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图论模型的构建

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图论模型的构建

图论模型的构建

为此，我们必须寻找解决问题的更好途径。
【方形柱体堆砌问题分析】
对符合要求的方形柱体来讲，交换任意两个正 方体的上下位置，得到的方形柱体仍是符合要求的， 即它的4个侧面都有4种颜色。它的每一对对面由4 个正方体各一个对面组成，因此问题的要素是4个正 方体各3个对面的颜色的构成，于是从每个对面的着 色考虑。用字母b,g,r,y分别表示蓝、绿、红、黄4种 颜色，并作为图的4个 顶点，4个正方体的各三个对 面依各对面的颜色连以边，并分别标以e1、e2、e3、 e4，比如第一个正方体有一对面着蓝、黄两色，则 从顶点b到y引一条边标以e1,另两对面为红对红、红 对绿，故联结r,e和r,g,均标以 e1。同样地根据第二、 三、四正方体的各对面着色分别连以边并分别标以 e2 、e3、e4。则得图G，如图1—3所示。
si<si+p
(0≤i≤n-p)
si+q<si
(0≤i≤n-q)
【奇怪的数列分析】
下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不 等式可以建立一个有向图，图中共有n+1个顶点，分别 为s0，s1，……，sn。若si>sj(0≤i，j≤n)，则从si往sj 引出一条有向边。例如对于n=6，p=5，q=3的情况， 我们可以建立图4
begin
if i+p<=n then begin
g[i+p，i]=1；
d[i]=d[i]+1；
end；
if i+q<=n then begin
g[i，i+q]=1；
d[i+q]=d[i+q]+1；
end；
end；
【奇怪的数列分析】
显然，按照上面的定义，如果建立的图可以拓扑排序，其 顶点的拓扑序列可以对应满足条件的整数数列；反之，不 存在这样的整数数列。 算法框架为：
数学建模-图论模型

数学建模-图论模型


思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
图论方法及其建模

图论方法及其建模

95-B
天车与冶炼炉的作业调度 — 动态规划、排队
论、图论
97-B
98-B
截断切割的最优排列 — 随机模拟、图论
灾情巡视的最佳路线 — 图论、组合优化
99-B
07-B
钻井布局 — 0-1规划、图论
乘公交,看奥运 — 双目标规划、图论 图论 0-1规划
5
11-B 交巡警服务平台的设置与调度
13
设 Pt { p1 , p2 , p3 , p4 } 是 t 时刻运行的程序集合，
Rt {r1 , r2 , r3 , r4 } 是 t 时刻所需的资源集合． 资源的分配 状况如下： p1 占有资源 r4 且申请资源 r1； p2 占有资源 r1 且申请资源 r2 及 r3； p3 占有资源 r2 且申请资源 r3； p4 占 有资源 r3 且申请资源 r1 及 r4 ．它们的资源分配情况可用
25
2、根树
一棵非平凡的有向树，如果恰有一个结点的入度 为0，其余结点的入度均为1，则称此有向树为根树. 入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶，出 度不为0的结点称为分枝点。
习惯上我们把根树的根 画在最上方，叶画在下方， 有向边的方向均指向下方， 这样就可以省去全部箭头。
26
3、欧拉图
如果图G中具有一条经过所有边的简单回路,称欧 拉回路,含欧拉回路的图称为欧拉图；如果图G中具 有一条经过所有边的简单(非回路)路径,称欧拉路。
(4) 有向图 G 是(弱)连通图当且仅当以它的邻接矩阵
A
A AT 作为邻接矩阵而得到 及其转置 A 的布尔和
T
的可达矩阵的元素全为 1。
21
另外，也可以利用图的可达性矩阵判断有无回 路：图G中存在回路当且仅当它的可达性矩阵的 主对角元不全为零。也可以利用可达矩阵求出无 向图的连通分支等。
图论数学模型

图论数学模型


关于工序流程图画法的说明
• （1） “拆卸”，“清洗”等这些具体工作称为 工 序 ，用实箭线“→”来表示。工序名称写在箭线上方， 完成这项工序的时间写在箭线下面，箭线的方向代表 了工序时间的流向 . • （2）工序之间交接处表示的圆圈称为 事项 或 结 点 ，用以标志前面工序的结束和允许后面工序的开始， 是工序完成或开始的瞬间符号，具有承上启下、把工 序衔接起来的作用 . • （3）若 A 工序必须在 B 工序完成之后才有条件进 行，则称 A 是 B 的 紧后工序 ，或称 B 是 A 的 紧 前工序 . 另外，同一对结点间不能表示两个及其以上 个工序，如图 2 － 21 （ 左图 ）的画法是不允许的， 为此引进了虚工序概念而将此表示式画成图 2 － 21 （右图）的形式 .
• 解：TCP;ABS;RD
• 例 3 工程流程图 • （ 第五届北京高中数学知识应用竞赛题） • 机床的大修有如下的工作项目：拆卸③，清洗④， 电器检修④，部件检查①，零件加工④，零件修 理⑤，床身和工作台研合②，部件组装（不含电 器）②，变速器组装①，试车③ . • 1. 画出工序的流程图，即用图表示出各项工作 的衔接关系 . • 2. 假定大修期间没有耽误任何时间，并把开始 拆卸时刻记为 0 ，试问：大修完成的时刻最早是 多少？ • 3. 在不影响最短时间完工的条件下，每个工作 项目最早和最迟开工时间各是多少？
第二章
图论数学模型 及其应用
2.3 建立图模型 解决实际问题的趣例
• 例 1 节目排序问题 • 一场文艺演出共有 8 个节目 , 全体演员中 有 10 人须参加两个以上的节目演出 , 情 况如表，表中的√号所示 , 如演员 1 要参 加三个节目 A 、 B 和 H. 若节目主办单 位希望首尾两个节目为 A 和 H, 或为 H 和 A, 并且希望每个演员不连续参加两个 节目的演出 , 试为主办单位安排一个节目 顺序表 .
5、图论模型的建立

5、图论模型的建立

图论建模
信息学竞赛解题的一个重要步骤是数学建模， 如几何模型、代数模型、运筹学模型等。图论模型 的构造（图论建模）也是数学建模的一个分支。 在建立一个问题的模型之前，首先要对研究对 象进行全面的调查，将原型理想化、简单化（对于 竞赛而言，这一步大部分已经由命题者完成）；然 后对原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及 求解目标，理出它们之间的联系；然后用恰当的模 型来描述这些要素及联系。
图论建模
[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图：
下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不等式可以建立一个 有 向 图， 图中 共 有n+1个顶 点 ，分 别为 s0 ，s1 ，……，sn 。若 si>sj(0≤i， j≤n)，则从si往sj引出一条有向边。例如对于n=6，p=5，q=3的情况，我们可 以建立下图。
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图论建模
图论模型和其它模型在研究方法上有着很大的 不同，例如可以运用典型的图论算法来对图论模型 进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模 型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所 不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种 直观的结构来描述的也很少。
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是指对一些客观事物进行抽象、化简， 并利用图来描述事物特征及其内在联系的过程。建 立图论模型的目的和建立其它数学模型一样，都是 为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以 是存在性或构造性问题；并且和几何模型、运筹学 模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到 集合、映射、函数等基本的数学概念和工具。
图论基础知识

图论基础知识

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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
邻接矩阵
边集数组
邻接表
优点O（1）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。 图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
图论建模方法

图论建模方法

• 定理10. 8设T是(n.m)非平凡图.则下列命题等价: • (1) T是树; (2)T无圈.m=n-1; • (3) T连通.m=n-1;(4)T无圈.任加一边有唯一圈; • (5)T连通.任去一边不连通;(6) T的任二顶点恰有一条路连通. • 由定理10. 8可直接导出下面的结果: • (1)树是边数最少的连通图; (2)连通图的极大无圈生成子图是生成树; • (3)连通图的极小连通生成子图是生成树. • 由此可见.在n个城市之间.修建n-1条直通高速公路足以形成连通的
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
图论模型的建立

图论模型的建立


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图论建模
例1、奇怪的电梯（LIFT.???） 问题描述： 呵呵，有一天我做了一个梦，梦见了一种很奇怪的电梯。大楼的每一层楼都可以停电梯，而且第i层 楼(1<=i<=N)上有一个数字Ki(0<=Ki<=N)。电梯只有四个按钮：开，关，上，下。上下的层数等于当前楼 层上的那个数字。当然，如果不能满足要求，相应的按钮就会失灵。例如：3 3 1 2 5代表了 Ki(K1=3,K2=3,……)，从一楼开始。在一楼，按“上”可以到4楼，按“下”是不起作用的，因为没有-2 楼。那么，从A楼到B楼至少要按几次按钮呢？
图论建模
[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图：
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图论建模
例2、渡河问题（river） 一个人带了一只狼、一只羊和一棵白菜想要过河，河上有一只独木船， 每次除了人以外，只能带一样东西。另外如果人不在旁边时狼就要吃羊，羊 就要吃白菜。问：应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西带过河，在河 上来回的次数又最少呢？ [问题分析] 我们用变量M代表人、W代表狼、S代表羊、V代表白菜，∮代表空（什 么都没有）。开始时设人和所有东西都在左岸，这种情况用MWSV表示。 我们用一个集合表示目前左岸的情况，很明显，可能出现16种情况： [MWSV] [MWS] [MWV] [MSV] [WSV] [MW] [MS] [MV] [WS] [WV] [SV] [M] [W] [S] [V] [∮] 但要剔除掉6种可能发生狼吃羊和羊吃白菜的情况（红色），实际是10 种。下面我们就把这10种情况作为10个顶点，来构造一个无向图G，图G的边 按下列原则来定义：如果经过一次渡河，情况甲能变成情况乙，那么就在情 况甲与情况乙之间连一条边。得到下图：
NOI导刊-图论模型的构建

NOI导刊-图论模型的构建

• 例如，对于上图所示的有向图，可以得到下表：
• 所以，得到s0=0，s1=-3，s2=2，s3=-1，s4=-4，s5=1，s6=-2。再根据s的 定义，由： ai=(a0+a1+…+ai-1+ai) - (a0+a1+…＋ai-1)=si-si-1 ，求出：a1=s1s0=-3，a2=s2-s1=5，a3=s3-s2=-3，a4=s4-s3=-3，a5=s5-s4=5，a6=s6-s5=-3。显 然这个整数数列的任意连续５个整数之和为正，任意连续３个整数之 和为负。
一特点上。设si表示数列前i个整数之和，即si=a1+a2+…+ai。 其中s0=0 (0≤i≤n)。显然根据题意，有：
si<si+p
(0≤i≤n-p)
si+q<si
(0≤i≤n-q)
• 下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不等 式可以建立一个有向图，图中共有n+1个顶点，分别为s0， s1，……，sn。若si>sj(0≤i，j≤n)，则从si往sj引出一条有向边。
初步构图
• 如果Ai与Aj不相容，那么如果选择了Ai，必须选择 Aj‘ ；同样，如果选择了Aj，就必须选择Ai’ 。
Ai
Aj'
Aj
Ai‘
这样的两条边对称
• 我们从一个例子来看：
• 假设4个组，不和的代表为：1和4，2和3，7和3， 那么构图：
1
3
5
7
2
4
6
假设：
首先选1 3必须选，2不可选 8必须选，4、7不可选
分析：
• 原题可描述为： 有n个组，第i个组里有两个节点Ai, Ai' 。需要从每个 组中选出一个。而某些点不可以同时选出（称之为 不相容）。任务是保证选出的n个点都能两两相容。
(优选)第二讲图论模型Ppt

(优选)第二讲图论模型Ppt

定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 v来表示； 图的边的数目|E(G)|用 来表示.
用 G (V (G), E(G)) 表示图，简记 G (V , E). 也用 viv j 来表示边 (vi ,v j ).
例设 G (V (G), E(G)) ， 其中：V (G) {v1,v2,v3,v4}， E(G) {e1,e2, e3,e4,e5,e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3， e4 v1v4，e5 v3v4，e6 v3v4. （见图 2）
6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
7) 若V (G) X Y，X Y ，且X 中任意两顶点不
相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或 偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为Km,n (m=|X|,n=|Y|)．
，
8) 图 K1,n 叫做星.
X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3
Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4
K1,4
K6
二部图
K3,4
2) 赋权图与子图
定义 若图 G (V (G), E(G)) 的每一条边e 都赋以 一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图.
定义 设 G (V , E)和 G (V , E)是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G是 G 的一个子图,记 G G. 2) 若V V，E E ，则称 G是G的生成子图.
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联.
2)与同一条边关联的两个端点称 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边.
3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆.
基于图论算法的社交网络分析与模型构建

基于图论算法的社交网络分析与模型构建

基于图论算法的社交网络分析与模型构建社交网络已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。

人们通过社交网络平台与他人交流、分享信息、建立联系。

随着社交网络的快速发展，对社交网络的分析与建模也变得越来越重要。

基于图论算法的社交网络分析与模型构建成为一种有效的方法，可以揭示社交网络中隐藏的模式和结构，为我们提供深入了解和预测用户行为、信息传播和社会关系等方面提供支持。

在基于图论算法的社交网络分析中，图是最基本且重要的概念。

在这个框架下，我们可以将用户或实体表示为图中的节点，将他们之间的关系表示为边。

这样一来，我们就可以通过对图结构进行分析来了解用户之间是如何相互联系和影响的。

首先，在进行社交网络分析之前，我们需要收集和处理大量数据。

通过数据收集工具或API接口获取到用户在平台上发布、分享或互动等行为数据，并将其转化成适合进行图论算法处理的形式。

这些数据包括用户个人信息、好友关系、发布内容等。

接下来，在构建图模型时需要考虑节点之间关系以及节点属性对于整个图结构以及后续算法运行结果的影响。

节点之间的关系可以通过边的权重来表示，权重可以反映节点之间的关系强度或者其他度量指标。

节点属性可以包括用户属性、行为特征等，这些属性可以帮助我们更好地理解用户行为和社交网络结构。

然后，我们可以利用图论算法来分析和挖掘社交网络中的模式和结构。

图论算法包括但不限于最短路径算法、中心性算法、社区发现算法等。

最短路径算法可以帮助我们找到两个节点之间最短路径的长度，这对于了解信息传播、影响力传播等具有重要意义。

中心性算法可以帮助我们找到网络中最重要或者最具影响力的节点，这对于社交网络营销和用户推荐等方面具有指导意义。

社区发现算法可以帮助我们发现社交网络中隐藏的子群体或者兴趣群体，这对于了解用户兴趣偏好以及信息传播模式非常有用。

此外，在进行图论分析时还需要考虑图结构动态变化以及大规模数据处理等挑战。

由于社交网络是动态变化的，在进行分析时需要考虑时间维度以及不同时间段内图结构变化对分析结果的影响。

算法合集之《图论模型的建立与转化》

图论模型的建立与转化安徽徐静关键字：图论模型、建立、转化摘要本文主要写图论模型的建立与转化，共分四部分：第一部分引言说明了图论建模在整个信息学竞赛中的地位，以及图论模型与其它数学模型的异同，并指出很有研究总结图论建模的思想、方法及技巧的必要。

第二部分提出了图论模型建立中的两个要点：对原型中的要素进行适当的取舍和选择合适的理论体系，并分别举例加以详细分析，然后从中总结出了图论建模的总的原则：准确、清晰、简明。

第三部分主要讨论了在图论模型的转化中，应用得较为广泛的两种方法：拆分转化和补集转化，并着重分析了前者。

文中把前者分为三类：点→边、点→点、边→边，其中详细分析了第二类。

第四部分总结了全文，并指出了进一步研究图论模型的必要性目录一．引言 (2)二．图论模型的建立 (2)I.要素的取舍 (2)II.选择合适的理论体系 (4)三．图论模型的转化 (7)I.拆分转化 (7)II.补集转化 (10)四．结语 (11)正文一.引言信息学竞赛以解题为主，整个解题过程中一个重要的步骤就是数学建模，本文要讨论的就是数学建模的一个分支——图论建模。

图论建模是指对一些客观事物进行抽象、化简，并用图1来描述事物特征及内在联系的过程。

建立图论模型的目的和建立其它的数学模型一样，都是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以是存在性或是构造性问题；并且，和几何模型、运筹学模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到集合、映射、函数等基本的数学概念和工具；但图论模型和其它模型在它们的研究方法上又有着很大的不同，例如我们可以运用典型的图论算法来对图论模型进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种直观的结构来描述的也很少。

我们学习图论，一般都是通过书籍，但书上介绍的往往只限于图论模型的基本要素、一些图论的相关理论和经典算法等，至于如何建立图论模型、如何运用这些理论和算法、如何研究图论问题，都只有靠自己来理解、来领会，并通过实践来验证这些理解，通过摸索总结来提高自己的能力。

图论模型的构建共42页

60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道பைடு நூலகம்——苏联
图论模型的构建
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克

浅谈图论模型的建立与应用

至于S[23]，我们可以用二分法枚举，逐步缩小范围，用迭代法判断是否存在 负权回路（判定可行性），最终求得S[23]的最小值。时间复杂度为 O(243*log2N)。
例题2 出纳员的雇佣（ACM Tehran 2000）
小结
本题用到了差分约束系统的理论，在竞赛中，这样的系统并不多见， 但是却可以巧妙的解决一些难题。这类题目的模型都不明显，需要一定的思 考和转化。做这类题目，关键是要把题目中的约束条件表示为不等式，再把 不等式转化为图的最短路或最长路模型。
例题3 贪婪之岛（ZOJ）
问题描述
有N（N≤100000）张卡片，每张卡片有三种能力，每种 能力的能力值分别为Ai，Bi，Ci。每张卡片可以使用其中 一种能力，且每张卡片只能使用一次。现在需要A张卡片 使用第一种能力，B张卡片使用第二种能力，C张卡片使用 第三种能力（A+B+C≤100）。请计算使用哪些卡片，以及 使用卡片的哪项能力，可以使相应的能力值之和最大。
例题2 出纳员的雇佣（ACM Tehran 2000）
分析
0≤S[i]-S[i-1]≤Wi S[i]-S[i-8]≥Ri
(0≤i≤23) (8≤i≤23)
S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri (0≤i≤7)
退一步考虑：如果S[23]已经确定了，那么上面的不等式组可以完全转化为一 个有向图，顶点0到顶点ｉ的最短路，就是S[i]的解。而当图中存在负权回路时， 不等式组无解。
放在空地上。在同一行或同一列
的两个机器人，若它们之间没有
墙，则它们可以互相攻击。问给
定的棋盘，最多可以放置多少个
Empty
机器人，使它们不能互相攻击。
Grass
Wall
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图论模型的构建
•
•二．图论建模方法
1. 要素的选取
• 在建立模型之前，我们首先要对研究对象进
行全面的调查，将原型理想化、简单化；然后对
原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及求
解目标，理出它们之间的联系；下一步就是用恰
当的模型来描述这些要素及联系。
• 【例1】渡河问题
•
一个人带了一只狼、一只羊和一筐白菜想要
•e
•e3
4
•
•2. 选择合适的理论体系
• 图由点、边、权三部分组成，根据这三部分的 性质的不同，就有着不同的图论模型，有着不同的理 论和算法，也就构成了不同的理论体系。图论建模依 据的是图论的基本理论和基本算法。
• 例如二分图把整个点集V分为两个子集，规定子 集内部的点之间没有边，因此二分图就有着不同于一 般图的特殊性质，而它的匹配算法也就比一般图的算 法简单；此外还有树、有向无环图等，它们属于不同 的理论体系，有着各自不同的性质，适于用不同的算 法求解。
•问题的求解目标：求河上往返次数最少的渡河方案。
• 对于要素（1），用字母m代表人，w代表狼，s代表 羊，v代表白菜。 • 要素（2）、（3）可抽象为开始时设人和其他三样东 西在河的左岸，这种情况用集合{mwsv}表示。在过河过 程中左岸出现的情况有以下16种： •{wmsv} {mws} {mwv} {msv} {wsv} {mw} {ms} {mv} •{ws} {wv} {sv} {m} {s} {v} {w} {φ}
过河。河上有一只小船，每次除了人以外，只能
带一样东西。另外，如果人不在时狼就会吃掉羊
，羊就要吃白菜。问怎样安排渡河，才能做到既
把所有东西都带过河，而且在河上往返次数最少
？
•
•问题的要素有三点：（1）人及他所带的3样东西；（ 2）人不在时狼就会吃掉羊，羊就要吃白菜，即人在渡 河时，一岸上不能同时留下狼和羊或羊和白菜；（3） 人每次至多带一样东西渡河，并要保证岸上的安全。
形柱体，堆成的方形柱体每个侧面4种颜色都有。
•求解任务：1、这4个正方体能否堆成符合要求的方形柱体？
•
2、若能，找出一种堆砌方法。
•
•【方形柱体堆砌问题分析】
• 一个正方体有6个面，所以4个正方体可以堆砌 出为数十分可观的不同状态。就是确定了4个正方 体依Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ次序从上到下排列，只考虑两 两接触面不同，也有6^4=1296种排列，这里还没 有考虑4个侧面的不同组合。若考虑到后者，又会 衍生出许多各异的形式，先令第Ⅰ个正方体保持不 动，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ正方体个有4个侧面，故有4^3=64 种状态。因此即使在从上到下按序排列情况下，仍 然有1296×64=82944种状态。若用穷举法求这类 问题，将是不胜其烦的。 •为此，我们必须寻找解决问题的更好途径。
•
•权的加入使图论模型和求解目标变得更加复杂多样
•
有的权则表示容量或是流量，它们的运算特征是“
串联求最值，并联求和”，即一条路径上最大或是最小
的权决定了整条路径的权，而求解目标则是求图中或是
两点之间所有路径的权的加和。
•
还有的图不仅包含边权（边集E到实数集R的映射
），还包含点权（点集V到实数集R的映射）；或是包
•
•问题的求解目标就归结为：在图G中找一条连接顶点mwsv与 φ，并且包含边数最少的路径。把图的边长设为1，那么渡河 问题归结为求顶点mwsv到顶点φ的最短路径问题。
•
•【例2】方形柱体堆砌
• 有4个正立方体，它们的6个侧面各着以绿、蓝、红、黄4
种颜色之一，如图1-2所示。现在要把这4个正方体堆成一方
•
•剔除下述6种可能发生狼吃羊，羊吃白菜的情况：（注意 照顾右岸的情况） •{wsv} {ws} {sv} {mw} {mv} {m} •将剩下的10种情况作为图G的顶点，图G的边是按下述规 则来连接的：如果情况A经过一次渡河可以变成情况B， 就在情况A与情况B之间连一条边。根据这一规则，构造 的图G如下面所示：
含好几类不同性质的权。
•
有的权表示长度或是时间等等，它们的运算特征是
“串联求和，并联求最值”，即一条路径的权由这条路
径上每条边的权相加得到，求解目标往往是求图中或是
两点之间所有路径的权的最优值。
•
• 权的运算也会产生一些变形，例如权的运算由 简单的相加、求最值扩展到相乘，或是更复杂的函数 计算等等。
问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使
它们不能互相攻击。
• 空地 •E草m地ptGyrass
•墙 Wall
•
•【模型一】 • 在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心 的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此，我们很 自然想到了下面这种简单的模型：
•
•e4
•b
•e3
•e1 •e2
•e4 •e3
•y
•e2
•e3
•r
•e1
•从图中，能 找到两个 •e2 Hamiltion回 路，每个回路
•e1
的4条边分别 是
•g •e4 •e1,e2,e3,e4 。
•(见下页 )
•
•e4
•b
•e3
•r
•e1
•e1 •e2
•e4
•e2
•e3
•e1
•y
•e2
•g
•
•【方形柱体堆砌问题分析 •】 对符合要求的方形柱体来讲，交换任意两个正
方体的上下位置，得到的方形柱体仍是符合要求的 ，即它的4个侧面都有4种颜色。它的每一对对面由 4个正方体各一个对面组成，因此问题的要素是4个 正方体各3个对面的颜色的构成，于是从每个对面的 着色考虑。用字母b,g,r,y分别表示蓝、绿、红、黄4 种颜色，并作为图的4个 顶点，4个正方体的各三个 对面依各对面的颜色连以边，并分别标以e1、e2、 e3、e4，比如第一个正方体有一对面着蓝、黄两色 ，则从顶点b到y引一条边标以e1,另两对面为红对红 、红对绿，故联结r,e和r,g,均标以 e1。同样地根据 第二、三、四正方体的各对面着色分别连以边并分 别标以e2 、e3、e4。则得图G，如图1—3所示。
• 以上这些差异形成了图论模 型的多样化，使图论模型可以广 泛地适应各类问题，但这些丰富 的选择同时也增加3】 机器人布阵
•
有一个N*M(N,M<=50)的棋盘，棋盘的每
一格是三种类型之一：空地、草地、墙。机器人
只能放在空地上。在同一行或同一列的两个机器
人，若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。