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福建省泉州市2017届高三3月质量检测文数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()(){}0,1,2,|120A B x x x ==+-<，则A B 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,即错误！未找到引用源。
的元素个数为2,选C.2.已知()()(),11z ai a R z i =∈++是实数，则2z += （ ）A ．B ．3 D ．5【答案】B3.某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x （吨）与生产能耗y （吨）的下列对应数据：根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程ˆˆ 1.5ybx =+.那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（ ）A ．4.625吨B ．4.9375吨C ．5吨D ． 5.25吨【答案】C【解析】因为回归直线方程错误！未找到引用源。
过定点错误！未找到引用源。
,所以当产量为5吨时生产能耗为5吨 ,选C.4.已知直线,a b ，平面,,,a b αβαα⊂⊂，则//,//a b ββ是//αβ的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线错误！未找到引用源。
时错误！未找到引用源。
不一定平行,而错误！未找到引用源。
时平面错误！未找到引用源。
内任意直线都平行平面错误！未找到引用源。
,即错误！未找到引用源。
,因此错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的必要但不充分条件,选B.5.已知实数,x y 满足0201x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则()0z ax y a =+>的最小值为（ ）A ．0B ．a C. 21a + D ．-1【答案】D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴上，则该双曲线的离心率等于（ ）ABC. 2 D ．3【答案】A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为错误！未找到引用源。
福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量检查数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}A x x =>，{ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞ 2.已知复数z 满足(12)5i z +=，则复数z 的虚部等于（ ） A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．-23.在等差数列{}n a 中，已知37,a a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于（ ）A ．-18B ．9C ．18D ．36 4.下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．函数1y x x=+的最小值为2 B ．命题“2,13x R x x ∀∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； C ．“2x >”是“112x <”的充要条件； D ． 1311(0,),()log 32x x x ∀∈<，23x x <5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．12-B ．12C ．23D ．3 6.已知 f （x ）是R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=,当3[,0]2x ∈-时, f （x ）=-2x ,则f （-5）=A ．-2B ．2C ．-4D ．4 7.在区间[0,]π上随机取一个x,则y=s inx 在0到12之间的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．2π8.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．2.4B ．1.8C ．1.6D ．1.29.设不等式组104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．(,1][3,)-∞+∞C ．[2,5]D ．(,2][5,)-∞+∞10.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，223PA AB ==，则该球的表面积为（ ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．36π11.52222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S ∆=，则双曲线C 的实轴长是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．412.已知21()[(3)](2)2x f x x a x b =----，当x<0时，f ≤（x ）0，则a 的取值范围为 A ．2a ≥ B ．2a ≤ C ．2a < D ．02a <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面内有三点(03),(33),(x -1A B C -，，，），且AB AC ∥，则x 为 ．14.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若5AB =，则线段AB 中点的纵坐标为 ．15.已知n S 为数列{}n a 的前n 项的和，对n *N ∈都有1-n n S a =，若2log n n b a =，则．16.若实数,,,a b c d 满足22ln 321a a c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知23()3sin sin cos 2f x x x x =+-. （1）求()f x 的单调增区间；（2）已知ABC ∆中， A 为锐角且3()2f A =，2a =，求ABC ∆周长的最大值. 18（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD=60°，AC BD O ⋂=．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B-ACD ，点M 是棱Bc 的中点，DM=62． (I)求证：OD ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求三棱锥M -ABD 的体积，19．（本小题满分12分）某市为鼓励居民节约用水，将实行阶梯式计量水价，该市每户居民每月用水量划分为三档，水价实行分档递增第一级水量：用水量不超过20吨，水价标准为1.60元／吨；第二级水量：用水量超过20吨但不超过40吨，超出第一级水量的部分，水价标准比第一 级水价提高0 80元／吨；第=三级水量：用水量超过40吨，超出第二级水量的部分，水价标准比第一级水价提高1.60元／吨随机调查了该市500户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下的频率分布表：(I)根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；(Ⅱ)从该市调查的500户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用水量不超过36吨的 概率；(Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平均 水费。
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i +2.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值是（ ）A．45 C ．1 D ． 44.已知向量,a b满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ） A ． 2 B．．5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且对于任意的x R ∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.则 （ ）A ．()()f x f x π=+B ．()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．(]1,1e - C. 11,1e e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．()1,+∞9.机器人AlphaGo （阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“1210,,,a a a ”中“比较大的数t ”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为1210,,,a a a ，其中最大的数记为T ，则T t -= （ ）A ．0B ． 1 C. 2 D ．310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A ．圆弧B ．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11.已知抛物线E 的焦点为F ，准线为l 过F 的直线m 与E 交于,A B 两点，,CD 分别为,A B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则CMD ∆是（ ）A ．等腰三角形且为锐角三角形B ．等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D ．非等腰的直角三角形 12. 数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ． 5050 B ．5100 C.9800 D ．9850第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.某厂在生产甲产品的过程中，产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.65yx a =+．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．14. ()()4121x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a-+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为 ．16.如图，一张4A 纸的长、宽分别为,2a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为25a π三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos sin A C A C B -+= ．（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ． 18.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，且2AT TO =．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若,M N 是射线OC 上不同两点，1OM ON = ，过点M 的直线与E 交于,P Q ，直线QN 与E 交于另一点R ．证明：MPR ∆是等腰三角形． 21. 已知函数()()ln 11,f x mx x x m R =+++∈．（1）若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； （2）当0x ≥时，()xf x e ≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．试卷答案一、选择题1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB二、填空题16. ①②③④ 三、解答题17.解法一:（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+= ，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --= ，化简可得2sin sin sin A C B =，由正弦定理得，2b ac =，故,,a b c 成等比数列. （2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠ ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠， 化简得，2BA BC =，即2c a =.由（1）知，2ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. 【注】利用角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分，在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-===在ABD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD AD AB AD AB A =+-，即(22242428BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法二：（1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==， 在BCD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD CD BC CD BC C =+-，即(22222228BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法三： （1）同解法一.（2）同解法二，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222543cos 2724a cb B ac +-===， 由于2cos 12sin2B B =-，从而可得sin 2B =， 在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==，求得sin C = 在BCD ∆中由正弦定理可得，sin sin CD BD CBD C =∠，即sin sin CD CBD CBD==∠ 【注】若求得sin A 的值后，在BDA ∆中应用正弦定理求得BD 的，请类比得分. 解法四： （1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在BCD ∆中由余弦定理得，(2222214cos 224BD BD BDC BD BD +--∠==⨯⨯，在BDA ∆中由余弦定理得，(2222456cos 248BD BD BDA BDBD+--∠==⨯⨯，因为BDA BDC π∠+∠=，所以有cos cos 0BDC BDA ∠+∠=，故221456048BD BD BD BD--+=，整理得，2384BD =，即BD =18.解：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α. 显然，以下只需证明//BF 平面α； ∵2,//BC AD AD BC =， ∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形， ∴//AB DP .又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴//AF DE .又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.（2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，∴1,BG AG ==则))1,0,BC-.∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()0,4,0,BC BE ==.设平面BCE 的法向量(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4030y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取x =BCE的一个法向量)n =.设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，又∵()0,2,3EF =-，∴sin cos ,n EF θ===，故直线EF 和平面BCE所成角的正弦值为26. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=， 故抽取的学生答卷数为：6600.1=， 又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2， 所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=， 所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3， 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======. ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()()()2222218341201215121012512012161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 20.解法一：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由6AB AC BC ++=+6AB AC +=， 因为故6AB AC BC +=>，所以点A 的轨迹是以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以A 的轨迹方程为()2221399x y x +=≠±. 设()()00,,,A x y T x y ，依题意13OT OA =，所以()()001,,3x y x y =，即0033x x y y =⎧⎨=⎩， 代入A 的轨迹方程222199x y +=得，()()22323199x y +=，所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()()()1122331,0,,0,1,,,,,,M m N m Q x y P x y R x y m ⎛⎫≠⎪⎝⎭. 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为11QM y k x m =-，所以直线QM 为()11y y x m x m=--， 与2221x y +=联立得，()()()22222211111122120mmx x m x x mx x m x +---+--=，由韦达定理2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222222111*********111122121112x x x mx m x x m m x x x x m mx x m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23x x =或10x =， 当23x x =时，PR x ⊥轴， 当10x =时，由()()2112212112m x x x mmx -+=+-，得2221mx m =+，同理3222122111m m x x m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，PR x ⊥轴.因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形. 解法二：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,22B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在x轴上取12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为点T 在线段AO 上，且2AT TO =， 所以12//,//FT AB F T AC ，则()1212116233FT F T AB AC F F +=+=⨯=>= 故T 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点）， 所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()1,0,,0,1,M m N n m n m ⎛⎫≠=⎪⎝⎭，()()()112233,,,,,Q x y P x y R x y ， 由题意得，直线QM 斜率不为0，且()01,2,3i y i ≠=，故设直线QM 的方程为：x t y m =+ ，其中11x mt y -=， 与椭圆方程2221x y +=联立得，()2222210t y mty m +++-=，由韦达定理可知，212212m y y t -=+ ，其中()22221211122112222x m x mx m y t y y --+++=+=，因为()11,Q x y 满足椭圆方程，故有221121x y +=，所以22121122mx m t y -++=. 设直线RN 的方程为：x sy n =+，其中11x ns y -=， 同理222113221121,22nx n n y y s s y -+-=+=+ ， 故()()()()()()222222212222231321122211222m m s m s y y y t n y y y n t t s --+++====---+++ 222121212211211221111212nx n m m x y m m mx m mx my -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=-=--+-+ ， 所以23y y =-，即PR x ⊥轴，因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形.21.解：（1）因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，由()()ln 11f x mx x x '=+++，令()ln 10x x +=，得0x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()0,1.因为()()ln 111x f x m x x ⎛⎫'=+++ ⎪+⎝⎭，所以切线l 的斜率()01k f '==， 故切线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=.（2）令()()()[)ln 11,0,x x g x e f x e x mx x x =-=--+-∈+∞，()()[)1ln 1,0,1x xg x e m x mx x '=--+-∈+∞+. 令()()[)1ln 1,0,1xx h x e m x mx x =--+-∈+∞+， ()()[)()211,0,,01211xh x e m x h m x x ⎡⎤''=-+∈+∞=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. ① 当0m ≤时，因为()0h x '>，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h '=≥=， 因为当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，故()()00g x g ≥=. 从而，当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.② 当102m <≤时， 因为()h x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()0120h x h m ''≥=-≥， 故与①同理，可得当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.③ 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<. 取410x m =->，因为()()()22111111111xh x e m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤'=-+≥+-+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()1111141440164284h m m m '-≥-->⨯-->， 前述说明在()0,41m -内，存在唯一的()00,41x m ∈-，使得()00h x '=，且当[]00,x x ∈时，()0h x '≤，即()h x 在[]00,x 上单调递减，所以当[]00,x x ∈时，()()()00h x g x h '=≤=， 所以()g x 在[]00,x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得()()000g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.说明：③也可以按以下方式解答： 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<，当x →+∞时，()211,011xe m x x ⎡⎤→+∞-+→⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以()h x '→+∞， 故存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<， 下同前述③的解答.22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以12PQ t t =-===因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈， 所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ， 当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM=-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <， 此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 【注：范围正确，不倒扣】 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
福建省泉州市2017届高三3月质量检测（文）数学试卷答 案1～5．CBCBD 6～10．AACBD 11．A 12．C 二、填空题 13．41415．53-16．2三、解答题17．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 由题意，可得4242422,2,242a a a a b b ===⋅， 整理，得4224a a -=，即224d =，解得1d =， 又21a a d =+，故121a a d =-=， 所以()11n a a n d n =+-=.2n n b =.（Ⅰ）()()()21113222121132211122222212n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a a b a a b a a b b b b +++-+-++-=-+-++--=+++==--L L g L故2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-++-≤L ，可化为1222017n +-≤，即122019n +≤，即201922n ≤， 因为()2xf x =在R 上为增函数，且()()2019204820199512,10222f f =<=>， 所以n 的最大值为9.18．解：（1）取BC 的中点G ，连结DG ，交AC 于P ，连结PE .此时P 为所求作的点（如图所示）.下面给出证明：∵2BC AD =，∴BG AD =，又//BC AD ，∴四边形BGDA 是平行四边形， 故//DG AB 即//DP AB .又AB ⊂平面,ABF DP ⊄平面ABF ，∴//DP 平面ABF ；∵//,AF DE AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ，∴//DE 平面ABF . 又∵DP ⊂平面,PDE DE ⊂平面,PDE PD DE D =I ， ∴平面//ABF 平面PDE ，又∵PE ⊂平面PDE ，∴//PE 平面ABF .（2）在等腰梯形ABCD 中，∵60,24ABG BC AD ︒∠===，ACD △的面积为122⨯.∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE 是三棱锥E ACD -的高.设三棱锥A CDE -的高为h .由A CDE E ACD V V --=，可得1133CDE ACD S h S DE ⨯⨯=⨯△△，即1212h ⨯⨯⨯h =故三棱锥A CDE -19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[)70,90的频率为0.005200.1⨯=， 再由[)70,90内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人， 则62460a b +++=，得30a b +=；又由频率分布直方图可知，得分在[]130,150的频率为0.2，即0.260b=， 解得12,18b a ==. 进而求得180.0156020c ==⨯.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[]130,150的频率为0.2，由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n ，则0.23000n=，解得600n =， 所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.（Ⅰ）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，“良好”抽取4人，记为,,,a b c d ，“优秀”抽取2人，记为,A B ， 则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15个，事件A :“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件， 所以所求概率()815P A =. 20．（Ⅰ）抛物线C 的焦点F 的坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为32AO AF ==，所以可求得A 点坐标为4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将A 点坐标代入22x py =得()21362164p p p -=⨯， 解得2p =，故抛物线方程为24x y =.（Ⅰ）依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y kx b =+，并设()()()11220,,,,,1,P x y Q x y M x PQ 的中点()0,1M x .联立方程组24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440x kx b --=，所以12124,4x x k x x b +==-. 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以()212122422y y k x x b k b +=++=+=，即212b k =-. 因为直线l 与C 交于,P Q ，所以216160k b =+>△，得20k b +>， 故()[)2222120,0,1k b k k k +=+->∈. 由y kx b =+，令0x =得212y b k ==-，故212111222OPQ S b x x k ∆=-=-=设212t k =-，则(]1,1t ∈-， 设()()()2222321112122t y k k tt t +=--=⋅=+， 令()2132320223y t t t t ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭得0t =或23t =-，由0y '>得()21,0,13t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U ，由0y '<得2,03t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()3212y t t =+的单调增区间为()21,,0,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减区间为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23t =-时，227y =；当1t =时，2127y =>，故max 1y =， 所以OPQ S △的最大值是2.注：面积也可通过求弦长PQ 和点O 到直线PQ 的距离建立，可参照上述类似给分.21．解：（Ⅰ）()()()1212111x x f x x n e x n x e --'⎡⎤=⎡-+⎤+-++⎣⎦⎣⎦， ()()()21111x x x n x n e x x n e --⎡⎤=+--=+-⎣⎦， 令()0f x '=得121,x x n =-=.当12x x =，即1n =-时，()()2110x f x x e -'=+≥，故()f x 在R 上单调递增，当12x x >，即1n <-时，令()0f x '<，得1n x <<-，所以()f x 在(),1n -上单调递减； 同理，可得()f x 在()(),,1,n -∞-+∞上单调递增.当12x x <，即1n >-时，令()0f x '<，得1x n -<<，所以()f x 在()1,n -上单调递减； 同理，可得()f x 在()(),1,,n -∞+∞上单调递增.综上可知，当1n <-时，()f x 在(),1n -上单调递减，在()(),,1,n -∞-+∞上单调递增， 当1n =-时，()f x 在R 上单调递增，当1n >-时，()f x 在()1,n -上单调递减，在()(),1,,n -∞-+∞上单调递增.（Ⅰ）由（Ⅰ）知，当()f x 在R 上单调递增时，1n =-，故()()121x f x g x e x -==+.不妨设21x x >，则要证()()()()2121212g x g x g x g x x x +->-，只需证()()()()()()2121212g x g x x x g x g x ⎡+⎤->-⎣⎦， 即证()()()21211111212x x x x e e x x e e ----+->-，只需证()()()222121121x x x x e x x e --+->-，令21t x x =-，则0t >，不等式()()()222121121x x x x e x x e --+->-可化为()()121t t e t e +>-. 下面证明：对任意()()0,121t t t e t e >+>-，令()()()()1210x x h x e x e x =+--≥，即()()()220x h x x e x x =-++≥， 则()()11x h x x e '=-+，令()()()()110x x h x x e x ϕ'==-+≥，则()0x x xe ϕ'=≥，所以()x ϕ在[)0,+∞上单调递增， 又()00ϕ=，所以当0x ≥时，()()00x ϕϕ≥=即()0h x '≥， 故()h x 在[)0,+∞上单调递增, 又()00h =，所以当0t >时，()()00h t h >=， 故对任意0t >，()()121t t e t e +>-，所以对任意12,x x R ∈且12x x ≠，()()()()2121212g x g x g x g x x x +->-.22．解一：（Ⅰ）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得，2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（Ⅰ）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ=++>△，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-， 所以12PQ t t =-==因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈，所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅰ）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ，当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM =-+=，PQ ==所以PQ 的最小值为解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅰ）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈，所以当34ϕπ=时，d .又PQ ==， 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23．解（Ⅰ）：()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21}x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<. ③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <，此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图.因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
泉州市2017届普通中学高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列所给的函数中，定义域为),0[+∞的是A ．x y 1=B ．21x y = C ．x y -=3D ．x y lg =2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是3．若集合}1{<=x x A ，}02{2<-=x x x B ，则=B AA ．)2,1(-B ．)1,0(C ． )2,0(D ．)2,1(4．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+等于 A ．3- B ．31- C ．31D ．35．若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是A ．2-a b 与2-+a bB ．35-a b 与610-a bC ．2-a b 与57+a bD ．23-a b 与1324-a b 6．已知函数313,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则方程()1f x =-解的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．37．“1a =”是“直线(2)30ax a y +-+=与20x ay --=垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的结果为21，则判断框中应填入 A ．3?n > B ．3?n <C ．4?n <D ．4?n >9．若双曲线122=-y x 与椭圆122=+y tx 有相同的焦点，则椭圆122=+y tx 的离心率为A ．23B ．32C ．36D ．33210．已知,a b 为两条互不垂直．．．．．．的异面直线，a α⊂，b β⊂. 下列四个结论中，不可能．．．成立的是A ．//b αB ．b α⊥C ．//βαD ．βα⊥11．函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 有可能是A ．21sin x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．221sin x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．221cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭ 12．直线()y k x m =-（,k m ∈R 且0k ≠）与圆221x y +=交于,A B 两点，记以Ox 为始边（O 为坐标原点），,OA OB 为终边的角分别为,αβ，则()sin αβ+的值A ．只与m 有关B ．只与k 有关，C ．与m ，k 都有关D ．与m ，k 都无有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷的相应位置．13．复数ii -+11等于__________．（i 是虚数单位） 14．已知ABC ∆中，3=AB ，5=AC ，120=A ，则BC 等于__________． 15．若实数y x ,满足约束条件4,1,360,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≥⎩则x y 的取值范围是 ．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计π的值：先由计算机产生1200对01之间的均匀随机数,x y ；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是340=m ，那么可以估计π≈_____________．（精确到0.001）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知：等差数列{}n a 中，35a =，59a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2na nb =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，试求满足2015n S >的最小正整数n ．18.（本题满分12分）某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表. 已知男生体重在)62,50[的人数为45．（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在[56,60)的女生人数x 的值；（Ⅱ）若从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取2人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；（Ⅲ）若体重在[50,54)，[54,58)，[58,62)的男生人数比为7:5:3，试估算高一年段男生的平均体重．19．（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin 1222x x x f x =-+． （Ⅰ）若()65f α=，求cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移m ()0m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m的最小值．20．（本题满分12分）在如图1所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，//ED FC ，FC ED 21=，M 是AF 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABCD ；（Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面FAC ；（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥CDEF A -的体积．21．（本题满分12分）已知抛物线G ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()(),00Q a a >的直线l 交抛物线G 于,A B 两点（如图所示）．（Ⅰ）求抛物线G 的方程；（Ⅱ）有人发现，当点Q 为抛物线的焦点时，11QA QB +的值与直线l 的方向无关．受其启发，你能否找到一个点Q ，使得2211QA QB +的值也与直线l 的方向无关．22．（本小题满分14分）已知函数b ax x f -=)(，x x g e =)(（R ∈b a ,），)(x h 为)(x g 的反函数．（Ⅰ）若函数)()(x g x f y -=在1=x 处的切线方程为2)1(--=x y e ，求b a ,的值；（Ⅱ）当0b =时，若不等式()()f x h x >恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当b a =时，若对任意]0,(0-∞∈x ，方程)()()(0x g x h x f =-在],0(e 上总有两个不等的实根，求a 的最小值．泉州市2017届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B部分试题考查意图说明：第5题考查基底概念——不共线，平面向量的运算.第6题考查分段函数、分类整合思想、对数运算.第7题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力.第8题 考查程序框图、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力.第9题 考查椭圆与双曲线的方程和性质，考查运算求解能力.第10题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念，考查空间想象能力和推理论证能力.第11题 考查三角函数和函数的奇偶性、单调性，考查推理论证和抽象概括能力，考查创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称性和函数的奇偶性先排除C ，D 选项；当→+∞x 时，210→x 且210>x ，21cos 1→x ，21cos ⎛⎫→→+∞ ⎪⎝⎭x x x ，排除B.也可根据单调性，确定A 或排除B.第12题 显性考查直线与圆的位置关系，隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式，考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识，考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等. 可考察直线1=-y x k与圆的交点，得到sin 2+αβ与cos 2+αβ的表达式；可考虑按k 定m 变与k 变m 定分类，特殊化地考察()sin αβ+的值；也可通过作图，分析,αβ与倾斜角θ的关系判断答案.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．i ； 14．7； 15．]23,41[； 16.3.133.部分试题考查意图说明：第16题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。
【关键字】学期2017年莆田高中毕业班教学质量检查试卷数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则A．B．C．D．2、已知，则的值是A．B．C．D．3、设为实数，直线，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、已知是定义在R上的奇函数，当时，，则A．4 B．C．D．5、5、我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为A．121 B．81 C．74 D．496、从区间中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数列使得斜边长不大于1的概率是A．B．C．D．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为A．B．C．D．8、设抛物线的焦点为F，点A为C上一点，若，则直线FA的倾斜角为A．B．C．或D．或9、已知函数，为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递加区间是A．B．C．D．10、已知双曲线E，其一渐近线被圆所截得的弦长等于4，则E的离心率为A．B．C．或D．或11、已知正方体，平面过直线平面，平面，平面过直线平面，则所成角的余弦值为A．0 B．C．D．12、设函数是定义在上的函数的导函数，当时，若，则A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设复数满足，则=14、若满足约束条件，则的最大值为15、的内角的对边分别为，若，则面积的最大值为16、在直角梯形中，面积为1，若，则三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知数列的前n项和，其中为常数，.（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18、（本小题满分12分）为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如下表：（1）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；（2）根据表中的数据完成下面茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形为ABCD 矩形，E为SA 的中点，,23,3SA SB AB BC ===.（1）证明：//SC 平面BDE ；（2）若BC SB ⊥，求三棱锥C BDE -的体积.20、（本小题满分12分）已知点(0,2)P -，点,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点，直线BP 交E 于点,Q ABP ∆是等腰直角三角形，且32PQ QB =. （1）求E 的方程；（2）设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数()3231,()1ln f x x x g x kx x =-+=+-. （1）设函数()(),1(),1f x x h xg x x <⎧=⎨≥⎩，当0k <时，讨论()h x 零点的个数；（2）若过点(,4)P a -恰有三条直线与曲线()y f x =相切，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ+=.（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）设点P 为圆C 上的任一点，求点P 到直线l 距离的取值范围.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()42f x x x =-+-.（1）求不等式()2f x >的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若2x a M +≥的解集包含[]0,1，求a 的取值范围.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟三文科数学试题一、选择题1．集合2{|230,}A x x x x Z =-≤∈, {|1232,}xB x x Z =≤<∈，集合C 满足A C B ⊂⊆,则C 的个数为A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】C【解析】由题意可得{}{}0,1,0,1,2,3,4A B == ，集合C A M =⋃ ，其中M 为集合{}2,3,4 的真子集，由子集个数公式可得：C 的个数为3217-= 个.本题选择C 选项.2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对,A B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：则哪位同学的试验结果体现,A B 两变量有更强的线性相关性（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】D【解析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大， 残差平方和越小，相关性越强， 只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A. B 两变量有更强的线性相关性， 本题选择D 选项.3．直线1:+10l ax y a +-=，直线1:420l x ay +-=，则“2a =±”是“12l l ”的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 不充分不必要条件 【答案】C【解析】两直线平行，则： 1142a a a -+=≠- ,解得： 2a =- ，则“2a =±”是“12l l ”的必要不充分条件. 本题选择C 选项.4．已知1x >， 1y >，且2log x ，14， 2log y 成等比数列，则xy 有A. B. 最小值2 C. D. 最大值2 【答案】A【解析】∵x>1，y>1，∴22log 0,log 0x y >> ， 又∵2log x ， 14， 2log y 成等比数列， ∴221log log 16x y =⨯ ，由基本不等式可得221log log 2x y +≥= ， 当且仅当22log log x y = 时取等号， 故21log 2xy ≥，即xy ，故xy 的最小值为：本题选择A 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．执行如图所示的程序框图，若输入5,2a b ==，则输出n 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】流程图首先初始化数据： 5,2,1a b n === ， 执行循环结构： 第一次循环： 115,2422a a ab b =+=== ，此时不满足a b ≤ ，执行12n n =+= ，第二次循环： 145,2824a a ab b =+=== ，此时不满足a b ≤ ，执行13n n =+= ， 第三次循环： 1135,21628a a ab b =+=== ，此时不满足a b ≤ ，执行14n n =+= ，第四次循环： 1405,232216a a ab b =+=== ，此时满足a b ≤ ，输出4n = . 本题选择C 选项.6．已知函数()2+1f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 的递减区间是()1,1-C. 若方程()+0f x k =有三个不同的实数根，则20k -≤≤D. 任意的0a >， ()1lg lg 2f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得： ()()22210{21(0)x x x f x x x x -++≥=-+< ，绘制函数图象观察可得： 函数()f x 是非奇非偶函数，()f x 的单调递减区间是(),1-∞- 和()1,+∞ ，若方程()+0f x k =有三个不同的实数根，则20k -<< , 对于任意的a > ：()()1111lg lg lg lg 2lg 1lg lg 2lg 12f a g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .本题选择D 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7．抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为（若两数相等，则取该数），平均数为，则事件“”发生的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4， 记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a (若两数相等,则取该数)，平均数为b ， 基本事件总数n =4×4=16，事件“a −b =1“包含的基本事件有： (1,3),(3,1),(2,4),(4,2)，共有4个， ∴事件“a −b =1”发生的概率为41164p ==. 本题选择B 选项.8．已知椭圆C ： 22221x y a b+=的左焦点为F ，若点F 关于直线12y x =-的对称点P在椭圆C 上， 则椭圆C 的离心率为A.12 B. C. D. 【答案】D【解析】椭圆左焦点坐标为(),0F c - ，它关于直线12y x =-的对称点为34,55P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 据此可得：222234551c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+= ，整理可得： 22222291625b c a c a b += ，结合： 222b a c =- 整理可得： 4224950250c a c a -+= ，即： ()()4222950250,5950e e e e -+=--= ，椭圆的离心率01e << ，则：25,93e e ==. 本题选择D 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．9．函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图像如图所示，若()()461f f =-=-，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =A.12B. C. 1D. 【答案】C【解析】由函数的图象可得： ()2644T =⨯-= ， 则： ()()()()201720174503561f f f f =-⨯=== . 本题选择C 选项.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.43 B. 2 C. 83D. 4 【答案】B【解析】如图所示，该几何体是如图所示的棱长为2的正方体中的四棱锥P ABCD - ，该几何体的体积为： ()12212232V +⨯=⨯⨯= . 本题选择B 选项.11．ABC ∆是底边边长为 P 是以直角顶点C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，若m AP PB n ≤⋅≤，则n m -的最小值为A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】如图所示，建立直角坐标系，则：())(),,cos sin A BP θθ ，由平面向量的性质可得：((cos ,cos AP AQ θθθθ=+=+，平面向量的数量积： 22cos 1sin 21AP PB θθθθ⋅=-+++=+ ，据此有： 11m n n m =-=+-= 本题选择A 选项.12．()()2ln 11f x a x x b x =+---，若对1,e x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭， ()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 A. 1e 2e a ≤+- B. 2a < C. 22e a ≤< D. 2ea ≤ 【答案】A【解析】由题意： ()10f =，即()()1,,1x f x f e ⎡⎫∀∈+∞≥⎪⎢⎣⎭恒成立，可知()1f 为极小值， ()'10f =，求导有()()'2,'120,2af x x b f a b b a x=+-∴=+-==+.则： ()()()()12'22x x a af x x a x x--=+-+=，分类讨论： ①当12a e ≤时，函数在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞单调递增，满足题意； ②当112a e <<时， ()f x 在()1,,1,2a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 只需： 10f e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得： 1212,2a e a e e e e≤+-∴<≤+-； ③当12a=时， ()()21'0x f x x+=>， ()f x 在定义域内单调递增，而()10f =，存在01,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()00f x <；④当12a >时， ()f x 在区间1,1,,2a e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不合题意.综上可得实数a 的取值范围是1e 2ea ≤+-. 本题选择A 选项.二、填空题13．若复数()2201728z a i i =-+⋅（a R ∈）为纯虚数，则a =_______．【答案】2-【解析】由题意可得： ()()222448484z a ai i i a a i =-++=-+- ，该数为纯虚数，则： 240{840a a -=-≠ ，解得： 2a =- .14．设不等式组所表示的平面区域为，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是__________．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】画出不等式组所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示.函数y=k(x+1)+1的图象表示一条经过顶点P （-1，1）的直线， 当直线经过区域M 内的点A （0，2）时，斜率最大，为1， 当直线经过区域M 内的点B （1，0）时，斜率最小，为12- ， 故实数k 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ， O 为坐标原点，以F 为圆心，为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P 、Q 两点，且26FP FQ a →→⋅=-，若=OP OQ λ，则=λ____________．【答案】2-或12-【解析】如图所示：2,cos 6,120FP FQ r QFP a QFP ===∴⨯⨯∠=-∠=，过点F 做FM PQ ⊥，则：,3FM PM a ==，渐近线方程为： 0bx ay -=， 焦点坐标(),0F c ，则：FM b ==，整理可得：b =，有：22223,2,a b a c c a OM a ==-∴===，据此： 4,2,2OP OP a OQ a OQλ==∴==- 或12-.16．各项均为正数的等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，当*,2n N n ∈≥时，有()2211n n nS a a n =--，则20102S S -=__________． 【答案】50【解析】由题意：()()()()()()()()221111111,111,2111,2n n n n n n n n n n S a a a a a a n n a a n n n a a a a a a n d n n d =-=+---+∴=+-=+⨯---∴=()()()2010201010111220121010050S S S S S a a a a a a d -=--=+++-+++== .三、解答题17．锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2c o s c o s c b B a C c A=+ （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若线段BC 上存在一点D ，使得2AD =，且AC =,1CD =，求ABC S ∆. 【答案】（1）3B π=，（2【解析】试题分析：(1)利用题意求得1cos ,23B B π=∴=； (2)利用正弦定理结合余弦定理可得ABC S ∆=试题解析： 解法一：（1）在ABC 中， 2cos cos cos b B a C c A ⋅=⋅+⋅ ，2222222cos 22a b c b c a b B a c b ab bc +-+-∴⋅=⋅+⋅=，1cos ,23B B π∴=∴=， 解法二：（1）在ABC 中， 2cos cos cos b B a C c A ⋅=⋅+⋅ ，()2sin cos sin cos sin cos =sin +B B A C C A A C ⋅=⋅+⋅ ， ()sin +sin A C B = ，2sin cos sin B B B ∴⋅=， sin 0B ≠ ， 1cos ,23B B π∴=∴=． （2）在ACD 中，由余弦定理可得2222214cos 2AC CD ADC AC CD+-+-===⋅⋅ 4C π∴=, 512A B C ππ∴=--=， 在ABC 中，由正弦定理可得 sin sin AC ABB C=， sinsin34ABπ=， 2AB ∴=．113sin 22242ABC S AB AC A +∴=⋅⋅⋅=⋅=18．如图，四棱锥D ABCM -中， AD DM ⊥，底面四边形ABCM 是直角梯形，AB BC ⊥， MC BC ⊥，且224AB BC CM ===，平面AMD ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）证明： AD BD ⊥；（Ⅱ）若AD DM =，（i ）求直线BD 与平面AMD 所成角的正弦值；（ii ）求三棱锥D MBC -的体积．【答案】（1）见解析;（2 （3【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得线面垂直： AD BDM ⊥面， AD BD ∴⊥；(2)由几何关系可得直线BD 与平面AMD 所成角的正弦值为3；(3) 取AM 中点E ，可得DE ABCM ⊥面， 133D MBC MBC V S DE -∆∴=⋅=. 试题解析：（1）由已知可得， AM BM ==，又=4AB ， 222AM BM AB ∴+=， AM BM ∴⊥．AMD ABCM ⊥ 面面， AMD ABCM AM ⋂=面面， BM ABCM ⊂面， BM ADM ∴⊥面，BM AD ∴⊥． AD DM ⊥ ， DM BM M ⋂=，AD BDM ∴⊥面， AD BD ∴⊥．（2）,,2AD DM AD DM AM =⊥= ，AM BM ∴==, AD BD ⊥ ， BD ∴=222BD DM BM ∴=+， BM DM ∴⊥，BM AM ⊥ , DM AM M ⋂=，BM AMD ∴⊥面，BDM ∴∠即为直线BD 与平面AMD 所成角，sin =BM BDM BD ∴∠==． （3）取AM 中点E ，连结DE ，又AD DM =，则DE AM ⊥，AMD ABCM ⊥ 面面, AMD ABCM AM ⋂=面面, DE AMD ⊂面DE ABCM ∴⊥面，DE 111223323D MBC MBC V S DE -∆⎛⎫∴=⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭19．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨， 100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量， T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率.【答案】（Ⅰ）126.5 （吨）, 126.7（吨）．（Ⅱ）0.7 【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图可估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小分别为126.5 （吨）, 126.7（吨）.(2)由题意结合几何概型公式可得利润T 不少于57万元的概率为0.7 试题解析：（Ⅰ）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （吨） 由频率分布直方图易知，由于[)100,120x ∈时，对应的频率为()0.010.02100.30.5+⨯=<，而[)100,130x ∈时，对应的频率为()0.010.020.3100.60.5++⨯=>，因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[)120,130， 于是估计中位数应为()1200.50.10.20.03126.7+--÷≈ （吨）． （Ⅱ）当[)100,130x ∈时， ()0.50.31300.839T x x x =--=-； 当[]130,150x ∈时， 0.513065T =⨯=，所以， 0.839,100130,{65,130150.x x T x -≤<=≤≤根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[)100,130x ∈时，由0.83957T x =-≥，得120130x ≤<， 当[]130,150x ∈时，由6557T =≥，所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x ≤≤，于是由频率分布直方图可知市场需求量[]120,150x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.720．已知函数()3ln f x x ax x =--．（Ⅰ）直线()1y k x =-为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线，求实数k ； （Ⅱ）若e 2a ≤，证明： ()ln xf x x xe >-． 【答案】（Ⅰ）3． （Ⅱ）e2a ≤ .【解析】试题分析：(1)由导函数与切线之间的关系可得3k =;(2)原不等式等价于即证： 21e xax +<， 设()2e 1x h x ax =--，结合构造出的函数的性质可得e 2a ≤. 试题解析：（Ⅰ）解法一：由已知得()10f =，所以切点坐标()1,0 又()1010f a =--=，得1a =-，()2131f x x x=+-'，所以()11313k f ==+-='． （Ⅱ）即证： 3ln ln e x x ax x x x -->-，即证： 3e xax x x +<，因为0x >，即证： 21e xax +<，设()2e 1xh x ax =--， ()e 2xh x ax ='-，令()'e 2xh x a ='-（i ）当12a ≤时， ()'0h x '>， ()h x '单调递增， ()()01h x h ''>=， ()h x 单调递增，()()00h x h >=，满足题意；（ii ）当12a >时， ()'e 20xh x a ='-=，解得ln2x a =， 当()0,2x ln a ∈， ()'0h x '<， ()h x '单调递减， 当()2,x ln a ∈+∞， ()'0h x '<， ()h x '单调递增，此时()()()ln2min ln2e 2ln221ln2ah x h a a a a a ==-=-''，因为e2a ≤， 1ln20a -≥，即()min 0h x '>， ()h x 单调递增， ()()00h x h >=，满足题意； 综上可得，当e 2a ≤时， ()ln xf x x xe >-． 解法二: （Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）即证： 3ln ln e x x ax x x x -->-，即证： 3e x x ax x >+， 因为0x >，即证： 2e 10x ax -->，因为e 2a ≤，即证2e e 102xx -->， 令()2e e 12xk x x =--， ()e e x k x x ='-， ()'e e 0x k x '=->， ()k x '单调递增，()1k x '>，()k x 单调递增， ()()00k x k >=．所以22e e 112xx ax >+≥+，故原不等式得证． 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．21．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线:(0)l y kx a a =+>与抛物线C 交于,A B 两点．（Ⅰ）若直线l 过焦点F ，且与圆()2211x y +-=交于,D E （其中,A D 在y 轴同侧），求证： AD BE ⋅是定值；（Ⅱ）设抛物线C 在A 和B 点的切线交于点P ，试问： y 轴上是否存在点Q ，使得APBQ 为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线l 的斜率和点Q 的坐标．【答案】（Ⅰ）1．（Ⅱ） ()0,3Q a ． 【解析】试题分析：(1)联立直线与抛物线的方程整理可得AD BE ⋅是定值1.(2)由题意可得当直线l 的斜率为0，且()0,3Q a 时APBQ 为菱形，此时()0,3Q a . 试题解析：解：抛物线2:4C x y =的焦点()0,1F ，设()()1122,,,A x y B x y ，联立24x y =与y kx a =+有2440x kx a --=，则()2160k a ∆=+>，且124x x k +=， 124x x a ⋅=-．（Ⅰ）若直线l 过焦点F ，则1a =，则124x x k +=， 124x x ⋅=-．由条件可知圆()2211x y +-=圆心为()0,1F ，半径为1，由抛物线的定义有121,1AF y BF y =+=+，则11A D A F y =-=，21BE BF y =-=，()()121211AD BE y y kx kx ⋅==++ ()222121214411k x x k x x k k =+++=-++=，(或()()222212111241441616x x x x AD BE y y -⋅==⋅===) 即AD BE ⋅为定值，定值为1．（Ⅱ）当直线l 的斜率为0，且()0,3Q a 时APBQ 为菱形．理由如下： 由24x y =有214y x =，则12y x '=， 则抛物线C 在2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为()21111142y x x x x -=-，即2111124y x x x =-……① 同理抛物线C 在2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为2221124y x x x =-……② 联立①②解得122x x x +=，代入①式解得124x xy a ==-，即()2,P k a -． 又1222x x k +=，所以21212222y y x x k a k a ++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 即AB 的中点为()22,2R k k a +．则有PR x ⊥轴．若APBQ 为菱形，则PR AB ⊥，所以0k =， 此时()0,P a -， ()0,R a ，则()0,3Q a ．方法二：设()()1122,,,A x y B x y ， ()00,Q y ，由24x y =有214y x =，则12y x '=， 若APBQ 为菱形，则//,//AQ BP BQ AP，则1020211211,22AQ BQ y y y y k x k x x x --====， 即1012201211,22y y x x y y x x -=-=， 则12,0y y k =∴=，()(),A a B a ∴-, 则抛物线C在()A a -处的切线为y a x -=+，即y x a =-……①同理抛物线C在()B a处的切线为y a =-……② 联立①②()0,P a -．又AB 的中点为()0,R a ，所以()0,3Q a ．方法三：设()()1122,,,A x y B x y ， ()00,Q y ，由24x y =有214y x =，则12y x '=， 若APBQ 为菱形，则//,//AQ BP BQ AP ， 则1020211211,22AQ BQ y y y y k x k x x x --====，即1012201211,22y y x x y y x x -=-=，则12,0y y k =∴=，此时直线:AB y kx a a =+=，则()0121114322y x x y a a a =-+=-⋅-+= 所以()0,3Q a ．点睛：1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素.2.“目标先行”是一个永远的话题3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.22．选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．圆C 的参数方程为,{,x a acos y asin θθ=+=（θ为参数， 05a <<），直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与曲线C 相交于A ，B两点，且AB =．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）若M ，N 为曲线C 上的两点，且3MON π∠=，求OM ON +的最小值．【答案】（I ）2a =．（Ⅱ）-【解析】试题分析: （I ）消去参数，即可得到∴圆C 的普通方程，利用{x cos y sin ρθρθ==代入，得直线l 的普通方程，在利用圆心到直线的距离，即可求解a 的值.（Ⅱ）由（I ）得，把cos ,sin x y ρθρθ==代入圆的普通方程，得2cos ρθ=，设()1121,,,3M N πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到16OM ON πθ⎛⎫∴+=+⎪⎝⎭，即可求解最小值.试题解析：（I ）由,{,x a acos y asin θθ=+=，得,{,x a acos y asin θθ-==∴圆C 的普通方程为()222x a y a -+=．即圆心为(),0a ，半径r a =．444sin sin cos cos sin πππρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭把,x cos y sin ρθρθ==代入，得直线l 的普通方程为40x y +-=．圆心到直线的距离d =， ∴ AB ==即()22422a a --=，得2,6a a ==或， 05a <<， ∴ 2a =．（Ⅱ）由（I ）得，圆C 的普通方程为()2224x y -+=．把,x cos y sin ρθρθ==代入，得()()2224cos sin ρθρθ-+=， 化简，得圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=． 依题意，设()()()11211,,,0,23M N πρθρθθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1211111ππρ4cos θ4cos θ6cos θθθ36OM ON ρ⎛⎫⎛⎫∴+=+=++=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1θ0,2π∈ ∴ OM ON +的最小值为-23．选修45-：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-+-， a R ∈．（Ⅰ）若不等式()21f x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，直线y m =与函数()f x 的图象围成三角形，求m 的取值范围．【答案】（I ）][04,)-∞⋃+∞（，．（Ⅱ） 11]2（，． 【解析】试题分析：(1)利用绝对值不等式的性质结合恒成立的条件可得实数a 的取值范围是][04,)-∞⋃+∞，.(2)将函数写成分段函数的性质，结合函数的图象可得m 的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦. 试题解析：（I ）()21f x x ≥-- 恒成立，即||+|1|12ax x --≥恒成立， min ||+|1|12a x x ∴--≥（）成立，由||+|1||1|=|1|222a a a x x x x --≥--+-得|1|12a-≥，解得： 0a ≤或4a ≥，所以a 的取值范围为][04,)-∞⋃+∞（，．（Ⅱ）当1a =时， ()()12321211{(1)2321xx f x x x xx x x -≤=-+-=<<-≥（）做出()f x 的图像，如图所示：可知，当112m <≤时，直线y m =与函数的图象围成三角形，即所求m 的取值范围为11]2（，．。
绝密★启用前2017届福建省泉州市高三3月质量检测文数试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．设集合={0,1,2},={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∩B的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32．已知z=a i(a∈R),(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=（）A. 3B. 5C. 3D. 53．某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x（吨）与生产能耗y（吨）的下列对应数据：根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程y=b x+1.5.那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（）A. 4.625吨B. 4.9375吨C. 5吨D. 5.25吨4．已知直线a,b，平面α,β,a⊂α,b⊂α，则a//β,b//β是α//β的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知实数x,y满足{x≥0x−2y≥0y≥x−1，则z=a x+y(a>0)的最小值为（）A. 0B. aC. 2a+1D. -16．双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率等于（）A. 2 B. 3 C. 2 D. 37．函数f(x)=ln(x+1)+ln(x−1)+cos x的图象大致是（）A. B.C. D.8．如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）A. 8πB. 18πC. 24πD. 8 6π9．执行如图所示程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p 的可能性有（ ）A. 6种B. 7种C. 8种D. 9种10．已知函数f (x )={x 2+x ,x ≥0−3x ,x <0，若a [f (a )−f (−a )]>0，则实数a 的取值范围为（ ）A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)11．已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<1,|φ|<π).若对任意x ∈R ,f (1)≤f (x )≤f (6)，则（ ）A. f (2014)−f (2017)<0B. f (2014)−f (2017)=0C. f (2014)+f (2017)<0D. f (2014)+f (2017)=012．函数f (x )=ax 3+(a −1)x 2−x +2(0≤x ≤1)在x =1处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. a ≤0B. 0≤a ≤35 C. a ≤35 D. a ≤1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设向量a =(1,3),b =(2,x +2)，且a //b ，则x =__________． 14．已知a ∈(0,π2),sin 2α=12则sin (α+π4)=__________．15．过点P (−3,1),Q (a ,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2+y 2=1相切，则a 的值为__________． 16．ΔA B C 中，D 是B C 上的点，D A =D B =2,D C =1，则A B ·A C 的最大值是__________．三、解答题17．等差数列{n a 2=2，数列{b n }中，b n =2a n b 4=4b 2． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若a 2b 1−a 1b 1+a 3b 2−a 2b 2+⋯+a n +1b n −a n b n ≤2017，求n 的最大值． 18．在如图所示的多面体中，D E ⊥平面A B C D ,A F //D E ,A D //B C ,A B =C D ,∠A B C =600，B C =2A D =4D E =4．（1）在A C 上求作点P ，使P E //平面A B F ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A −C D E 的高．19．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求a ,b ,c 的值；（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率；20．在平面直角坐标系x O y中，抛物线C:x2=2p y(p>0)的焦点为F，点A在C上．若|A O|=|A F|=32．（1）求C的方程；（2）设直线l与C交于P,Q，若线段P Q的中点的纵坐标为1，求ΔO P Q的面积的最大值．21．函数f(x)=[x2−(n+1)x+1]e x−1,g(x)=f(x)x2+1,n∈R．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当f(x)在R上单调递增时，证明：对任意x1,x2∈R且x1≠x2,g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为{x=3+t cosφy=1+t sinφ（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）当φ∈(0,π)时，l与C相交于P,Q两点，求|P Q|的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|2x−4|．（1）解关于x的不等式f(x)<9；（2）若直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．参考答案1．C【解析】因为B=(−1,2) ,所以A∩B={0,1} ,即A∩B的元素个数为2,选C.2．B【解析】因为(1+z)(1+i)=(1+a i)(1+i)=(1−a)+(1+a)i为实数,所以1+a=0,a=−1,因此|z+2|=|−i+2|=1+5=5,选B.3．C【解析】因为回归直线方程y=b x+1.5过定点(x,y)=(5,5),所以当产量为5吨时生产能耗为5吨 ,选C.4．B【解析】因为直线a,b不一定相交,所以a//β,b//β时α,β不一定平行,而α//β时平面α内任意直线都平行平面β,即a//β,b//β,因此a//β,b//β是α//β的必要但不充分条件,选B.5．D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(0,0),B(0,−1),C(2,1) ,所以直线z=a x+y(a>0)过点B时取最小值−1.选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6．A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=a,e=2.选A.7．A【解析】因为x>1,所以去掉C,D;当x≥e+1时，f(x)≥ln(e+2)+1−1>0，所以选A.8．C【解析】多面体为两个正四棱锥的组合体（底面重合）.两顶点之间距离为2R，底面为边长)2=33⇒R2=6⇒S=4πR2=24π.选C.为2R的正方形,所以R2+(2R2点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,P B,P C两两互相垂直，且P A=a,P B=b,P C=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解．9．B【解析】第一次循环，S=1,n=2；第二次循环，S=1+3,n=3；第三次循环，S=1+3+5,n=4；第四次循环，S=1+3+5+7,n=5；结束循环，输出n=5，因此1+3+5≤p,1+3+5+7>p，即9≤p<16，输入的整数p的可能性有16−9=7，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．D【解析】当a>0时，a2+a−[−3(−a)]>0⇒a2−2a>0⇒a>2(∵a>0)；当a>0时，−3a−[(−a)2+(−a)]<0⇒a2+2a>0⇒a<−2(∵a<0)；综上实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞) 11．A【解析】由题意得f(x)min=f(1),f(x)max=f(6),因为0<ω<1，所以T=2πω>2π⇒T2>π因此T2=6−1⇒T=10 , 且x=6为一条对称轴，f(x)在[1,6]上单调递增，f(3.5)=0，所以f(2014)−f(2017)=f(4)−f(7)=f(4)−f(5)<0，f(2014)+f(2017)=f(4)+ f(7)=f(4)+f(5)>0，选A.点睛：已知函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ，(4) 利用“五点法”中相对应的点研究对称性、单调性.12．C【解析】由题意得不等式f(x)≥f(1)对x∈[0,1]恒成立，化简得a(1−x)(x2+2x+2)≤(1−x)(x+2)对x∈[0,1]恒成立，当x=1时，a∈R；当0≤x<1时，a≤(x+2x+2x+2)min；令t=x+2，则t∈[2,3),x+2x+2x+2=tt−2t+2=1t+2−2>13+23−2=35，所以a≤35，综上实数a的取值范围是a≤35，选C.点睛：本题实质是研究不等式恒成立时的参数范围问题，一般方法为把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 13．4【解析】由题意得3×2=1×(x+2),x=414．32【解析】∵(sinα+cosα)2=1+sin2α=32,α∈(0,π2)∴sinα+cosα=62因此sin(α+π4)=22(sinα+cosα)=32.15．−53【解析】点P(−3,1)关于x轴对称点为P′(−3,−1)，由题意得直线P′Q与圆x2+y2=1相切，因为P′Q:x−(a+3)y−a=0，所以由a =1得a=−53.16．922【解析】因为cos∠A D B+cos∠A D C=0，所以由余弦定理得4+4−AB22×2×2+4+1−AC22×2×1=0⇒AB2+2AC2=18因此AB2+2AC2=18≥2AB⋅2AC=22A B⋅A C，即A B⋅A C≤922，当且仅当A B=2A C时取等号，从而A B·A C的最大值是922.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．（1）a n=n.b n=2n.（2）9.【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式关键求公差,由b4=4b2得2a4−a2=4,即22d=4，解得d=1，最后根据等差数列广义通项公式得a n=a2+(n−2)d,即a n=n.再由b n=2a n得b n=2n.（2）先求和a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n,方法可利用分组求和法将数列求和转化为等比数列求和,再利用数列单调性解不等式2n+1≤2019，得n的最大值为9.试题分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d.由题意，可得b4=2a4,b2=2a2,2a4=4·2a2，整理，得2a4−a2=4，即22d=4，解得d=1，又a2=a1+d，故a1=a2−d=1，所以a n=a1+(n−1)d=n.b n=2n.（2）a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n=(a2−a1)b1+(a3−a2)b2+⋯+ (a n+1−a n)b n=b1+b2+⋯+b n=2−2n·21−2=2n+1−2故a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n≤2017，可化为2n+1−2≤2017，即2n+1≤2019，即2n≤20192，因为f(x)=2x在R上为增函数，且f(9)=512<20192,f(10)=20482>20192，所以n的最大值为9.18．（1）详见解析（2）3.【解析】试题分析：（1）由题意A F//D E,因此只需D P//A B,就可推出P E//平面A B F，而D P延长线与B C交点恰为B C的中点.因此作法为先取B C的中点G，再连结D G，交A C于P.证法为先由线线平行证得线面平行，再由线面平行证得面面平行，最后由面面平行证得线面平行.（2）求三棱锥的高，可由等体积法求得：因为V A−C D E=V E−A C D，而D E⊥平面A B C D，所以13×SΔC D E× =13SΔA C D×D E，这样只需求出两个三角形面积，代入化简即得三棱锥的高.试题分析：解：（1）取B C的中点G，连结D G，交A C于P，连结P E.此时P为所求作的点.下面给出证明：∵B C=2A D，∴B G=A D，又B C//A D，∴四边形B G D A是平行四边形，故D G//A B即D P//A B.又A B⊂平面A B F,D P⊄平面A B F，∴D P//平面A B F；∵A F//D E,A F⊂平面A B F，D E⊄平面A B F，∴D E//平面A B F.又∵D P⊂平面P D E,D E⊂平面P D E,P D∩D E=D，∴平面A B F//平面PD E，又∵P E⊂平面P D E，∴P E//平面A B F.（2）在等腰梯形A B C D中，∵∠A B G=600,B C=2A D=4，∴可求得梯形的高为3，从而ΔA C D的面积为12×2×3=3.∵D E⊥平面A B C D，∴D E是三棱锥E−A C D的高.设三棱锥A−C D E的高为 .由V A−C D E=V E−A C D，可得13×SΔC D E× =13SΔA C D×D E，即12×2×1× =3，解得 =3，故三棱锥A−C D E的高为3.19．（1）b=12,a=18,c=0.015.（2）600. （3）815.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可知小长方形面积等于对应区间的概率（频率），所以可得得分在[70,90)的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得6+a+24+b=60，另根据对应比例关系有60.005=ac=b0.01，解方程组可得a,b,c的值；（2）由频率分布直方图可知小长方形面积等于“优秀”区间的概率（频率），所以可得“优秀”的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得“优秀”的人数；（3）根据分成抽样可得故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，再根据枚举法确定从这6人中任选2人的基本事件总数以及选取的2人中有1人为“优秀”的所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率求法求概率.试题分析：解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[70,90)的频率为0.005×20=0.1，再由[70,90)内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人，则6+a+24+b=60，得a+b=30；又由频率分布直方图可知，得分在[130,150]的频率为0.2，即b60=0.2，解得b=12,a=18.进而求得c=1860×20=0.015.（2）由频率分布直方图可知，得分在[130,150]的频率为0.2，由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n，则n3000=0.2，解得n=600，所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.（3）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，“良好”抽取4人，记为a,b,c,d，“优秀”抽取2 人，记为A,B，则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：A B,A a,A b,A c,A d,B a,B b,B c,B d,a b,a c,a d,b c,b d,cd共15个，事件A:“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件，所以所求概率P(A)=815.20．（1）x 2=4y （2）2.【解析】试题分析：（1）先设点A (x ,y )坐标，再根据条件列方程组：x 2=2p y ,y +p2=32,x 2+y 2=94 ，代入得2p (32−p2)+(32−p2)2=94，解得p =2，即得抛物线方程；（2）利用斜截式设直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理得两根之间关系，结合弦长公式可得底边P Q 长（用斜率与截距表示），再根据点到直线距离公式求出三角形的高（用斜率与截距表示），根据P Q 的中点的纵坐标为1得出斜率与截距之间关系，将三角形面积关系化为一元（斜率）函数，最后结合判别式确定自变量（斜率）取值范围，利用导数求最值. 试题分析：（1）抛物线C 的焦点F 的坐标为(0,p2). 因为|A O |=|A F |=32，所以可求得A 点坐标为(±1436−p 2,p 4).将A 点坐标代入x 2=2p y 得116(36−p 2)=2p ×p4，解得p =2，故抛物线方程为x 2=4y .（2）依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y =k x +b ， 并设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,1),P Q 的中点M (x 0,1). 联立方程组{y =k x +bx 2=4y，消去y ，得x 2−4k x −4b =0， 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4b . 因为线段P Q 的中点的纵坐标为1，所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b =4k 2+2b =2，即b =1−2k 2. 因为直线l 与C 交于P ,Q ，所以Δ=16k 2+16b >0，得k 2+b >0， 故k 2+b =k 2+(1−2k 2)>0, k 2∈[0,1). 由y =k x +b ，令x =0得y =b =1−2k 2，故S ΔO P Q =12|b ||x 1−x 2|=12|1−2k 2|× (x 1+x 2)2−4x 1x 2=2 (1−2k 2)2(1−k 2)， 设t =1−2k 2，则t ∈(−1,1]，设y =(1−2k 2)2(1−k 2)=t 2·t +12=12(t 3+t 2)， 令y ′=12(3t 2+2t )=32t (t +23)=0得t =0或t =−23， 由y ′>0得t ∈(−1,−23)∪(0,1)，由y ′<0得t ∈(−23,0)，所以y =12(t 3+t 2)的单调增区间为(−1,−23),(0,1)，单调减区间为(−23,0)， 当t =−23时，y =227；当t =1时，y =1>227，故y max =1， 所以S ΔO P Q 的最大值是2.注：面积也可通过求弦长|P Q|和点O到直线P Q的距离建立，可参照上述类似给分.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21．（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点，根据两个零点大小关系分类讨论导函数符号变化规律，进而确定函数单调区间，（2）利用导数证明不等式，关键是构造恰当的目标函数，因此先利用分析法探求目标函数：第一步，根据（1）得n=−1，第二步，同除以e x1−1，将二元问题转化为一元（关于x2−x1），第三步，利用导数研究函数 (x)=(x−2)e x+x+2(x>0)单调性（单调递增），第四步，根据单调性，得不等关系 (x)> (0)=0，根据等价性得原不等式成立.试题分析：解：（1）f′(x)=[2x−(n+1)]e x−1+[x2−(n+1)x+1]e x−1，=[x2+(1−n)x−n]e x−1=(x+1)(x−n)e x−1，令f′(x)=0得x1=−1,x2=n.当x1=x2，即n=−1时，f′(x)=(x+1)2e x−1≥0，故f(x)在R上单调递增，当x1>x2，即n<−1时，令f′(x)<0，得n<x<−1，所以f(x)在(n,−1)上单调递减；同理，可得f(x)在(−∞,n),(−1,+∞)上单调递增.当x1<x2，即n>−1时，令f′(x)<0，得−1<x<n，所以f(x)在(−1,n)上单调递减；同理，可得f(x)在(−∞,1),(n,+∞)上单调递增.综上可知，当n<−1时，f(x)在(n,−1)上单调递减，在(−∞,n),(−1,+∞)上单调递增，当n=−1时，f(x)在R上单调递增，当n>−1时，f(x)在(−1,n)上单调递减，在(−∞,−1),(n,+∞)上单调递增.（2）由（1）知，当f(x)在R上单调递增时，n=−1，故g(x)=f(x)x+1=e x−1.不妨设x2>x1，则要证g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1，只需证[g(x2)+g(x1)](x2−x1)>2(g(x2)−g(x1))，即证(e x2−1+e x1−1)(x2−x1)>2(e x2−1−e x1−1)，只需证(e x2−x2+1)(x2−x1)>2(e x2−x1−1)，令t=x2−x1，则t>0，不等式(e x2−x2+1)(x2−x1)>2(e x2−x1−1)可化为(e t+1)t>2(e t−1).下面证明：对任意t>0,(e t+1)t>2(e t−1)，令 (x)=(e x+1)x−2(e x−1)(x≥0)，即 (x)=(x−2)e x+x+2(x≥0)，则 ′(x)=(x−1)e x+1，令φ(x)= ′(x)=(x−1)e x+1(x≥0)，则φ′(x)=xe x≥0，所以φ(x)在[0,+∞)上单调递增，又φ(0)=0，所以当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0即 ′(x)≥0，故 (x)在[0,+∞)上单调递增,又 (0)=0，所以当t>0时， (t)> (0)=0，故对任意t>0，(e t+1)t>2(e t−1)，所以对任意x1,x2∈R且x1≠x2，g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 (x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．（1）l 的普通方程为(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0，C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4；（2）2 2.【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）由（1）可知圆心坐标为C （2，0），半径为2，直线过点A （3，1），CA ⊥PQ 时，可求|PQ|的最小值．试题解析：（1）由直线l 的参数方程{x =3+t c o sφy =1+t s i n φ（t 为参数）， 消去参数t 得，(x −3)sin φ−(y −1)cos φ=0，即直线l 的普通方程为(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0，由圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ，得ρ2−4ρcos θ=0 (∗)，将{x =ρco sθx 2+y 2=ρ2代入(*)得， x 2+y 2−4x =0， 即C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4.（2）将直线l 的参数方程代入(x −2)2+y 2=4得，t 2+2(cos φ+sin φ)t −2=0，Δ=4(cos φ+sin φ)2+8>0，设P ,Q 两点对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=−2(cos φ+sin φ),t 1t 2=−2，所以|P Q |=|t 1−t 2|= (t 1+t 2)2−4t 1·t 2=2 3+2sin φcos φ=2 3+sin 2φ，因为φ∈(0,π),2φ∈(0,2π)，所以当φ=3π4,sin 2φ=−1时，|P Q |取得最小值2 2.【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点M (3,1)，当直线l ⊥C M 时，线段P Q 长度最小.此时|C M |2=(3−2)2+1=2，|P Q |=2 r 2C M 2=2 4−2=2 2，所以|P Q |的最小值为2 2.解法三：（1）同解法一（2）圆心(2,0)到直线(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0的距离，d =|cos φ−sin φ|= 2|sin (φ−π4)|，又因为φ∈(0,π)，所以当φ=34π时，d 取得最大值 2. 又|P Q |=2 r 2−d 2=2 4−d 2，所以当φ=34π时，|P Q |取得最小值2 2.23．（1）(−2,4)；（2）m 的范围是(3,6]，S max =6.【解析】试题分析：（1）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x 的不等式f (x )<9;（2）作出函数的图象，结合图象求解．试题解析：（1）f(x)=|x+1|+|2x−4|={−3x+3,x≤−1−x+5,−1<x<23x−3,x≥2.①当x≤−1时，由不等式−3x+3<9，解得x>−2.此时原不等式的解集是：{x|−2<x≤−1.②当−1<x<2时，由不等式−x+5<9，解得x>−4.此时原不等式的解集是：{x|−1<x<2}.③当x≥2时，由不等式3x−3<9，解得x<4，此时原不等式的解集是：{x|2≤x<4}.综上可得原不等式的解集为(−2,4).（2）由（1）可得，函数f(x)的图像是如下图所示的折线图.因为f(−1)=6,f(x)min=f(2)=3，故当3<m≤6时，直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，即m的范围是(3,6].【注：范围正确，不倒扣】且当m=6时，S max=12(3+1)(6−3)=6.。
