微分几何2-2

第二章 曲面：局部理论
上一条弧长参数曲线， 假设 α ( s ) 为曲面 M 上一条弧长参数曲线，满足
α (0) = P, α ′(0) = V .
那么由之前的计算得到 ΙΙ P (V , V ) = κ N ⋅ n . 它给出了曲线 α 的曲率向量 κ N 在曲面 M 的单 位向量上的投影， 处的法曲 位向量上的投影，我们称它为α 在点P 处的法曲 率，记为 κ n 。
第二章 曲面：局部理论
定理（Euler公式 公式） 定理（Euler公式）令 e1 , e2 为曲面 M 在点 P 的 单位主方向， 单位主方向，分别对应主曲率 k1 和 k2 。假设 切向量 V = cos θ e1 + sin θ e2，其中 θ ∈ [0, 2π ) 。 则 ΙΙ(V , V ) = k cos 2 θ + k sin 2 θ .
α ( s) , α (0) = P, α ′(0) = V .
则它在点 P 的主法向量 N 为 ± n( P) ，曲率
±κ = κ N ⋅ n = T ′ ⋅ n = −T ⋅ (n α )′(0) = −V ⋅ DV n( P).
第二章 曲面：局部理论
对任意切向量 V ∈ TP M ， n 的方向导数 DV n( P) ∈ TP M 仍然是切向量。由此定义的映射 仍然是切向量。 命题
xu ⋅ n v . xv ⋅ n v
类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形 类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形 式的二次微分形式
l m du ΙΙ = (du, dv) = −dx ⋅ d n m n dv
第二章 曲面：局部理论
是单位正交标架， 如果 { xu , xv } 是单位正交标架，则矩阵 ΙΙ P 就是 但是一般情形下， 形状算子 S P 。但是一般情形下，S P 有矩阵表示
ΙΙ P : TP M × TP M → ℝ, ΙΙ P (U , V ) = S P (U ) ⋅V , U ,V ∈ TP M .
特别的对于V ∈ TP M ,
V = 1,
ΙΙ P (V ,V ) = S P (V ) ⋅ V = − DV n( P) ⋅V = ±κ .
第二章 曲面：局部理论
第二章 曲面：局部理论
曲面的很多几何性质体现在其Gauss映射中， 曲面的很多几何性质体现在其Gauss映射中，例如 Gauss映射中 平面的切平面不变，Gauss映射为常值函数 映射为常值函数； 平面的切平面不变，Gauss映射为常值函数； 圆柱的切平面沿着母线不变， Gauss映射将圆 圆柱的切平面沿着母线不变，则Gauss映射将圆 柱面映射到球面的一个圆周上； 柱面映射到球面的一个圆周上； 圆心在原点的球面， Gauss映射就是位置向量 圆心在原点的球面， Gauss映射就是位置向量 的单位化。 的单位化。
第二章 曲面：局部理论
曲面的第二基本形式局部参数表示下有对称矩阵 曲面的第二基本形式局部参数表示下有对称矩阵 第二基本形式 形式
l m xuu ⋅ n ΙΙ P = = x ⋅n m n vu
xuv ⋅ n xu ⋅ n u = − xvv ⋅ n xv ⋅ n u
第二章 曲面：局部理论
利用向量函数的混合偏导来证明当 U = xu , V = xv 满足: 时 S P 满足:
S P ( xu ) ⋅ xv = − Dxu n( P) ⋅ xv = − n u ⋅ xv = n⋅ xvv
= − n v ⋅ xu = − Dxv n( P) ⋅ xu = S P ( xv ) ⋅ xu .
第二章 Байду номын сангаас面：局部理论
主曲率是法曲率的最大值和最小值。 主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假 则由Euler Euler公式得 设 k2 ≤ k1 ，则由Euler公式得
k1 cos 2 θ + k2 sin 2 θ = k1 + (k2 − k1 ) sin 2 θ ≤ k1 , k1 cos θ + k2 sin θ = (k1 − k2 ) cos θ + k2 ≥ k2 .
第二章 曲面：局部理论
Meusnier公式 公式） （Meusnier公式）假设 α 为曲面 M 上在点 P 的一条曲线， 的单位切向量为 V 的一条曲线，则
ΙΙ P (V , V ) = κ n = κ cos φ , 其中 φ 为曲线主法向量 N 和曲面单位法向 的夹角。 量 n 的夹角。
曲面上曲线在某一点的法曲率只取决于此点的 切向量。 切向量。 渐近线的法曲率处处为零。 渐近线的法曲率处处为零。
T 在 P 点邻域上的有正则参数表示 x (u , v ) ， P M 有自然的基底 xu , xv ，我们定义曲面的 第二类基本量
{
}
l = ΙΙ P ( xu , xu ) = − Dxu n⋅ xu = xuu ⋅ n, m = ΙΙ P ( xu , xv ) = − Dxu n⋅ xv = xuv ⋅ n = ΙΙ P ( xv , xu ), n = ΙΙ P ( xv , xv ) = − Dxv n⋅ xu = xvv ⋅ n .
第二章 曲面：局部理论
例2 如图所示圆柱螺面是 一个直纹面， 一个直纹面，它所有的 直母线明显都是渐近线。 明显都是渐近线。 另外，不太明显的， 另外，不太明显的， 其上的一族圆柱螺线 也都是渐近线。 也都是渐近线。
第二章 曲面：局部理论
事实上，如右图所示， 事实上，如右图所示，在点 P 处的沿圆柱螺线单位切向量的 为拐点。因此， 法截线在点 P 为拐点。因此， 圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近 线。 具体计算为作业。 具体计算为作业。
1 2
证明： 证明：略。
第二章 曲面：局部理论
注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都 有相同的（非零）曲率； 有相同的（非零）曲率； 下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。 下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。
第二章 曲面：局部理论
定义 如果曲面 M 切向量V ∈ Tp M 确定的法截 线点 P 处的曲率为零 ，即
n u = n v = 0.
由连通性可以得出
n
是常向量，即曲面是平面。 是常向量，即曲面是平面。 ■
第二章 曲面：局部理论
中心在原点的的球面， 例1 M 是半径为 a ，中心在原点的的球面，则 在局部参数表示下Gauss Gauss映射为 在局部参数表示下Gauss映射为
它的形状算子满足
1 n = x(u, v). a
推论 曲面 M 在点 P 处有渐近方向当且仅当
k1k2 ≤ 0.
证明 首先 k2 = 0 当且仅当 e2 是渐近方向。然 是渐近方向。 后不妨设 k2 ≠ 0 。如果 V = cos θ e1 + sin θ e2 ， 那么 k1 cos 2 θ + k2 sin 2 θ = 0 ⇒ k1k2 = −k2 2 tan 2 θ ≤ 0. 反过来， 反过来，由 k1k2 ≤ 0 ，我们很容易构造渐近 方向 V 。
第二章 曲面：局部理论
证明 假设法截线有弧长参数表示
α ( s ) , α (0) = P, α ′(0) = V . 是单位向量， 考虑到 n α ( s ) 是单位向量，满足
DV n( P) ⋅ n( P) = (n α )′(0) ⋅ (n α )(0) = 0.
成立。 所以 DV n( P) ∈ TP M成立。 另外 DV n = ∇ n⋅ V 关于向量 V 自然是线性的。 自然是线性的。
2 2 2
法曲率的最大值和最小值出现在互相正交的方 向上。 向上。
第二章 曲面：局部理论
下面我们介绍曲面理论中极其重要的一些概念。 下面我们介绍曲面理论中极其重要的一些概念。 定义 曲面 M 在点 P 处的两个主曲率的乘积
K = k1k2 = det S P Gauss曲率 曲率； 称为 M 在点 P 的 Gauss曲率；主曲率的平均值 1 1 H = (k1 + k2 ) = trS p 2 2 中曲率（平均曲率） 称为 M 在点 P 的中曲率（平均曲率）。
1 1 S P ( xu ) = − n u = − xu , S P ( xv ) = − n v = − xv . a a
1 所以它在每点切平面上都是的数量线性变换 I 。 a
第二章 曲面：局部理论
对于一般的曲面， 对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子 下的矩阵形式。 在切平面的局部标架 { xu , xv } 下的矩阵形式。 但是形状算子的关于内积的对称性诱导我们定义 曲面的第二基本形式 曲面的第二基本形式
S P : TP M → TP M : V ֏ DV n( P )
是一个对称的线性映射， 是一个对称的线性映射，即
S P (U ) ⋅ V = U ⋅ S P (V ) , ∀U ,V ∈ TP M .
我们称 S P 为曲面在点 P 的形状算子，或者 形状算子， Weingarten映射 映射。 Weingarten映射。
ΙΙ P (V , V ) = 0, 的一个渐近方向 渐近方向。 我们称 V 为 M 在点 P 的一个渐近方向。
如果曲面上的曲线每一点的切方向都是渐近方 那么这条曲线称为渐近线 渐近线。 向，那么这条曲线称为渐近线。 如果曲面包含直线，则直线为渐近线。 如果曲面包含直线，则直线为渐近线。
第二章 曲面：局部理论
第二章 曲面：局部理论
思路： 的形状， 思路：曲面 M 在点 P 的形状，可以由曲面 M 上 的曲线的曲率来描述。 经过点 P 的曲线的曲率来描述。
第二章 曲面：局部理论
定义 在点 P 由单位切方向 V ∈ TP M 和单位法向 量 n( P) 决定的平面称为曲面在点 P 由此切方向 确定的法截面 法截面。 确定的法截面。法截面与曲面的交线称为曲面 法截线。 的一条法截线 在点 P 的一条法截线。 假设某条法截线由弧长参数表示