中国石油大学(北京)研究生期末考试试卷《工程数学》试题A卷及参考答案

中国石油大学（北京）2010 --2011 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：工程数学课程编号：063001 一、 填空题(每小题4分，共20分)1、4510-⨯ 2、1a < 3、21n - 4、3 5、1000.5102.501⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭二、（15分）解： 1 0 0 2 -1 7Q=0 -0.6 -0.8,0 -5 -100 -0.8 0.60 0 -5R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 或 1 0 0 2 -1 7Q=0 0.6 0.8,0 5 100 0.8 -0.60 0 5R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解Qy b =, 得 (10,5,5)Ty =--解Rx y =， 得 (1,1,1)Ty =-三、（15分）解：(1) Jac 迭代格式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩ 迭代3步的结果为：(1)(2)(3)(1,3,5),(5,3,3),(1,1,1)T T T x x x ==--=G-S 迭代格式为:(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩迭代3步的结果为：(1)(2)(3)(1,2,1),(5,9,3),(23,29,7)T T T x x x =-=--=--（2）Jac 迭代矩阵为：1022()101220J B D L U --⎛⎫ ⎪=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭3J I B λλ-=故()01J B ρ=< 所以Jac 迭代收敛； G —S 迭代矩阵为：1022()023002G B D L U --⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2(2)G I B λλλ-=-故()21G B ρ=> 所以G-S 迭代不收敛。

中国石油大学(北京)《工程力学》期末考试答案37567中国石油大学（北京）远程教育学院期末考试《工程力学》学习中心：____姓名：___学号：____ 关于课程考试违规作弊的说明1、提交文件中涉嫌抄袭内容（包括抄袭网上、书籍、报刊杂志及其他已有论文），带有明显外校标记，不符合学院要求或学生本人情况，或存在查明出处的内容或其他可疑字样者，判为抄袭，成绩为“0”。

2、两人或两人以上答题内容或用语有50%以上相同者判为雷同，成绩为“0”。

3、所提交试卷或材料没有对老师题目进行作答或提交内容与该课程要求完全不相干者，认定为“白卷”或“错卷”，成绩为“0”。

一、题型简答题，8题，每题5分，共40；计算题，4题，每题15分，共60分）二、题目学号尾数为奇数的同学做题目序号后有“A”字样的题，学号尾数为偶数的同学做题目序号后有“B”字样的题简答题：1A 在铸铁压缩试验中，破坏后的铸铁试样断口平滑呈韧性，与轴线近似成45°。

破坏前，该断口所在斜截面的应力有何特点？答：剪应力最大1B 在铸铁扭转试验中，铸铁断口的形态是什么样的？答：断口呈螺旋面、与轴线近似成45°。

2A 根据铸铁试件扭转破坏断口可以推断，铸铁的扭转破坏和什么因素有很大的关系？答：最大拉应力2B 电阻应变片（简称电阻片或应变片）应用广泛，它是利用什么原理实现电测的？答：金属丝的电阻随机械变形而发生变化 3A 冲击韧性的物理意义是什么？答：试样断裂过程中断面单位面积吸收的能量3B 矩形截面梁在截面B处沿铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有，如图所示。

请问最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A的哪些点上？答：4A 构件中危险点的应力状态如图所示。

构件为钢制：=45MPa，=135MPa，=0，=0，许用应力=160MPa。

请用第三强度理论校核该构件的强度。

答：选用第三强度理论，构件满足强度要求4B 构件中危险点的应力状态如图所示。

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。

7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。

2021—2021学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷〔工科类〕参考答案及评分标准一．〔共5小题，每题3分，共计1 5分〕判断以下命题是否正确.在题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进展说明.1．假设)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .〔⨯〕------------- 〔 1分 〕例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim .------- 〔 2分 〕2．假设)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.〔⨯ 〕------------- 〔 1分 〕 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ 〔 2分 〕 3．假设0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y 〔⨯ 〕-------------- 〔 1分 〕例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在.---------------------------- 〔 2分 〕4．假设0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.〔⨯ 〕------------------- 〔 1分 〕例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值.---------〔 2分 〕 5．假设)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.〔⨯〕------------- 〔 1分 〕 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. 〔2分〕 二．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的连续点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的连续点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当,0=k 即0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去连续点;----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷连续点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------〔3分〕 xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------〔1分〕3．设方程)0,0(>>=y x x y y x确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------〔2分〕 〔令t x =sin 〕 =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212------------------〔2分〕 C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------〔3分〕2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ).ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------〔2分〕dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------〔2分〕〔令t x =2〕dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------〔1分〕.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------〔1分〕 四．〔共2小题，每题6分，共计1 2分〕1．一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少.解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y +=----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------〔1〕-------------------------------- ( 2分 ) ,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入〔1〕式，得 对角线的增加率：3=dtdy〔cm/s 〕. -------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时抑制阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．〔此题10分〕x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ) 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．〔共2小题，每题7分，共计14分〕 1.试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------〔4分〕ππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------〔3分〕2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．〔此题7分〕表达罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下： 第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分16%； 第三章微分中值定理与导数的应用 20%； 第四章不定积分 14 %； 第 五 章定积分及其应用30% . 第 六 章常微分方程 7% .2021—2021 学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷( 工 科 类 ) 参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16%； 第二章一元函数的导数与微分 16%； 第三章微分中值定理与导数的应用14%； 第四章不定积分 15%； 第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13% .一．〔共3小题，每题4分，共计12分〕判断以下命题是否正确 " 在 题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进展说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. 〔 √ 〕--------------------------------------------------〔2分〕 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sinlim 0→不存在.---------------------------------------------------------------〔2分〕2．假设曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.〔 ⨯ 〕--------------------------------------------------------〔2分〕例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导. ---------------------------------------------------------〔2分〕 3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . 〔 ⨯ 〕----------------------------------------------------------〔2分〕例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但0)0(=''f ..---------------------------------------------------------〔2二．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1. 求极限)!sin()11(lim n nn n ⋅-∞→. 解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------〔3分〕.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------〔3分〕 2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t xx t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------〔3分〕xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------〔3分〕 3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解)21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------〔3分〕⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------〔3分〕 三．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求函数()xx eex f 11211++=的连续点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的连续点，---------------------------------------------------------------------〔3分〕又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃连续点.---------------------------------------------------------------〔3分〕2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222xe e x x --=----------------- 〔3分 〕当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ 〔 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==',--------------------------------------------------------------------〔3分〕22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------〔3分〕 四．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx exx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------〔3分〕)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------〔3分〕 2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------〔1分〕⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------〔2分〕⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------〔2分〕C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------〔1分〕3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分 dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------〔1分〕 dx x 210120-+=⎰〔上半单位圆的面积〕-----------------------------------〔3分〕242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------〔2分〕五．〔此题8分〕设由曲线x y ln =与直线0=-ey x 及x 轴 所围平面图形为D(1) 求D 的面积S ；〔4分〕(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积V .〔4分〕解 曲线x y ln =与直线0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------〔1分〕.12-=e--------------------〔3分〕 〔2〕⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------〔2分〕.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------〔2分〕六．〔共2小题，每题6分，共计12分〕1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水(水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------〔1分〕.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------〔2分〕2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开场降落，假设空气的阻力与速度成正比〔比例系数为0>k 〕，求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------〔2分〕别离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- 〔其中1kC e C -=，>-kv mg 〕---------------------------------〔2分〕 由0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------〔2分〕七．〔此题6分〕求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------〔3分〕而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------〔1分〕B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ，2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比拟同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------〔2分〕八．〔此题8分〕设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. 〔1〕试求曲线L 的方程；〔2〕求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解〔1〕过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------〔2分〕 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------〔2分〕〔2〕曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------〔2分〕所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------〔2分〕2021 —2021学年第一学期 "高等数学〔2-1〕"期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名 学 号开课系室 根底数学系 考试日期2016年1月 11 日A 卷1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。

A=A1∪A2∪A3表示( )。

A 、 全部击中、B 、 至少有一发击中、C 、 必然击中D 、 击中3发2.对于任意两个随机变量X 与Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。

A 、 X 与Y 独立。

B 、 X 与Y 不独立。

C 、 D(X+Y)=D(X)+D(Y)D 、 D(XY)=D(X)D(Y)3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的就是( )。

A. 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B 、 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC 、 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D 、 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ,4.设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有( )A 、 对于任意的μ, P 1=P 2B 、 对于任意的μ, P 1 < P 2C 、 只对个别的μ,才有P 1=P 2D 、 对于任意的μ, P 1 > P 2 5.设X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式中正确的就是( )A.D(X+c)=D(X)、 B 、 D(X+c)=D(X)+c 、 C 、 D(X-c)=D(X)-c D 、 D(cX)=cD(X)3.D4.A5.A-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A –2E|= 。

二、填空题(每空3分,共15分)7.设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ,则x = 。

8.设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P,则该系统正常工作的概率为 。

9.设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(,则概率=≥)21(X P 。

10.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(>>⎩⎨⎧=+-y x ke y x f y x ,则系数=k 。

中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)考试课程：工程数学 课程编号：063001 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________注：计算题取小数点后四位装 订 线一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、227作为π的近似值，其有效数字有______位。

2、设()k l x 是以01,,,n x x x 为插值节点的Lagrange 基函数，则()nk k l x ==∑____________。

3、已知矩阵5347A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A ∞=_________。

4、已知向量(3,2,6)T x =-，Householder 变换阵H 使Hx 与(1,0,0)T同方向，则H =_________。

5、解方程3x x e =的Newton 迭代格式为_________。

二、（10分）用LU 分解方法求解Ax=b ，其中2 -1 71043 10,11045 1A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦装 订 线三、（15分）已知线性方程组为12312312382313352365x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式； （2）取零初值迭代2步四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。

对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。

装 订 线五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-1111(),()p p '==-。

装订 线六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是=S aθ,这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则=++=-(2)/2,()/2.a R H h c H h我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）试用Simpson求积公式求卫星轨道的周长。

中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）1、已知(0,1,,)k x k n = 是互异节点，()k l x 是对应节点的Lagrange 插值基函数， ()P x 是任意一个首项系数为1的1n +次多项式，则0()()()nkkk P x P x l x =-∑= 。

2、设分段多项式 3232, 01()21, 12x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤⎪=⎨++-≤≤⎪⎩ 是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b = ，c = 。

3、如果A 是正交矩阵，则2()Cond A = 。

4、用x = 3.141作为π的近似值，则x 有 位有效数字，其绝对误差限为 。

5、数值积分公式[]33()(1)(2)2f x dx f f ≈+⎰是否为插值型求积公式： ，其代数 精度为 。

6、下列matlab 程序中s2计算的是 ，并指明s1与s2的区别为 。

其中：10;,x aex a a x R =⨯∈。

t=0;s2=1e14; for i=1:1e6temp= 1/(1e3+i); t=t+temp; s2=s2+temp;ends1= t+1e14;二、（8分）已知函数表试利用重节点Newton 差商构造满足插值条件(0)1,(1)0,'(1)1,(2)1,P P P P ==== 的三次多项式()P x 。

（要求构造出差商表）三、（8分）已知向量(2,0,2,1)T x =，试构造Householder 变换阵，使(0,0,,0)T Hx k =，其中k R ∈。

四、（12分）已知勒让德（Legendre ）正交多项式()201211,,312P P x P x ===-，试利用勒 让德正交多项式在二次多项式类{}21,H span x =中求一个多项式()S x ，使其成为()[]11x f x e =-在，上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。

中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2011 --2012 学年第 一 学期 A 卷 (闭卷考试)一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、355113作为π的近似值，其有效数字有______位。

2、某算法的迭代格式为1,(0,1,2,...)n n x ax b n +=+=，若0x 有误差, 则此计算过程稳定的条件是____________。

3、已知矩阵5335A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 的谱条件数为 _________。

4、已知向量(3,1,6)T x =-，Gauss 变换阵L 使(3,0,0)T Lx =，则L =_________。

5、解方程()x f x =的Newton 迭代格式为_________。

二、（10分）用QR 分解方法求解Ax=b ，其中2 -1 71003 10, 7045 1A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦三、（15分）已知线性方程组为123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式，并取零初值迭代2步； （2）两种迭代格式是否收敛？四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。

对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。

五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-1111(),()p p '==-，并写出插值余项。

六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是,S a θ=这是a 是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km ）为地球半径，则(2)/2,()/2.a R H h c H h =++=-我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km ）。

中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2015--2016学年第1学期 A 卷 (开卷) 考试课程： 油藏数值模拟 课程编号： 021042 考生姓名： 考生学号：
装 订 线
一、名词解释（共5小题，每小题6分，共30分）
1、油藏数值模拟
2、黑油模型
3、时间与空间离散
4、历史拟合
5、网格单元体
二、简答题（共5小题，每小题6分，共30分）
1、构建油藏数值模拟数学模型的基本方程包括哪几部分？
2、油藏数值模拟的用途体现在哪些方面？
3、油藏数值模拟边界条件有哪几类？
4、方程组求解时直接法求解与迭代法求解的异同和优缺点？
5、列举出至少2种黑油模型的数值求解方法，并简述其特点。

三、理论推导题（共2小题，每小题10分，共40分）
1、基于质量守恒定律推导三维油水两相可压缩流体的数学模型（20分）
＋Δy
2、对于一维刚性多孔介质其渗流方程为
2
2
p p
x t
η
∂∂
=
∂∂
，在一维均匀网格下（20分）
（1）建立显式差分方程；（6分）（2）建立隐式差分方程；（6分）（3）分别画出求解的时空位置关系图。

（8分）
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