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第三章 动量守恒和能量守恒定律§1-1质点和质点系的动量定理一、质点的动量定理 1、动量质点的质量m 与其速度v的乘积称为质点的动量，记为P。
（3-1）说明：⑴P是矢量，方向与v相同⑵P是瞬时量 ⑶P 是相对量⑷坐标和动量是描述物体状态的参量2、冲量牛顿第二定律原始形式)(v m dtd F =由此有)(v m d dt F= 积分：122121p p P d dt F p p t t -==⎰⎰（3-2）定义：⎰21t t dt F称为在21t t -时间内力F对质点的冲量。
记为（3-3）说明：⑴I是矢量⑵I是过程量 ⑶I是力对时间的积累效应 ⑷I的分量式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰212121t t z z t t y y t t x x dtF I dt F I dt F I∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-⎰⎰⎰212121)()()(121212t t z z t t y y t t x x dtF t t F dt F t t F dt F t t F （3-4）∴分量式（3—4）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=)()()(121212t t F I t t F I t t F I z zy y x x （3-5）x F 、y F 、zF 是在21t t -时间内x F 、y F 、z F 平均值。
3、质点的动量定理由上知12p p I -=（3-6）结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。
说明：⑴I 与12p p-同方向⑵分量式⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=z 1z 2zy 1y 2y x 1x 2x pp I p p I p p I （3-7）⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系⑸动量原理对碰撞问题很有用二、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含n 个质点，第i 个质点的质量和速度分别为i m 、i v，对于第i 个质点受合内力为内i F ，受合外力为外i F，由牛顿第二定律有dtv m d F F i i i i )(=+内外对上式求和，有∑∑∑∑======+n1i i i n1i i i n1i i n1i i )v m (dtd dt)v m (d F F 内外因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故0=合内力F， 有Pdtd F =合外力 （3-8）结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律概述：1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要力的作用有一个过程。
本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和能量对机械运动进行分析。
2、由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。
3、守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。
动量守恒和能量守恒源于牛顿力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故它是自然界的一条基本定律。
3-1质点和质点系的动量定理一、 冲量 质点的动量定理牛顿第二定律的微分形式d d t =pF d d t =F p 22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ1.冲量：力对时间的积分，常以I 表示，并称⎰=21d t t t F I为在1t ～2t 时间内、力F 对质点的冲量，或简单说成F 的冲量。
说明：（1）.冲量,是一个矢量，大小为21d t t t =⎰I F ，方向是速度或动量的变化方向。
（2）.由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况，才能求出冲量。
实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须采取近似处理。
F 为恒力（方向也不变）时，t =∆I F ；（高中的冲量定义） F 作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。
211d t t t t =∆⎰F F ，21t t t ∆=-2.动量（p ）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。
方向和运动速度的方向相同。
单位：㎏·ｍ/ｓ量纲：MLT －１。
3.质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质点动量的增量。
22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：212121212121---t x x x xt t y y y y t t z zz zt I F dt m υm υI F dt m υm υI F dt m υm υ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰动量定理在打击和碰撞等情形中特别有用。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律（一）教材外习题1 功与能习题一、选择题：1．一质点受力i x F 23 （SI ）作用，沿X 轴正方向运动。
从x = 0到x = 2m 过程中，力F 作功为（A ）8J. （B ）12J. （C ）16J. （D ）24J.（ ）2．如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，下列说法正确的是（A ）重力和绳子的张力对小球都不作功.（B ）重力和绳子的张力对小球都作功.（C ）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功.（D ）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功.（ ）3．已知两个物体A 和B 的质量以及它们的速率都不相同，B 的大，则A 的动能E KA 与B 的动能E KB 之间的关系为（A ）E KB 一定大于E KA . （B ）E KB 一定小于E KA（C ）E KB =E KA（D ）不能判定谁大谁小 （ ）4．如图所示，一个小球先后两次从P 点由静止开始，分别沿着光滑的固定斜面l 1和圆弧面l 2下滑，则小球滑到两面的底端Q 时的（A ）动量相同，动能也相同（B ）动量相同，动能不同（C ）动量不同，动能也不同（D ）动量不同，动能相同 （ ）5．一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？（A ）质点的动量改变时，质点的动能一定改变（B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变（C ）外力的冲量是零，外力的功一定为零（D ）外力的功为零，外力的冲量一定为零（ ）二、填空题： 1．某质点在力F =（4+5x ）i （SI ）的作用下沿x 轴作直线运动，在从x =0移动到x =10m 的过程中，力F 所作功为___________________。
QP l 2 l 12．如图所示，一斜面倾角为θ，用与斜面成α角的恒力F 将一质量为m 的物体沿斜面拉升了高度h ，物体与斜面间的摩擦系数为μ，摩擦力在此过程中所作的功W f =____________________________。
3．一质点在二恒力作用下，位移为j i r 83+=∆（SI ）；在此过程中，动能增量为24J ，已知其中一恒力j i F 3121-=（SI ），则另一恒力所作的功为______________________。
三、计算题：1．一人从10m 深的井中提水，起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去0.2kg 的水。
求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。
2．质量m=2kg 的物体沿x 轴作直线运动，所受合外力F=10+6x 2（SI ）。
如果在x 0=0处时速度V 0=0；试求该物体运动到x =4m 处时速度的大小。
2 动量、冲量质点角动量习题一、选择题：1．动能为E K 的A 物体与静止的B 物体碰撞，设A 物体的质量为B 物体的二倍，m A =2m B 。
若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为（A ）E K （B ）E K /2 （C ）E K /3 （D ）2E K /3（ ）2．在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）（A ）总动量守恒（B ）总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒（C ）总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒（D ）总动量在任何方向的分量均不守恒（ ）3．质量为m 的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下，设打击时间为∆t ，打击前铁锤速率为v ，则在打击木桩的时间内，铁锤所受平均合外力的大小为（A ）t mv ∆ （B ）mg t mv -∆ （C ）mg t mv +∆ （D ）tmv ∆2 （ ）4．人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的（A ）动量不守恒 ，动能守恒 （B ）动量守恒，动能不守恒（C ）角动量守恒，动能不守恒 （D ）角动量不守恒，动能守恒（ ）二、填空题：1．一质量m=10g 的子弹，以速率v 0=500m/s 沿水平方向射穿一物体。
穿出时，子弹的速率为v=30m/s ，仍是水平方向。
则子弹在穿透过程中所受的冲量的大小为______________，方向为__________________________。
2．设作用在质量为1kg 的物体上的力F=6t+3（SI ）。
如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小I=_________。
3．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 t F 31044005⨯-=（SI ） 子弹从枪口射出时的速率为300m ·s -1，假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t=_______________________，（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I=_________________________，（3）子弹的质量m=_______________________。
4．如图所示，X 轴沿水平方向，Y 轴竖直向下，在t=0时刻将质量为m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t ，质点所受的对原点O 的力矩M =____________，在任意时刻t ，质点对原点O 的角动量L =______________________。
三、计算题： 1．静水中停着两个质量均为M 的小船，当第一只船中的一个质量为m 的人以水平速度V （相对于地面）跳上第二只船后，两只船的运动速度各多大？（忽略水对船的阻力）2．质量为M=1.5kg 的物体，用一根长为l =1.25m 的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g 的子弹以v 0=500m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v=30m/s ，设穿透时间极短，求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。
3 质点力学综一、选择题：1．一圆锥摆的摆球在一水平面内作匀速圆周运动。
细悬线长为l ，与竖直方向夹角为θ ，线的张力为T ， 小球的质量为m ，忽略空气阻力，则下述结论中正确的是：（A ）Tcos θ = mg （B ）小球动量不变v（C ）Tsin θ = mv 2/l （D ）T=mv 2/l（ ）2．竖直上抛一小球，若空气阻力的大小不变，则球上升到最高点所需用的时间，与从最高点下降到原位置所需用的时间相比（A ）前者长 （B ）前者短（C ）两者相等 （D ）无法判断其长短（ ）3．如图所示，在光滑平面上有一个运动物体P ，在P 的正前方有一个连有弹簧和挡板M 的a b l静止物体Q ，弹簧和挡板M 的质量均不计，P 与Q 的质量相同，物体P 与Q 碰撞后P 停止，Q 以碰前P 的速度运动，在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（A ）P 的速度正好变为零时（B ）P 与Q 的速度相等时（C ）Q 正好开始运动时（D ）Q 正好达到原来P 的速度时（ ）4．一质量为m 的质点，自半径为R 的光滑半球形碗口由静止下滑，质点在碗内某处的速率为v ，则质点对该处的压力数值为（A ）R mv 2（B ）R mv 232 （C ）R mv 22 （D ）Rmv 252 （ ）5．一光滑的圆弧形槽M 置于光滑水平面上，一滑块m 自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下，不计空气阻力。
对于这一过程，以下哪种分析是对的？（A ）由m 和M 组成的系统动量守恒（B ）由m 和M 组成的系统机械能守恒（C ）由m 、M 和地球组成的系统机械能守恒（D ）M 对m 的正压力恒不作功（ ）6．一质子轰击一α 粒子时因未对准而发生轨迹偏转。
假设附近没有其它带电粒子，则在这一过程中，由此质子和α 粒子组成的系统（A ）动量守恒，能量不守恒 （B ）能量守恒，动量不守恒（C ）动量和能量都不守恒 （D ）动量和能量都守恒（ ）二、填空题：1．在半径为R 的定滑轮上跨一细绳，绳的两端分别挂着质量为m 1和m 2的物体，且m 1>m 2。
若滑轮的角加速度为β，则两侧绳中的张力分别为T 1=________________，T 2=___________。
2．质量为m 1和m 2的两个物体，具有相同的动量。
欲使它们停下来，则外力对它们做的功之比W 1∶W 2=___________；若它们具有相同的动能，欲使它们停下来，则外力的冲量之比为I 1∶I 2=_____________。
3．A 、B 两个小球放在水平光滑平面上，质量m A =2m B ，两球用一轻绳联结（如图），都绕绳上的某点以相同的角速度作匀速率圆周运动，A 球与B 球的运动半径之比r A ∶r B 为_________，动能之比E KA ∶E KB 为__________，动量大小之经P A ∶P B 为_______________。
三、计算题：1．一细绳两端分别拴着质量m 1=1kg ，m 2=2kg 的物体A 和B ，这两个物体分别放在两水平桌面上，与桌面间的摩擦系数都是μ=0.1，绳子分别跨过桌边的两个定滑轮吊着一个动滑轮，动滑轮下吊着质量m 3=1kg 的物体C ，如图所示。
设整个绳子在同一平面内，吊着动滑轮的两段绳子相互平行。
如绳子与滑轮的质量以及滑轮轴上的摩擦可以略去不计，绳子不可伸长，A求A 、B 、C 相对地面加速度1a 、2a 、3a 的大小。
（取g=10m/s 2）2．如图所示，A 点是一单摆的悬点，摆长为l ，B 点是一固定的钉子，在A 点的铅直下方距A 为d 处，为使摆球从水平位置由静止释放后，摆球能够以钉子为中心绕一圆周轨道旋转，则d 至少应等于多少？3．如图，光滑斜面与水平面的夹角α =30︒，轻质弹簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M=1.0 kg 的木块，则木块沿斜面向下滑动。
当木块向下滑x = 30厘米时，恰好有一质量m=0.01kg 的子弹，沿水平方向以速度v=200m/s 射中木块并陷在其中。
设弹簧的倔强系数为k=N/m 。
求子弹打入木块后它们的共同速度。
（二）教材外习题3-2 质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速为v 0抛出，v 0与水平面成仰角α. 若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量.3-3 质量为m 的质点作圆锥摆运动，质点的速率为v ，圆半径为R . 圆锥母线与轴线之间的夹角为α，计算拉力在一周内的冲量.3-5 如图所示，在水平地面上，有一横截面S=0.20m 2的直角弯管，管中有流速为v =3.0m ·s－1的水通过，求弯管所受力的大小和方向. m m3-8 质量为m'的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成α角的速率v0向前跳去. 当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出. 问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）.3-9 一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上. 如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上. 试证明：在绳下落的过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳的重量的三倍.3-14 一物体在介质中按规律x=ct3作直线运动，c为一常量. 设介质对物体的阻力正比于速度的平方. 试求物体由x0 = 0运动到x 0= l时，阻力所作的功. （已知阻力系数为k）3-15 一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水. 求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功.3-18 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距离r按F=k/r3的规律而变化，其中k为常量. 试求两粒子相距为r时的势能. （设力为零的地方势能为零. ）3-22 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m'，从与水平成倾角α=30.0︒斜面上的点A由静止下滑. 设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离l时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动. 当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装货. 试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？3-23 用铁锤把钉子敲入墙面木板. 设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比. 若第一次敲击，能把钉子钉入木板1.00⨯10－2m. 第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？3-27 如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为m'的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面作无摩擦滑动. 求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离.3-30 质量为7.2⨯10－23kg ，速率为6.0⨯107m ·s －1的粒子A ，与另一个质量为其一半而静止的粒子B 发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A 的速率为5.0⨯107m ·s －1. 求：（1）粒子B 的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏转角.3-31 有两个带电粒子，它们的质量均为m ，电荷均为q ，其中一个处于静止，另一个以初速v 0由无限远处向其运动. 问这两个粒子最接近的距离是多少？在这瞬时，每个粒子的速率是多少？你能知道这两个粒子的速度将如何变化吗？⎪⎭⎫ ⎝⎛=221r q q k F 已知库仑定律为 3-32 如图所示，一质量为m '的物块放置在斜面的最底端A 处，斜面的倾角为α，高度为h ，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m 的子弹以v 0速度沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小.3-33 如图所示，一个质量为m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A 滑下. 设容器质量为m '，半径为R ，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上. 开始时小球和容器都处于静止状态. 当小球沿内壁滑到容器底部的点B 时，受到向上的支持力为多大？。
