3）时，则=α17.已知：如图11-3 -9所示，在六边形ABCDEF 中，+∠=∠+∠+∠D C B A ,F E ∠+∠猜想可得六边形ABCDEF 中必有两条边是平行的． (1)根据图形写出你的猜想：(2)请证明你在(1)中写出的猜想．18.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角)360(时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据下列图形，填写表中空格，(2)如图11-3 -10所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形． (3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？(4)正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．19.阅读理解：如图11-3 -11所示，在正△ABC 中，M 、N 分别在BC 、AC 边上，若,60=∠AMN 则.21∠=∠小强是 这样论证的：‘．‘△ABC 是正三角形，.6011.603180+∠=∠+∠=∠∴==∠∴B AMC B又.21.602,60,2∠=∠∴+∠=∠∴=∠∠+∠=∠AMC AMN AMN AMC(1)类比应用：如图11-3 -12所示，将阅读理解中的正三角形换成正四边形ABCD ，M 、N 分别为BC 、CD 上的点，类似地：若=∠AMN ，则.21∠=∠请你用小强的证明方法论证． (2)拓展延伸：请你将上述命题推广到一般，如图11-3 -13所示，ABCDEF--是正n 边形． 写出命题：20.如图11-3 -14所示，在四边形ABCD 中，ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线相交于点F ，若;,βα=∠=∠D A(1)如图(a)所示，,180>+βα试用βα,表示 ,F ∠直接写出结论； (2)如图(b)所示，,180 <+βα请在图(b)中画出,F ∠并试用βα,表示 ;F ∠(3)一定存在F ∠吗？如有，写出F ∠的值，如不一定，直接写出βα,满足什么条件时，不存在.F ∠中 考 链 接21．（2012．北京）正十边形的每个外角等于( )．18.A 36.B 45.C 60.D22.（2012．四川德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的,23则这个多边形是23.（2012．河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图ll-3-15(a)所示，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图ll-3-15(b)所示，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．巅 峰 突 破24.凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( )． 4.A 5.B 6.C 7.D25．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为,2002则这个多边形的边数是26.如图11-3 -16所示，六边形ABCDEF 中，=∠=∠=∠=∠=∠E D C B A ,F ∠且,3,11=-=+CD FA BC AB 求DE BC +的值.。

第十四讲多边形的边角与对角线边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识.多边形的内角和定理反映出一定的规律性：（n —2）X 180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360。

是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧.将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成（n_2）个多角形，凸n边形一共可引出n（n—3）对角线.2例题求解【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002° ,则这个多边形的边数是______________ （江苏省竞赛题）思路点拨设除去的角为。

，y°,多边形的边数为n，可建立关于x、y的不定方程；又0° <x<180° , 0°<y<180。

，又可得到关于n的不等式•故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.链接世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他一些几何图形.【例2】在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A . 0B . 1C . 3D . 5（全国初中数学竞赛题）思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨.【例3】如图，已知在厶ABC中，AB= AC AD丄BC于D,且AD=BC=4若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长.（乌鲁木齐市中考题）A思路点拨把动手操作与合情想象相结合，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形.注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化（引元、画图等）把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法（模型）解决问题.本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解.【例4】在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ° ）时，就拼成了一个平面图形.（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.（陕西省中考题）止多边形边数3 \—1 —5 6 ]…- --- -------- - -- - ------ U --- ----- ----- i ----------思路点拨本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性•假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n 个内角的和为360 °，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解.【例5】如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'（1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G BFB'P、COC'N DMD'L EKE'I能拼成一个五边形吗？说明理由.（2）证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位.（江苏省竞赛题）学力训练1 •如图，用硬纸片剪一个长为16cm 宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 __________ cm,周长最小的是cm•（ 选6《荚国中小学数学课程标准》）2. ______________________________________ 如图，/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6=3. _____________________________________________________________________ 如图，ABCD 是凸四边形，AB=2, BC=4 CD=7则线段AD 的取值范围是 ___________________________________ 4•用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： （1） 第4个图案中有白色地面砖 _______ 块； （2） 第n 个图案中有白色地面砖 _______ 块. （江西省中考题）思路点拨（1）5 块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件: ,A'GB' ； B'PC' ； C'ND' ； D'LE' ； E'lA'点分别共线； /1+ / 2+ / 3+ / 4+ / 5=360；（2）增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'0+C'N+D'M+D'L+E'K+E'l ，用圆的周长逼近估算.A . 4笹V 命C . 6 个7第3个（“希望杯”邀请赛试题）6. —个凸多边 形的每一内角都等于 140°,那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 （）A. 9条 B . 8条 C . 7条 D . 6条7 •有一个边长为 4m 的正六边形客厅，用边长为 50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A . 216 块B . 288 块C . 384 块D . 512 块 （“希望杯”邀请赛试题）&已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，△ ACD 是一个含有30°角的直角三角形，现将△ ABC 和△ ACD 拼 成一个凸四边形 ABCD （1））画出四边形ABCD⑵ 求出四边形 ABCD 的对角线BD 的长.（上海市闵行区中考题）9 .如图，四边形 ABCD 中, AB= BC = CD / ABC=90，/ BCD= 150°,求/ BAD 的度数. （北京市竞赛题）10. 如图，在五边形 A 1A 2AAA 中，B 是A 的对边AA 4的中点，连结 A 1B 1,我们称 A 1B 1是这个五边形的一条 中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条11. _______________________ 如图，凸四边形有 _________________________ 个；/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G ___________________（重庆市竞赛题）12. ________________________________________________________________________________________ 如对角线和它平行.（安徽省中考|第勺魁）(% 11题」【第12题》图，延长凸五边形A1AAA4A的各边相交得到5个角，Z B,Z B, Z B3, Z B,Z B s,它们的和等于___________________若延长凸n 边形（n > 5）的各边相交，则得到的 n 个角的和等于 ________ . （“希望杯”邀请赛试题）13•设有一个边长为1的正三角形，记作 A （图a ），将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形， 去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2（图b ），再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（图C ）;再将每条边三 等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4,那么，A 的周长是 _________ ； A 这个多边形的面积是原三角形面积的 __________ 倍. （全国初中数学联赛题）14 .如图，六边形 ABCDEF 中, Z A=Z B=Z C=Z D=Z E=Z F,且 AB+BC=11FA — CD=3 贝U BC+DC __ •（ 北 京市竞赛题）15.在一个n 边形中，除了一个内角外，其余 （n 一 1）个内角的和为2750°，则这个内角的度数为（）A . 130°D . 140°C . 105 °D . 120°16.如图，四边形 ABCD 中,Z BAD=90 , AB=BC=23 , AC=6 AD=3,贝U CD 的长为() A. 4 B . 4、2 C . 3 .2 D . 3注 按题中的方法’不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称一一雪花曲 线或科克曲线（瑞典数学家），这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是 新兴学科“混沌”的重要分支.17.如图，设Z CGE a ，则Z A+Z B+Z C+Z D+Z C+Z F=()l 第 \3.3（江苏省竞赛题）D AH（第20题」ACA. 360° 一 a B . 270° — a C. 180 ° +a D . 2a （山东省竞赛题） 18.平面上有 A 、B, C D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ 中至少有一个三角形的内角不超过 45 °.19. 一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需 n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知 n 及地砖的边长都是整数，求n .（上海市竞赛题）20. 如图，凸八边形 ABCDEFG 的8个内角都相等，边 AB BC CD DE EF 、FG 的长分别为7, 4, 2, 5, 6, 2，求该八边形的周长.21•如图I 是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床 头部分被折到了床面之下（这里的A B C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边 形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来.如果已知四边形 ABCD 中, AB=6, CD=15那么BC AD 取多长时，才能实现上述的折叠变化 ?的大小，并画出这样的凸 n 边形的草图.ABC △ ABD △ ACD △ BDC（淄博市中考题）22.—个凸n 边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸 n 边形各个内角C A S09 14-1ns raM的边角馬对角ti【例IE求解】fl 1 "或脂由逢伽2002*<(B-2>X180*<2Q02' + 360MJW 13«2 3C外幣中範懈的个疲不舗超过3忙•又内划与内掛中盥驚羅多不16亀it 3牛+优3屋过适当携合可以组戍以下网种不同理弑的囚边離*时角拔民井JH为K *72*2和2 帀4巽和”芈+4)正三用需、正四边厢I或正方幣)、正珀边幣、假定在樓合处一冀有*块正”边序地砖.由于正n边曙的所有肉希那相誓禺―初X180■羽°JTW 人・；^ = 2 +不±・S 故<-2|4t rt-2-U2,4 碍用=氛4 販6曲此可S1.只有三ff正参边形的瓷砖■可戲檢豪束傭地、暫正三曲幣、正方腦《1圧六边麻一(3>如1正方砸稍iEA边旌■覃圈如右「设在一牛IB点周屈有抽亍正方带的用f d正人边形的魁，犀幺，叭”扈是方程曲・M'4-n • 135*-360-的畫数11.即2m + 3ii-8的整敢歸.f m" 1 •「这牛方程的BftHRW“一胡・・=杆舍条件的ffiJBR有「种.I 片■-£9fS(D ffl中5块祈番部舟电拼虐一牛水五边彰BF-»AG-^H-E/-£K»DL-=DM-CN^<；O«flP=4ZBF/T « Z AGA'^ZCTX* - Z.BPH'匸£DMIY^^CNC■/£!<『■£ DLD* = “ HA r -ZEf^-90*A(ZA +ZB J+ ZC + Zi/■+*Zf/)+ <Zl + Z2 + Z3±Z4 + Z5) = 5X 180', lffJZA H+ ziB，+ZC/+Z£X+ZE'=(5-2)Xiao*-3X 180" A Zl+Z2 + Z3+Z4 + Z5-360D⑵爹边带増加的腾长等于A'H + A^ + B'F + B'P + ro+rt + DM+^L^^K+n.Xffllfr^ffl中阴童，但草构戍的五边矗的隔长"谨五边弼存在一个tS* i的最大囿•其周KS>MfllK#«.S>Bx>aX3J J4-25. 12>25.【学力训练】1.72.56 2- 360* J.设AD-<r.J|i| 7-(4+2)<j<7 + 4 + 2t得］Vi<13 4. (DlBi(2)4ff+2.窕ii |•边理外拒申3个角为惋盘"即内桶申星多碑3牛下是|ft命+褂M€3+2N5t. D 7. C»>■取儿為的中点Bt'ft為曲人為Si A, 4A* •因力AjBy-BtA^SfU ■釦,・片・又因为四边曲為冷儿& 与四边昭4民儿息的面积相积所以鬼屮幵=S A7入.同理艮内“丹-S^y 所以亀**九=3厶22，所以厶為乩儿与△凡九久的益其边A.A,上的髙相算俪联几凡"A.A”同理可证五边带.4//］儿起的邯条边分閘与一斎対角线平行.11* 7,540" 13+180*T(w —2) * IfiO*—n * 180*+(jf —2) * 180*=(w —4) * 180"IX (D3X (-^- J1=^ I(t)S+3X yS+ax 4 X ^S+31X4X ^S-M. 14向外补幣得正三祐坯IS. A 16. D HD作DE丄于E 17. D1乩假谡从四点中(fiS出的三点构赋的三竟幣的三牛内瀚AH大于45J当九BCD构成&四边形时*可碍各角和大于前丁・舟四<1 )108* *120", “一^小単*«. ttl图，可井和得BD“7冶皿・2拧». 75*11边誓内坤*1为閔3矛盾1肖4BCD 构虚凹四边梅时+可側各坤和大于18^,与三输带内角和为180D Jffi.1・ 设丈小正方序边悅分别为才寸.则"P = J + 76〉*，若(x.y) = J,记j- = dxi ・_/・曲必*5 ,y t )=1*则JIJ -? = (M + 76)^I解榕 (Ji + >i )<j| '->])«* 76j^ 3! X 19 X .20.取向延长AB.CD.EF.GH 暂呼边MNPQ,原人边形内谢祁相爭.英邯一牛內角为n 損阳.毎一个外爲为45".因此MNP Q 为快方形，△HPC\ADQE,AFMG* iANHfl 是等眾直命三肃惑.设GH=r.HA = y ・由MQ-NP,得MF+FE+EQ-M4 +AB+BP,即血+6 + 滲 =%十7 + 2応解得$ = 3亠庄•同理由MN^QP.m 工=3十2 72.^BEA 边带周怏为32+A21.由图2的第一舎图形得MO+CD 4 H AD 2.即W + + W = ①又由图2的第三和第0M 个图旳得AB+AD=CD+BC,即6+AD=lS+BC ②解由①、③联立的方程堀得BC-30,AD=39.tt BC\AD^»j^ 30和39时"才能賓现上述的折畏蜚代.12,因为凸十一边矗是由正三储舷和正方幣擠嵐的，所以.各内轴的大小只可能是60\90M2Q*,l50*.设这4牛角个敷分别为 J j ■十 _y+z+ u*・]13\$、*、越■剧 I,\60x+90>+ 120r+ l50ui= (11 -2) X 180化简冉3z 十2y+w ・l*正豐数解为x = ^=0,s=l.w-10,ii 说明.所求凸十一边形一个角毘120笃它由两牛正三您形 的内角拼琥•其余10个角都是150*,*由一牛iE 三m 矗的内帝和i 片正方形的内角携成.草用略.j-t = 10>! =94* J -324. (8-2) X 1B0'。

多边形和内角和练习题温故而知新：1.多边形多边形的内角和：n边形内角和等于＿(n-2)·180°＿＿多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿多边形的对角线：凸n边形共有＿1(3)2n n-＿条对角线。

2.平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题.说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案，正五边形不能镶嵌平面图案.多边形的对角线例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。

解析:师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1(3)2n n-。

答案：解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式1(3)2n n-得1⨯⨯-=53(533)13252所以1325+53=1378次。

答：该班每周师生之间至少要通1378次电话小结：（1）建立数学模型是解决实际问题的基本方法；（2）n边形的对角线的条数公式是1(3)n n-2多边形的内角和与外角和例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。

解析：多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程.答案：解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得1n-⨯=(2)1803603解得 n=8答：这个多边形的边数是8.小结：利用方程求解是解决此类问题的一般方法。

例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A.60米B.100米C.90米D.120米解析：根据多边形的外角和求出这个多边形的边数。

八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系,其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系,以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具,是解决有关线段、角等问题的一个出发点,证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形,我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形,两个全等三角形并不重合在一起,而是处于各种不同的位置,但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式,有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键,应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明,假命题举出一个反例．【例2】如图,已知BD 、CE 是△ABC 的高,点P 在BD 的延长线上,BP ＝AC ,点Q 在CE 上,CQ ＝AB ．求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠P AQ ＝90°．【例3】如图,已知为AD 为△ABC 的中线,求证：AD ＜1()2AB AC ．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具,关键是设法将AB ,AC ,AD 集中到同一个三角形中,从构造2AD 入手．【例4】如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ,CD 过点E ． 求证：AB ＝AC ＋BD ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明,截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法,即在AB 上截取AF ,使AF ＝AC ,以下只要证明FB ＝BD 即可,于是将问题转化为证明两线段相等．QABC DEOPABCD【例5】如图1,CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA ＝CB ,E ,F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部,且E ,F 在射线CD 上,请解决下面两个问题：①如图2,若∠BCA ＝90°,∠α＝90°,则BE ＿＿＿＿CF ,EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3,若0°＜∠BCA ＜180°,请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论；（2）如图4,若直线CD 经过∠BCA 的外部,∠α＝∠BCA ,请提出EF ,BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）解题思路：对于②,可用①进行逆推,寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．BCDEFαα图1ABCDEF 图2 ABCE F图3D ABCDEF图4A BCDE【例6】如图,在四边形ABCD 中,∠ACB ＝∠BAD ＝105°,∠ABC ＝∠ADC ＝45°． 求证：CD ＝AB ．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°,∠GAC ＝75°,∠DCA ＝60°,∠ACB ＋∠DAC ＝180°,由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．能力训练A 级1．如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝40,AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ,且DC ︰DB ＝3︰5,则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．2．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,分别过B ,C 作经过点A 的直线的垂线BD ,CE ,若BD ＝3cm,CE ＝4cm,则DE ＝＿＿＿＿．3．如图,△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形,CE 和BF 相交于O,则∠EOB ＝＿＿＿＿．4．如图,四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,若AC 平分∠DAB ,且AB ＝AE ,AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝12∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）ABCD 第1题AD E第2题ABCEFO第3题ABCDE第4题AB CD5．如图,点E 在△ABC 外部,点D 在BC 边上,DE 交AC 于F ,若∠1＝∠2＝∠3,AC ＝AE ,则（ ）A ．△ABD ≌△AFDB ．△AFE ≌△ADCC ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE6．如图,△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm,则△DEB 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm7．如图,从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中,任取三个为题设,余下的一个为结论,则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北京市东城区中考试题）8．如图1,在锐角△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,AD 与BE 交于F ,且BF ＝AC ． （1）求证：ED 平分∠FEC ；（2）如图2,若△ABC 中,∠C 为钝角,其他条件不变,（1）中结论是否仍然成立？若不成立,请说明理由；若成立,请给予证明．9．在等腰Rt △AOB 和等腰Rt △DOC 中,∠AOB ＝∠DOC ＝90°,连AD ,M 为AD 中点,连OM ． （1）如图1,请写出OM 与BC 的关系,并说明理由；（2）将图1中的△COD 旋转至图2的位置,其他条件不变,（1）中结论是否成立？请说明理由．第5题ABCDE F 321ABCDE第6题ABCB 'A '第7题A BCDE F图1ABD EFC图210．如图,已知∠1＝∠2,EF ⊥AD 于P ,交BC 延长线于M ．求证：∠M ＝1()2ACB B ∠-∠． （天津市竞赛试题）11．如图,已知△ABC 中,∠A ＝60°,BE ,CD 分别平分∠ABC ,∠ACB ,P 为BE ,CD 的交点． 求证：BD ＋CE ＝BC ．12．如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD ＝∠CBD ＝15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE ＝CA ．ABCDM O图1ABCDM O图2A BC DE PABCDEF MP21（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上,且DC ＝DM ,求证：ME ＝BD ．（日照市中考试题）B 级1．在△ABC 中,高AD 和BE 交于H 点,且BH ＝AC ,则∠ABC ＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,若AB ＝5,AC ＝3,则AD 的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）3．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是角平分线,P 是AD 上任意一点,在AB -AC 与BP -PC 两式中,较大的一个是＿＿＿＿．4．如图,已知AB ∥CD ,AC ∥DB ,AD 与BC 交于O ,AE ⊥BC 于E ,DF ⊥BC 于F ,那么图中全等的三角形有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对5．如图,AD 是△ABC 的中线,E ,F 分别在AB ,AC 上,且DE ⊥DF ,则（ ） A ．BE ＋CF ＞EF B ．BE ＋CF ＝EFC ．BE ＋CF ＜EFD ．BE ＋CF 与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D.互补或相等 （北京市竞赛试题）ABC 第2题DA BC PD第3题A BCD E FO 第4题第5题A BCDEF A7．如图,在△ABE 和△ACD 中,给出以下四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ,AE ⊥BE ．以其中三个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,过C 作CE ⊥AB 于E ,并且AE ＝1()2AB AD ,求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD 中,已知AB ＝a ,AD ＝6,且BC ＝DC ,对角线AC 平分∠BAD ,问a 与b 的大小符合什么条件时,有∠B ＋∠D ＝180°,请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）10．如图,在△ABC 中,∠ABC ＝60°,AD ,CE ：分别平分∠BAC ,∠ACB ．求证：AC ＝AE ＋CD ．（武汉市选拔赛试题）ABC DEM NABCDE11．如图,在Rt △ABC 中,∠B ＝90°,AP ,CQ 分别平分∠BAC ,∠BCA ．AP 交CQ 于I ,连PQ ． 求证：IAC ACPQS S ∆四边形为定值．12．在△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,直线MN 经过点C ,且AD 丄MN 于O ,BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证：DE ＝AD -BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问：DE ,AD ,BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明． （海口市中考试题）ABCDEMN图1CMN图3DEB CMN图2DEQAB CIPA BCDEO13．CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA ＝CB ,E ,F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部,且E ,F 在射线CD 上,请解决下面两个问题：①如图1,若∠BCA ＝90°,∠α＝90°,则BE ＿＿＿＿CF ,EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2,若0°＜∠BCA ＜180°,请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论；（2）如图3,若直线CD 经过∠BCA 的外部,∠α＝∠BCA ,请提出EF ,BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）ABCDEF 图1ABCEF图2DABCDEF图3。

八年级数学竞赛专题训练14 多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出(3)2m m-，(3)2n n-条对角线，由此得m，n方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则A B CD E FG第1题ABCD第2题M A BD EF GH四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ）（全国初中联赛试题）A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角． A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．（“希望杯”邀请赛试题）A BDE F G第3题AB CD24x第4题第7题AB CD11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B 级1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，FA CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）第1题A BCD EF 第2题1A 1B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4，BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ） A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定（重庆市竞赛试题）5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．（上海市竞赛试题）ABCD第4题OABCD第5题9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 4，求A 4的周长．（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．（陕西省中考试题）1A 2A 3A专题14 多边形的边与角例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH都是等腰直角三角形.设GH ＝x ，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴5222672222y ++=++，∴32y =-. ∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋22，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋22＋3－2＝32＋2.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜x ＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面. ⑵⑶略. B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则11 6090120150(112)180x y z wx y z w+++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.649提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°; ()02180nn-⨯(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=即24222nkn n==+--.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。